数学经典教材：经典位势论及其对应的概率论（影印版）（英文版） [Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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[美] 杜布（Doob J.L.） 著

图书标签:

• 数学
• 位势论
• 概率论
• 经典教材
• 英文教材
• 影印版
• 理论数学
• 分析学
• 泛函分析
• Stochastic Processes

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510058417

版次：1

商品编码：11273583

包装：平装

外文名称：Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart

开本：24开

出版时间：2013-03-01

用纸：胶版纸

页数：846

正文语种：英文

内容简介

　　Potential theory and certain aspects of probability theory are intimately related， perhaps most obviously in that the transition function determining a Markov process can be used to define the Green function of a potential theory. Thus it is possible to define and develop many potential theoretic concepts probabilistically， a procedure potential theorists observe with jaun- diced eyes in view of the fact that now as in the past their subject provides the motivation for much of Markov process theory. However that may be it is clear that certain concepts in potential theory correspond closely to concepts in probability theory， specifically to concepts in martingale theory.For example， superharmonic functions correspond to supermartingales. More specifically： the Fatou type boundary limit theorems in potential theory correspond to supermartingale convergence theorems; the limit properties of monotone sequences of superharmonic functions correspond surprisingly closely to limit properties of monotone sequences of super- martingales; certain positive superharmonic functions [supermartingales] are called "potentials，" have associated measures in their respective theories and are subject to domination principles （inequalities） invomng the supports of those measures; in each theory there is a reduction operation whose properties are the same in the two theories and these reductions induce sweeping （balayage） of the measures associated with potentials， and，so on.

内页插图

目录

Introduction
Notation and Conventions
Part 1
Classical and Parabolic Potential Theory
Chapter I
Introduction to the Mathematical Background of Classical Potential Theory
1.The Context of Green's Identity
2.Function Averages
3.Harmonic Functions
4.Maximum-Minimum Theorem for Harmonic Functions
5.The Fundamental Kernel for RN and Its Potentials
6.Gauss Integral Theorem
7.The Smoothness of Potentials ; The Poisson Equation
8.Harmonic Measure and the Riesz Decomposition
Chapter II
Basic Properties of Harmonic, Subharmonic, and Superharmonic Functions
1.The Green Function of a Ball; The Poisson Integral
2.Hamack's Inequality
3.Convergence of Directed Sets of Harmonic Functions
4.Harmonic, Subharmonic, and Superharmoruc Functions
5.Minimum Theorem for Superharmonic Functions
6.Application of the Operation TB
7.Characterization of Superharmonic Functions in Terms of Harmonic Functions
8.Differentiable Superharmonic Functions
9.Application of Jensen's Inequality
10.Superharmonic Funaions on an Annulus
II.Examples
12.The Kelvin Transformation
13.Greenian Sets
14.The L1（uB_） and D（uB_） Classes of Harmonic Functions on a Ball B; The
Riesz-Herglotz Theorem
15.The Fatou Boundary Limit Theorem
16.Minimal Harmonic Functions
Chapter III
Infima of Families of Superharmonic Functidns
1.Least Superharmonic Majorant （LM） and Greatest Subharmonic Minorant （GM）
2.Generalization of Theorem I
3.Fundamental Convergence Theorem （Preliminary Version）
4.The Reduction Operation
5.Reduction Properties
6.A Smallness Property of Reductions on Compact Sets
7.The Natural （Pointwise） Order Decomposition for Positive Superharmonk
Functions
Chapter 1V
Potentials on Special Open Sets
1.Special Open Sets, and Potentials on Them
2.Examples
3.A Fundamental Smallness Property of Potentials
4.Increasing Sequences of Potentials
5.Smoothing of a Potential
6.Uniqueness of the Measure Determining a Potential
7.Riesz Measure Associated with a Superharmonic Function
8.Riesz Decomposition Theorem
9.Counterpart for Superharmonic Functions on R2 ofthe Riesz
Decomposition
10.An Approximation Theorem
Chapter V
Polar Sets and Their Applications
1.Definition
2.Superharmonic Functions Associated with a Polar Set
3.Countable Unions of Polar Sets
4.Properties ofPolar Sets
5.Extension of a Superharmonic Function
6.Greenian Sets in IR2 as the Complements of Nonpolar Sets
7.Superharmonic Function Minimum Theorem （Extension of Theorem I1.5）
8.Evans-Vasilesco Theorem
9.Approximation of a Potential by Continuous Potentials
10.The Domination Principle
I1.The Infinity Set of a Potential and the Riesz Measure
……

