数学分析（第二册）：多元微积分/西北工业大学规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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丁晓庆 著

图书标签:

• 数学分析
• 多元微积分
• 微积分
• 高等数学
• 西北工业大学
• 规划教材
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• 理工科
• 数学

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302353201

版次：1

商品编码：11436593

品牌：清华大学

包装：平装

丛书名： 西北工业大学规划教材

开本：16开

出版时间：2014-04-01

用纸：胶版纸

页数：290

字数：405000

正文语种：中文

内容简介

《数学分析(第二册)：多元微积分》，本书介绍多元函数的微积分， 包括极限、微分、积分、函数项级数、偏积分(含参变量的积分)。 在这一册里， 比较系统地研究了分析运算的换序问题， 研究了偏积分的一般理论。

内页插图

目录

第11章 常见点集的结构点列的极限
11.1 平面点集的结构二维空间R2
11.2 空间点集的结构三维空间R3
11.3 n维空间Rnn维空间点集的结构
11.4 点列的极限
11.5 闭集套定理有限覆盖定理聚点原理

第12章 多元函数的极限和连续性
12.1 多元函数的概念
12.2 多元函数的极限
12.3 偏极限累次极限换序的充分条件
12.4 累次极限的换序公式和换序准则
12.5 多元函数的连续性
12.6 多元向量值函数场的概念
12.7 向量值函数的极限连续曲面的参数方程
12.8 向量值连续函数的性质

第13章 多元函数的偏导数微分
13.1 偏导数的概念
13.2 高阶偏导数
13.3 多元函数的微分
13.4 复合函数的求导法则微分的形式不变性
13.5 微分中值定理Taylor公式

第14章 向量值函数的微分函数方程与隐函数
14.1 二元向量值函数的偏导向量微分
14.2 n元向量值函数的偏导向量微分
14.3 开映射定理局部逆映射定理
14.4 逆映射存在的充分条件逆映射的性质
14.5 函数方程及其解函数概述隐函数的概念
14.6 隐函数的微分
14.7 隐函数存在定理

第15章 多元函数微分学的一些应用
15.1 曲面的切平面和法向量曲线的切线
15.2 方向导数与梯度
15.3 多元函数的最值极值Fermat原理
15.4 条件最值条件极值Lagrange乘数法

第16章 函数列的收敛性
16.1 函数列的极限概念
16.2 一致收敛性的判定
16.3 极限函数的极限连续微分
16.4 极限与定积分的换序控制收敛定理
16.5 极限与广义积分的换序单调收敛定理
16.6 控制收敛定理的证明

第17章 函数项级数的一般理论Taylor级数Fourier级数
17.1 函数项级数的概念及其收敛性
17.2 函数项级数的极限连续微分
17.3 函数项级数的积分
17.4 分式级数函数项无穷乘积
17.5 幂级数及其一般性质
17.6 Taylor级数
17.7 Fourier级数

第18章 二元函数的偏极限与偏积分
18.1 二元函数的偏极限
18.2 狭义偏积分
18.3 广义偏积分的收敛性
18.4 广义偏积分的极限和连续性
18.5 广义偏积分的微分
18.6 “有限区间×无限区间”上累次积分的换序
18.7 “无限区间×无限区间”上累次积分的换序
18.8 Beta函数Gamma函数
18.9 F（s）的有限展开
18.10 Fourier变换正余弦变换
……
第19章 曲线积分
第20章 二重积分
第21章 曲面积分
第22章 三重积分多重积分
参考文献

