奥数小丛书（第二版）高中卷4（平均值不等式与柯西不等式） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李胜宏，边红平 著

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• 奥数
• 高中数学
• 平均值不等式
• 柯西不等式
• 数学竞赛
• 解题技巧
• 第二版
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• 拔尖训练

出版社： 华东师范大学出版社

ISBN：9787561793114

版次：2

商品编码：11060226

包装：平装

丛书名： 数学奥林匹克小丛书

开本：16开

出版时间：2012-01-01

页数：183

内容简介

《平均值不等式与柯西不等式（第2版）》主要介绍平均值不等式和柯西不等式。用不同方法证明了这两个基本的不等式，并涉及证明一般不等式问题的常用方法和技巧。同时介绍了几个常见的著名不等式，如排序不等式、赫尔德不等式、契比雪夫不等式和闵可夫斯基不等式，内容丰富、全面。重点介绍了平均值不等式和柯西不等式在证明不等式和求最值等问题中的应用。本书所讨论的题目，大多是国内外数学竞赛试题，具有一定的代表性，其证明有一定的技巧。希望读者仔细琢磨，多想多练，从而提高解题能力和水平。

作者简介

李胜宏，浙江大学教授，博士生导师，从事金融数学研究。多次参加全国高中数学联赛、全国中学生数学冬令营和IMO中国国家集训队的命题和辅导工作。

边红平，中学数学特级教师，全国优秀教师，湖北省十大名师，中国数学奥林匹克高级教练，武汉市十佳模范共产党员。先后在武钢三中和乐成公立寄宿学校工作，独立辅导的学生付雷、郑志伟、李嘉伦获得国际数学奥林匹克金牌，周游获得银牌：独立指导的学生有100多人次获得全国高中数学联赛一等奖，40多人次进人全国中学生数学冬令营。多次担任女子数学奥林匹克和中国西部数学奥林匹克主试委员会委员。出版的书籍和发表论文约280余万字，曾任《数学通讯》、《中学数学》等杂志的编委。

目录

1 平均值不等式及其证明
1.l 平均值不等式
1.2 平均值不等式的证明
习题1

2 平均值不等式的应用
2.1 平均值不等式在不等式证明中的应用
2.2 平均值不等式在求极值中的应用
2.3 平均值不等式在几何不等式中的应用
2.4 平均值不等式的变形及应用
2.5 带参数的平均值不等式
习题2

3 柯西不等式及其证明
3.1 柯西不等式及其证明
3.2 柯西不等式的变形和推广
习题3

4 柯西不等式的应用
4.1 柯西不等式在证明不等式中的应用
4.2 柯西不等式在解方程组和求极值中的应用
4.3 柯西不等式在证明分式不等式中的应用
4.4柯西不等式在组合计数估计中的应用
4.5 带参数的柯西不等式
4.6 利用平均值不等式与柯西不等式解题
习题4
习题解答
参考文献

