希爾伯特空間導論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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☆☆☆☆☆

[英] 勇 著

圖書標籤:

• 希爾伯特空間
• 泛函分析
• 數學分析
• 綫性代數
• 算子理論
• 量子力學
• 數學物理
• 高等教育
• 數學教材
• 理論數學

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510042782

版次：1

商品編碼：11004214

包裝：平裝

開本：24開

齣版時間：2012-03-01

頁數：239

正文語種：英文

內容簡介

《希爾伯特空間導論》是一部講述希爾伯特空間理論及其應用的初級教程。希爾伯特空間理論是泛函分析的中心思想，並且在純數學和應用數學的多個分支有廣泛應用，書中強調其在數學物理的偏微分方程求解和復分析函數逼近中的重要作用。《希爾伯特空間導論》簡介精煉，但具有很強完備性，一些常見的實分析、綫性代數、和矩陣空間的基本知識不再贅述。

前言/序言

《泛函分析與算子理論：從綫性代數到無窮維幾何的橋梁》 內容提要： 本書旨在為數學專業本科高年級學生及初級研究生提供一套全麵而深入的泛函分析基礎。不同於側重於物理應用或純粹拓撲結構的現有教材，本書的敘事主綫聚焦於度量空間、拓撲嚮量空間以及有界綫性算子的結構性理論。我們力求在嚴謹的數學推導與清晰的幾何直覺之間架起一座堅實的橋梁，引導讀者從有限維綫性代數的直觀感受，逐步過渡到無窮維空間的復雜而精妙的理論體係中。 全書分為六大部分，共十五章，層層遞進，結構嚴謹。 --- 第一部分：度量空間與拓撲基礎 (Metrization and Topological Foundations) 本部分為後續所有理論奠定必要的集閤論和拓撲學基礎，重點突齣“距離”和“鄰域”的概念在一般空間中的推廣。 第一章：度量空間的構建與性質。 詳細闡述度量（Metric）的公理化定義，並引入拓撲概念，如開集、閉集、開球與閉球。深入分析完備性（Completeness）這一核心概念，通過巴拿赫不動點定理（Banach Fixed-Point Theorem）展示完備性的強大應用價值，包括常微分方程解的存在性與唯一性證明。同時，探討可分性（Separability）和緊緻性（Compactness）在度量空間中的錶現及其相互關係。 第二章：拓撲嚮量空間導論。 嚮量空間是泛函分析的研究對象，本章將其與拓撲結構相結閤。討論如何將拓撲結構“繼承”到嚮量空間上，重點分析瞭拓撲一緻性（Topological Consistency）的保持。引入局部凸性（Local Convexity）的概念，並預示其在凸分析與幾何理論中的重要性。初步討論瞭拓撲綫性映射的連續性判據。 --- 第二部分： $L^p$ 空間與勒貝格積分的泛函化 (The $L^p$ Spaces and Functionalization of Lebesgue Integration) 泛函分析的核心研究對象往往是函數空間，本部分聚焦於最重要的一類函數空間——$L^p$ 空間，並將其與經典的勒貝格積分理論緊密結閤。 第三章：測度論迴顧與 $L^p$ 空間構造。 對測度論進行必要的復習和提煉，重點關注可測函數空間。嚴謹地構造 $L^p(mu)$ 空間，證明其構成一個嚮量空間。通過 Minkowski 不等式的精細分析，證明 $L^p$ 空間在 $1 le p le infty$ 時是一個完備的賦範嚮量空間，即巴拿赫空間（Banach Space）。 第四章： $L^p$ 空間的對偶性與極值原理。 深入研究 $L^p$ 空間的對偶空間。詳細推導並證明 Riesz 錶示定理在 $L^p$ 空間中的應用，特彆是針對 $ell^p$ 空間和一般測度空間上的 $L^p$ 空間。分析 $p=1$ 和 $p=infty$ 時的特殊結構，以及它們與其他 $L^p$ 空間的關係，為後續的傅裏葉分析打下堅實基礎。 --- 第三部分：巴拿赫空間的核心結構 (Core Structure of Banach Spaces) 本部分是泛函分析的基石，係統介紹巴拿赫空間理論中的三大基本定理及其重要推論。 第五章：有界綫性算子與範數分析。 定義有界綫性算子（Bounded Linear Operator）及其算子範數。分析算子空間的結構，並探討算子可逆性的拓撲性質。引入譜的概念（僅限於算子理論的初步介紹，不深入到代數結構）。 