数学分析（第二册）：多元微积分/西北工业大学规划教材 图书简介 《数学分析（第二册）：多元微积分》是西北工业大学规划教材系列中的重要组成部分，旨在为高等院校数学专业、应用数学、物理学、工程学等相关专业的学生提供全面、深入、严谨的多元微积分知识体系。本书立足于分析学的基本概念和理论基础，系统地阐述了多变量函数的微分学和积分学，是连接一元微积分与更高级分析理论（如复变函数论、泛函分析等）的关键桥梁。 全书内容组织严谨，逻辑清晰，注重理论的深度与广度并重，同时兼顾数学思维的培养和实际应用的结合。它不仅教授学生掌握多元函数求导、多重积分、线积分、曲面积分等核心计算技巧，更重要的是，引导学生理解这些概念背后的严格数学定义和内在联系，例如向量场、梯度、旋度、散度等重要工具的几何意义和物理内涵。 第一部分：空间与向量代数基础的深化 本书首先回顾并深化了对三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 的理解，这是进行多元分析的几何基础。 1. 空间坐标系与向量空间回顾： 详细介绍了直角坐标系、柱坐标系和球坐标系之间的转换，强调了坐标变换下函数表示的协调性。对 $mathbb{R}^n$ 空间的范数、内积、拓扑性质（开集、闭集、紧集）进行了必要的复习和拓展，为后续的收敛性讨论奠定基础。 2. 向量代数与几何： 深入探讨了向量的线性运算、点积（内积）和叉积（外积）。重点阐述了叉积在确定平面法向量、计算面积和力矩等物理量中的作用。通过向量的视角重新审视直线和平面的方程，强化几何直觉。 第二部分：多元函数的微分学 本部分是全书的核心，系统构建了多变量函数的微分理论体系。 1. 极限与连续性： 严格定义了多元函数在点处的极限，并讨论了沿不同路径趋近时的差异性，这是理解多元函数性质的关键难点。引入了 $varepsilon-delta$ 语言来证明多元函数的连续性。 2. 偏导数与方向导数： 系统讲解了偏导数的概念、计算方法及其局限性。随后引入了方向导数，作为衡量函数在特定方向上变化率的工具。 3. 可微性与全微分： 严格区分了偏可微与函数可微。通过线性逼近的精确定义，确立了全微分的概念，这是多元分析中最重要的线性化工具。讨论了偏导数存在性与函数可微性之间的关系（连续可微函数的性质）。 4. 高阶偏导数与泰勒公式： 引入了二阶及更高阶偏导数，探讨了混合偏导数与偏序无关性（克莱罗定理的推广）。详细推导和应用了多元函数的泰勒公式，为函数在局部区域的近似和稳定性分析提供了强有力的代数工具。 5. 极值问题与最优化： 无条件极值： 利用梯度向量（Gradient Vector）和海森矩阵（Hessian Matrix）来寻找函数的临界点。通过二阶偏导数判别法（Hessian行列式）精确判断极值的类型（局部最大值、最小值或鞍点）。 条件极值： 详细介绍了拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers），这是解决等式约束优化问题的标准且高效的方法。通过几何直观和代数推导，展示了梯度向量与约束曲面法向量之间的关系。 6. 链式法则的推广： 深入分析了复合函数的求导法则，特别是当自变量和中间变量的依赖关系复杂时，如何运用链式法则进行高效计算，这在隐函数求导和物理建模中至关重要。 第三部分：多元函数的隐函数与反函数定理 本部分是微分学理论的升华，处理了变量之间相互依赖的复杂情况。 1. 隐函数定理： 严谨地证明了隐函数定理，该定理保证了在特定条件下，由方程 $F(x_1, dots, x_n, y_1, dots, y_m) = 0$ 确定的函数 $y_i = y_i(x_1, dots, x_n)$ 的存在性、可微性及其偏导数的计算。 2. 反函数定理： 阐述了反函数定理，给出了一个光滑映射在某点存在局部反映射的充分条件，即Jacobian行列式在该点不为零。