前言/序言

《奥数小丛书（第二版）高中卷4：平均值不等式与柯西不等式》 前言 数学的魅力，在于其简洁严谨的逻辑，在于其揭示万物运行规律的深刻洞察。而在数学的诸多分支中，不等式以其独特的视角，为我们提供了一种审视数量关系、揭示事物发展趋势的强大工具。平均值不等式和柯西不等式，作为高中数学中不等式部分的璀璨明珠，不仅在理论研究中占据着举足轻重的地位，更在解决各类数学问题，甚至在物理、经济等学科的应用中，展现出不可替代的价值。 本册《奥数小丛书（第二版）高中卷4：平均值不等式与柯西不等式》正是为了带领读者深入探索这两个基本且重要的不等式而精心编著。我们力求在保留数学严谨性的前提下，以清晰易懂的语言、层层递进的逻辑，将抽象的数学概念具象化，将复杂的数学技巧条理化。本书并非对已有知识的简单罗列，而是旨在培养读者独立思考、灵活运用数学工具解决问题的能力，激发读者对数学的浓厚兴趣。 内容概述 本册书籍将围绕以下两个核心主题展开，并辅以丰富的例题和练习，帮助读者夯实基础，掌握精髓： 第一部分：平均值不等式 平均值不等式，顾名思义，是通过比较不同类型的平均值来建立不等关系。其最基本的形式，算术平均数与几何平均数之间的不等式（AM-GM不等式），是其中最为人熟知和应用广泛的一个。 1. 基本概念与形式： 算术平均数 (AM): 对于一组非负实数 $a_1, a_2, dots, a_n$，其算术平均数为 $frac{a_1 + a_2 + dots + a_n}{n}$。 几何平均数 (GM): 对于一组非负实数 $a_1, a_2, dots, a_n$，其几何平均数为 $sqrt[n]{a_1 a_2 dots a_n}$。 AM-GM不等式： 对于任意 $n$ 个非负实数 $a_1, a_2, dots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + dots + a_n}{n} ge sqrt[n]{a_1 a_2 dots a_n}$。 等号成立的条件： 当且仅当 $a_1 = a_2 = dots = a_n$ 时，等号成立。 我们将详细阐述AM-GM不等式的多种形式，包括对两个非负实数的AM-GM不等式，以及其推广形式。理解等号成立的条件是应用AM-GM不等式解决问题的关键，我们将对此进行深入的讲解和分析。 2. 证明方法与思想： 数学归纳法： 这是证明AM-GM不等式最严谨和基础的方法之一。我们将展示如何运用数学归纳法，从基本情况出发，逐步推广到任意 $n$ 个非负实数。 均值不等式的变体证明： 除了标准的数学归纳法，我们还将介绍一些巧妙的证明方法，例如利用 Jensen 不等式，或者一些几何意义上的证明，帮助读者从不同角度理解不等式的本质。 均值不等式的思想： 核心思想在于“化积为和”或“化和为积”。当遇到求最值问题时，如果目标函数的形式可以看作是若干个数的和或积，并且这些数的和或积是常数，那么就可以考虑利用AM-GM不等式。 3. 平均值不等式的应用： 求最值问题： 这是AM-GM不等式最直接的应用。 定积求和最小值： 当若干个正数的积为常数时，求其和的最小值。例如，已知 $xy = 100$ ($x,y>0$)，求 $x+y$ 的最小值。 定和求积最大值： 当若干个正数的和为常数时，求其积的最大值。例如，已知 $x+y = 20$ ($x,y>0$)，求 $xy$ 的最大值。 函数的最值： 将复杂函数表达式转化为若干个代数式的和或积，通过AM-GM不等式求解。 证明其他不等式： AM-GM不等式可以作为基础，用来推导和证明其他更复杂的不等式。 几何问题： 在解决几何问题时，往往会涉及边长、面积、体积等量之间的关系，AM-GM不等式可以为求解这些问题提供有力的工具。例如，在固定周长的情况下，求矩形面积的最大值（正方形）。 实际应用举例： 简要提及 AM-GM 不等式在实际生活中的一些应用，例如优化资源配置、工程设计中的效率最大化等（在此不展开具体细节，重点在于数学应用）。 4. 其他平均值不等式： 平方平均数 (RMS): $sqrt{frac{a_1^2 + a_2^2 + dots + a_n^2}{n}}$ 调和平均数 (HM): $frac{n}{frac{1}{a_1} + frac{1}{a_2} + dots + frac{1}{a_n}}$ 功率平均数 (PM): $M_p(a_1, dots, a_n) = left(frac{a_1^p + dots + a_n^p}{n} ight)^{1/p}$ 我们将介绍这些平均值之间的关系，即 $RMS ge AM ge GM ge HM$ (对于正数)。这些不等式在某些特定的问题中，比 AM-GM 不等式更为适用，我们将通过实例展示它们的用法。 第二部分：柯西不等式 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），也称为施瓦茨不等式，是另一个在数学中具有极其广泛应用的不等式，尤其在代数、几何和微积分中。