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郭聿琦，胡洵，陈玉柱 著

图书标签:

• 基础代数
• 代数学
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• 代数基础
• 数学入门
• 教材

出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030471222

版次：1

商品编码：11877200

包装：平装

丛书名： 大学本科数学类专业基础课程系列丛书

开本：16开

出版时间：2016-02-01

用纸：胶版纸

页数：263

字数：390000

正文语种：中文

内容简介

　　《基础代数学选讲》定位在“抽象代数”的基础之上，对相对基础的“多项式代数”和“线性代数”作出高观点和高能力下的审视，给出必要的、自然的、适当的加宽和加深，以夯实学生的知识基础，提高学生的数学素养。《基础代数学选讲》共分8讲，内容包括：数域上的多项式，（并涉及由其定义的）多项式函数，线性相关性（线性代数的核心概念），关于线性空间和线性变换的其他基本事项（联系更一般的模和模同态概念），线性空间的直和分解（模的特殊情形），初等变换，初等矩阵与矩阵的等价标准形的应用开发，矩阵分块运算的应用开发，自然数集与数学归纳法，非Klein意义上的“高观点下的初等数学”。全书语言简练，逻辑严密，注重培养学生的逻辑推理和抽象思维能力。
　　《基础代数学选讲》可作为高等院校数学类专业师生的教材，也可供其他科研工作者参考。

内页插图

目录

前言
第1讲 数域上的多项式，（并涉及由其定义的）多项式函数
1．1 关于不可约多项式的一个基本事实与若干特殊的不可约多项式
1．1．1 基本事实
1．1．2 一类特殊的不可约多项式
1．1．3 另一类特殊的不可约多项式
1．1．4 矩阵的最小多项式
1．2 非负多项式的一个特征
1．3 关于多项式的Fermat大定理的一个初等证明
1．3．1 关于整数的Fermat大定理
1．3．2 关于多项式的Fermat大定理
1．4 关于一元多项式的若干注记
1．4．1 带余除法
1．4．2 余数定理的几种证明方法
1．4．3 零点-因子定理及其应用
1．4．4 多项式的最大（小）公因（倍）式
1．5 对称与初等对称多元多项式
1．5．1 多元多项式
1．5．2 对称和初等对称多项式
习题1

第2讲 线性相关性（线性代数的核心概念）
2．1 涉及线性相关性的几组基本事实
2，2替换定理及其等价刻画
2．3 涉及线性变换（线性映射）的线性相关性
2．4 涉及内积的（即Euclid空间里的）线性相关性
2．5 关于矩阵秩概念的开发（I）
2．6 从向量组的线性相关性到子空间组的线性相关性（详见第4讲）
习题2

第3讲 关于线性空间和线性变换的其他基本事项（联系更一般的模和模同态概念）
3．1 模（线性空间）公理间的独立性及其他
3．1．1 模公理间的独立性
3．1．2 模的Abel群
3．1．3 线性空间上的线性变换
3．2 线性空间关于线性变换的不变子空间
3．3 n维线性空间中n-无关无限子集的若干特征及其存在性
3．4 n变数可逆线性齐次代换的两种几何解释及其联系
3．4．1 解释为域F上n维线性空间上的线性变换
3．4．2 A可逆时，式（3．5 ）又可解释为域F上n维线性空间上的坐标变换
3．4．3 A可逆时，式（3．5 ）的上两种解释的联系
3．5 线性映射（函数）与其表示矩阵（向量）（“矩阵秩概念的开发（Ⅱ）”，用线性函数给出3．3 节的一个补充）
3．5．1 线性映射与其表示矩阵
3．5．2 矩阵秩概念的开发（儿）
3．5．3 用线性函数给出3．3 节的一个补充
3．6 对偶空间与“矩阵秩概念的开发（III）”
3．6．1 对偶空间与对偶基底
3．6．2 对偶线性映射与矩阵秩概念的开发（III）
3．6．3 空间与其对偶空间的对偶性
3．6．4 线性空间与其对偶空间的联系
3．7 对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释
3．8 Euclid空间与线性方程组的最小二乘法
3．8．1 Euclid空间的基本概念和基本事实
3．8．2 向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法
3．9 具有对角形表示矩阵的线性变换
3．10 多重线性函数和行列式的（一种）公理化定义
3．10．1 d-行列式的定义及性质
3．10．2 d-行列式恰为通常的行列式
3．10．3 d-行列式（作为行列式的公理化定义）的直接应用
3．11 多重线性函数和Binet-Cauchy公式
3．12 若干例题
习题3

