希尔伯特空间导论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[英] 勇 著

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• 希尔伯特空间
• 泛函分析
• 数学分析
• 线性代数
• 算子理论
• 量子力学
• 数学物理
• 高等教育
• 数学教材
• 理论数学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510042782

版次：1

商品编码：11004214

包装：平装

开本：24开

出版时间：2012-03-01

页数：239

正文语种：英文

内容简介

《希尔伯特空间导论》是一部讲述希尔伯特空间理论及其应用的初级教程。希尔伯特空间理论是泛函分析的中心思想，并且在纯数学和应用数学的多个分支有广泛应用，书中强调其在数学物理的偏微分方程求解和复分析函数逼近中的重要作用。《希尔伯特空间导论》简介精炼，但具有很强完备性，一些常见的实分析、线性代数、和矩阵空间的基本知识不再赘述。

前言/序言

《泛函分析与算子理论：从线性代数到无穷维几何的桥梁》 内容提要： 本书旨在为数学专业本科高年级学生及初级研究生提供一套全面而深入的泛函分析基础。不同于侧重于物理应用或纯粹拓扑结构的现有教材，本书的叙事主线聚焦于度量空间、拓扑向量空间以及有界线性算子的结构性理论。我们力求在严谨的数学推导与清晰的几何直觉之间架起一座坚实的桥梁，引导读者从有限维线性代数的直观感受，逐步过渡到无穷维空间的复杂而精妙的理论体系中。 全书分为六大部分，共十五章，层层递进，结构严谨。 --- 第一部分：度量空间与拓扑基础 (Metrization and Topological Foundations) 本部分为后续所有理论奠定必要的集合论和拓扑学基础，重点突出“距离”和“邻域”的概念在一般空间中的推广。 第一章：度量空间的构建与性质。 详细阐述度量（Metric）的公理化定义，并引入拓扑概念，如开集、闭集、开球与闭球。深入分析完备性（Completeness）这一核心概念，通过巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）展示完备性的强大应用价值，包括常微分方程解的存在性与唯一性证明。同时，探讨可分性（Separability）和紧致性（Compactness）在度量空间中的表现及其相互关系。 第二章：拓扑向量空间导论。 向量空间是泛函分析的研究对象，本章将其与拓扑结构相结合。讨论如何将拓扑结构“继承”到向量空间上，重点分析了拓扑一致性（Topological Consistency）的保持。引入局部凸性（Local Convexity）的概念，并预示其在凸分析与几何理论中的重要性。初步讨论了拓扑线性映射的连续性判据。 --- 第二部分： $L^p$ 空间与勒贝格积分的泛函化 (The $L^p$ Spaces and Functionalization of Lebesgue Integration) 泛函分析的核心研究对象往往是函数空间，本部分聚焦于最重要的一类函数空间——$L^p$ 空间，并将其与经典的勒贝格积分理论紧密结合。 第三章：测度论回顾与 $L^p$ 空间构造。 对测度论进行必要的复习和提炼，重点关注可测函数空间。严谨地构造 $L^p(mu)$ 空间，证明其构成一个向量空间。通过 Minkowski 不等式的精细分析，证明 $L^p$ 空间在 $1 le p le infty$ 时是一个完备的赋范向量空间，即巴拿赫空间（Banach Space）。 第四章： $L^p$ 空间的对偶性与极值原理。 深入研究 $L^p$ 空间的对偶空间。