它将两个向量（或数列）的内积（或乘积之和）与它们的模（或平方和）联系起来。 1. 基本概念与形式： 向量形式： 对于任意两个 $n$ 维向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, b_n)$，有 $(mathbf{a} cdot mathbf{b})^2 le |mathbf{a}|^2 |mathbf{b}|^2$，即 $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n)^2 le (a_1^2 + a_2^2 + dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + dots + b_n^2)$。 数列形式： 对于任意两组实数 $a_1, a_2, dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, dots, b_n$，有 $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n)^2 le (a_1^2 + a_2^2 + dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + dots + b_n^2)$。 等号成立的条件： 当且仅当向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 线性相关，即存在一个常数 $lambda$ 使得 $a_i = lambda b_i$ (或 $b_i = lambda a_i$) 对所有 $i$ 成立时，等号成立。 我们将深入理解柯西不等式的不同表述形式，以及等号成立条件的几何和代数意义。 2. 证明方法与思想： 构造法（判别式法）： 这是证明柯西不等式最经典和常用的方法之一。我们可以构造一个关于参数 $t$ 的二次函数 $f(t) = sum_{i=1}^n (a_i t + b_i)^2$。由于 $f(t) ge 0$ 对于所有实数 $t$ 都成立，我们可以通过判别式小于等于零来得到柯西不等式。 向量法： 利用向量点积的性质和三角不等式来证明。 拉格朗日恒等式： 利用拉格朗日恒等式来推导柯西不等式。 柯西不等式的思想： 核心思想是将两个数列（或向量）的“交叉积之和”与它们各自“平方和之积”联系起来。它提供了一种在不知道具体数值的情况下，估计两个量之间关系的方法。 3. 柯西不等式的应用： 求最值问题： 柯西不等式是解决一类重要最值问题的有力工具。 定和（或定积）求“交叉积之和”的最大值： 例如，已知 $x^2+y^2=1$，求 $2x+3y$ 的最大值。 定“交叉积之和”求“平方和”的最值： 例如，已知 $x+y=10$，求 $x^2+y^2$ 的最小值。 证明其他不等式： 柯西不等式可以用来证明很多其他重要不等式，例如均值不等式、三角不等式等。 几何问题： 在解析几何中，柯西不等式可以用来处理直线与圆的位置关系，以及求解距离等问题。 概率论和统计学： 柯西不等式在概率论中的重要不等式（如切比雪夫不等式）的证明中也有应用。 复数域上的应用： 柯西不等式在复数域上也有推广，可以处理复数之和的模的平方与复数模的平方之积的关系。 4. 柯西不等式的推广形式： 闵可夫斯基不等式 (Minkowski Inequality)： 柯西不等式可以看作是闵可夫斯基不等式在 $p=2$ 时的特例。 Hölder 不等式： 柯西不等式是 Hölder 不等式在 $p=q=2$ 时的特例。 我们将简要介绍这些更一般的形式，帮助读者建立更广阔的数学视野。 学习方法与建议 理解而非死记： 对于每一个不等式，务必理解其几何意义和代数意义。理解等号成立的条件是解决问题的关键。 多做例题： 本书提供了大量的例题，覆盖了不同类型和不同难度的题目。认真理解例题的解题思路和技巧，并尝试独立完成。 勤加练习： 练习是检验和巩固学习成果的最佳途径。请务必完成书后的练习题，并在遇到困难时，回顾相关的例题和讲解。 举一反三： 在解决具体问题时，尝试思考是否存在其他方法，或者能否将该问题推广到更一般的情况。 循序渐进： 从基本概念入手，逐步深入到复杂应用。如果遇到暂时难以理解的内容，不要急躁，可以先跳过，稍后再回头攻克。 联系实际： 尝试寻找不等式在实际生活或其他学科中的应用，可以加深对数学的理解和兴趣。 结语 平均值不等式和柯西不等式是数学王国中两颗璀璨的明珠，它们以其简洁而强大的力量，帮助我们洞察数量关系的奥秘，解决层出不穷的数学难题。希望本册《奥数小丛书（第二版）高中卷4：平均值不等式与柯西不等式》能够成为您探索数学世界的得力助手，引领您领略不等式数学的无穷魅力，激发您对数学学习的热情。让我们一起在数学的星空中，勇敢地遨游，探索未知，发现真理。

