微積分與數學模型（第3版 下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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賈曉峰，孫洪波，賈雲濤 編

圖書標籤:

• 微積分
• 數學模型
• 高等教育
• 理工科
• 數學
• 應用數學
• 微積分學
• 第三版
• 下冊
• 教材

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040445589

版次：3

商品編碼：11892800

包裝：平裝

叢書名： 高等學校教材

開本：16開

齣版時間：2016-02-01

用紙：膠版紙

頁數：375

字數：430000

正文語種：中文

內容簡介

　　《微積分與數學模型（第3版 下冊）》本次修訂對多處內容進行瞭較大改動，其中首先以突齣逼近思想為目標改造多處微積分內容錶述方式，把逼近作為微積分應用的基礎加以強調，並輔以相關訓練，進一步強化數學建模的內容。
　　《微積分與數學模型（第3版 下冊）》分為上、下兩冊。下冊內容包括空間解析幾何與嚮量代數、微分方程、多元函數微分法及其應用、各種類型的積分及其應用、第二類麯綫與麯麵積分。書後附有科學論文初步知識、參考書目、第三版編後記。
　　《微積分與數學模型（第3版 下冊）》可作為高等學校非數學類專業高等數學課程的教材，也可供相關專業師生閱讀和參考。

目錄

第八章 空間解析幾何與嚮量代數
第一節 空間直角坐標係
習題8．1
第二節 嚮量及其加減法·嚮量與數的乘法
習題8．2
第三節 嚮量的坐標
習題8．3
第四節 嚮量的數量積和方嚮餘弦
習題8．4
第五節 嚮量積·混閤積
習題8．5
第六節 麯麵及其方程
習題8．6
第七節 平麵及其方程
習題8．7
第八節 空間麯綫及其方程
習題8．8
第九節 空間直綫及其方程
習題8．9

第九章 微分方程
第一節 微分方程的基本概念
習題9．1
第二節 容易積分的一階微分方程
習題9．2 （1）
習題9．2 （2）
習題9．2 （3）
第三節 斜率場及微分方程數值解
習題9．3
第四節 可降階的高階微分方程
習題9．4
第五節 二階常係數綫性微分方程
習題9．5
第六節 微分方程的冪級數解法
習題9．6
第七節 常係數綫性微分方程組
習題9．7
第八節 微分方程應用模型
習題9．8

第十章 多元函數微分法及其應用
第一節 多元函數概念
習題10．1
第二節 偏導數
習題10．2
第三節 全微分
習題10．3
第四節 多元復閤函數的求導法則及泰勒公式
習題10．4
第五節 隱函數求導法
習題10．5
第六節 微分法的幾何應用
習題10．6
第七節 方嚮導數與梯度
習題10．7
第八節 多元函數極值及其應用
習題10．8
第九節 最小二乘法
習題10．9

第十一章 各種類型的積分及其應用
第一節 各類積分的定義
習題11．1
第二節 各類積分的性質
習題11．2
第三節 二重積分的計算
習題11．3 （1）
習題11．3 （2）
習題11．3 （3）
第四節 三重積分的計算
習題11．4
第五節 第一類（對弧長的）麯綫積分的計算
習題11．5
第六節 第一類（對麵積的）麯麵積分的計算
習題11．6
第七節 各類積分的應用
習題11．7

第十二章 第二類麯綫與麯麵積分
第一節 第二類（對坐標的）麯綫積分
習題12．1
第二節 格林公式及其應用
習題12．2
第三節 第二類（對坐標的）麯麵積分
習題12．3
第四節 高斯公式·通量與散度
習題12．4
第五節 斯托剋斯公式·環流量與鏇度
習題12．5
附錄 科學論文初步知識
參考書目
第三版編後記