第4讲 线性空间的直和分解（模的特殊情形）
4．1 线性空间的（内）直和与外直和
4．1．1 线性空间的（内）直和与外直和
4．1．2 用直和给出3．3 节的另外两个补充
4．2 线性空间涉及线性变换的若干直和结构
……
第5讲 初等变换，初等矩阵与矩阵的等价标准形的应用开发
第6讲 矩阵分块运算的应用开发
第7讲 自然数集与数学归纳法
第8讲 非Klein意义上的“高观点下的初等数学”
参考文献
索引

前言/序言

　　高校数学类专业为该专业本科生高年级开设的“代数学选讲”课程，平行于“分析学选讲”和“几何学选讲”等非传统课程。据悉，国内各类高校中的大多数数学类专业已稳定开设此类课程二十余年，中国科学技术大学龚舁教授生前就曾开设过“微积分学选讲”和“线性代数选讲”等课程；哈尔滨工业大学吴从炘教授也多次为本科生高年级开设“分析学选讲”课程（科学出版社2011年出版的《一元微积分深化引论》就是他开设此类课程的结晶之一），海外高校数学类本科的“××一学文献选读”类课程早已是本科高年级的传统课程，其内容除自编外，还有引自相关文献的，学生也承担某些内容的报告，这类课程强调课堂讨论。笔者认为，上述海内外两种课程的共性，就应该是我们本书的写作“宗旨”。本书为叶“数学选讲”课程所编著，其素材大部分来源于作者在兰州大学、云南大学和西南大学开设“代数学选讲”十余次的手稿，其中也有部分内容是在国内近五十所院校为青年教师、研究生和七个数学基地班的学生，以及五次全国性高校教学研讨班做过的系列演讲内容。该课程位于若干代数学基础课程（诸如“高等代数”“抽象代数”）之后。它的开设宗旨定位在，对相对基础的内容做出高观点和高能力下的审视，给出必要的、自然的、适当的加宽和加深，以夯实学生的知识基础，提高学生的数学修养（特别是逻辑推理能力和抽象思维能力，这两种能力是代数学尤其善于承担培养的修养侧面），这对学生步入社会工作，或者继续深造，都至关重要。
　　“基础代数学选讲”主要涉及代数学中最基础的“多项式代数”和“线性代数”（联系到上述宗旨，这里的审视是在“抽象代数学”观点下的）。目前，所见到的选讲类教材多局限于习题的分类解答，仅有微观处理，并无宏观审视，有浓厚的考研应试教育色彩，不吻合于上述宗旨。这里除了紧扣我们的宗旨，在内容上也处处展示着我们几十年来在代数学教学上的研究成果，对内容的加宽和加深也本着必要、自然和适当的原则，在内容的整合过程中，“高等代数”教材里的已有事实，在需要时，也予以罗列，但一般地，不再提供证明过程，凡此种种，读者皆能从本书各讲、节的标题上见其一斑。

