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內容簡介

《代數學基礎(上冊)》是為非數學學科的研究生編寫的公共數學教材，分上、下兩冊：上冊是矩陣論，下冊是抽象代數。
本冊書內容包括綫性空間與綫性變換、內積空間、矩陣的相似標準形、矩陣分解、廣義逆矩陣、矩陣分析、矩陣函數、特徵值估計等。《代數學基礎(上冊)》內容適當、語言簡練、錶達規範、論述嚴謹，為適應讀者綫性代數基礎的差異，還專門編寫瞭一章預備知識，便於取捨，宜於教學。

目錄

序言
前言
第0章預備知識 1
0.1多項式 1
0.1.1數域 1
0.1.2多項式的運算 2
0.1.3多項式的整除性 3
0.1.4多項式的根與標準分解 4
習題0.1 5
0.2方陣的特徵值與特徵嚮量 6
習題0.2 9
0.3正交矩陣與酉矩陣 9
0.3.1實嚮量的內積與正交矩陣 10
0.3.2共軛矩陣 11
0.3.3復嚮量的內積與酉矩陣 12
習題0.3 14
0.4H-矩陣與H-二次型 14
0.4.1H-矩陣的定義與基本性質 14
0.4.2H-二次型 15
習題0.4 17
第1章綫性空間與綫性變換 18
1.1綫性空間的定義及基本性質 18
1.1.1綫性空間的定義 18
1.1.2綫性空間的基本性質 21
習題1.1 23
1.2基與維數 23
習題1.2 28
1.3坐標與坐標變換 29
1.3.1嚮量的坐標 29
1.3.2基變換與坐標變換 32
習題1.3 35
1.4綫性變換及其性質 36
1.4.1變換及其運算 36
1.4.2綫性變換的定義與基本性質 38
習題1.4 42
1.5綫性變換與矩陣 44
1.5.1綫性變換的矩陣 44
1.5.2綫性變換與矩陣的對應關係 47
1.5.3綫性變換的特徵值與特徵嚮量 50
習題1.5 53
1.6綫性空間的子空間 54
1.6.1子空間及其判彆 54
1.6.2子空間的交與和 56
*1.6.3綫性變換的不變子空間 59
習題1.6 60
第2章內積空間 63
2.1內積空間的定義與基本性質 63
習題2.1 68
2.2標準正交基 68
習題2.2 72
2.3歐氏空間 72
2.3.1歐氏空間的度量矩陣 72
2.3.2子空間的正交補 74
2.3.3正交變換與對稱變換 76
習題2.3 79
*2.4酉空間簡介 81
第3章矩陣的相似標準形 84
3.1方陣相似於對角矩陣的條件 84
習題3.1 87
3.2H-矩陣的相似對角化 88
習題3.2 91
3.3矩陣的Jordan標準形 91
3.3.1多項式矩陣及其初等變換 92
3.3.2Jordan標準形的求法 94
習題3.3 99
3.4Jordan形的應用 100
3.4.1相似因子的求法 100
3.4.2Jordan形應用舉例 103
習題3.4 106
第4章矩陣分解 107
4.1矩陣的QR分解及滿秩分解 107
4.1.1矩陣的QR和UR分解 107
4.1.2矩陣的滿秩分解 110
習題4.1 113
4.2矩陣的譜分解 114
習題4.2 119
4.3正規矩陣的分解 119
習題4.3 123
4.4矩陣的奇異值分解 124
習題4.4 130
第5章廣義逆矩陣 131
5.1M-P廣義逆 131
5.1.1廣義逆矩陣的概念 131
5.1.2M-P廣義逆 132
習題5.1 137
5.2其他幾種常用的廣義逆矩陣 138
5.2.1矩陣的{1}-逆 138
5.2.2矩陣{1，2}-逆，{1，3}-逆及{1，4}-逆 139
習題5.2 141
5.3廣義逆矩陣在求解綫性方程組中的應用 141
5.3.1綫性方程組的相容性及通解與｛1｝-逆 142
5.3.2相容的綫性方程組的極小範數解與矩陣的｛1，4｝-逆 144
5.3.3矛盾方程組的最小二乘解與矩陣的｛1，3｝-逆 145
5.3.4不相容的綫性方程組的極小範數最小二乘解與矩陣的M-P廣義逆 146
習題5.3 148
第6章矩陣分析 149
6.1嚮量與矩陣的範數 149
6.1.1嚮量範數 149
6.1.2矩陣範數 152
習題6.1 157
6.2嚮量與矩陣序列的收斂性 158
習題6.2 162
6.3矩陣的導數 162
6.3.1函數矩陣對變量的導數 162
6.3.2函數對矩陣的導數 165
6.3.3矩陣對矩陣的導數 166
習題6.3 168
*6.4矩陣的微分與積分 169
第7章矩陣函數 172
7.1矩陣多項式 172
7.1.1矩陣的最小多項式 172
7.1.2矩陣多項式的計算 176
習題7.1 179
7.2一般矩陣函數 180
7.2.1矩陣函數的定義與性質 180
7.2.2用Jordan標準形錶達矩陣函數 181
7.2.3用L-S多項式錶達矩陣函數 184
習題7.2 188
7.3用冪級數錶示的矩陣函數 189
7.3.1矩陣級數與矩陣冪級數的收斂性 189
7.3.2用冪級數錶達某些矩陣函數 193
習題7.3 196
第8章特徵值的估計 198
8.1特徵值界的估計 198
習題8.1 201
8.2特徵值所在區域的估計 201
習題8.2 204
8.3H-矩陣特徵值的錶示 204
習題8.3 206
部分習題參考答案 207
參考文獻 233
附錄多項式矩陣概述及Jordan定理的證明 234

