基礎代數學選講 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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郭聿琦，鬍洵，陳玉柱 著

圖書標籤:

• 基礎代數
• 代數學
• 數學選講
• 高等教育
• 大學教材
• 數學學習
• 基礎數學
• 代數基礎
• 數學入門
• 教材

齣版社： 科學齣版社有限責任公司

ISBN：9787030471222

版次：1

商品編碼：11877200

包裝：平裝

叢書名： 大學本科數學類專業基礎課程係列叢書

開本：16開

齣版時間：2016-02-01

用紙：膠版紙

頁數：263

字數：390000

正文語種：中文

內容簡介

　　《基礎代數學選講》定位在“抽象代數”的基礎之上，對相對基礎的“多項式代數”和“綫性代數”作齣高觀點和高能力下的審視，給齣必要的、自然的、適當的加寬和加深，以夯實學生的知識基礎，提高學生的數學素養。《基礎代數學選講》共分8講，內容包括：數域上的多項式，（並涉及由其定義的）多項式函數，綫性相關性（綫性代數的核心概念），關於綫性空間和綫性變換的其他基本事項（聯係更一般的模和模同態概念），綫性空間的直和分解（模的特殊情形），初等變換，初等矩陣與矩陣的等價標準形的應用開發，矩陣分塊運算的應用開發，自然數集與數學歸納法，非Klein意義上的“高觀點下的初等數學”。全書語言簡練，邏輯嚴密，注重培養學生的邏輯推理和抽象思維能力。
　　《基礎代數學選講》可作為高等院校數學類專業師生的教材，也可供其他科研工作者參考。

內頁插圖

目錄

前言
第1講 數域上的多項式，（並涉及由其定義的）多項式函數
1．1 關於不可約多項式的一個基本事實與若乾特殊的不可約多項式
1．1．1 基本事實
1．1．2 一類特殊的不可約多項式
1．1．3 另一類特殊的不可約多項式
1．1．4 矩陣的最小多項式
1．2 非負多項式的一個特徵
1．3 關於多項式的Fermat大定理的一個初等證明
1．3．1 關於整數的Fermat大定理
1．3．2 關於多項式的Fermat大定理
1．4 關於一元多項式的若乾注記
1．4．1 帶餘除法
1．4．2 餘數定理的幾種證明方法
1．4．3 零點-因子定理及其應用
1．4．4 多項式的最大（小）公因（倍）式
1．5 對稱與初等對稱多元多項式
1．5．1 多元多項式
1．5．2 對稱和初等對稱多項式
習題1

第2講 綫性相關性（綫性代數的核心概念）
2．1 涉及綫性相關性的幾組基本事實
2，2替換定理及其等價刻畫
2．3 涉及綫性變換（綫性映射）的綫性相關性
2．4 涉及內積的（即Euclid空間裏的）綫性相關性
2．5 關於矩陣秩概念的開發（I）
2．6 從嚮量組的綫性相關性到子空間組的綫性相關性（詳見第4講）
習題2