这对于坐标变换和微分同胚的研究具有根本性意义。 第四部分：微分学在几何与场论中的应用 本部分将抽象的微分概念与具体的空间几何问题和物理场联系起来。 1. 向量值函数与空间曲线： 讨论了空间曲线的参数表示、切向量、曲率和挠率。重点分析了速度、加速度等物理量在参数化描述下的表达。 2. 微分形式与微分算子： 引入了梯度（$ abla f$）、散度（$ abla cdot mathbf{F}$）和旋度（$ abla imes mathbf{F}$）这三个核心向量微分算子。详细解释了它们在物理学（如流体力学、电磁学）中的实际意义，例如散度衡量源或汇的强度，旋度衡量场的旋转趋势。 第五部分：多重积分 本部分扩展了一元积分的概念到二维和三维空间，是计算面积、体积、质量和质心等物理量的基础。 1. 二重积分： 黎曼和的定义： 从区域分割和黎曼和的极限出发，严格定义了平面区域上的二重积分。 Fubini定理： 阐述了Fubini定理，该定理允许将二重积分转化为累次积分（迭代积分），并讨论了积分次序互换的条件。 坐标变换： 详细推导了在极坐标系下进行二重积分的计算方法，强调雅可比行列式（Jacobian Determinant）在面积元素缩放中的作用。 应用： 涉及平面区域的面积、质量、重心、转动惯量等。 2. 三重积分： 定义与性质： 将二重积分的概念推广到三维空间，定义了有界闭区域上的三重积分，主要用于计算体积和质量分布。 坐标变换： 系统讲解了在柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算，熟练掌握球坐标变换的雅可比行列式是计算复杂几何体积分的关键。 第六部分：线积分与曲面积分（格林、斯托克斯、高斯公式） 本部分是多元分析中最宏大、最富于几何美感的部分，它统一了不同维度上的积分概念。 1. 线积分（第一类与第二类）： 第一类线积分： 沿曲线对长度的积分，常用于计算曲线的质量或密度随长度变化的累积量。 第二类线积分（功的积分）： 沿曲线对坐标的积分，是计算保守力场中功的基本工具。引入了路径无关性（保守场）的概念。 2. 曲面积分（第一类与第二类）： 第一类曲面积分： 沿曲面的积分，常用于计算曲面的质量或表面积。 第二类曲面积分（通量积分）： 描述了向量场穿过某一曲面的净流量（Flux），是物理学中电通量、磁通量等概念的数学基础。 3. 场论三大基本定理： 本书的核心高潮部分，通过严谨的证明和丰富的实例，阐述了三大基本定理之间的深刻联系： 格林公式（Green's Theorem）： 将平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第一类线积分联系起来。 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）： 将三维空间中曲面上的旋度（Curl）的通量积分，与其边界曲线上的线积分联系起来，揭示了旋度和环量的关系。 高斯公式（Gauss's Divergence Theorem）： 将三维空间中封闭体上的散度（Divergence）的三重积分，与其外边界曲面上的通量积分联系起来，阐明了场源与穿出流量之间的关系。 教材特色 严谨性与直观性结合： 理论推导恪守分析学的严格性，同时配有大量几何图示和物理背景解释，帮助学生建立清晰的直观理解。 注重计算技巧的系统化： 针对工程和物理应用中常见的复杂积分和优化问题，系统总结了各种坐标系下的计算策略。 习题体系完善： 课后习题覆盖了从基础概念验证到高难度综合应用的全方位需求，有助于学生巩固知识，提升解决复杂问题的能力。 通过对《数学分析（第二册）：多元微积分》的学习，学生将能够熟练掌握多变量分析的基本工具，为深入学习高等数学、理论物理、计算科学以及现代工程分析打下坚实而牢固的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

