奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张垚 著

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• 高中卷11
• 数学
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出版社： 华东师范大学出版社

ISBN：9787561791684

版次：2

商品编码：11060225

包装：平装

丛书名： 数学奥林匹克小丛书

开本：16开

出版时间：2012-01-01

页数：194

内容简介

《组合数学（第2版）》由知识篇、方法篇、问题篇三部分组成，分别介绍了高中数学联赛中与组合问题相关的基础知识、基本方法和几类常见组合问题的解法。每个单元都配有例题和习题，习题均有解答。多数例题和习题选自近年来国内外数学竞赛中相当于全国高中数学联赛水平的试题，也包括少数冬令营和IMO中较易的试题以及作者自己编拟的问题。本书特别注意引导读者对解决问题的思想方法进行探索、分析和总结，希望对提高读者的数学修养和解决数学竞赛中组合问题的能力有所帮助。

作者简介

张垚，湖南师范大学数学与计算机科学学院教授，享受国务院政府特殊津贴，中国数学奥林匹克高级教练，美国《数学评论》评论员。曾任湖南省数学会副理事长兼普及工作委员会主任，并参与全国初中数学联赛、全国高中数学联赛等竞赛的命题工作。长期负责数学竞赛的培训工作，所指导的学生有50多人进入国家集训队，其中14人参加国际数学奥林匹克（IMO），共获得11枚金牌和3枚银牌。著作有《数学奥林匹克的理论、方法、技巧》、 《Combinatorial Problems inMathematical Competitions》等20部，发表学术论文100多篇。曾获湖南省优秀教师、全国优秀教师等称号，并获曾宪梓教育基金会高等师范院校教师奖、湖南省教委科技进步奖等奖励。

目录

知识篇
1 计数原理和计数公式
习题1
2 抽屉原理与平均值原理
习题2
3 母函数
习题3
4 递推数列
习题4

方法篇
5 分类和分步
习题5
6 对应方法
习题6
7 算二次方法
习题7
8 递推方法
习题8
9 染色方法和赋值方法
习题9
10 反证法和利用极端原理
习题10
11 局部调整方法
习题11
12 构造方法
习题12