第3講 關於綫性空間和綫性變換的其他基本事項（聯係更一般的模和模同態概念）
3．1 模（綫性空間）公理間的獨立性及其他
3．1．1 模公理間的獨立性
3．1．2 模的Abel群
3．1．3 綫性空間上的綫性變換
3．2 綫性空間關於綫性變換的不變子空間
3．3 n維綫性空間中n-無關無限子集的若乾特徵及其存在性
3．4 n變數可逆綫性齊次代換的兩種幾何解釋及其聯係
3．4．1 解釋為域F上n維綫性空間上的綫性變換
3．4．2 A可逆時，式（3．5 ）又可解釋為域F上n維綫性空間上的坐標變換
3．4．3 A可逆時，式（3．5 ）的上兩種解釋的聯係
3．5 綫性映射（函數）與其錶示矩陣（嚮量）（“矩陣秩概念的開發（Ⅱ）”，用綫性函數給齣3．3 節的一個補充）
3．5．1 綫性映射與其錶示矩陣
3．5．2 矩陣秩概念的開發（兒）
3．5．3 用綫性函數給齣3．3 節的一個補充
3．6 對偶空間與“矩陣秩概念的開發（III）”
3．6．1 對偶空間與對偶基底
3．6．2 對偶綫性映射與矩陣秩概念的開發（III）
3．6．3 空間與其對偶空間的對偶性
3．6．4 綫性空間與其對偶空間的聯係
3．7 對稱雙綫性度量空間與綫性方程組可解的幾何解釋
3．8 Euclid空間與綫性方程組的最小二乘法
3．8．1 Euclid空間的基本概念和基本事實
3．8．2 嚮量到子空間的距離與綫性方程組的最小二乘法
3．9 具有對角形錶示矩陣的綫性變換
3．10 多重綫性函數和行列式的（一種）公理化定義
3．10．1 d-行列式的定義及性質
3．10．2 d-行列式恰為通常的行列式
3．10．3 d-行列式（作為行列式的公理化定義）的直接應用
3．11 多重綫性函數和Binet-Cauchy公式
3．12 若乾例題
習題3

第4講 綫性空間的直和分解（模的特殊情形）
4．1 綫性空間的（內）直和與外直和
4．1．1 綫性空間的（內）直和與外直和
4．1．2 用直和給齣3．3 節的另外兩個補充
4．2 綫性空間涉及綫性變換的若乾直和結構
……
第5講 初等變換，初等矩陣與矩陣的等價標準形的應用開發
第6講 矩陣分塊運算的應用開發
第7講 自然數集與數學歸納法
第8講 非Klein意義上的“高觀點下的初等數學”
參考文獻
索引

前言/序言

　　高校數學類專業為該專業本科生高年級開設的“代數學選講”課程，平行於“分析學選講”和“幾何學選講”等非傳統課程。據悉，國內各類高校中的大多數數學類專業已穩定開設此類課程二十餘年，中國科學技術大學龔舁教授生前就曾開設過“微積分學選講”和“綫性代數選講”等課程；哈爾濱工業大學吳從炘教授也多次為本科生高年級開設“分析學選講”課程（科學齣版社2011年齣版的《一元微積分深化引論》就是他開設此類課程的結晶之一），海外高校數學類本科的“××一學文獻選讀”類課程早已是本科高年級的傳統課程，其內容除自編外，還有引自相關文獻的，學生也承擔某些內容的報告，這類課程強調課堂討論。筆者認為，上述海內外兩種課程的共性，就應該是我們本書的寫作“宗旨”。本書為葉“數學選講”課程所編著，其素材大部分來源於作者在蘭州大學、雲南大學和西南大學開設“代數學選講”十餘次的手稿，其中也有部分內容是在國內近五十所院校為青年教師、研究生和七個數學基地班的學生，以及五次全國性高校教學研討班做過的係列演講內容。該課程位於若乾代數學基礎課程（諸如“高等代數”“抽象代數”）之後。它的開設宗旨定位在，對相對基礎的內容做齣高觀點和高能力下的審視，給齣必要的、自然的、適當的加寬和加深，以夯實學生的知識基礎，提高學生的數學修養（特彆是邏輯推理能力和抽象思維能力，這兩種能力是代數學尤其善於承擔培養的修養側麵），這對學生步入社會工作，或者繼續深造，都至關重要。
　　“基礎代數學選講”主要涉及代數學中最基礎的“多項式代數”和“綫性代數”（聯係到上述宗旨，這裏的審視是在“抽象代數學”觀點下的）。目前，所見到的選講類教材多局限於習題的分類解答，僅有微觀處理，並無宏觀審視，有濃厚的考研應試教育色彩，不吻閤於上述宗旨。這裏除瞭緊扣我們的宗旨，在內容上也處處展示著我們幾十年來在代數學教學上的研究成果，對內容的加寬和加深也本著必要、自然和適當的原則，在內容的整閤過程中，“高等代數”教材裏的已有事實，在需要時，也予以羅列，但一般地，不再提供證明過程，凡此種種，讀者皆能從本書各講、節的標題上見其一斑。

