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同济大学应用数学系 编

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• 高等数学
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• 函数
• 极限

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040108217

版次：5

商品编码：11697120

包装：平装

丛书名： 普通高等教育“十五”国家级规划教材

开本：16开

出版时间：2002-07-01

用纸：胶版纸

页数：354

字数：420000

正文语种：中文

内容简介

　　《高等数学（第五版 下册）》是根据编者多年的教学实践，按照新形势下教材改革的精神，并结合《高等数学课程教学基本要求》在第四版的基础上修订而成的。这次修订更好地与中学数学教学相衔接，适当引用了一些数学记号和逻辑符号，增加了应用性例题和习题，对一些内容作了适当的精简和合并。使内容和系统更加完整，也更便于教学。
　　《高等数学（第五版 下册）》内容为多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程五章。书末附有习题答案与提示。
　　《高等数学（第五版 下册）》仍保持了第四版结构严谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗易懂、例题较多、便于自学等优点，又在保证教学基本要求的前提下，扩大了适应面，增强了伸缩性，可供高等院校工科类专业的学生使用。

目录

第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 n维空间
二、多元函数概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
习题8-1
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
习题8-2
第三节 全微分
一、全微分的定义
二、全微分在近似计算中的应用
习题8-3
第四节 多元复合函数的求导法则
习题8-4
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
习题8-5
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
习题8-6
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
二、梯度
习题8-7
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及*大值、*小值
二、条件极值 拉格朗日乘数法
习题8-8
第九节 二元函数的泰勒公式
一、二元函数的泰勒公式
二、极值充分条件的证明
习题8-9
第十节 最小二乘法
习题8-10
总习题八

第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
习题9-1
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、二重积分的换元法
习题9-2
第三节 三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
习题9-3
第四节 重积分的应用
一、曲面的面积
二、质心
三、转动惯量
四、引力
习题9-4
第五节 含参变量的积分
习题9-5
总习题九

第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算法
习题10-1
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
习题10-2
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
习题10-3
第四节 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
习题10-4
第五节 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
二、对坐标的曲面积分的计算法
三、两类曲面积分之间的联系
习题10-5
第六节 高斯公式 通量与散度
一、高斯公式
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
三、通量与散度
习题10-6
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、斯托克斯公式
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度
四、向量微分算子
习题10-7
总习题十

第十一章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
三、柯西审敛原理
习题11-1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、第一收敛与条件收敛
习题11-2
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
习题11-3
第四节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数
二、函数展开成幂级数
习题11-4
第五节 函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
二、欧拉公式
习题11-5
第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性
二、一致收敛级数的基本性质
习题11-6
第七节 傅里叶级数
一、三角级数三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
习题11-7
第八节 一般周期函数的傅里叶级数
一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数
二、傅里叶级数的复数形式
习题11-8
总习题十一

第十二章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
习题12-1
第二节 可分离变量的微分方程
习题12-2
第三节 齐次方程
一、齐次方程
二、可化为齐次的方程
习题12-3
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程
二、伯努利方程
习题12-4
第五节 全微分方程
习题12-5
第六节 可降阶的高阶微分方程
一、y（n）=f（x）型的微分方程
二、y“=f（x，y'）型的微分方程
三、y”=f（y，y'）型的微分方程
习题12-6
第七节 高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例
二、线性微分方程的解的结构
三、常数变易法
习题12-7
第八节 常系数齐次线性微分方程
习题12-8
第九节 常系数非齐次线性微分方程
一、f（x）=eλxPm（x）型
二、f（x）=eλx[Pl（x）cos wx+Pn（x）sin wx]型
习题12-9
第十节 欧拉方程
习题12-10
第十一节 微分方程的幂级数解法
习题12-11
第十二节 常系数线性微分方程组解法举例
习题12-12
总习题十二