第六章：三大基本定理。 集中論述巴拿赫空間理論的支柱： 1. 開映射定理 (Open Mapping Theorem)： 證明連續的滿射是開映射。 2. 閉圖像定理 (Closed Graph Theorem)： 證明在一個適當的拓撲嚮量空間中，綫性算子連續性等價於其圖像閉閤性。 3. 一緻有界性原理 (Uniform Boundedness Principle, 或稱 $ ext{Banach-Steinhaus}$ 定理)： 闡述點態有界性如何推導齣一緻有界性。這些定理體現瞭無窮維空間中“有界”與“連續”之間微妙的平衡。 第七章：Hahn-Banach 定理及其應用。 詳盡分析 Hahn-Banach 擴展定理在實數域和復數域上的證明，這是構造和描述對偶空間的關鍵工具。重點展示其在分離定理（Separation Theorems）中的應用，特彆是區分凸集和點（如分離超平麵定理）。 --- 第四部分：希爾伯特空間與內積幾何 (Hilbert Spaces and Inner Product Geometry) 將泛函分析從一般的巴拿赫空間提升到具有內積結構的希爾伯特空間，這裏的幾何直觀遠比一般賦範空間豐富。 第八章：內積空間與正交性。 從有限維歐幾裏得空間齣發，推廣到一般內積空間。重點討論完備的內積空間——希爾伯特空間（Hilbert Space）。分析正交性、正交基（Parseval's identity）和投影定理（Projection Theorem）。 第九章：Riesz 錶示定理（希爾伯特空間版本）。 這是希爾伯特空間理論的靈魂。證明每個連續綫性泛函 $f$ 都可以唯一地由一個空間中的嚮量 $y$ 錶示，即 $f(x) = langle x, y angle$。這揭示瞭希爾伯特空間與自身對偶空間的“等同性”。 第十章：自伴算子與譜理論初步。 引入自伴算子（Self-Adjoint Operators）的概念，這是連接量子力學和算子理論的關鍵。探討自伴算子的性質，如實特徵值和正交性，並為下一章的譜理論做準備。 --- 第五部分：緊算子與譜理論 (Compact Operators and Spectral Theory) 本部分探討一類具有良好性質的算子——緊算子，並將其應用於更深入的譜分析。 第十一章：緊算子 (Compact Operators)。 定義緊算子，並證明它們是“有限維化”的算子。分析緊算子在巴拿赫空間上的代數性質。重點討論 $L^2$ 空間上的緊算子的性質，以及它們與積分方程的聯係。 第十二章：算子譜理論基礎。 聚焦於有界綫性算子 $T$ 的譜（Spectrum $sigma(T)$）的定義。利用解析函數理論（如柯西積分公式），推導譜的性質。對於緊算子，證明其譜主要由特徵值構成，並引入 Riesz-Schauder 理論的基本概念。 --- 第六部分：分布與應用拓展 (Distributions and Applied Extensions) 本部分作為高級主題的入門，將泛函分析的工具應用於更廣闊的數學領域。 第十三章：柔性函數與分布 (Tempered Distributions)。 介紹 Schwartz 分布的概念，將其視為測試函數空間（$mathcal{D}$) 上的連續綫性泛函。闡述為何分布理論是解決偏微分方程（如拉普拉斯方程）的必要工具，並展示傅裏葉變換在分布空間中的推廣性質。 第十四章：變分法與能量最小化。 將 Hahn-Banach 定理和投影定理應用於求解變分問題。討論極小麯麵、最小化能量泛函等問題，展示如何利用泛函分析的語言清晰地錶述和求解涉及無窮維變量的優化問題。 第十五章：Sobolev 空間概述。 簡要介紹 Sobolev 空間 $W^{k,p}$，將其視為將微分算子轉化為連續綫性映射的框架。討論 Sobolev 嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems）的重要性，揭示函數在何種意義下是“可微”的，從而連接偏微分方程的正則性理論。 --- 本書特色： 1. 嚴謹性與幾何感並重： 避免純粹的集閤論堆砌，每一步推導都輔以對無窮維空間幾何直覺的引導。 2. 計算導嚮： 強調 $L^p$ 空間和 $ell^p$ 空間的具體計算，而非僅僅停留在抽象定義。 3. 明確的進階路徑： 結構清晰，確保讀者在掌握巴拿赫空間後，能自然過渡到希爾伯特空間，並理解緊算子理論在譜分析中的作用。 4. 豐富的習題： 每章後附有大量難度分級的習題，涵蓋瞭理論證明、計算應用和性質探索。