圖書名稱： 基礎代數學選講 圖書簡介： 《基礎代數學選講》 是一本旨在為數學專業本科生及研究生提供堅實代數基礎，並深入探討現代代數核心概念的教材與參考書。本書的編寫遵循循序漸進的原則，力求在嚴謹的數學邏輯基礎上，兼顧教學的清晰度與啓發性。 本書結構與內容概述： 本書內容涵蓋瞭抽象代數（或稱現代代數）的基礎框架，並精選瞭在不同數學分支中具有重要應用和深刻背景的專題進行深入剖析。全書分為六個主要部分，共計十四章。 第一部分：群論基礎與結構（第1章至第3章） 本部分奠定群論的基石。首先，第1章係統介紹瞭群的定義、基本性質，包括子群、陪集、拉格朗日定理及其在有限群分類中的初步應用。重點強調瞭從具體實例（如對稱群、循環群）到抽象結構思維的過渡。 第2章深入探討瞭同態、同構以及重要的商群理論。本章詳細闡述瞭第一同構定理、第二、第三同構定理的證明及其在簡化群結構分析中的作用。特殊類型的群，如正規子群和因子群的構造，被給予充分的篇幅。 第3章聚焦於群的行動。本章引入群作用的概念，並詳細推導瞭軌道-穩定子定理。利用此定理，本書係統性地分析瞭p-群的存在性與結構，並介紹瞭Sylow定理的完整證明及其在有限群分類（特彆是20階及以下群的結構分析）中的應用。對於Sylow定理的證明，本書采用瞭清晰的分步邏輯，便於讀者理解其核心思想。 第二部分：環與域的構造（第4章至第6章） 本部分將代數結構從群擴展到環和域。 第4章定義瞭環、子環、理想和商環。重點分析瞭整環、域的特性，並引入瞭特殊的環結構，如主理想整環（PID）和唯一因子域（UFD）。本章詳細討論瞭極大理想與素理想之間的關係，並證明瞭商環的構造性質。 第5章專注於多項式環。本書對域上的多項式環 $ ext{K}[x]$ 進行瞭深入研究，包括除法算法、因式分解的唯一性。關鍵內容包括多項式的根的性質，以及如何利用商環來構造域的擴張（如有限域的初步引入）。 第6章專門探討瞭整環與域的完備性。本章詳細介紹瞭整環的分數域的構造過程，證明瞭任何整環都嵌入其分數域中。隨後，本書引入瞭域的擴張的概念，討論瞭代數擴張與超越擴張的區分，並為後續的伽羅瓦理論打下瞭必要的概念基礎。 第三部分：模論的入門（第7章） 本章作為連接環論與更一般代數結構（如綫性代數）的橋梁，介紹瞭模的基本概念。模被視為嚮量空間的推廣，著重分析瞭 $ ext{R}$-模的定義、子模、模同態。本章的重點在於自由模的概念，以及在特定情況下（如在PID上的模）的結構定理的初步介紹，為後續學習模塊化理論打下基礎。 第四部分：伽羅瓦理論的核心（第8章至第10章） 這是本書的亮點之一，旨在清晰闡述伽羅瓦理論的邏輯鏈條。 第8章係統迴顧並深化瞭域擴張的知識，特彆是正規擴張與可分擴張的定義。引入瞭伽羅瓦群 $ ext{Gal}( ext{L/K})$ 的定義，並證明瞭在 $ ext{L}/ ext{K}$ 為正規可分擴張時， $| ext{Gal}( ext{L/K})| = [ ext{L}: ext{K}]$。 第9章核心內容是基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的完整證明與應用。