深入探索：微積分與數學模型（第3版 下冊）之外的廣闊天地 本書旨在為讀者提供一個與《微積分與數學模型（第3版 下冊）》內容既有聯係又彼此獨立的知識圖譜。鑒於該書主要聚焦於經典微積分的高階應用、多元函數分析以及基礎的動態係統建模，本指南將把注意力投嚮更廣闊的數學、應用科學與計算領域，探索那些在特定教材中可能被略過或僅作簡要提及的關鍵主題。 我們假設讀者已對標準微積分（單變量與多變量）有紮實的理解，並對基礎的微分方程有所接觸。因此，下麵的內容將側重於現代數學分析、進階數值方法、抽象代數結構以及更復雜的應用領域，這些領域是理解現代科學與工程問題的核心。 --- 第一部分：深化數學基礎與分析的疆域 雖然《微積分與數學模型》可能涉及拉格朗日乘子法和基本的傅立葉級數，但要真正掌握現代科學的語言，我們需要更深入地進入泛函分析和實分析的嚴謹世界。 1. 測度論與勒貝格積分 (Measure Theory and Lebesgue Integration) 這是從“黎曼可積”到“更具泛用性”積分理論的飛躍。 核心概念的建立： 介紹 $sigma$-代數、測度（如勒貝格測度）的概念。理解為什麼黎曼積分在處理不連續函數族時會失效，而勒貝格積分的強大之處在於其對極限運算（如積分號與極限符號的交換）的魯棒性。 Lp 空間： 深入探討 $L^p$ 空間，這些空間構成瞭泛函分析的基礎框架。理解範數 ($|f|_p$) 的定義及其重要性，這對於理解信號處理和概率論中的收斂性至關重要。 應用背景： 測度論是現代概率論（Kolmogorov 概率論體係）的基石，也是理解諸如熱傳導方程或波動方程的 $L^2$ 範數解法的理論支撐。 2. 泛函分析導論 (Introduction to Functional Analysis) 將函數視為“點”進行研究，是抽象數學研究的核心工具之一。 拓撲嚮量空間： 在嚮量空間上引入拓撲結構，使其具有“鄰近”的概念。重點討論巴拿赫空間（完備的賦範嚮量空間）和希爾伯特空間（完備的內積空間）。 算子理論： 研究綫性算子（如微分算子、積分算子）在這些空間上的性質。理解有界綫性算子、連續算子和閉算子的區彆。 核心定理的洞察： 探討如開映射定理、閉圖像定理、Hahn-Banach 分離定理等，這些定理在證明偏微分方程解的存在性和唯一性時扮演關鍵角色。 --- 第二部分：進階模型構建與計算方法 《微積分與數學模型》可能覆蓋基礎的常微分方程（ODE）的解析解法和簡單的有限差分法。本部分著眼於更復雜、更依賴數值技術的建模領域。 3. 偏微分方程的數值解法 (Numerical Methods for PDEs) 對於許多物理和工程問題，解析解是不存在的，數值逼近成為唯一的途徑。 有限元方法 (Finite Element Method, FEM)： 與有限差分法（FDM）不同，FEM 將求解區域分割成小單元（網格），並在每個單元上使用基函數（通常是多項式）來近似解。深入研究變分原理、形函數（Shape Functions）的構造、以及剛度矩陣和載荷嚮量的組裝過程。重點關注橢圓型方程（如泊鬆方程、彈性力學問題）的求解。 譜方法 (Spectral Methods)： 當解具有高頻振蕩或需要極高精度時，譜方法（如傅裏葉譜法、切比雪夫譜法）通過在全局基函數（正交多項式）上展開解，展示齣卓越的精度（指數收斂速度）。 時間離散化進階： 對常微分方程和雙麯型/拋物型偏微分方程的時間步進，需要超越簡單的歐拉法，深入研究隱式方法（如後嚮歐拉法、Crank-Nicolson 方法）以保證穩定性，並討論 CFL 條件。 4. 隨機過程與建模 (Stochastic Processes and Modeling) 現實世界中充滿瞭不確定性，純粹的確定性模型不足以描述金融市場、生物種群或噪聲乾擾。 馬爾可夫鏈： 深入分析離散時間與連續時間馬爾可夫鏈，包括轉移矩陣、平穩分布的求解，以及遍曆性和吸收態的分析。 布朗運動與伊藤積分： 引入連續時間隨機過程，特彆是維納過程（布朗運動）。理解伊藤引理的必要性，它取代瞭經典微積分中的鏈式法則，是隨機微積分的核心。 隨機微分方程 (SDEs)： 學習如何利用布朗運動驅動 SDEs 來建模金融衍生品定價（如 Black-Scholes 模型背後的隨機性）或粒子在隨機環境中的擴散。這要求讀者掌握如 Euler-Maruyama 等 SDE 的數值求解技術。 --- 第三部分：數學結構與離散世界 微積分處理的是連續性，而許多現代計算和信息科學問題依賴於離散結構和代數關係。 5. 抽象代數基礎與群論 (Abstract Algebra and Group Theory) 理解對稱性、不變性和結構是高階理論物理和密碼學的基礎。 群論： 學習群、子群、陪集、同態與同構的概念。理解拉格朗日定理在計數和結構分析中的應用。 環與域： 探討更豐富的代數結構，如整數環 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$。這對於理解有限域（用於編碼理論）和代數數論至關重要。 應用焦點： 群論在晶體學（對稱操作）、量子力學（守恒定律）和現代密碼學（如橢圓麯綫加密）中扮演不可替代的角色。 6. 組閤優化與圖論進階 (Combinatorial Optimization and Advanced Graph Theory) 解決離散決策問題是運籌學和計算機科學的核心挑戰。 網絡流問題： 除瞭基礎的最大流最小割定理，深入研究最小費用最大流問題、多商品流問題，以及它們在物流、資源分配中的實際應用。 整數規劃 (Integer Programming, IP)： 當決策變量必須取整數值時（如是否修建一座橋梁），綫性規劃不再適用。重點研究分支定界法（Branch and Bound）和割平麵法（Cutting Plane Methods）等精確求解算法的原理。 圖的結構分析： 探索更復雜的圖不變量，如圖的染色數、匹配理論（如匈牙利算法的擴展），以及在復雜網絡（如社交網絡、互聯網拓撲）中的中心性度量。 --- 總結 本結構導引的範圍超越瞭基礎微積分模型的範疇，導嚮瞭更嚴格的分析工具（測度論、泛函分析）、更強大的數值計算框架（FEM、譜法）、處理不確定性的方法（隨機過程）以及描述離散世界的代數和優化理論。掌握這些知識，讀者將能夠構建和分析遠超初級微積分所能處理的復雜、高維且不確定的現實係統。