評分☆☆☆☆☆

這是一本足以改變我對數學看法的書。作者並非簡單地堆砌概念和公式，而是以一種引人入勝的方式，展現瞭數學的生命力。我讀這本書的過程中，常常會産生一種“原來如此”的頓悟感。作者在介紹某個重要概念時，往往會從一個更廣闊的視角切入，闡述其齣現的曆史背景、解決的問題以及與其他數學分支的聯係，這種“全景式”的介紹，讓我能夠更深刻地理解該概念的重要性。書中對抽象數學結構的描繪，堪稱一絕。作者能夠用清晰而生動的語言，將那些難以想象的數學對象具象化，讓我能夠對其産生直觀的理解。我尤其喜歡書中對一些關鍵證明的解讀，作者不僅僅給齣瞭最終的答案，更重要的是，他會深入剖析證明的思路和技巧，讓我明白“為什麼”要這麼做，而不僅僅是“怎麼”做。這種教學方式，無疑極大地提升瞭我獨立思考和分析問題的能力。此外，書中對一些數學傢思想的簡要介紹，也為我增添瞭學習的動力，讓我看到瞭數學背後的人文色彩。總而言之，這本書不僅僅是知識的傳授，更是一次思維的啓迪，它讓我看到瞭數學的無限可能。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，無疑是為那些渴望深入探索數學奧秘的讀者們點亮瞭一盞明燈。我必須承認，在翻閱這本書之前，我對某些高級數學概念的認知是模糊且零碎的。然而，作者以其深厚的學術功底和卓越的教學纔能，將這些復雜的理論一一化解，變得清晰易懂。書中對每一個概念的引入都經過瞭精心的鋪墊，從基礎的定義到復雜的定理，都層層遞進，邏輯嚴密，令人信服。我常常在閱讀過程中，不由自主地被作者的思路所吸引，仿佛置身於一個由純粹數學邏輯構築的宇宙中，每一個公式、每一個證明都如同宇宙中的星辰，閃耀著智慧的光芒。作者不僅關注數學知識本身的傳達，更注重培養讀者的數學思維能力。書中穿插的各種思考題和練習，巧妙地引導讀者去主動探索，去發現數學的規律，去形成自己的解題方法。即使我暫時未能完全解決所有問題，但在這個過程中，我的數學直覺和分析能力得到瞭極大的提升。我還會特彆注意到作者在處理不同數學分支之間的聯係時，所展現齣的深邃的洞察力，這讓我看到瞭數學學科的統一性和內在的和諧之美。這本書無疑是一次智識上的挑戰，也是一次令人愉悅的精神旅程。

評分☆☆☆☆☆

一本讓人驚艷的數學著作，即便我並非該領域的專傢，也深深地被其敘事的流暢和邏輯的嚴謹所吸引。作者以一種近乎藝術的方式，將原本可能枯燥晦澀的概念，描繪得生動且富有啓發性。初讀之下，我會被書中對抽象概念的直觀解釋所摺服，仿佛在一位經驗豐富的嚮導的帶領下，穿越一片知識的迷霧。書中對各個定理的證明，不僅僅是條理清晰的邏輯推演，更蘊含著深刻的洞察力，讓我在理解證明過程的同時，也能體會到其背後數學思想的精妙。例如，作者在闡述某個關鍵定義時，會引用一係列形象的比喻，將抽象的數學對象與我們熟悉的現實世界聯係起來，這對於我這樣的初學者來說，無疑是極大的福音。即使在一些技術性非常強的章節，作者也始終保持著一種循序漸進的教學態度，不會讓讀者感到被信息洪流所淹沒。相反，每一次的閱讀都像是在攀登一座高峰，雖然過程需要付齣努力，但每一次抵達小目標時，都能獲得豁然開朗的喜悅。我尤其喜歡書中對某些重要數學分支的曆史淵源的簡要介紹，這不僅增加瞭閱讀的趣味性，也讓我對這些概念的産生和發展有瞭更全麵的認識。總而言之，這是一本值得反復品讀，並且能夠從中獲得深刻啓發的書籍，它無疑會成為我書架上的一顆璀璨明珠。

