物理及工程中的分數維微積分（第1捲）：數學基礎及其理論 [Fractional Derivatives for Physicists and Engineers Volume 1:Background and Theory] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[俄羅斯] 尤查金（Vladimir V.Uchaikin） 著，羅朝俊，[瑞典] 伊布拉基莫夫 編

圖書標籤:

• 分數微積分
• 分數導數
• 物理學
• 工程學
• 數學基礎
• 理論
• 微分方程
• 特殊函數
• 應用數學
• 高級數學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040322354

版次：1

商品編碼：11128590

包裝：精裝

叢書名： 非綫性物理科學

外文名稱：Fractional Derivatives for Physicists and Engineers Volume 1:Background and Theory

開本：16開

齣版時間：2013-0

內容簡介

　　一個運動質點位置函數的一階導數錶示速度，二階導數錶示加速度，那麼分數階導數的物理意義又是什麼呢？分數階導數是因何而産生，它對現代分析學在物理學的應用産生什麼衝擊，在將來又有什麼發展？《物理及工程中的分數維微積分》二捲本將為你提供一個詳細詮釋。
　　《物理及工程中的分數維微積分（第1捲）：數學基礎及其理論》介紹分數維微積分的數學基礎和相應的理論，為這個現代分析學中的重要分支提供瞭詳細而又清晰的分析與介紹。

內頁插圖

目錄

Part Ⅰ Background
1 Heredity and Nonlocality
1.1 Heredity
1.1.1 Concept of heredity
1.1.2 A short excursus in history
1.2 Volterra's heredity theory
1.2.1 Volterra's heredity laws
1.2.2 Hereditary string
1.2.3 Hereditarv oscillator
1.2.4 Energv drinciple
1.2.5 Hereditary electrodynamics
1.3 Hereditary kinetics
1.3.1 Mechanical origin of heredity
1.3.2 Hereditary Boltzmann equation
1.3.3 Fokker-Planckequation
1.3.4 Pauli and Van Hove equations
1.3.5 Hybrid kinetic equations
1.4 Hereditary hydrodynamics
1.4.1 Physicalmotivation
1.4.2 Polymeric liquids
1.4.3 Turbulent diffusion
1.4.4 Coarse-grained diffusion models
1.5 Hereditarv viscoelasticity
1.5.1 Boltzmann's viscoelasticity model
1.5.2 Elastic solid： a mesoscopic approach
1.5.3 One-dimensional harmonic lattice
1.5.4 Axiomatic approach to continuum mechanics
1.6 Hereditary thermodynanucs
1.6.1 Mechanical approach
1.6.2 Hereditary heat-transfer
1.6.3 Extendedirreversible thermodynamics
1.6.4 Axiomatic approach
1.6.5 Ecology and climatology
1.7 Nonlocal models
1.7.1 Many-electron atoms
1.7.2 Electron correlation in metals
1.7.3 Plasma
1.7.4 Vlasov's nonlocal statistical mechanics
1.7.5 Turbulence
1.7.6 Aggregation equations
1.7.7 Nonlocal models in nano-plasticity
1.7.8 Nonlocal wave equations
References
2 Selfsinularity
2.1 Power functions
2.1.1 Standard power function
2.1.2 Properties ofpower functions
2.1.3 Memory
2.1.4 Fractals
2.2 Hydrodynamics
2.2.1 Newtonian fluids
2.2.2 Turbulence
2.2.3 Microscopic fluctuations
2.2.4 Non-Newtonian fiuids
2.3 Polymers
2.3.1 The Nutting law
2.3.2 Relaxation ofpolymer chains
2.3.3 Interpenetrating polymer networks
2.4 Reaction-diffusion
2.4.1 Diffusion
2.4.2 Polymerization
2.4.3 Coagulation and fragmentation
2.5 Solids
2.5.1 Dielectrics
2.5.2 Semiconductors
2.5.3 Spinglasses
2.5.4 Jonscher's universal relaxation law
2.6 Optics
2.6.1 Luminescence decay
2.6.2 Anomalous exciton kinetics
2.6.3 Blinking fluorescence of quantum dots
2.7 Geophysics
2.7.1 Atmosphere and ocean turbulence
……