习题答案与提示

《高等数学》（第五版 下册） 本书是“高等数学”系列中的下册，承接上册内容，旨在为读者提供更为深入和广泛的数学理论知识，为后续专业学习和科研打下坚实基础。本册内容主要涵盖了多元函数微积分、向量代数与空间解析几何、级数、微分方程以及概率论与数理统计等核心数学分支。 第一部分：多元函数微积分 本部分将带领读者进入多维空间的数学世界。我们首先会学习多元函数的概念、极限与连续性，理解在三维乃至更高维空间中函数的行为。接着，深入探讨多元函数的偏导数和方向导数，掌握如何刻画函数在不同方向上的变化率。全微分的概念将进一步深化我们对函数局部线性近似的理解。 多元函数的极值与最优化是本部分的重要应用，我们将学习如何利用导数的方法求解函数的局部极值和条件极值，这对于解决实际问题中的优化模型至关重要。隐函数定理和反函数定理则提供了分析和处理更为复杂函数关系的重要工具。 在积分方面，本书将详细介绍重积分，包括二重积分和三重积分，以及它们在计算面积、体积、质量分布等问题中的应用。我们将学习各种坐标系下的计算技巧，如极坐标、柱坐标和球坐标。曲线积分和曲面积分是本部分内容的另一大亮点，它们将多元函数微积分的概念推广到了曲线和曲面上，是解决物理学中功、流等问题的关键。格林公式、高斯公式和斯托克斯公式这三个重要的场论基本定理，将积分与微分联系起来，揭示了多维空间中微积分运算的深刻规律。 第二部分：向量代数与空间解析几何 本部分将为读者构建起三维空间的几何直观。向量及其运算，包括向量的加减、数乘、点积和叉积，是描述空间中方向和量的基本工具。我们将学习如何利用向量来表示直线、平面，并求解它们之间的位置关系（平行、相交、垂直）以及夹角、距离等几何量。 空间曲线和空间曲面的方程表示及性质分析是本部分的重要内容。我们将学习如何用参数方程或隐函数方程描述这些几何对象，并理解它们的曲率、挠率等重要几何特性。二次曲面，如球面、椭球、抛物面、双曲面等，是空间中最常见也是最重要的曲面类型，我们将详细介绍它们的标准方程、几何性质以及图形。 第三部分：级数 级数是数学中研究无穷多项求和的工具。本部分将从数列的极限入手，引出函数的极限，并在此基础上深入探讨无穷级数。我们将学习级数的收敛性判别方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法等，掌握判断一个无穷级数是否收敛的关键。 幂级数是本部分的核心内容，它是一种特殊的函数级数，具有广泛的应用。我们将学习幂级数的收敛域、收敛半径，并理解如何利用幂级数表示函数。泰勒级数和麦克劳林级数是将函数展开成幂级数的重要方法，它们在函数逼近、数值计算和求解微分方程等方面有着不可替代的作用。 第四部分：微分方程 微分方程是描述自然界和工程中各种变量之间变化关系的数学模型。本部分将介绍微分方程的基本概念，如阶、线性、齐次等。我们将学习常见的一阶微分方程的解法，如变量可分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程等。 接着，我们将深入研究高阶线性微分方程，包括常系数线性齐次方程和非齐次方程的解法。常数变易法等通用方法将为求解更为复杂的方程提供手段。本部分还将介绍微分方程组的概念，以及一些基本的解法。微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有着极其广泛的应用。 第五部分：概率论与数理统计 本部分将为读者提供理解和分析随机现象的数学框架。我们将从随机事件与概率开始，学习概率的基本性质、条件概率和全概率公式、贝叶斯公式等。 接着，我们将深入探讨随机变量及其概率分布，包括离散型随机变量和连续型随机变量的概率质量函数、概率密度函数、分布函数等。数学期望、方差、矩等统计量将帮助我们刻画随机变量的统计特征。 常见的重要概率分布，如二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布、卡方分布、t分布、F分布等，将作为本部分的重要内容进行介绍。 数理统计部分将介绍如何从样本数据推断总体的统计特征。我们将学习样本与抽样分布的概念，以及点估计与区间估计的方法，如矩估计法、最大似然估计法等。