详细推导并证明 Riesz 表示定理在 $L^p$ 空间中的应用，特别是针对 $ell^p$ 空间和一般测度空间上的 $L^p$ 空间。分析 $p=1$ 和 $p=infty$ 时的特殊结构，以及它们与其他 $L^p$ 空间的关系，为后续的傅里叶分析打下坚实基础。 --- 第三部分：巴拿赫空间的核心结构 (Core Structure of Banach Spaces) 本部分是泛函分析的基石，系统介绍巴拿赫空间理论中的三大基本定理及其重要推论。 第五章：有界线性算子与范数分析。 定义有界线性算子（Bounded Linear Operator）及其算子范数。分析算子空间的结构，并探讨算子可逆性的拓扑性质。引入谱的概念（仅限于算子理论的初步介绍，不深入到代数结构）。 第六章：三大基本定理。 集中论述巴拿赫空间理论的支柱： 1. 开映射定理 (Open Mapping Theorem)： 证明连续的满射是开映射。 2. 闭图像定理 (Closed Graph Theorem)： 证明在一个适当的拓扑向量空间中，线性算子连续性等价于其图像闭合性。 3. 一致有界性原理 (Uniform Boundedness Principle, 或称 $ ext{Banach-Steinhaus}$ 定理)： 阐述点态有界性如何推导出一致有界性。这些定理体现了无穷维空间中“有界”与“连续”之间微妙的平衡。 第七章：Hahn-Banach 定理及其应用。 详尽分析 Hahn-Banach 扩展定理在实数域和复数域上的证明，这是构造和描述对偶空间的关键工具。重点展示其在分离定理（Separation Theorems）中的应用，特别是区分凸集和点（如分离超平面定理）。 --- 第四部分：希尔伯特空间与内积几何 (Hilbert Spaces and Inner Product Geometry) 将泛函分析从一般的巴拿赫空间提升到具有内积结构的希尔伯特空间，这里的几何直观远比一般赋范空间丰富。 第八章：内积空间与正交性。 从有限维欧几里得空间出发，推广到一般内积空间。重点讨论完备的内积空间——希尔伯特空间（Hilbert Space）。分析正交性、正交基（Parseval's identity）和投影定理（Projection Theorem）。 第九章：Riesz 表示定理（希尔伯特空间版本）。 这是希尔伯特空间理论的灵魂。证明每个连续线性泛函 $f$ 都可以唯一地由一个空间中的向量 $y$ 表示，即 $f(x) = langle x, y angle$。这揭示了希尔伯特空间与自身对偶空间的“等同性”。 第十章：自伴算子与谱理论初步。 引入自伴算子（Self-Adjoint Operators）的概念，这是连接量子力学和算子理论的关键。探讨自伴算子的性质，如实特征值和正交性，并为下一章的谱理论做准备。 --- 第五部分：紧算子与谱理论 (Compact Operators and Spectral Theory) 本部分探讨一类具有良好性质的算子——紧算子，并将其应用于更深入的谱分析。 第十一章：紧算子 (Compact Operators)。 定义紧算子，并证明它们是“有限维化”的算子。分析紧算子在巴拿赫空间上的代数性质。重点讨论 $L^2$ 空间上的紧算子的性质，以及它们与积分方程的联系。 第十二章：算子谱理论基础。 聚焦于有界线性算子 $T$ 的谱（Spectrum $sigma(T)$）的定义。利用解析函数理论（如柯西积分公式），推导谱的性质。对于紧算子，证明其谱主要由特征值构成，并引入 Riesz-Schauder 理论的基本概念。 --- 第六部分：分布与应用拓展 (Distributions and Applied Extensions) 本部分作为高级主题的入门，将泛函分析的工具应用于更广阔的数学领域。 