图书名称： 基础代数学选讲 图书简介： 《基础代数学选讲》 是一本旨在为数学专业本科生及研究生提供坚实代数基础，并深入探讨现代代数核心概念的教材与参考书。本书的编写遵循循序渐进的原则，力求在严谨的数学逻辑基础上，兼顾教学的清晰度与启发性。 本书结构与内容概述： 本书内容涵盖了抽象代数（或称现代代数）的基础框架，并精选了在不同数学分支中具有重要应用和深刻背景的专题进行深入剖析。全书分为六个主要部分，共计十四章。 第一部分：群论基础与结构（第1章至第3章） 本部分奠定群论的基石。首先，第1章系统介绍了群的定义、基本性质，包括子群、陪集、拉格朗日定理及其在有限群分类中的初步应用。重点强调了从具体实例（如对称群、循环群）到抽象结构思维的过渡。 第2章深入探讨了同态、同构以及重要的商群理论。本章详细阐述了第一同构定理、第二、第三同构定理的证明及其在简化群结构分析中的作用。特殊类型的群，如正规子群和因子群的构造，被给予充分的篇幅。 第3章聚焦于群的行动。本章引入群作用的概念，并详细推导了轨道-稳定子定理。利用此定理，本书系统性地分析了p-群的存在性与结构，并介绍了Sylow定理的完整证明及其在有限群分类（特别是20阶及以下群的结构分析）中的应用。对于Sylow定理的证明，本书采用了清晰的分步逻辑，便于读者理解其核心思想。 第二部分：环与域的构造（第4章至第6章） 本部分将代数结构从群扩展到环和域。 第4章定义了环、子环、理想和商环。重点分析了整环、域的特性，并引入了特殊的环结构，如主理想整环（PID）和唯一因子域（UFD）。本章详细讨论了极大理想与素理想之间的关系，并证明了商环的构造性质。 第5章专注于多项式环。本书对域上的多项式环 $ ext{K}[x]$ 进行了深入研究，包括除法算法、因式分解的唯一性。关键内容包括多项式的根的性质，以及如何利用商环来构造域的扩张（如有限域的初步引入）。 第6章专门探讨了整环与域的完备性。本章详细介绍了整环的分数域的构造过程，证明了任何整环都嵌入其分数域中。随后，本书引入了域的扩张的概念，讨论了代数扩张与超越扩张的区分，并为后续的伽罗瓦理论打下了必要的概念基础。 第三部分：模论的入门（第7章） 本章作为连接环论与更一般代数结构（如线性代数）的桥梁，介绍了模的基本概念。模被视为向量空间的推广，着重分析了 $ ext{R}$-模的定义、子模、模同态。本章的重点在于自由模的概念，以及在特定情况下（如在PID上的模）的结构定理的初步介绍，为后续学习模块化理论打下基础。 第四部分：伽罗瓦理论的核心（第8章至第10章） 这是本书的亮点之一，旨在清晰阐述伽罗瓦理论的逻辑链条。 第8章系统回顾并深化了域扩张的知识，特别是正规扩张与可分扩张的定义。引入了伽罗瓦群 $ ext{Gal}( ext{L/K})$ 的定义，并证明了在 $ ext{L}/ ext{K}$ 为正规可分扩张时， $| ext{Gal}( ext{L/K})| = [ ext{L}: ext{K}]$。 第9章核心内容是基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的完整证明与应用。本章通过详尽的例子，展示了域扩张塔与其子群之间的对偶对应关系。这部分内容通过详细的图示和逐步推导，力求避免初学者对“对应”关系的混淆。 第10章聚焦于伽罗瓦理论的经典应用：可解群与五次方程的不可解性。本章首先定义了可解群，并论证了域扩张可以通过求解一系列的中间域，这些扩张必须是伽罗瓦扩张且伽罗瓦群为可解群。最后，本书利用阿贝尔-鲁菲尼定理，证明了五次及以上的一般多项式方程不可用根式求解的结论。 第五部分：线性代数中代数结构的体现（第11章至第12章） 本部分从更具几何和矩阵角度审视代数结构。 第11章重访了线性代数中的对角化与标准型，但从群作用和模的角度重新审视。重点讨论了在线性代数背景下，矩阵群（如一般线性群 $ ext{GL}_n( ext{F})$）的结构，以及酉群、正交群的性质。 第12章系统介绍了表示论的基础。本书侧重于有限群在线性空间上的矩阵表示，介绍了等价表示、完全可约表示的概念。对于紧致群的表示理论，本书提供了初步的介绍，为读者理解特征标理论打下基础。 第六部分：进一步的主题与选讲（第13章至第14章） 第13章探讨了交换代数的初步概念。本书引入了交换代数中的基本工具，如张量积（Tensor Products）的基本定义和性质，以及域上的代数（Algebra over a Field）。这部分内容为读者未来转向代数几何或交换代数提供了必要的术语和直观认识。 第14章对有限域的结构进行了最后的归纳与深化。本书详细证明了存在且唯一性（同构意义下）的有限域 $ ext{GF}(p^n)$，并探讨了其乘法群的循环性。这部分内容既是对环论和域论的总结，也是对现代密码学等领域的基础铺垫。 教学特色： 本书的叙述风格严谨且富有洞察力。每章末尾均附有大量的习题，分为“基础练习”、“中等难度”、“挑战性问题”三类，旨在帮助读者巩固理论知识并培养解决问题的能力。此外，本书在关键定理的证明后，常常穿插“注记与历史背景”，简要介绍该概念的起源、关键人物及其在现代数学中的地位，增强阅读的趣味性和历史感。本书力求平衡理论的深度与广度，确保读者在掌握基础代数工具的同时，对更前沿的代数研究领域有所了解。