假设检验是数理统计的核心技术之一，我们将学习如何根据样本数据对总体的某个论断进行检验，如t检验、F检验等。 本书旨在以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，系统地介绍上述高等数学的核心内容。每章都配有丰富的例题和习题，以帮助读者巩固所学知识，提高解题能力。通过对本册内容的学习，读者将能够掌握分析和解决复杂数学问题所需的强大工具，为未来的学习和研究打下坚实的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学抱有浓厚兴趣的爱好者，我一直以来都在寻找能够深入理解数学体系的优质书籍，而《高等数学（第五版 下册）》无疑满足了我的这一需求。从拿到书的那一刻起，我就被它精美的装帧和厚重的体量所吸引，这预示着其中蕴含着丰富而深刻的数学知识。书本的排版清晰，印刷质量上乘，每一个公式、每一个符号都清晰可见，这极大地提升了阅读体验。本书内容涵盖了高等数学的诸多重要分支，如多重积分、曲线积分、曲面积分、向量分析等，这些都是理解更高级数学理论和应用的基础。我特别欣赏书中对这些概念的讲解方式，作者们在保持数学严谨性的同时，也注重对概念的直观解释和几何意义的阐述。这使得我在阅读过程中，不仅能够掌握数学的逻辑，还能体会到数学的美感。书中所包含的大量例题，不仅帮助我巩固所学知识，更拓展了我解决问题的思路。很多例题都设计得非常巧妙，能够充分展示理论的实际应用价值。此外，书中对一些复杂证明的推导过程也梳理得十分清晰，这对于提升我的数学逻辑思维能力至关重要。总而言之，这本《高等数学（第五版 下册）》是一本高质量的学术著作，它为我提供了系统、深入的学习平台，让我对高等数学的理解又上了一个台阶。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，对于许多人来说，《高等数学》这四个字本身就自带一种“劝退”属性，我也不例外。然而，生活总是会把你推向你可能不情愿但最终会感激的领域。在一次偶然的机会下，我被推荐了这本《高等数学（第五版 下册）》。起初我抱持着一种“姑且看看”的心态，但随着阅读的深入，我逐渐被它所吸引。这本书最让我印象深刻的是它在理论讲解上的严谨性与在概念引入上的循序渐进。它并没有急于抛出复杂的公式和定理，而是先从一些直观的例子和几何图像入手，帮助读者建立对抽象概念的初步认知。比如，在讲解向量场的时候，它会用风力、水流等具象化的场景来帮助理解，这对我这种“理工科小白”来说，简直是救星。同时，书中对每一个概念的定义都力求精确，对每一个定理的证明都逻辑清晰，这又保证了学习的深度和准确性。我尤其喜欢它提供的那些练习题，它们难度适中，覆盖面广，既能巩固基础，又能拓展思路。有时候，做一道题就能让我对某个概念有更深层次的理解。书的装帧也相当不错，纸张厚实，印刷清晰，阅读体验很舒适。总的来说，这本书让我对高等数学的态度从“畏惧”转变为“敬畏”甚至“欣赏”，它让我看到，原来枯燥的数学公式背后，也隐藏着如此美妙的逻辑和力量。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次拿到这本《高等数学（第五版 下册）》时，立刻被它精美的设计和严谨的排版所吸引。书本的纸质优良，印刷清晰，无论是公式还是图表，都呈现得非常到位，这对于一门高度依赖精准表达的学科来说，是至关重要的。作为一名长期在数学领域深耕的学习者，我深知高等数学下册的重要性，它涉及到更为复杂和抽象的数学工具，是连接基础数学与高级数学的桥梁。本书从多变量函数的微分、积分，到线积分、面积分，再到向量微积分等内容，几乎涵盖了高等数学下册的所有核心知识点。作者们在讲解时，不仅注重理论的严谨性，更强调概念的直观性和几何意义，这使得学习过程更加生动有趣，也更容易理解。我尤其欣赏书中对每一个定理的推导过程，它们条理清晰，逻辑严密，每一处细节都值得细细品味。书中所包含的丰富例题，更是为我的学习提供了宝贵的实践机会。这些例题不仅难度适中，而且覆盖面广，能够帮助我巩固所学知识，并从中领悟到解决问题的多种策略。这本书不仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，引导我一步步深入高等数学的殿堂，让我对数学的理解更加深刻。