精彩書摘

第0章 預備知識
0.1多項式
0.1.1數域
數，是數學的一個最基本的概念。我們從上小學開始，就一直和數打交道。隨著學習的深入，我們認識的數的範圍也越來越廣，從正整數、分數、有理數、實數直到復數。經驗告訴我們：對於反映數量關係的數學問題，其結果往往和所考慮的數的範圍有關。例如，多項式x4-2的因式分解，它在有理係數範圍內已不能再分解瞭，而在實係數範圍內就可以分解為
這說明對同一個問題，當所考慮的數的範圍不同時，結果就可能是不同的。因此，我們常常需要事先指明所涉及的數的範圍。數域就是描述數的範圍的一個概念。
定義0.1.1 設F是數集，其中至少包含兩個不同的數，如果F中任意兩個數的和、差、積、商(當除數不為零時)仍然是F中的數，則稱F為一個數域。
由定義0.1.1立即可知:任何數域F至少包含0和1。這是因為，若A∈F，則A-A=0∈F;並且，由於F中不止 一個元素，必有非零數b∈F，於是bb=1∈F。
如果集閤F中任意兩個元素做某種運算的結果仍在F中，我們就說F對這種運算封閉。於是，數域就是一個含有不同元素並且對四則運算封閉的數集。
容易驗證，全體有理數的集閤是一個數域，稱為有理數域，記為Q。全體實數的集閤和全體復數的集閤也都是數域，分彆稱為實數域和復數域，記為R和C。但是，全體整數的集閤就不是數域，因為它對除法運算不封閉。
有理數域、實數域和復數域是最常用的數域。但是數域絕不限於這三個。不難驗證數集
F=｛A+b2A，b為有理數｝
構成一個數域。顯然，將上述數集中的2換成3，5，7， ，都會得到相應的數域。據此一點，就可以想到數域有無窮多個。但是，由於對任何數集F總有F屬於C，所以可以說，復數域是最大的數域。還容易證明，有理數域是最小的數域，即:任何數域必包含有理數域在其內(證明留作習題)。
今後討論問題時，凡涉及數的，我們總假設是在某個指定的數域上進行的(盡管有時並未特彆申明)。此時，參與運算的數都要限定在該數域內。例如，實矩陣是實數域上的矩陣，與實矩陣做數乘的數也應該是實數。同樣，實係數的綫性方程組通常被認為是實數域上的方程組，因而在進行初等變換和求解時也應該在實數域上進行。
0.1.2 多項式的運算
定義0.1.2對於非負整數n及數域F上的數Ai(i=0，1，2， ，n)，形式錶達式
f(x)=Anxn+An-1xn-1+ +A1x+A0(1)
稱為數域F上的一個(一元)多項式，當An≠0時，則稱(1)式為一個(一元)n次多項式，非零數An稱為該多項式的首項係數，A0稱為常數項。
按此定義，3x4+x-2是一個4次多項式；非零常數-2是0次多項式。 所有係數全為0的多項式0稱為零多項式。 通常對零多項式不定義次數。 如果為瞭方便，也可以認為它的次數為-∞。首項係數為1的多項式簡稱首1多項式。定義0。1。3如果兩個多項式f(x)與g(x)中，各同次項的係數都對應相等，則稱f(x)與g(x)相等，記為f(x)=g(x)。多項式的四則運算是人們所熟悉的，數域F上的兩個多項式相加或相乘其結果仍是數域F上的一個多項式。多項式的加法和乘法還具有各自的交換律、結閤律及加法對乘法的分配律。多項式的減法可以歸結為加法，因為
f(x)-g(x)=f(x)+［-g(x)］。
至於兩個多項式相除，可以用長除法求得商式和餘式，對此有如下定理。
定理0.1.1 (帶餘除法定則) 對任意多項式f(x)及g(x)≠0，恒有唯一的多項式q(x)和r(x)使
f(x)=q(x)g(x)+r(x)，(2)
其中r(x)是0或次數低於g(x)的多項式。
證明 以f(x)除以g(x)，由長除法過程知必有適閤定理條件的q(x)，r(x)使(2)式成立。下麵來證明唯一性。設另有多項式q1(x)及r1(x)使
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)，且次r1(x)＜次g(x)。於是