评分☆☆☆☆☆

初次翻开《基础代数学选讲》，就被它深邃的理论体系所吸引，尽管我并非数学科班出身，但作者用清晰易懂的语言，层层递进地揭示了代数世界的奇妙。书中的每一个概念，无论是群论的抽象美，还是环和域的结构化思维，都经过了精心编排，仿佛是一场智慧的盛宴。我尤其喜欢其中关于群同态定理的论述，作者通过生动的例子，将原本抽象的证明过程变得触手可及，让我能够深入理解同态映射的本质及其在不同代数结构之间的联系。书中对多项式代数的研究也给我留下了深刻印象，作者深入浅出地讲解了多项式的性质、因式分解以及根的计算，这些内容不仅有助于我理解更高级的代数概念，也为我解决实际问题提供了重要的数学工具。虽然有些章节需要反复研读，但每一次的思考都让我对代数有了更深层次的认识，也激发了我进一步探索代数奥秘的强烈兴趣。这本书的魅力在于它能够将复杂的数学概念转化为引人入胜的故事，让我沉醉其中，欲罢不能。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学怀有浓厚兴趣的业余爱好者，《基础代数学选讲》无疑是一份宝贵的馈赠。书中对于抽象代数基本概念的讲解，如群、环、域的定义及其基本性质，都处理得非常到位。作者避免了过度冗长的证明，而是着重于概念的直观理解和内在联系的梳理。我特别欣赏书中关于模（module）这一概念的介绍，它比向量空间更加一般化，但又保留了许多相似的优美性质，这为理解更广泛的代数结构打下了坚实的基础。书中对理想（ideal）的讨论也让我印象深刻，它在环论中扮演着至关重要的角色，理解了理想，也就掌握了理解环的结构的关键。作者在讲解过程中，常常引用一些历史典故和实际应用场景，这极大地增强了阅读的趣味性，也让我感受到代数并非空中楼阁，而是有着深厚的现实根基。虽然我暂时无法完全消化书中的所有内容，但每一次的阅读都让我感觉自己的数学视野在不断拓展。

评分☆☆☆☆☆

在阅读《基础代数学选讲》的过程中，我深刻体会到了代数作为数学“通用语言”的强大力量。书中对同构（isomorphism）概念的强调，让我理解了不同代数结构之间可能存在的深刻共性，即便它们的外在表现形式千差万别。作者通过精选的例子，生动地展示了同构在简化问题、揭示本质方面的作用。书中关于群作用（group action）的讲解，也为我理解对称性以及它在物理学等领域的广泛应用提供了理论基础。我发现，一旦掌握了代数中的基本结构和操作，许多看似复杂的问题便能迎刃而解。这本书的另一个亮点在于其对一些基础代数结构的深入剖析，例如阿贝尔群的结构定理，它揭示了阿贝尔群的分类问题，展现了数学家们在探索普遍性规律方面的卓越成就。虽然某些部分的证明细节对我来说还有些挑战，但我相信通过反复的阅读和思考，我能够逐渐掌握这些精妙的数学思想。

评分☆☆☆☆☆

《基础代数学选讲》的阅读体验与众不同，它更像是一次深入的对话，而非单方面的知识灌输。作者的笔触细腻而富有启发性，总能在关键之处点拨读者，引导其自行思考。书中关于代数几何入门的内容，虽然篇幅不长，但却为我打开了一扇新的大门。通过代数方法研究几何问题，这种跨学科的视角让我惊叹不已。作者用代数的语言来描述几何对象的交集、曲线的性质，这种化繁为简的智慧令人折服。我还特别关注了书中关于有限域的内容，其在编码理论和密码学等领域的应用，让我看到了代数理论的强大生命力。尽管书中涉及的一些证明可能需要一定的预备知识，但我发现作者总是能够提供必要的补充说明，使得读者能够循序渐进地理解。这本书不仅仅是传授知识，更重要的是培养一种抽象思维和逻辑推理的能力，这对于任何希望在数学领域深入探索的人来说，都是无价的。

评分☆☆☆☆☆

《基础代数学选讲》的独特之处在于其选材的精炼与视角的独特。作者并未像许多基础教材那样面面俱到，而是聚焦于代数中最核心、最富有思想性的部分。对我而言，最受启发的莫过于关于伽罗瓦理论的引入部分。虽然书中对此并未展开深入的证明，但作者巧妙地勾勒出了伽罗瓦理论的宏大图景，将其与多项式根的求解以及域扩张联系起来，让我对“不可解方程”这一历史性难题有了初步的认识，也为我开启了理解数学史中重要思想发展的窗口。书中对于线性代数中向量空间和线性变换的阐述也颇具匠心，作者强调了代数结构在理解几何对象中的作用，例如通过矩阵来描述线性变换，这让我从全新的角度审视了我们所熟悉的几何概念。此外，书中对数域的构建和性质的探讨，也让我对数字的内在结构有了更深刻的理解，不再仅仅是符号的堆砌，而是蕴含着丰富的代数关系。整体而言，这本书就像一位经验丰富的向导，引领我穿越代数的迷宫，领略其精髓。

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非常好的选修课教材，值得读一读。

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