第十三章：柔性函数与分布 (Tempered Distributions)。 介绍 Schwartz 分布的概念，将其视为测试函数空间（$mathcal{D}$) 上的连续线性泛函。阐述为何分布理论是解决偏微分方程（如拉普拉斯方程）的必要工具，并展示傅里叶变换在分布空间中的推广性质。 第十四章：变分法与能量最小化。 将 Hahn-Banach 定理和投影定理应用于求解变分问题。讨论极小曲面、最小化能量泛函等问题，展示如何利用泛函分析的语言清晰地表述和求解涉及无穷维变量的优化问题。 第十五章：Sobolev 空间概述。 简要介绍 Sobolev 空间 $W^{k,p}$，将其视为将微分算子转化为连续线性映射的框架。讨论 Sobolev 嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems）的重要性，揭示函数在何种意义下是“可微”的，从而连接偏微分方程的正则性理论。 --- 本书特色： 1. 严谨性与几何感并重： 避免纯粹的集合论堆砌，每一步推导都辅以对无穷维空间几何直觉的引导。 2. 计算导向： 强调 $L^p$ 空间和 $ell^p$ 空间的具体计算，而非仅仅停留在抽象定义。 3. 明确的进阶路径： 结构清晰，确保读者在掌握巴拿赫空间后，能自然过渡到希尔伯特空间，并理解紧算子理论在谱分析中的作用。 4. 丰富的习题： 每章后附有大量难度分级的习题，涵盖了理论证明、计算应用和性质探索。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对高等数学充满好奇但又基础相对薄弱的读者，我怀着忐忑的心情翻开了这本书。令我惊喜的是，作者的写作风格极其细腻且富有耐心。他仿佛是一位经验丰富的导游，带领着我一步步深入探索数学的殿堂。书中对每一个新概念的引入，都伴随着详尽的背景介绍和直观的解释，即使是那些我此前从未接触过的抽象概念，在作者的笔下也变得不再那么遥不可及。我尤其欣赏作者在阐述定理时所展现出的逻辑清晰度，每一个证明步骤都显得那么自然而然，如同水到渠成。这种循序渐进的讲解方式，让我能够充分理解每一个环节，而不会感到突兀或困惑。更让我感到欣慰的是，书中穿插的许多例题和思考题，不仅仅是为了检验学习效果，更是为了引导读者主动思考，培养解决问题的能力。我在尝试解答这些题目时，虽然有时会遇到困难，但每一次的尝试都让我对书中的内容有了更深的理解。这本书让我感受到了数学的逻辑之美和探索之趣，它无疑是我数学学习道路上的一位良师益友。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，无疑是为那些渴望深入探索数学奥秘的读者们点亮了一盏明灯。我必须承认，在翻阅这本书之前，我对某些高级数学概念的认知是模糊且零碎的。然而，作者以其深厚的学术功底和卓越的教学才能，将这些复杂的理论一一化解，变得清晰易懂。书中对每一个概念的引入都经过了精心的铺垫，从基础的定义到复杂的定理，都层层递进，逻辑严密，令人信服。我常常在阅读过程中，不由自主地被作者的思路所吸引，仿佛置身于一个由纯粹数学逻辑构筑的宇宙中，每一个公式、每一个证明都如同宇宙中的星辰，闪耀着智慧的光芒。作者不仅关注数学知识本身的传达，更注重培养读者的数学思维能力。书中穿插的各种思考题和练习，巧妙地引导读者去主动探索，去发现数学的规律，去形成自己的解题方法。即使我暂时未能完全解决所有问题，但在这个过程中，我的数学直觉和分析能力得到了极大的提升。我还会特别注意到作者在处理不同数学分支之间的联系时，所展现出的深邃的洞察力，这让我看到了数学学科的统一性和内在的和谐之美。这本书无疑是一次智识上的挑战，也是一次令人愉悦的精神旅程。