q(x)g(x)+r(x)=q1(x)g(x)+r1(x)，即［q(x)-q1(x)］g(x)=r1(x)-r(x)。(3)
如果q(x)≠q1(x)，則上式左端次數大於等於g(x)的次數，但右端次數小於g(x)的次數，産生矛盾，故必有q(x)=q1(x)。代入(3)式又得r1(x)=r(x)。
帶餘除法中所得的q(x)稱為g(x)除f(x)的商式，r(x)稱為餘式。
0.1.3多項式的整除性
定義0.1.4 對於數域F上的多項式f(x)和g(x)，如果存在數域F上的多項式h(x)使
f(x)=g(x)h(x)，(4)
就稱g(x)整除f(x)，記為g(x)f(x)。g(x)不能整除f(x)用g(x)�竑(x)錶示。
當有(4)式成立時，稱g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式。
顯然，非零常數c是任一多項式的因式，而零多項式0是任一多項式的倍式。
由定義0.1.4及定理0.1.1立知下述定理成立。
定理0.1.2 對於多項式f(x)及g(x)≠0，g(x)f(x)的充分必要條件是g(x)除f(x)餘式為0。
關於多項式的整除性，有如下的常用性質。
1° 兩個非零多項式互相整除的充要條件是它們僅差一非零常數因子。
事實上，若f(x)=cg(x)，c是非零常數，則顯然g(x)與f(x)互相整除。反之，由f(x)與g(x)互相整除，則有多項式h1(x)，h2(x)使
g(x)=h1(x)f(x)，(5)
f(x)=h2(x)g(x)，(6)
(6)式代入(5)式得
g(x)=h1(x)h2(x)g(x)，
g(x)≠0故h1(x)h2(x)=1，因此h1(x)與h2(x)都是非零常數，再由(5)和(6)式知f(x)與g(x)僅差非零常數倍。
2° 若f(x)g(x)，g(x)h(x)，則f(x)h(x)。(整除的傳遞性)
如果多項式u(x)既是f(x)的因式又是g(x)的因式，則稱u(x)為f(x)與g(x)的公因式。
定義0.1.5 如果d(x)是多項式f(x)，g(x)的公因式並且對於f(x)與g(x)的任何公因式d1(x)都有d1(x)d(x)，則稱d(x)為f(x)與g(x)的最大公因式或稱最高公因式。
容易看齣，任意兩個不全為0的多項式必有公因式(至少非零常數就是)。關於最大公因式有如下結果。
i) 任意兩個多項式(隻要它們不都是零多項式)必有最大公因式；(證明略)
ii) 最大公因式不唯一；但兩個最大公因式之間最多差一非零常數倍。
這是因為：如果d(x)，h(x)同是多項式f(x)與g(x)的最大公因式，根據定義，它們必互相整除，從而僅差非零常數倍。假如限定最大公因式的首項係數為1，則它是由f(x)與g(x)唯一決定的瞭。特彆地，把f(x)與g(x)的首1最大公因式記為
(f(x)，g(x))。
定義0.1.6 如果多項式f(x)與g(x)的最大公因式是非零常數，則稱f(x)與g(x)互素，亦稱互質。
顯然，f(x)與g(x)互素的充要條件是(f(x)，g(x))=1。實際上兩個互素的多項式不存在一次及一次以上的公因式。
定義0.1.7一個多項式p(x)在數域F上不能分解為兩個次數比p(x)低的多項式之積，則稱f(x)在數域F上是個質式，或稱為不可約多項式。
當然，一個多項式是否可約，是和所考慮的數域密切相關的。在復數域上，隻有一次式纔是質式，而在實數域上，質式可以是一次式及某些二次式。
0.1.4 多項式的根與標準分解
對於正整數n，由n次多項式f(x)形成的方程式f(x)=0稱為n次代數方程。我們熟悉的是實係數一元二次方程
Ax2+bx+c=0，A，b，c∈R，A≠0。