我是一位对数学充满好奇心的学习者，一直渴望能有一本教材能够真正“带我入门”多元微积分。这本《数学分析（第二册）：多元微积分》确实做到了。它在内容组织上独具匠心，将一些容易混淆的概念，比如偏导数、方向导数、梯度，以及散度、旋度等，进行了系统性的梳理和区分。书中的例子非常丰富，而且具有代表性，能够帮助我理解抽象的数学概念在实际问题中的应用。例如，在讲解重积分的换元法时，它不仅给出了公式，还通过具体的例子，演示了如何通过雅可比行列式来进行变量替换，大大简化了积分的计算。我还惊喜地发现，书中对一些数学史上的发展脉络也有所提及，这让我在学习数学知识的同时，也能感受到数学发展的源远流长和背后的人类智慧。这本书的编写风格，让我觉得学习过程是一种探索，一种对未知世界的求知过程，而不是机械的记忆和套用。

评分☆☆☆☆☆

作为一名正在深入学习数学的学生，《数学分析（第二册）：多元微积分》对我来说是一次非常宝贵的学习经历。这本书在数学的严谨性方面做得非常出色，每一个定理的证明都一丝不苟，每一个公式的推导都逻辑清晰。它让我深刻理解了微积分不仅仅是工具，更是一种思维方式。我尤其欣赏书中对一些关键定理的“为什么”的解答，例如，它会解释为什么需要对重积分进行分块划分，为什么函数的可微性比连续性更强等等。这种追根溯源的精神，让我能够更深入地理解数学的本质。书中对一些高级概念的引入，如度量空间、拓扑结构等，更是为我打开了通往更高阶数学的大门，虽然这些内容可能超出了一般本科课程的要求，但它们无疑为我未来的学习提供了宝贵的指引。这本书的语言风格相对正式，但逻辑性极强，阅读它需要一定的专注和思考，但一旦投入其中，便能感受到数学思想的博大精深。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，在这本《数学分析（第二册）：多元微积分》之前，我对“分析”这两个字总是带着一丝敬畏，总觉得是高深莫测的理论。但是，这本书让我领略到了分析的魅力所在。它在基础理论的构建上非常扎实，比如对序列和级数收敛性的严谨讨论，对函数连续性和可微性的深入剖析，这些都为后续更复杂的多元微积分概念奠定了坚实的基础。我尤其喜欢书中关于隐函数定理和反函数定理的阐述，它们在解决实际问题中起着至关重要的作用，而本书的讲解，不仅给出了清晰的证明，还配以图示，让你能直观地理解它们的应用场景，比如在参数化曲面和解方程组等问题上。此外，级数部分，特别是泰勒级数的展开和应用，更是让我看到了数学工具的强大之处，可以将复杂的函数近似，从而方便计算和分析。这本书的语言风格比较学术，但又不失严谨，每一句话都经过推敲，确保概念的准确传达。它更像是一位严谨的学者，在细致地引导你一步步走向真理。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学分析（第二册）：多元微积分》简直是我进入高阶数学殿堂的一盏明灯！翻开它，我立刻被严谨的逻辑和清晰的阐述所吸引。不同于以往接触的数学教材，这本书在概念的引入上做得非常出色，循序渐进，仿佛一位经验丰富的老师在耳边细细讲解。它没有直接丢给你一堆公式和定理，而是从最基本、最直观的角度出发，让你理解多元函数是如何从一元函数拓展而来的，例如，它对空间几何的描述，对向量场的直观理解，都让我在脑海中构建起清晰的画面。尤其是关于方向导数和梯度部分，作者通过大量的几何解释和物理背景的联系，让我不再觉得这些抽象的概念是空中楼阁，而是与现实世界紧密相连。即使是像散度和旋度这样初看有些难以捉摸的概念，在这本书的笔触下也变得生动起来，仿佛在讲述着流体运动的秘密，或者电磁场的奥秘。我尤其喜欢书中对一些证明的详细推导，每一个逻辑步骤都清晰可见，让你能够沿着作者的思路一步步深入，真正理解定理的内涵，而不是死记硬背。阅读这本书的过程，更像是一次智力探险，充满了发现的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

当我拿到这本《数学分析（第二册）：多元微积分》时，我怀着一丝忐忑，毕竟多元微积分一直是许多学生心中的“拦路虎”。然而，这本书的出现彻底改变了我的看法。它并非枯燥乏味的定理堆砌，而是将复杂的数学概念巧妙地融入了生动的语言和贴切的例子中。我特别欣赏作者在讲解多重积分时所花费的篇幅，从二重积分到三重积分，再到高维度的推广，每一步都讲解得细致入微。它不仅给出了计算方法，更深入剖析了多重积分的几何意义——体积、面积，甚至是更高维度的“量”。曲线积分和曲面积分的部分，同样处理得非常到位，通过对物理量的抽象，如功、流量等，让读者在理解数学工具的同时，也体验到数学在解决实际问题中的强大力量。书中的插图更是起到了画龙点睛的作用，将抽象的几何形状和积分区域以可视化的方式呈现出来，大大降低了理解难度。我尝试着去做书后的一些习题，发现很多习题都非常有代表性，能够巩固所学知识，并引导我进行更深层次的思考。这本书的编排方式，让我觉得学习数学不再是一件苦差事，而是一种思维的锻炼，一种智力的提升。