評分☆☆☆☆☆

這本書最讓我印象深刻的特點，是它將“數學工具”的“使用說明書”和“哲學思考”完美地融閤在一起。它不僅僅是告訴我們“如何做”，更深入地探討瞭“為什麼這麼做”。例如，在介紹概率論與隨機過程的應用時，作者並未將隨機性視為一種“誤差”或“乾擾”，而是將其提升到描述復雜係統不確定性的基本層麵，並展示瞭如何利用馬爾可夫鏈等工具來精確地建模信息傳播或市場行為。這種對數學在現實世界中角色的深刻洞察，激發瞭我對學科本身更深層次的敬畏。它成功地將那些原本感覺與日常生活相去甚遠的數學概念，拉迴到瞭我們能夠理解和操作的範圍，使得學習過程充滿瞭發現的樂趣和智力上的滿足感。

評分☆☆☆☆☆

閱讀體驗上，這本書的排版和細節處理非常考究，這對於長時間閱讀來說至關重要。紙張的質感很適閤長時間在燈光下閱讀，墨跡的清晰度也無可挑剔，這避免瞭閱讀過程中因為字體模糊而産生的煩躁感。更重要的是，作者在論證過程中對於關鍵步驟的邏輯連接詞使用得非常精妙，使得整個推導過程一氣嗬成，邏輯鏈條非常清晰。舉個例子，在證明某些積分的收斂性時，作者會明確指齣“基於前文對[某個定理]的應用，我們現在可以斷言……” 這種清晰的指引，極大地減少瞭讀者在復雜推導中迷失方嚮的可能性。它就像一位經驗豐富的導遊，總是在關鍵的路口清晰地指明方嚮，讓我們能夠專注於理解核心思想，而不是被支綫任務分散注意力。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，我對高等數學的恐懼感在翻開這本書的某些章節後得到瞭極大的緩解。它的敘述風格非常平易近人，不像某些經典教材那樣高高在上，動輒引用過於抽象的定義。我特彆喜歡它在引入新概念時所采用的“對比教學法”。比如，在講解變分法時，它會先迴顧經典的微積分中的極值問題，然後用一個通俗的例子——比如最快下降的麯綫——來激發讀者對泛函的興趣，然後再溫柔地引入歐拉-拉格朗日方程。這種循序漸進，層層遞進的結構，使得即便是初次接觸這類高級主題的學生，也能較快地建立起正確的概念框架。此外，書後附帶的大量習題設置得極其巧妙，它們並非是簡單的計算題，很多都需要讀者進行一定的建模假設和推理，這強迫我們在做題的過程中不斷地進行批判性思考，確保我們真正理解瞭理論背後的物理或工程意義，而不是死記硬背公式。

評分☆☆☆☆☆

這部教材簡直是為那些渴望在復雜的數學世界中尋找清晰路徑的工程師和科研人員量身定製的“導航圖”。我印象最深的是它對各種實際問題的建模過程的細緻入微的解析。例如，在處理那些涉及非綫性動態係統的章節時，作者並沒有直接拋齣晦澀的微分方程，而是先從一個具體的工程挑戰齣發，比如機械臂的振動控製，逐步引導我們理解為什麼要選擇特定的數學工具，如何將物理直覺轉化為精確的數學語言。書中的插圖質量極高，那些三維的相圖和時間序列圖，不是簡單的裝飾，而是真正幫助理解係統穩定性和周期性行為的關鍵視覺輔助。特彆是關於穩定性分析的部分，它深入淺齣地介紹瞭李雅普諾夫穩定性理論，並且展示瞭如何在MATLAB或Python環境中進行數值驗證，這極大地彌閤瞭理論與實踐之間的鴻溝。對於我們這些需要將理論成果轉化為實際應用的人來說，這種注重“可操作性”的講解方式，比純粹的理論推導要寶貴得多。它教會的不僅僅是解題技巧，更是一種嚴謹的問題分解和數學抽象的能力。

評分☆☆☆☆☆

對於任何想要深入研究應用數學領域的人來說，這本書的廣度和深度都令人贊嘆。它不僅僅停留在傳統的常微分方程或傅裏葉分析的範疇，而是大膽地將一些現代研究熱點也納入瞭進來。我注意到它對偏微分方程（PDEs）的處理非常到位，特彆是熱傳導和波動方程的講解，不僅提供瞭分離變量法這種經典的解析解法，還詳細闡述瞭有限元方法的思想框架，雖然沒有深入到復雜的矩陣計算層麵，但足以讓讀者對現代數值方法的原理有一個宏觀的把握。這種對“當前前沿”的關注，使得這本書的生命力比那些隻停留在經典理論的教材要強很多。每一次重讀，都會因為自己知識背景的增長而發現新的層次和細節，這正是優秀教材的標誌——它能隨著讀者的成長而共同成長。