它的根依據A，b，c的不同取值可能為不同二實根、相同二實根或共軛二復根。重復齣現的根稱為重根，其重復齣現的次數稱為該重根的重數。重數為1的根稱為單根。如果約定在復數域上求根，並且重根的個數按其重數計算，那麼一元二次代數方程就恰有兩個根。 這一結論可以推廣到一般代數方程上去。 由著名的代數學基本定理(即：當n≥1時，復數域上的n次代數方程至少有一個根)便可知下述定理成立。
定理0.1.3 在復數域上，n次代數方程恰有n個根(n≥1)。
定義0.1.8 對於n次(n≥1)多項式f(x)，代數方程f(x)=0的根亦稱為多項式f(x)的根或零點。
根據定理0.1.3及定義0.1.8，又可以說：n次(n≥1)多項式在復數域上恰有n個根(重根的個數按重數計算)。
容易理解，A是多項式f(x)的根即指(x-A)f(x)；A是f(x)的k重根即指(x-A)kf(x)而(x-A)k+1f(x)。 關於k重根的判彆，還有如下定理。
定理0.1.4 x=A是多項式f(x)的k重根的充分必要條件是f(A)=0，f′(A)=0， ，f(k-1)(A)=0而f(k)(A)≠0。
證明在x=A處將f(x)作泰勒展開
f(x)=f(A)+f′(A)(x-A)+f″(A)2!(x-A)2+
+f(k-1)(A)(k-1)!(x-A)k-1+f(k)(A)k!(x-A)k+
+f(n)(A)n!(x-A)n。(7)
必要性 A是k重根，則f(x)中恰有(x-A)k這個因式，(7)式前k項必為0，即f(A)=f′(A)= =f(k-1)(A)=0，而且必有f(k)(A)≠0，否則A的重數就多於k瞭!
充分性 當f(A)=f′(A)= =f(k-1)(A)=0，而f(k)(A)≠0，由(7)式即見(x-A)kf(x)而(x-A)k+1�竑(x)，故x=A是f(x)的k重根。
推論0.1.1 如果多項式f(x)滿足
f(A)=0，f′(A)=0， ，f(k-1)(A)=0，
則x-A至少是f(x)的k重因式。
按照根與一次因式的關係，多項式f(x)的每一個根xi都對應著f(x)的一個一次因式(x-xi)，如果n次多項式(1)在復數域上全部互異的根為x1，x2， ，xt，它們的重數分彆為n1，n2， ，nt，則有
f(x)=An(x-x1)n1(x-x2)n2 (x-xt)nt，(8)
並且n1+n2+ +nt=n。
(8)式右端稱為左端多項式f(x)在復數域上的標準分解式。
例如，對於多項式f(x)=x3+2x2+x，分解式
f(x)=x(x+1)2，f(x)=(x+1)2x都是標準分解式，而
f(x)=x(x+1)(x+1)，f(x)=14x(2x+2)2
都不是標準分解式。
對於給定的多項式f(x)，除各個不同根相應一次式方冪排列次序的差異外，標準分解式是唯一的。
習題0.1
1. 判明下列數集是否構成數域？
1) F=｛1，3，5，7， ｝;
2) F=｛AπA為有理數｝;
3) F=｛A+biA，b為有理數｝。
2. 設F為任一數域，證明FQ(Q為有理數域)。
3. 設f(x)是一個首項係數為1的多項式，並已知它的根為0，-1，1(二重)，試求f(x)按降冪排列的錶達式。
4. 設f(x)=x4-5x3+11x2+Ax+b，試確定A，b的值，使(x-1)2f(x)。
5. 已知多項式f(x)與g(x)次數相同，證明：若f(x)g(x)，則g(x)f(x)。
6. 判明各小題中多項式的因式分解式哪些是復數域上的標準分解。
1) f(x)=(x-1)2(x+1)；
2) g(x)=(x2+2)(x-3)2；
3) h(x)=2(x+1)2x(x+5)；
4) p(λ)=λ(2λ-1)λ-12。
0.2 方陣的特徵值與特徵嚮量
鑒於矩陣

前言/序言

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