问题篇
13 组台计数问题
习题13
14 存在性问题及组合问题中的不等式的证明
习题14
15 组合最值问题
习题15
习题解答

前言/序言

奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）—— 深度解析与精选习题 前言 组合数学，作为数学皇冠上一颗璀璨的明珠，以其独特的魅力和广泛的应用，吸引着无数求知者的目光。它不仅仅是一门抽象的学科，更是连接现实世界与数学逻辑的桥梁，渗透于我们生活中的方方面面，从日常生活中的概率计算，到计算机科学中的算法设计，再到经济学中的模型构建，组合数学无处不在，扮演着至关重要的角色。 高中阶段是培养数学思维、建立学科基础的关键时期。对于那些对数学怀有浓厚兴趣，渴望在数学领域深入探索的学生而言，组合数学的学习将是一次激动人心的智力冒险。它要求我们跳出固有的思维模式，学会从不同的角度审视问题，掌握计数、排列、组合、容斥原理、鸽巢原理等核心概念，并能够灵活运用这些工具解决各类数学挑战。 《奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）》正是应运而生，旨在为高中阶段的学习者提供一个系统、深入、且富有启发性的组合数学学习平台。本卷在延续“奥数小丛书”一贯的严谨风格和精炼内容的基础上，力求在内容的深度、广度和习题的针对性上实现新的突破。我们深知，学习组合数学不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是理解其背后的逻辑，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力。因此，本书在编写过程中，始终贯穿着“理通、法明、题精”的指导思想，力求让读者在掌握基本概念的同时，也能领略组合数学的思维之美。 第一部分：核心概念的精细剖析 本书的首要目标是为读者打下坚实的基础，因此，我们首先将聚焦于组合数学的核心概念，并进行详尽而富有逻辑的阐述。 计数原理的基石：加法原理与乘法原理 这是组合数学的“入门级”工具，看似简单，却蕴含着深刻的逻辑。我们将从最基础的实际场景出发，通过大量的例子，清晰地展示加法原理在“或”关系下的应用，以及乘法原理在“且”关系下的应用。例如，如何计算从不同类别中选择物品的总方法数，或者如何计算一系列连续动作的总组合数。我们将深入探讨这两个原理的适用条件和边界，避免混淆，确保读者能够准确地运用它们。 排列与组合：区分有序与无序的艺术 排列和组合是组合数学中最具代表性的两个概念，它们之间的核心区别在于“顺序”是否重要。我们将通过生动形象的比喻，例如排队和抽奖，来区分排列（ordered arrangement）和组合（selection）。 排列： 我们将详细讲解全排列、部分排列的概念，以及如何计算它们的数量。例如，计算n个不同元素的全排列有多少种方法，或者从n个不同元素中取出k个元素进行排列有多少种方法。我们将引入阶乘的概念，并解释其在排列计算中的关键作用。 组合： 同样，我们将深入解析组合的定义，以及如何计算组合数。例如，从n个不同元素中选出k个元素（不考虑顺序）有多少种方法。我们将重点介绍组合数的符号表示 C(n, k) 或 $inom{n}{k}$ ，并推导其计算公式。 排列与组合的联系与转化： 我们还将进一步探讨排列与组合之间的内在联系，以及如何在实际问题中进行相互转化。例如，一个排列问题可以分解为一个组合问题和一个排列问题。 多重集排列与组合：应对重复元素的挑战 现实世界中，元素往往不是互不相同的，可能存在重复。多重集的排列与组合是处理这类问题的关键。 多重集排列： 我们将介绍如何计算包含重复元素的排列数。例如，计算“aabbc”这五个字母可以组成的多少个不同的排列。我们将展示如何通过“除法原理”来解决这类问题，即总排列数除以重复元素的排列数。 多重集组合： 同样，我们将讨论从多重集中选择元素的组合数。例如，从若干个红球、若干个蓝球中选择若干个球的组合情况。我们将引导读者理解多重集组合的特性，并介绍一些常用的解决方法。 二项式定理与组合恒等式：揭示数字的规律 二项式定理是连接代数与组合数学的重要桥梁。 二项式定理： 我们将详细介绍二项式定理 $left(x+y ight)^n = sum_{k=0}^n inom{n}{k} x^{n-k} y^k$ ，并解释其中组合数 $inom{n}{k}$ 的几何意义。我们将通过展开一些简单的二项式，来直观理解定理的应用。 组合恒等式： 组合数学中存在许多优美而实用的恒等式，它们能够简化计算，揭示数学的深刻结构。我们将精选一些最重要、最常用的组合恒等式，例如“吸收恒等式”、“对称性恒等式”、“并项恒等式”等，并提供清晰的证明思路和应用示例。理解和掌握这些恒等式，将极大地提升解决组合问题的能力。 容斥原理：化繁为简的强大武器 容斥原理是解决“至少”、“至多”以及“都不”等问题的强大工具。 基本容斥原理： 我们将从简单的二集并集公式 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$ 出发，逐步扩展到三集合，乃至n集合的容斥原理。我们将通过具体的例子，例如计算不被某些条件同时限制的元素个数，来展示容斥原理的威力。 容斥原理的应用： 我们将展示容斥原理在数论、概率论等领域的典型应用，例如计算整数的整除性问题，或者计算满足特定条件的概率。 鸽巢原理：简单原则下的深刻洞察 鸽巢原理（也称为抽屉原理）虽然简单，但却能导出许多非平凡的结果。 基本鸽巢原理： 我们将用“鸽子”和“鸽巢”的形象比喻，清晰地阐述基本鸽巢原理：如果将n+1只鸽子放进n个鸽笼，那么至少有一个鸽笼里有两只或更多的鸽子。 推广鸽巢原理： 我们还将介绍推广的鸽巢原理，以及它在证明存在性问题上的重要作用。例如，如何证明在任意选取一组数时，总能找到若干个数的和能被某个数整除。 第二部分：精选习题与解题策略 理论学习的最终目的是为了解决实际问题。本书精选了一系列具有代表性、层次分明的习题，涵盖了组合数学的各个知识点，并注重题目的变化性和思维的启发性。 基础巩固题： 每节内容之后，都配有一定数量的基础题目，旨在帮助读者检验对基本概念的掌握程度，巩固计算能力。这些题目直接对应课本讲解的内容，难度适中，旨在让读者熟练运用公式和基本方法。 综合应用题： 在每个章节的末尾，我们将提供更具挑战性的综合性题目。这些题目往往需要读者综合运用多个知识点，进行多角度的分析和推理。解决这类题目，将能有效地提升读者的数学思维能力和解决复杂问题的能力。 思维拓展题： 为了激发读者的数学兴趣，培养创新思维，我们特别设置了一部分思维拓展题。这些题目可能涉及一些更深层次的概念，或者需要独特的解题思路。我们鼓励读者勇于尝试，从中获得乐趣和启发。 专题训练： 除了章节内的习题，我们还将针对一些重要的专题进行集中训练。例如，关于“不定方程整数解的组合计数问题”、“染色问题”、“路径计数问题”等，这些都是组合数学中经典而有趣的专题，通过专项训练，能够加深读者对这些专题的理解和掌握。 解题策略与方法指导 在提供习题的同时，本书还将贯穿始终地强调解题策略和方法。我们不仅仅给出答案，更重要的是引导读者思考“为什么”和“如何做”。 模型转化： 许多组合数学问题都可以转化为更熟悉的问题模型，例如将实际问题抽象为图论问题、代数问题或概率问题。我们将示范如何进行有效的模型转化。 构造法与构造性证明： 在某些问题中，通过构造特定的集合、序列或映射，能够直接导出问题的答案或证明。我们将展示构造法的应用技巧。 递推关系： 许多组合计数问题可以通过建立递推关系来解决。我们将介绍如何识别和建立递推关系，并利用数学归纳法或生成函数等方法求解。 分类讨论与排除法： 在复杂的计数问题中，学会合理地进行分类讨论，或者巧妙地运用排除法，能够大大简化问题。 反向思考与对称性： 有时从问题的反面入手，或者利用问题的对称性，能够找到更简洁的解题途径。 结语 学习组合数学，是一场思维的洗礼，更是一场智力的飞跃。它将教会我们如何精确地量化可能性，如何在看似混沌的世界中发现秩序，如何在有限的资源中做出最优的选择。《奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）》的编写，正是希望成为您在这条探索之路上的良师益友。 我们坚信，通过系统地学习本书的内容，勤奋地练习所提供的习题，并积极地思考解题方法，您一定能够在组合数学领域取得显著的进步，为未来的学习和研究打下坚实的基础。愿本书能点燃您对数学的热情，助您在组合的世界中翱翔，发现无尽的奥秘与乐趣！