评分☆☆☆☆☆

我是一名刚刚开始接触更高级数学领域的学生，拿到这本《高等数学（第五版 下册）》的时候，内心是充满期待和一丝紧张的。这本书的封面设计简洁而大气，封底的介绍也让我对即将展开的学习内容充满了好奇。当我翻开书页，首先映入眼帘的是细致的目录，它如同一个清晰的导航图，指引着我即将踏上的数学探索之旅。从多变量函数的概念，到微分、积分的深入探讨，再到更复杂的积分形式和向量分析，每一个章节的标题都仿佛蕴含着无穷的知识宝藏。我尤其对其中关于微分几何和场论的内容感到兴奋，我知道这些是理解物理世界许多现象的关键。书本的排版非常精良，公式的格式清晰规范，定理的陈述准确严谨，这对于我这样初学者来说至关重要，能够避免因为格式问题而产生的误解。书中所包含的大量例题，更是为我提供了宝贵的实践机会，让我能够将理论知识应用到具体的计算和问题解决中。我注意到，这本书在讲解一些复杂概念时，并没有直接给出艰深的定义，而是通过一些通俗易懂的类比和几何直观的解释，来帮助读者建立初步的理解。这让我感到非常欣慰，因为这表明作者团队在教学设计上付出了极大的心血，力求让学习过程更加平缓和有效。我相信，通过认真研读这本书，我将能够牢固掌握高等数学下册的核心知识，为我未来的专业学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习高等数学是一场与抽象概念的搏斗，而这本《高等数学（第五版 下册）》就像是一把锋利的武器，帮助我披荆斩棘。这本书的质量非常高，从纸张的触感到印刷的清晰度，都体现了出版方的专业性。翻开目录，我看到了熟悉的但又充满挑战的章节名，如“重积分”、“向量场”、“格林公式”等。这些名词在我脑海中勾勒出了一个更加宏大的数学世界。书中的讲解方式非常独特，它不会上来就给你灌输一大堆定义和定理，而是先从一些生活中的例子或者几何直观的图像入手，让你对即将学习的概念有一个大致的认识。例如，在讲解向量场的时候，作者们会用流体流动或者电场线的分布来类比，这让原本抽象的概念变得生动起来。而且，书中的公式推导过程非常详细，每一步都有清晰的解释，让你不会因为某个中间步骤而卡住。更让我惊喜的是，书中还穿插了一些“小贴士”和“易错点”提示，这些细微之处体现了作者们对学生学习过程的深刻理解。虽然我目前还在消化前面的内容，但已经能预见到，这本书将会是我在高等数学领域学习道路上不可或缺的伙伴。它让我觉得，原来学习高数也可以是一种享受。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我之前对高等数学的感情就像是“爱恨交织”。它既是我学习道路上的必经之路，又是让我头疼不已的“拦路虎”。这次拿到《高等数学（第五版 下册）》，我抱着“再战一次”的心态。这本书最让我印象深刻的一点是，它并没有把高数写成一本“天书”。它的语言风格相对比较温和，并且在引入一些核心概念的时候，会给出非常详细的铺垫。比如，在讲到多重积分的时候，它会先从二重积分讲起，然后再逐步推广到三重积分，这种循序渐进的方式让我感觉学习过程很自然，不会产生巨大的认知跳跃。而且，书中有很多插图，这些插图不仅仅是为了美观，更是为了帮助我们理解那些抽象的空间关系。看到那些三维图形的剖面图，我才真正理解了什么是“体积分”。另外，这本书在例题的选择上也下了功夫，每一个例题都非常有代表性，能够覆盖到某个知识点的主要应用。我发现，通过反复练习书中的例题，我不仅能够掌握计算技巧，更能理解这些公式背后的逻辑。虽然说学习高数依然需要付出努力，但这本书确实为我打开了一扇更容易进入的门。

评分☆☆☆☆☆

说句实话，拿到这本《高等数学（第五版 下册）》之前，我对高等数学的印象停留在“难度爆炸”和“脑力绞杀”的层面。每次想到那些复杂的积分、无穷级数，都感觉头皮发麻。然而，这次我决定挑战一下自己，并且选择了这本书作为我的“战友”。这本书给我的第一印象就是它的“实在”。它不像有些书那样，只给你抽象的概念和公式，而是充满了大量的实例和图示。在讲解比如多元函数的方向导数时，它会很形象地用山坡的坡度来类比，让你瞬间就能明白这个概念的物理意义。这种“由具象到抽象”的讲解方式，大大降低了我的学习门槛。而且，这本书的章节划分非常合理，知识点层层递进，不会让你觉得突然跳跃。每一个定理的引入都有前因后果，每一个公式的推导都有详尽的步骤。我特别喜欢的是书中那些“提示”和“注意”栏目，它们往往能点出一些容易出错的地方，或者提供一些解题的技巧，这对于我这种容易犯迷糊的学习者来说，简直是雪中送炭。尽管我还在学习的初期，但我已经能感受到这本书的教学功力。它并没有试图把所有的知识塞给你，而是引导你去思考，去理解。这让我觉得，学习高等数学不再是一件可怕的事情，而是一场充满探索乐趣的智力冒险。