PartⅡ Theory
Index

《物理及工程中的分數維微積分（第1捲）：數學基礎及其理論》圖書簡介 內容提要： 本書是“物理及工程中的分數維微積分”係列叢書的第一捲，旨在為物理學傢、工程師以及希望深入理解這一前沿數學工具的讀者，係統地梳理分數階微積分的理論基石。本書著重於構建一個紮實且清晰的數學框架，為後續應用篇章（第2捲及更高捲）打下堅實的基礎。全書內容緊密圍繞分數階導數和積分的定義、基本性質、關鍵函數關係以及必要的分析工具展開，嚴格避免瞭對具體物理模型或工程案例的直接應用討論。 第一部分：基礎概念的重塑與拓展 本書伊始，便對傳統整數階微積分進行瞭迴顧和必要的概念拓展，為引入“非整數階”的概念做鋪墊。我們將從曆史背景入手，簡要介紹分數階微積分（Fractional Calculus, FC）的起源，包括萊布尼茨和李歐維爾早期的探索，強調其並非現代數學的突發奇想，而是對傳統微積分概念的自然延伸。 核心章節首先聚焦於分數階導數與積分的定義。我們詳細探討瞭曆史上和現代應用中最核心的幾種定義，包括： 1. 黎曼-李歐維爾（Riemann-Liouville, R-L）分數階導數與積分： 深入解析其捲積結構和與常規積分的關係，探討其在左側、右側及雙邊定義下的區彆與聯係，並詳細推導其在特定函數（如冪函數、指數函數）上的運算結果。 2. 卡普托（Caputo）分數階導數： 闡述 Caputo 定義作為工程應用中初始條件的自然選擇的重要性，並提供其與 R-L 定義之間的轉換公式，分析兩者在處理實際問題時的實際差異。 3. 格林尼斯-古爾斯基（Grünwald-Letnikov, G-L）定義： 從離散化的角度，基於泰勒展開的推廣來引入 G-L 定義，這為數值方法的實現提供瞭直觀的理解基礎。 在定義層麵，本書強調瞭分數階微積分的非局部性（Non-locality）這一本質特徵，並通過對比，清晰地展示瞭它與傳統微積分在算子性質上的根本區彆。 第二部分：關鍵函數與積分變換 分數階微積分的理論發展與特定數學函數的推廣密不可分。本書將大量篇幅用於介紹和分析在分數階分析中扮演核心角色的特殊函數： 1. 伽馬函數（Gamma Function）與貝塔函數（Beta Function）： 作為分數階微積分運算的“權重因子”，本書不僅迴顧瞭它們的積分定義和基本性質，更側重於探討它們在分數階積分算子中的具體作用機製。 2. 廣義超幾何函數（Generalized Hypergeometric Functions）與米塔格-萊夫勒函數（Mittag-Leffler Function, MLF）： MLF 被譽為分數階微積分中的“指數函數”，本書將詳細分析其單參數和雙參數形式的收斂性、漸近行為，以及它如何替代傳統指數函數在分數階微分方程的解中齣現。我們將深入探討 MLF 在復平麵上的性質及其與貝塞爾函數、誤差函數之間的關係。 此外，為瞭有效地求解分數階微分方程，積分變換方法是不可或缺的工具。本書係統地介紹瞭傅裏葉變換（Fourier Transform）和拉普拉斯變換（Laplace Transform）在分數階微積分中的推廣應用。我們將推導分數階導數和積分在這些變換下的對應關係，這為後續使用代數方法求解微分方程提供瞭強大的代數工具箱。 第三部分：分數階算子的性質與分析工具 在理解瞭基本定義和核心函數之後，本書轉入更深層次的分析，探討分數階算子自身的數學性質： 1. 分數階算子的半群性質： 分析重復應用分數階算子時，其行為是否構成一個半群結構，以及這對理論推導的意義。 2. 連續性、可微性與積分的可交換性： 詳細分析不同分數階導數（如 R-L 和 Caputo）在特定函數空間中的連續性和可微性條件。特彆是，對於不同階數的分數階積分和導數，其運算順序（如 $mathcal{D}^alpha mathcal{D}^eta f$ 與 $mathcal{D}^eta mathcal{D}^alpha f$）的交換性問題將進行嚴格的論證。 3. 分數階微積分的矩陣錶示： 探討在有限維近似框架下，如何將分數階算子轉化為帶有特定核函數的矩陣形式，為數值分析和綫性係統理論的讀者提供一個可操作的視角（但本書不對具體的數值算法做展開）。 第四部分：與經典算子的聯係與推廣 本捲的最後部分，緻力於將分數階微積分的理論與更廣泛的數學領域連接起來： 1. 與積分變換的深入關聯： 除瞭拉普拉斯變換外，本書還將介紹富裏埃-塞爾維（Fourier-Stieltjes）變換在分數階積分中的作用，以及分數階捲積與相關變換之間的關係。 2. 分數階微積分的泛函空間理論基礎： 簡要介紹 Sobolev 空間在分數階導數定義下的推廣形式，為理解分數階偏微分方程（PDEs）的解的存在性和唯一性提供必要的背景知識。 本書特點： 本書的結構是高度模塊化和理論驅動的。它完全專注於“數學基礎及其理論”的構建，確保讀者能夠清晰地區分不同定義帶來的理論差異。全書語言嚴謹，推導詳盡，力求在嚴密性與可讀性之間取得平衡，是物理和工程領域研究人員係統學習分數階微積分數學內核的理想入門教材。本書不涉及任何具體的物理模型（如粘彈性、擴散、介電響應等）的建立或求解，而是將所有精力投入到為這些應用提供堅不可摧的數學地基之上。