评分☆☆☆☆☆

拿到《奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）》这本书，我的第一感觉就是“专业”。作为一名在奥数方面有一定基础的学生，我深知一本好的数学参考书的价值。这本书的内容深度和广度都非常令人满意，它覆盖了高中阶段组合数学的绝大部分核心内容，并且在一些专题的讲解上，甚至触及到了大学初等数论的知识。这种“超越性”的内容设计，对于那些希望在数学领域走得更远的学生来说，无疑具有极大的吸引力。我特别看重书中对于一些复杂问题的“拆解”和“组合”技巧的讲解，这对于我提升解题的效率和准确性至关重要。我期待着通过本书的学习，能够系统性地掌握组合数学的理论体系，并且能够灵活地运用这些知识去解决各类数学竞赛中的难题，进一步激发我对数学的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学竞赛有着浓厚兴趣的高中生，一直以来都在寻找能够帮助我提升数学能力的优质资源。这次拿到《奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）》，感觉像是找到了宝藏。我对组合数学这个分支一直都充满好奇，因为它涉及到的问题形式多样，变化万千，非常考验思维的灵活性。这本书的引入部分就非常吸引人，它用生动有趣的比喻和贴近生活的例子，为我们打开了组合数学的大门。我尤其喜欢书中对不同类型问题的分类和解析，这让我能够更有条理地去理解和学习。从简单的排列组合，到更复杂的抽屉原理、递推关系，再到抽象的生成函数，本书的编排逻辑性非常强，层层递进，让我在学习过程中不会感到迷茫。我特别期待书中关于“经典组合恒等式”的讲解，我相信掌握了这些恒等式，将有助于我更高效地解决问题，并且在竞赛中取得好成绩。