评分☆☆☆☆☆

说实话，当初拿到这本《高等数学（第五版 下册）》的时候，我的第一反应是“又来一本”。毕竟，高等数学这门学科，对于我这种曾经在本科阶段就头疼不已的“数学渣”来说，简直是一场挥之不去的噩梦。然而，生活总是充满了意外，也充满了惊喜。在一位热心前辈的“安利”下，我决定再给高等数学一次机会，而这本书，就成为了我这次“救赎之旅”的向导。从翻开第一页开始，我就被它独特的气质所吸引。不像我以前接触过的那些枯燥乏味的教材，这本书似乎更像是一位循循善诱的良师益友。它的语言风格相对平实，并没有故作高深，而是用一种更加贴近实际的方式来阐述那些抽象的概念。比如，在讲解多元函数微分的时候，它并没有上来就抛出一堆公式，而是通过一些生动的例子，比如温度分布、地形测量等，来帮助读者建立直观的理解。这种“润物细无声”的教学方式，让我感觉学习过程不再那么痛苦，反而逐渐产生了一种“原来如此”的豁然开朗。尤其是看到那些图示和图形，它们巧妙地将抽象的数学关系可视化，让原本难以想象的空间几何变得清晰可见。虽然我仍然不敢说已经完全征服了它，但至少，这本书让我看到了希望，让我觉得，也许我也可以像那些数学天才一样，领略到高等数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让人爱不释手的数学书籍，我是一名在校的大学生，正在攻读与数学紧密相关的专业，而这本《高等数学（第五版 下册）》对我来说，无疑是一本极其重要的学习资料。拿到这本书的第一感受就是它的厚重感，这不仅是纸张和篇幅的厚重，更是知识的厚重。书本的封面设计采用了经典而稳重的风格，给人一种可靠、专业的印象。翻开书页，扑面而来的是清晰的排版和规范的公式书写，这对于需要精细计算和严谨逻辑的高等数学来说，是至关重要的。书中的内容涵盖了从多变量函数到矢量微积分的广泛领域，每一个章节都经过精心组织，逻辑清晰，层次分明。作者们显然在如何将复杂的数学概念呈现给读者方面付出了巨大的努力。我尤其欣赏书中对每个定理的证明过程，它们不仅严谨，而且通常伴随着详细的推导步骤，这让我能够一步步地理解定理的由来和内涵，而不是仅仅死记硬背。此外，书中提供的例题非常有代表性，它们涵盖了不同类型和难度的题目，通过这些例题的学习，我不仅能够巩固课堂上学到的知识，还能发现自己理解上的盲点，并加以改进。这本书的语言风格也相当得体，既保持了学术的严谨性，又尽量避免了过于晦涩的表达，力求让读者更容易理解。这本书的出现，无疑为我深入理解高等数学的精髓，提供了一条坚实的道路。

评分☆☆☆☆☆

作为一个沉迷于数学世界多年的老饕，拿到这本《高等数学（第五版 下册）》时，内心是既期待又略带一丝忐忑的。期待的是，正如前几卷一样，它能够继续引领我探索更深邃的数学奥秘，而忐忑则源于高等数学本身那令人望而生畏的难度。这本书的纸张触感温润，油墨的颜色也恰到好处，装帧更是厚重扎实，透着一股严谨的气息，这无疑为接下来的学习之旅奠定了良好的心理基础。当我翻开扉页，首先映入眼帘的是那熟悉的、由严谨的数学符号构成的目录，每一个标题都像是通往未知领域的一扇门，诱惑着我去推开。从多变量函数的微分学，到重积分，再到曲线积分、曲面积分，乃至向量场的概念，每一个分支都预示着对我们理解空间几何和物理世界的新维度。特别是看到那些熟悉的泰勒公式、方向导数、梯度等词汇，仿佛能感受到它们背后所蕴含的强大分析能力，能够描述和预测复杂现象的演变。我迫不及待地想要深入其中，去理解那些看似抽象的概念是如何在实际问题中发挥作用的，例如在物理学中计算功、通量，或者在工程学中分析材料的应力分布。这本书的排版设计也相当用心，公式的呈现清晰明了，定理的表述准确无误，大量的例题更是经过精心挑选，既能说明理论的精髓，又能展示应用的广度。我相信，通过对这本书的学习，我一定能对高等数学的理解达到一个新的高度，并且能够更加自如地运用这些工具去解决那些曾经让我头疼不已的复杂问题。

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正在看 非常好

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和大学学习的一样，值得复习！

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棒棒哒，挺不错的

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感觉这本书还不错

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东西不错,值得推荐,下次继续购买.

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上大学时用的是第三版，为跟上科技发展，决定买第五版看看。

评分☆☆☆☆☆

收到了，感觉还不错，就是书角有点磕着了