Part 2
Probabilistic Countrepart of Part 1
Part 3

经典力学基础与现代数学方法：跨越理论鸿沟的探索 本书以严谨的数学视角，深入剖析了经典物理学的核心理论基础，并侧重于现代分析工具在该领域中的应用。全书结构清晰，内容详实，旨在为读者构建一个坚实的理论框架，以理解和解决复杂物理系统中的关键问题。 本书并非直接涉及位势论或概率论的特定教材内容，而是聚焦于支撑这些高级理论的基础性数学工具、分析方法以及物理模型的构建与求解。我们致力于为那些希望从更深层次理解物理学数学内核的学者和高年级学生提供一份详尽的参考指南。 第一部分：分析基础与函数空间理论 本部分首先奠定了理解微分方程与积分方程所必需的泛函分析基础。我们细致地回顾了勒贝格积分理论的严格定义及其在测度空间上的推广，这是处理现代物理学中各种奇异函数和不连续解的关键。 1. 拓扑空间与度量空间： 我们从集合论的视角出发，构建了度量空间的拓扑结构，讨论了开集、闭集、紧致性（特别是 Heine-Borel 定理在有限维空间之外的推广难度）以及完备性的概念。重点分析了巴拿赫空间（Banach Space）和希尔伯特空间（Hilbert Space）的构造，强调了它们作为函数空间理论基石的重要性，特别是内积结构在傅里叶分析和算子理论中的决定性作用。 2. 算子理论的初步： 在函数空间内，物理量的演化往往通过线性算子来描述。本书详述了线性算子、有界线性算子和闭算子的定义。我们详细阐述了谱理论的物理意义，包括自伴随算子（Self-Adjoint Operators）的性质，这是量子力学中可观测量的数学基础。对紧算子（Compact Operators）的性质及其在特征值问题中的应用进行了深入探讨，这对于理解特定边界条件下的物理系统（如驻波或稳定态）至关重要。 3. 分布理论（Theory of Distributions）： 针对经典微分方程中常出现的狄拉克 $delta$ 函数和梯度项的解的困难，本书系统地介绍了 Schwartz 分布理论。我们详细解释了如何通过测试函数空间来定义分布，以及如何在分布意义下进行微分、积分和卷积运算。这为理解电磁场中的源项（如点电荷）以及接触不连续解的力学问题提供了必要的数学语言。 第二部分：偏微分方程的物理模型与求解策略 本部分将分析基础应用于经典物理学的核心：偏微分方程（PDEs）。我们将讨论描述连续介质、场论和波动现象的经典方程组，并侧重于求解方法的选择与实施。 1. 经典方程的分类与物理意义： 我们严格区分了椭圆型（如稳态问题）、抛物线型（如扩散过程）和双曲型（如波动传播）偏微分方程。对拉普拉斯方程、泊松方程、热传导方程（扩散方程）以及波动方程的物理背景进行了详尽的阐述，并讨论了它们在特定物理场景下的适用边界条件（狄利克雷、诺依曼以及周期性条件）。 2. 变分法与能量原理： 物理学中的许多基本定律都可以通过最小化某个泛函（能量）来表述。本书详细介绍了变分法的基本原理，特别是欧拉-拉格朗日方程的推导过程。我们展示了如何利用泛函求导技术，将物理系统的能量最小化问题转化为求解相应的偏微分方程，这种方法在弹性力学和流体力学中具有不可替代的地位。 3. 积分方程与格林函数方法： 当直接求解微分方程困难时，将问题转化为积分方程是一种强大的替代策略。本部分深入探讨了格林函数（Green's Function）的构造及其作为系统响应函数的作用。我们通过详细的步骤演示了如何利用格林函数将边界值问题转化为等效的积分方程，并讨论了Fredholm型积分方程的解的存在性与唯一性。特别关注了通过傅里叶变换和拉普拉斯变换在特定区域内构造格林函数的技巧。 第三部分：调和分析与渐近展开 本部分关注于系统在特定极限下的行为分析，这在处理高频现象、复杂几何体以及大时间尺度演化时至关重要。 