評分☆☆☆☆☆

坦白講，我選擇這本書，主要是衝著它“物理及工程”這個副標題來的，我原以為它會在數學理論的講解之後，立刻接上大量的應用案例，讓我看到分數階微積分是如何解決實際問題的。然而，這本書似乎把大量的篇幅都放在瞭“數學基礎及其理論”上，對於我這個更側重應用的學習者來說，這多少有些本末倒置。我嘗試著去理解書裏介紹的那些復數積分、積分變換等高級數學工具，但這些工具本身就已經足夠復雜，更不用說它們在分數階微積分中的具體應用方式瞭。我期待的是，當書裏介紹一個數學概念時，能夠立刻給我一個與之相關的物理或工程背景的例子，說明為什麼我們需要這個概念，它解決瞭什麼問題，而不是孤立地介紹理論。例如，在講到某些特殊函數時，我希望知道這些函數是如何在物理係統裏齣現的，它們代錶瞭什麼物理量。目前來看，這本書更像是一本純粹的數學教材，而“物理及工程”的部分，感覺像是為瞭吸引讀者而添加的。我希望後續的捲冊能夠更深入地探討應用，或者至少在這一捲中，能穿插一些簡短的應用說明，讓我知道這些枯燥的數學理論最終的落腳點在哪裏。

評分☆☆☆☆☆

這本書的理論深度確實非同一般，作者在數學的嚴謹性上下瞭很大的功夫，這一點值得肯定。但是，對於一個希望通過這本書來快速上手分數維微積分，並將其應用於科研或工程項目的讀者來說，目前的進展讓我感到有些吃力。書裏涉及到大量的分析學、復變函數等內容，雖然這些都是分數階微積分的必備知識，但作者的講解方式，在我看來，更適閤已經具備紮實數學背景，並且對數學本身有濃厚興趣的讀者。我嘗試著去理解一些證明過程，但很多推導步驟省略得比較多，或者假設讀者已經掌握瞭相關的數學技巧。我期望的是，作者能夠為那些數學基礎相對薄弱，但有迫切應用需求的讀者，提供更詳細的講解和更易於理解的推導過程。例如，在引入黎曼-劉維爾定義的時候，作者可以花更多的時間去解釋為什麼需要引入“分數階”的概念，以及這個定義背後的數學邏輯。此外，書裏對於一些核心概念的引入，感覺有點突然，沒有一個循序漸進的過程，這讓我覺得難以把握整體的脈絡。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構安排，給我帶來瞭一些閱讀上的挑戰。它將數學基礎和理論放在如此突齣的位置，雖然說“萬丈高樓平地起”，但對於一個希望快速掌握並應用新知識的讀者而言，這種“平地”鋪設得過於冗長和復雜瞭。我試圖在閱讀過程中，去尋找那些能夠連接理論與實際的“閃光點”，比如某些定理的引申應用，或者某個概念被提及可能與某類物理問題相關。然而，這些聯係往往非常微弱，需要讀者自己具備相當的背景知識纔能捕捉到。我更希望的是，書中能在介紹數學工具的同時，就巧妙地植入一些簡短的、有啓發性的應用案例，讓我能夠隨時“錨定”理論學習的方嚮，知道我學到的這些概念最終是為瞭解決什麼問題。例如，在講解某個分數階積分算子時，如果能立刻提及它在模擬阻尼振動中的作用，哪怕隻是幾句話，也能極大地增強我的學習動力和理解深度。目前，這種理論與實踐的脫節感，讓我覺得學習過程有些單調和枯燥。

評分☆☆☆☆☆

我原本對這本書充滿瞭期待，特彆是看到作者是領域內的專傢，又加上“物理及工程”這樣的標題，我以為會有一場關於分數維微積分在實際問題中應用的精彩的數學之旅。然而，現實比預想的要“理論”得多。書的內容，大部分都圍繞著分數階導數和積分的各種定義、性質以及它們之間的關係展開，這確實是必要的基礎，但對我來說，這些數學的抽象性遠遠蓋過瞭潛在的應用價值。我反復閱讀瞭關於“格林函數”、“傅裏葉變換”等章節，希望能找到它們在分數階微積分框架下的獨特之處，但感覺更像是對現有數學工具的重新包裝，而非我期望的創新性應用。我希望書中能夠更清晰地展示，為什麼需要分數階導數來描述某些物理現象，它比整數階導數能提供什麼更優越的解釋能力。例如，在彈性力學或粘彈性材料的描述中，分數階導數是如何捕捉材料的記憶效應或曆史依賴性的，這一點我希望能有更具體的闡述。目前，我感覺自己像是站在一個巨大的數學寶庫門前，但鑰匙卻遺失瞭，無法真正進入探索寶藏。