本章通過詳盡的例子，展示瞭域擴張塔與其子群之間的對偶對應關係。這部分內容通過詳細的圖示和逐步推導，力求避免初學者對“對應”關係的混淆。 第10章聚焦於伽羅瓦理論的經典應用：可解群與五次方程的不可解性。本章首先定義瞭可解群，並論證瞭域擴張可以通過求解一係列的中間域，這些擴張必須是伽羅瓦擴張且伽羅瓦群為可解群。最後，本書利用阿貝爾-魯菲尼定理，證明瞭五次及以上的一般多項式方程不可用根式求解的結論。 第五部分：綫性代數中代數結構的體現（第11章至第12章） 本部分從更具幾何和矩陣角度審視代數結構。 第11章重訪瞭綫性代數中的對角化與標準型，但從群作用和模的角度重新審視。重點討論瞭在綫性代數背景下，矩陣群（如一般綫性群 $ ext{GL}_n( ext{F})$）的結構，以及酉群、正交群的性質。 第12章係統介紹瞭錶示論的基礎。本書側重於有限群在綫性空間上的矩陣錶示，介紹瞭等價錶示、完全可約錶示的概念。對於緊緻群的錶示理論，本書提供瞭初步的介紹，為讀者理解特徵標理論打下基礎。 第六部分：進一步的主題與選講（第13章至第14章） 第13章探討瞭交換代數的初步概念。本書引入瞭交換代數中的基本工具，如張量積（Tensor Products）的基本定義和性質，以及域上的代數（Algebra over a Field）。這部分內容為讀者未來轉嚮代數幾何或交換代數提供瞭必要的術語和直觀認識。 第14章對有限域的結構進行瞭最後的歸納與深化。本書詳細證明瞭存在且唯一性（同構意義下）的有限域 $ ext{GF}(p^n)$，並探討瞭其乘法群的循環性。這部分內容既是對環論和域論的總結，也是對現代密碼學等領域的基礎鋪墊。 教學特色： 本書的敘述風格嚴謹且富有洞察力。每章末尾均附有大量的習題，分為“基礎練習”、“中等難度”、“挑戰性問題”三類，旨在幫助讀者鞏固理論知識並培養解決問題的能力。此外，本書在關鍵定理的證明後，常常穿插“注記與曆史背景”，簡要介紹該概念的起源、關鍵人物及其在現代數學中的地位，增強閱讀的趣味性和曆史感。本書力求平衡理論的深度與廣度，確保讀者在掌握基礎代數工具的同時，對更前沿的代數研究領域有所瞭解。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學懷有濃厚興趣的業餘愛好者，《基礎代數學選講》無疑是一份寶貴的饋贈。書中對於抽象代數基本概念的講解，如群、環、域的定義及其基本性質，都處理得非常到位。作者避免瞭過度冗長的證明，而是著重於概念的直觀理解和內在聯係的梳理。我特彆欣賞書中關於模（module）這一概念的介紹，它比嚮量空間更加一般化，但又保留瞭許多相似的優美性質，這為理解更廣泛的代數結構打下瞭堅實的基礎。書中對理想（ideal）的討論也讓我印象深刻，它在環論中扮演著至關重要的角色，理解瞭理想，也就掌握瞭理解環的結構的關鍵。作者在講解過程中，常常引用一些曆史典故和實際應用場景，這極大地增強瞭閱讀的趣味性，也讓我感受到代數並非空中樓閣，而是有著深厚的現實根基。雖然我暫時無法完全消化書中的所有內容，但每一次的閱讀都讓我感覺自己的數學視野在不斷拓展。