1. 傅里叶分析的推广： 我们超越了标准的傅里叶级数和傅里叶变换，探讨了球谐函数（Spherical Harmonics）在三维问题中的应用，这对于处理具有球对称性的物理系统（如原子结构或星体引力场）至关重要。详细讨论了球谐函数系的正交性、完备性以及它们在求解拉普拉斯方程在球坐标系中的分离变量法中的关键作用。 2. 渐近分析技术： 许多物理问题无法得到精确解，因此需要有效的近似方法。本书系统地介绍了正规渐近展开（Regular Asymptotic Expansion）和奇异摄动法（Singular Perturbation Theory）。重点分析了WKBJ近似法在处理具有空间或时间依赖势能项下的波动问题（如半经典量子力学中的薛定谔方程）中的应用，展示了如何通过局域近似来获得物理上可解释的结果。 3. 边界层理论： 针对流体力学和粘性介质中速度梯度急剧变化的区域，我们引入了边界层理论。通过引入合适的无量纲化参数和局部坐标系，本书展示了如何将原有的复杂偏微分方程简化为更容易处理的常微分方程组，从而精确描述薄层内的物理效应。 结论与展望 本书的结构旨在构建一座坚实的桥梁，连接纯粹的数学分析与具体的物理问题。通过对算子理论、泛函分析、分布理论和高级偏微分方程求解技巧的详尽阐述，读者将获得处理现代物理学中各种复杂场论和连续介质问题的必备数学工具箱。本书为后续深入研究随机过程、量子场论或其他依赖于先进分析方法的领域奠定了无可替代的分析基础。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的“几何直觉”和“概率模型”两种不同的思维方式着迷，并且常常在想，是否有一些数学对象和概念，能够以某种方式同时用这两种视角来理解。位势论，在我看来，就具有这样的潜力。它既可以被看作是对某种“力场”的描述，蕴含着深刻的几何和物理直觉，又似乎与随机过程中的“漫游”或“扩散”有着千丝万缕的联系。我曾经在一些资料中看到过位势论与布朗运动的联系，但始终未能深入理解其背后的数学原理。这本《Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart》恰恰点燃了我对这个问题的探索欲。我期待它能够系统地介绍位势论的基本概念、定理和方法，比如调和函数、Green函数等等，并且更重要的是，能够清晰地阐述位势论的“概率对应”是如何构建的。我希望通过这本书，能够获得一种全新的理解位势问题的方式，将抽象的几何概念与生动的概率模型融会贯通。英文原版的影印本，也让我能够最大限度地保留原著的严谨性和思想的纯粹性，这对于真正掌握一门深奥的学科至关重要。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我选择这本书，很大程度上是被其“经典”和“对应”这两个关键词所吸引。在学习数学的过程中，我越来越体会到经典著作的重要性，它们往往凝聚了前人最深刻的智慧和最成熟的体系。位势论，这个听起来就充满力量和影响力的数学分支，一直是我想要深入探索的领域。然而，很多时候，我们接触到的位势论知识点往往是散落的，比如在偏微分方程、复变函数等课程中偶尔提及。我一直渴望一本能够系统性地、从头开始讲解位势论的教材，能够让我建立起完整而扎实的理论基础。而“概率论的对应”这个表述，则更是激发了我强烈的好奇心。我一直对随机过程和概率论在描述自然现象中的强大能力感到惊叹，如果位势论与概率论之间真的存在一种深刻的“对应”关系，那将是何等美妙的数学图景！我迫切地希望这本书能够揭示这种联系，让我看到如何运用概率的语言来理解和解决位势问题，反之亦然。影印版的英文原版，也意味着我可以接触到最原始、最权威的学术思想，这种体验对于我这样的学习者来说，是无价的。