评分☆☆☆☆☆

这本著作，我可以说是一口气读完的，然后又忍不住反复回味。它的魅力在于，不仅仅是一本传递知识的书，更像是一位智者在和你进行一场深入的对话。作者的语言风格非常独特，既有科学的严谨，又不失文学的感染力。在阅读过程中，我能感受到作者对数学的热爱，以及他试图将这份热爱传递给读者的真诚。书中对一些抽象概念的处理，尤其让我印象深刻。比如，作者会巧妙地运用类比和几何直观，来帮助读者建立起对这些抽象对象的感性认识，然后再通过严谨的数学语言进行形式化。这种“由感性入理性”的教学方式，对于很多习惯于具体思维的读者来说，简直是福音。我特别赞赏书中对一些重要定理的证明，作者并非简单地罗列步骤，而是会深入浅出地解释每一个步骤的由来和意义，甚至会探讨不同证明方法的优劣，这让我受益匪浅。此外，书中对数学发展史的穿插介绍，也为枯燥的理论注入了生命力，让我看到了数学思想的演变和创新。总的来说，这是一本既有学术深度，又不乏人文关怀的数学书籍，它让我对数学产生了前所未有的兴趣和敬意。

评分☆☆☆☆☆

这是一本足以改变我对数学看法的书。作者并非简单地堆砌概念和公式，而是以一种引人入胜的方式，展现了数学的生命力。我读这本书的过程中，常常会产生一种“原来如此”的顿悟感。作者在介绍某个重要概念时，往往会从一个更广阔的视角切入，阐述其出现的历史背景、解决的问题以及与其他数学分支的联系，这种“全景式”的介绍，让我能够更深刻地理解该概念的重要性。书中对抽象数学结构的描绘，堪称一绝。作者能够用清晰而生动的语言，将那些难以想象的数学对象具象化，让我能够对其产生直观的理解。我尤其喜欢书中对一些关键证明的解读，作者不仅仅给出了最终的答案，更重要的是，他会深入剖析证明的思路和技巧，让我明白“为什么”要这么做，而不仅仅是“怎么”做。这种教学方式，无疑极大地提升了我独立思考和分析问题的能力。此外，书中对一些数学家思想的简要介绍，也为我增添了学习的动力，让我看到了数学背后的人文色彩。总而言之，这本书不仅仅是知识的传授，更是一次思维的启迪，它让我看到了数学的无限可能。

评分☆☆☆☆☆

一本让人惊艳的数学著作，即便我并非该领域的专家，也深深地被其叙事的流畅和逻辑的严谨所吸引。作者以一种近乎艺术的方式，将原本可能枯燥晦涩的概念，描绘得生动且富有启发性。初读之下，我会被书中对抽象概念的直观解释所折服，仿佛在一位经验丰富的向导的带领下，穿越一片知识的迷雾。书中对各个定理的证明，不仅仅是条理清晰的逻辑推演，更蕴含着深刻的洞察力，让我在理解证明过程的同时，也能体会到其背后数学思想的精妙。例如，作者在阐述某个关键定义时，会引用一系列形象的比喻，将抽象的数学对象与我们熟悉的现实世界联系起来，这对于我这样的初学者来说，无疑是极大的福音。即使在一些技术性非常强的章节，作者也始终保持着一种循序渐进的教学态度，不会让读者感到被信息洪流所淹没。相反，每一次的阅读都像是在攀登一座高峰，虽然过程需要付出努力，但每一次抵达小目标时，都能获得豁然开朗的喜悦。我尤其喜欢书中对某些重要数学分支的历史渊源的简要介绍，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我对这些概念的产生和发展有了更全面的认识。总而言之，这是一本值得反复品读，并且能够从中获得深刻启发的书籍，它无疑会成为我书架上的一颗璀璨明珠。

评分☆☆☆☆☆

沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春

评分☆☆☆☆☆

概念比较清晰，容易理解一些

评分☆☆☆☆☆

好书 经典啊 不过不是很好玩

评分☆☆☆☆☆

《希尔伯特空间导论》是一部讲述希尔伯特空间理论及其应用的初级教程。希尔伯特空间理论是泛函分析的中心思想，并且在纯数学和应用数学的多个分支有广泛应用，书中强调其在数学物理的偏微分方程求解和复分析函数逼近中的重要作用。《希尔伯特空间导论》简介精炼，但具有很强完备性，一些常见的实分析、线性代数、和矩阵空间的基本知识不再赘述。《希尔伯特空间导论》是一部讲述希尔伯特空间理论及其应用的初级教程。希尔伯特空间理论是泛函分析的中心思想，并且在纯数学和应用数学的多个分支有广泛应用，书中强调其在数学物理的偏微分方程求解和复分析函数逼近中的重要作用。《希尔伯特空间导论》简介精炼，但具有很强完备性，一些常见的实分析、线性代数、和矩阵空间的基本知识不再赘述。

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沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春

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概念比较清晰，容易理解一些

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概念比较清晰，容易理解一些

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概念比较清晰，容易理解一些

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希尔伯特空间导论，学习学习，增长知识。