評分☆☆☆☆☆

在閱讀《基礎代數學選講》的過程中，我深刻體會到瞭代數作為數學“通用語言”的強大力量。書中對同構（isomorphism）概念的強調，讓我理解瞭不同代數結構之間可能存在的深刻共性，即便它們的外在錶現形式韆差萬彆。作者通過精選的例子，生動地展示瞭同構在簡化問題、揭示本質方麵的作用。書中關於群作用（group action）的講解，也為我理解對稱性以及它在物理學等領域的廣泛應用提供瞭理論基礎。我發現，一旦掌握瞭代數中的基本結構和操作，許多看似復雜的問題便能迎刃而解。這本書的另一個亮點在於其對一些基礎代數結構的深入剖析，例如阿貝爾群的結構定理，它揭示瞭阿貝爾群的分類問題，展現瞭數學傢們在探索普遍性規律方麵的卓越成就。雖然某些部分的證明細節對我來說還有些挑戰，但我相信通過反復的閱讀和思考，我能夠逐漸掌握這些精妙的數學思想。

評分☆☆☆☆☆

初次翻開《基礎代數學選講》，就被它深邃的理論體係所吸引，盡管我並非數學科班齣身，但作者用清晰易懂的語言，層層遞進地揭示瞭代數世界的奇妙。書中的每一個概念，無論是群論的抽象美，還是環和域的結構化思維，都經過瞭精心編排，仿佛是一場智慧的盛宴。我尤其喜歡其中關於群同態定理的論述，作者通過生動的例子，將原本抽象的證明過程變得觸手可及，讓我能夠深入理解同態映射的本質及其在不同代數結構之間的聯係。書中對多項式代數的研究也給我留下瞭深刻印象，作者深入淺齣地講解瞭多項式的性質、因式分解以及根的計算，這些內容不僅有助於我理解更高級的代數概念，也為我解決實際問題提供瞭重要的數學工具。雖然有些章節需要反復研讀，但每一次的思考都讓我對代數有瞭更深層次的認識，也激發瞭我進一步探索代數奧秘的強烈興趣。這本書的魅力在於它能夠將復雜的數學概念轉化為引人入勝的故事，讓我沉醉其中，欲罷不能。

評分☆☆☆☆☆

《基礎代數學選講》的獨特之處在於其選材的精煉與視角的獨特。作者並未像許多基礎教材那樣麵麵俱到，而是聚焦於代數中最核心、最富有思想性的部分。對我而言，最受啓發的莫過於關於伽羅瓦理論的引入部分。雖然書中對此並未展開深入的證明，但作者巧妙地勾勒齣瞭伽羅瓦理論的宏大圖景，將其與多項式根的求解以及域擴張聯係起來，讓我對“不可解方程”這一曆史性難題有瞭初步的認識，也為我開啓瞭理解數學史中重要思想發展的窗口。書中對於綫性代數中嚮量空間和綫性變換的闡述也頗具匠心，作者強調瞭代數結構在理解幾何對象中的作用，例如通過矩陣來描述綫性變換，這讓我從全新的角度審視瞭我們所熟悉的幾何概念。此外，書中對數域的構建和性質的探討，也讓我對數字的內在結構有瞭更深刻的理解，不再僅僅是符號的堆砌，而是蘊含著豐富的代數關係。整體而言，這本書就像一位經驗豐富的嚮導，引領我穿越代數的迷宮，領略其精髓。

評分☆☆☆☆☆

《基礎代數學選講》的閱讀體驗與眾不同，它更像是一次深入的對話，而非單方麵的知識灌輸。作者的筆觸細膩而富有啓發性，總能在關鍵之處點撥讀者，引導其自行思考。書中關於代數幾何入門的內容，雖然篇幅不長，但卻為我打開瞭一扇新的大門。通過代數方法研究幾何問題，這種跨學科的視角讓我驚嘆不已。作者用代數的語言來描述幾何對象的交集、麯綫的性質，這種化繁為簡的智慧令人摺服。我還特彆關注瞭書中關於有限域的內容，其在編碼理論和密碼學等領域的應用，讓我看到瞭代數理論的強大生命力。盡管書中涉及的一些證明可能需要一定的預備知識，但我發現作者總是能夠提供必要的補充說明，使得讀者能夠循序漸進地理解。這本書不僅僅是傳授知識，更重要的是培養一種抽象思維和邏輯推理的能力，這對於任何希望在數學領域深入探索的人來說，都是無價的。

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非常好的選修課教材，值得讀一讀。

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