评分☆☆☆☆☆

在我的学习生涯中，总有一些数学领域让我感到既敬畏又好奇，位势论便是其中之一。它似乎是一种能够描述“影响”和“分布”的通用语言，触及了物理学、工程学乃至更广泛的科学领域。然而，我总觉得在现有的课程体系中，我对位势论的理解还不够深入和系统。我常常在想，那些描述场的数学理论，是否也能用概率的语言来描绘？《Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart》这个书名，简直像为我量身定制的。它明确指出了位势论的“经典”地位，暗示了其理论的成熟与重要，同时，“与其对应的概率论”则像一把钥匙，预示着一种能够连接两个看似不同领域的美妙桥梁。我迫切地希望这本书能够带领我深入理解位势论的核心思想，比如调和函数的性质，以及不同边界条件下的势的构造。更吸引我的是，它将如何“对应”地引入概率论的工具，比如随机游走、马尔可夫链，来分析这些位势问题。我期待这种“对应”能够提供更直观的理解，甚至是一些全新的计算方法。作为一本英文原版的影印本，我更是将其视为一种原汁原味的学术体验，能够直接与大师的思想对话，这是我一直在寻找的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁大方，厚实的纸张散发着知识的沉淀感。我一直对数学中的“势”这个概念很着迷，总觉得它蕴含着某种深刻的物理或几何意义。然而，在本科学习过程中，对位势论的接触虽然有过，但总感觉隔靴搔痒，未能深入理解其精髓。我一直希望能找到一本能够系统性地阐述位势论的著作，并且最好能与相关的概率论知识相结合，因为我模糊地记得它们之间存在着某种美妙的联系。这本《Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart》的书名立刻吸引了我，它直击了我对于位势论和概率论之间联系的渴望。英文原版的影印版，更是让我看到了原汁原味的学习体验，能够接触到作者最原始的思考和论述，这对于理解这样一门抽象且深邃的学科来说至关重要。我期待这本书能够带领我穿越枯燥的公式和符号，去感受位势论那如同空气般无处不在的影响力，以及它在描述自然现象中所扮演的优雅角色。同时，我也非常好奇，概率论是如何“对应”位势论的，这种对应又将如何揭示出更深层次的数学规律。这本书的出现，无疑是我在数学探索道路上的一次重要发现，我迫不及待地想翻开它，开启这段未知的旅程。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的抽象美有着近乎痴迷的追求，尤其钟爱那些能够连接不同数学分支的桥梁性著作。位势论，这个名字本身就带着一种神秘的吸引力，仿佛描绘着一种无形的“力量”的分布与影响。在许多物理现象中，比如引力场、电场，甚至热传导，我们都能看到位势论的身影。然而，在我的求学过程中，总是感觉位势论的教学要么过于偏重应用，要么过于碎片化，难以形成一个完整的、系统的认知体系。我深信，真正的数学之美，在于其内在的统一性和深刻的联系，而《Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart》这个书名，恰恰暗示了位势论与概率论之间可能存在的深刻关联。我一直对随机过程和马尔可夫链有着浓厚的兴趣，并且隐约感觉到它们与某些势场或随机游走有着千丝万缕的联系。这本书似乎正是弥合这一认知鸿沟的绝佳选择。我期待它不仅能深入阐述位势论的核心概念和方法，更重要的是，能够展现概率论如何以一种“对应”的方式，为我们理解和分析位势问题提供全新的视角和强大的工具。一本优秀的英文原版影印教材，更是意味着我可以沉浸在最纯粹的数学语言中，体会原作者的精妙构思，而无需担心翻译带来的信息损失。

评分☆☆☆☆☆

包装印刷质量很好，希望这样的书多一些才好

评分☆☆☆☆☆

Doob概率界的牛人，他的这本书绝对称得上巨著，概率必备的专业书籍，

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

我喜欢看书，喜欢看各种各样的书，看的很杂，文学名著，流行小说都看，只要作者的文笔不是太差，总能让我从头到脚看完整本书。只不过很多时候是当成故事来看，看完了感叹一番也就丢下了。所在来这里买书是非常明智的。然而，目前社会上还有许多人被一些价值不大的东西所束缚，却自得其乐，还觉得很满足。经过几百年的探索和发展，人们对物质需求已不再迫切，但对于精神自由的需求却无端被抹杀了。总之，我认为现代人最缺乏的就是一种开阔进取，寻找最大自由的精神。中国人讲虚实相生，天人合一的思想，于空寂处见流行，于流行处见空寂，从而获得对于道的体悟，唯道集虚。这在传统的艺术中得到了充分的体现，

评分☆☆☆☆☆

一本好书，送货速度很快

评分☆☆☆☆☆

我喜欢看书，喜欢看各种各样的书，看的很杂，文学名著，流行小说都看，只要作者的文笔不是太差，总能让我从头到脚看完整本书。只不过很多时候是当成故事来看，看完了感叹一番也就丢下了。所在来这里买书是非常明智的。然而，目前社会上还有许多人被一些价值不大的东西所束缚，却自得其乐，还觉得很满足。经过几百年的探索和发展，人们对物质需求已不再迫切，但对于精神自由的需求却无端被抹杀了。总之，我认为现代人最缺乏的就是一种开阔进取，寻找最大自由的精神。中国人讲虚实相生，天人合一的思想，于空寂处见流行，于流行处见空寂，从而获得对于道的体悟，唯道集虚。这在传统的艺术中得到了充分的体现，

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