评分☆☆☆☆☆

对于我来说，数学不应该仅仅是枯燥的符号和公式，它更应该是一种思维的训练，一种解决问题的艺术。《奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）》恰恰给了我这样的感觉。这本书在讲解组合数学知识点时，非常注重思维方式的培养。它不仅仅告诉你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么这么做”，以及“还有没有其他方法”。我注意到书中大量的例题，不仅仅是答案的展示，更重要的是对解题思路的深度剖析，让我能够从中学习到解决不同问题的普适性方法。这种强调“思考过程”的教学方式，对于我这种希望提升数学思维深度和广度的学生来说，简直是太重要了。我尤其期待书中关于“图论在组合数学中的应用”这一章节，我一直对图论很感兴趣，希望能在这本书里看到它与组合数学的精彩结合。

评分☆☆☆☆☆

这次有幸接触到《奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）》，真的让我眼前一亮。作为一个对数学理论的严谨性要求比较高的学生，这本书在理论推导的部分给我留下了深刻的印象。它没有简单地罗列公式，而是深入浅出地讲解了每一个定理和引理的由来，以及它们之间的内在联系。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，对于我这种喜欢刨根问底的学生来说，简直是福音。书中对一些经典组合问题的分析，更是让我大开眼界，看到了许多我之前从未想过的解题角度。尤其是关于容斥原理的应用，书中给出了非常详尽的案例分析，让我能够清晰地看到它是如何一步步化繁为简，最终解决问题的。我非常欣赏作者在讲解过程中所展现出的数学智慧，这种智慧并非冰冷的公式堆砌，而是充满了灵动和创造力。我迫不及待地想要在这本书的指引下，去探索更多数学的奥秘，去挑战那些看似无解的难题，去感受数学思维的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

作为一名高中生，我对数学的热情可以说是从小就有的，尤其对那些挑战智力、锻炼思维的奥数题目情有独钟。这次拿到这本《奥数小丛书（第二版）高中卷11（组合数学）》，简直太惊喜了！虽然我还没来得及深入钻研，但仅仅翻阅目录和前几章，就已经让我跃跃欲试。组合数学这个专题，一直是我感觉既迷人又颇具挑战的领域。它不像一些纯粹的计算题那样有固定的套路，而是需要深刻的理解和巧妙的转化。这本书的排版设计得非常清晰，概念的讲解循序渐进，理论的阐述严谨而不失趣味性。我尤其看好它在例题设计上的用心，感觉每一道例题都是精心挑选，能够很好地引出相应的知识点和解题技巧。我期待着在这本书的引导下，能够更系统、更深入地理解排列、组合、鸽巢原理、生成函数等核心概念，并且掌握解决复杂组合问题的各种策略。我坚信，通过这本书的学习，我的逻辑思维能力和解决问题的能力一定能得到极大的提升，为将来的学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

很划算，还可以，物流很快

评分☆☆☆☆☆

好品质，大牌子认可度高，好品质，大牌子认可度高，好品质，大牌子认可度高，好品质，大牌子认可度高，

评分☆☆☆☆☆

前天发货，昨天一天，今天就到了，还行。

评分☆☆☆☆☆

物流很快 不错哦

评分☆☆☆☆☆

孩子学奥数需要的教程

评分☆☆☆☆☆

陆续凑单购买，缺一本就一整套了。

评分☆☆☆☆☆

学生感觉很好，有用。喜欢

评分☆☆☆☆☆

从个人经历来谈感受，奥数对我对理科的启蒙和训练，树立自己对理工科目学习的信心，起到了极强的作用。

评分☆☆☆☆☆

很经典的小蓝本，学竞赛的人都会买，看了，很不错，非常满意，纸的质量不错，最关键的是，内容很好，吸引人