评分☆☆☆☆☆

从书的整体风格来看，我感觉它试图在严谨性与易读性之间找到一个绝佳的平衡点。我留意到，作者在讲解一些相对复杂的概念时，会适当地穿插一些历史背景或者名人轶事，这不仅增加了知识的趣味性，也让这些抽象的数学思想变得更加鲜活和有温度。而且，书中的插图虽然不多，但每一张都恰到好处，能够清晰地图示出数学模型或者几何结构，极大地辅助了理解。对于我这种视觉型学习者来说，这种图文并茂的设计，能够极大地提升我的学习效率。总而言之，这本书给我留下了非常专业且人性化的印象。

评分☆☆☆☆☆

我是一个非常看重阅读体验的人，对于书籍的排版和设计有比较高的要求。这本书的字体大小适中，行距也十分合理，长时间阅读不会感到疲劳。即使在光线不是特别充足的环境下，书页的颜色和文字的对比度也足够清晰，这一点对于需要长时间伏案学习的读者来说，是非常重要的考量。我特别喜欢它在章节开头设置的小引子，它们往往用一种非常生活化或者具有启发性的方式引入即将要探讨的数学概念，这对于缓解学习数学的枯燥感非常有帮助。感觉作者在设计这本书的时候，充分考虑到了高中生的学习特点和心理需求，力求让数学学习的过程变得更加有趣和有效。

评分☆☆☆☆☆

这本书的纸质手感非常舒适，翻页时的声音也恰到好处，不会过于嘈杂，也不会过于沉闷。我喜欢它那种淡淡的纸香，让人感觉很放松。封面设计虽然不是那种特别张扬的风格，但却透露出一种沉稳和力量感，这与数学这门学科本身的特质非常契合。在翻阅的过程中，我注意到书页的折痕处处理得很到位，即便是弯折到最大程度，也不会轻易损坏。这说明在印刷和装订上，都是经过精心设计的，可以保证书籍的耐用性。对于一本需要经常使用的工具书来说，这一点尤为重要。

评分☆☆☆☆☆

一本数学书，拿到手里沉甸甸的，翻开第一页，油墨的清香就扑鼻而来，仿佛置身于知识的海洋。封面设计简洁大方，但又不失学术的严谨，字体清晰，排版合理，读起来让人赏心悦目。作为一个长期沉浸在数学世界的研究者，我深知一本好的数学书籍不仅在于内容的深度和广度，更在于其思想的启发性和逻辑的严密性。这本《奥数小丛书（第二版）高中卷4》在这一点上做得相当出色，虽然我还没有来得及深入研读所有章节，但仅凭初步的浏览，就足以让我感受到作者的用心良苦。书中的例题选取角度刁钻而又贴近实际，能够有效地引导读者从不同的角度去思考问题。而且，我注意到作者在一些关键概念的引入上，并没有直接给出定义，而是通过一系列巧妙的问题，让读者自己去发现和理解，这种“授人以渔”的方式，无疑更能激发学习者的主动性和创造力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧质量也让人眼前一亮。纸张的触感非常好，厚实且不易透页，即便是用钢笔书写，墨迹也不会晕染。封面采用的材质也很耐磨，即使经常翻阅，也不容易留下明显的划痕。我喜欢它那种低调的专业感，没有花哨的图饰，只有最纯粹的数学符号和文字，这恰恰符合我对一本严肃数学教材的期待。拿到书后，我迫不及待地翻阅了目录，虽然有些章节的标题我还需要进一步查阅资料来理解其具体内容，但这本身就构成了一种学习的动力。我觉得，一本好的数学书，就应该有这样的力量，它能够在你阅读的过程中，不断地为你打开新的视角，让你对已有的知识产生新的认识，并激发你去探索那些未知领域。

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东西很好，价格再便宜点就更好了！

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京东的东东不错,书看上去很精美!

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义务教育课本的内容可没这么大的强化力度。

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前天发货，昨天一天，今天就到了，还行。

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很好的一本书，买到就是赚到啦！

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在京东买了很多书，很满意，就不一一细评了，总之，物美价廉。

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给孩子买的，一次买了好多本。

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经典的奥数自学用书小蓝本

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学霸哥哥推荐的书，一定不会错