評分☆☆☆☆☆

這本書我看瞭有一陣子瞭，但說實話，到目前為止，我腦子裏關於“分數維微積分”到底是個什麼東西，還是雲裏霧裏的。書的前麵部分，講的那些數學基礎，我自認為數學功底還可以，結果還是看得雲裏霧裏，很多符號和定義我需要反復查閱，感覺作者在解釋一些概念的時候，並沒有像我期待的那樣，從一個完全沒有接觸過這個領域的人的角度去引導。比如，對於“分數階導數”這個概念，它到底是怎麼從我們熟悉的整數階導數發展而來的，它背後有沒有什麼直觀的物理意義或者幾何意義，書裏並沒有給齣我能輕鬆理解的解釋。我本來是想通過這本書來拓寬我在物理建模方麵的思路，尤其是在處理一些非局域性的物理過程時，比如擴散、弛豫等，我知道分數階微積分在這方麵有很大的應用潛力。但現在，我甚至還沒能完全掌握它最基本的數學工具，更彆提去應用瞭。我希望這本書在講解數學概念的同時，能多一些類比、圖示，或者舉一些簡單的、容易理解的數學例子，來幫助我們這些“小白”建立起對這個抽象概念的直觀認識。目前的閱讀體驗，更像是在啃一本高深的數學專論，而不是一本麵嚮物理和工程領域應用的書籍。

評分☆☆☆☆☆

古人雲：“書中自有黃金屋，書中自有顔如玉。”可見，古人對讀書的情有獨鍾。其實，對於任何人而言，讀書最大的好處在於：它讓求知的人從中獲知，讓無知的人變得有知。讀史蒂芬?霍金的《時間簡史》和《果殼中的宇宙》，暢遊在粒子、生命和星體的處境中，感受智慧的光澤，猶如攀登高山一樣，瞬間眼前呈現齣仿佛九疊畫屏般的開闊視野。於是，便像李白在詩中所寫到的“廬山秀齣南鬥旁，屏風九疊雲錦張，影落明湖青黛光”。 對於坎坷麯摺的人生道路而言，讀書便是最佳的潤滑劑。麵對苦難，我們苦悶、彷徨、悲傷、絕望，甚至我們低下瞭曾經高貴驕傲的頭。然而我們可否想到過書籍可以給予我們希望和勇氣，將慰藉緩緩注入我們乾枯的心田，使黑暗的天空再現光芒？讀羅曼?羅蘭創作、傅雷先生翻譯的《名人傳》，讓我們從偉人的生涯中汲取生存的力量和戰鬥的勇氣，更讓我們明白：唯有真實的苦難，纔能驅除羅曼諦剋式幻想的苦難；唯有剋服苦難的悲劇，纔能幫助我們擔當起命運的磨難。讀海倫?凱勒一個個真實而感人肺腑的故事，感受遭受不濟命運的人所具備的自強不息和從容豁達，從而讓我們在並非一帆風順的人生道路上越走越勇，做命運真正的主宰者。在書籍的帶領下，我們不斷磨煉自己的意誌，而我們的心靈也將漸漸充實成熟。 讀書能夠蕩滌浮躁的塵埃汙穢，過濾齣一股沁人心脾的靈新之氣，甚至還可以營造齣一種超凡脫俗的嫻靜氛圍。讀陶淵明的《飲酒》詩，體會“結廬在人境，而無車馬喧”那種置身鬧市卻人靜如深潭的境界，感悟作者高深、清高背後所具有的定力和毅力；讀世界經典名著《巴黎聖母院》，讓我們看到如此醜陋的卡西莫多卻能夠擁有善良美麗的心靈、淳樸真誠的品質、平靜從容的氣質和不卑不亢的風度，他的內心在時間的見證下摺射齣耀人的光彩，使我們在尋覓美的真諦的同時去追求心靈的高尚與純潔。讀王濛的《寬容的哲學》、林語堂的《生活的藝術》以及古人流傳於世的名言警句，這些都能使我們擁有誠實捨棄虛僞，擁有充實捨棄空虛，擁有踏實捨棄浮躁，平靜而坦然地度過每一個晨曦每一個黃昏。前閤作的成果，1959年由中華書局上海編輯所（簡稱“中華上編”，上海古籍齣版社的前身）齣版，1962年又重印過一次。因為曆史原因，當時刊行的校點本上並沒有蔣、章二師的署名，僅在“齣版說明”裏簡略地提及“采用蔣天樞先生校本，加以勘正”。

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物理及工程中的分數維微積分（第1捲）：數學基礎及其理論----是本好書

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很好。