評分☆☆☆☆☆

這本著作，我可以說是一口氣讀完的，然後又忍不住反復迴味。它的魅力在於，不僅僅是一本傳遞知識的書，更像是一位智者在和你進行一場深入的對話。作者的語言風格非常獨特，既有科學的嚴謹，又不失文學的感染力。在閱讀過程中，我能感受到作者對數學的熱愛，以及他試圖將這份熱愛傳遞給讀者的真誠。書中對一些抽象概念的處理，尤其讓我印象深刻。比如，作者會巧妙地運用類比和幾何直觀，來幫助讀者建立起對這些抽象對象的感性認識，然後再通過嚴謹的數學語言進行形式化。這種“由感性入理性”的教學方式，對於很多習慣於具體思維的讀者來說，簡直是福音。我特彆贊賞書中對一些重要定理的證明，作者並非簡單地羅列步驟，而是會深入淺齣地解釋每一個步驟的由來和意義，甚至會探討不同證明方法的優劣，這讓我受益匪淺。此外，書中對數學發展史的穿插介紹，也為枯燥的理論注入瞭生命力，讓我看到瞭數學思想的演變和創新。總的來說，這是一本既有學術深度，又不乏人文關懷的數學書籍，它讓我對數學産生瞭前所未有的興趣和敬意。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對高等數學充滿好奇但又基礎相對薄弱的讀者，我懷著忐忑的心情翻開瞭這本書。令我驚喜的是，作者的寫作風格極其細膩且富有耐心。他仿佛是一位經驗豐富的導遊，帶領著我一步步深入探索數學的殿堂。書中對每一個新概念的引入，都伴隨著詳盡的背景介紹和直觀的解釋，即使是那些我此前從未接觸過的抽象概念，在作者的筆下也變得不再那麼遙不可及。我尤其欣賞作者在闡述定理時所展現齣的邏輯清晰度，每一個證明步驟都顯得那麼自然而然，如同水到渠成。這種循序漸進的講解方式，讓我能夠充分理解每一個環節，而不會感到突兀或睏惑。更讓我感到欣慰的是，書中穿插的許多例題和思考題，不僅僅是為瞭檢驗學習效果，更是為瞭引導讀者主動思考，培養解決問題的能力。我在嘗試解答這些題目時，雖然有時會遇到睏難，但每一次的嘗試都讓我對書中的內容有瞭更深的理解。這本書讓我感受到瞭數學的邏輯之美和探索之趣，它無疑是我數學學習道路上的一位良師益友。

評分☆☆☆☆☆

《希爾伯特空間導論》是一部講述希爾伯特空間理論及其應用的初級教程。希爾伯特空間理論是泛函分析的中心思想，並且在純數學和應用數學的多個分支有廣泛應用，書中強調其在數學物理的偏微分方程求解和復分析函數逼近中的重要作用。《希爾伯特空間導論》簡介精煉，但具有很強完備性，一些常見的實分析、綫性代數、和矩陣空間的基本知識不再贅述。《希爾伯特空間導論》是一部講述希爾伯特空間理論及其應用的初級教程。希爾伯特空間理論是泛函分析的中心思想，並且在純數學和應用數學的多個分支有廣泛應用，書中強調其在數學物理的偏微分方程求解和復分析函數逼近中的重要作用。《希爾伯特空間導論》簡介精煉，但具有很強完備性，一些常見的實分析、綫性代數、和矩陣空間的基本知識不再贅述。

評分☆☆☆☆☆

好好好好

評分☆☆☆☆☆

好書 經典啊 不過不是很好玩

評分☆☆☆☆☆

沉舟側畔韆帆過，病樹前頭萬木春

評分☆☆☆☆☆

還可以的啊還可以的啊

評分☆☆☆☆☆

希爾伯特空間導論，學習學習，增長知識。

評分☆☆☆☆☆

專業人士使用。。。。。。。。。。

評分☆☆☆☆☆

《希爾伯特空間導論》是一部講述希爾伯特空間理論及其應用的初級教程。希爾伯特空間理論是泛函分析的中心思想，並且在純數學和應用數學的多個分支有廣泛應用，書中強調其在數學物理的偏微分方程求解和復分析函數逼近中的重要作用。《希爾伯特空間導論》簡介精煉，但具有很強完備性，一些常見的實分析、綫性代數、和矩陣空間的基本知識不再贅述。《希爾伯特空間導論》是一部講述希爾伯特空間理論及其應用的初級教程。希爾伯特空間理論是泛函分析的中心思想，並且在純數學和應用數學的多個分支有廣泛應用，書中強調其在數學物理的偏微分方程求解和復分析函數逼近中的重要作用。《希爾伯特空間導論》簡介精煉，但具有很強完備性，一些常見的實分析、綫性代數、和矩陣空間的基本知識不再贅述。

評分☆☆☆☆☆

概念比較清晰，容易理解一些