从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈 [Discussion from the Multidimensional of Pythagoras Teherem:The Theory of Simplex Rambling] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

沈文选，杨清桃 著

图书标签:

• Pythagoras定理
• 单形论
• 高维几何
• 拓扑学
• 数学漫谈
• 几何学
• 多维空间
• 数学普及
• 理论漫步
• 抽象代数

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560353708

版次：1

商品编码：12026995

包装：精装

丛书名： 现代数学中的著名定理纵横谈丛书

外文名称：Discussion from the Multidimensional of Pythagoras Teherem:The Theory of Simplex Rambling

开本：

内容简介

　　1维单形就是线段，2维单形就是三角形，3维单形就是四面体，从三角形、四面体到高维单形有一系列有趣的结论和优美的公式与不等式，《从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈》详尽地介绍了1000余个结论、公式、不等式及其推导、证明。从三角形到四面体，再到高维单形，其周界从线段变到三角形面，再变到体、超体，其两边夹角变到线线角、线面角、面面角，再变到维度角、级别角等，这就要用到新的数学工具来处理。《从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈》系统地介绍了单形的一般概念、特性及其理论，介绍了从单形的周界向量表示到引入k重向量，从单形的顶点向量表示到引入重心坐标，从研究同一单形中的有趣几何关系到研究多个单形间的奇妙几何关系式，引导读者进入用代数方法研究几何问题的神奇数学世界。
　　《从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈》可供初等数学、教育数学、凸体几何研究工作者及数学爱好者参考，适于中学数学教师、师范院校数学专业的教师和学生，也可以作为有关专业研究生的教材或参考书。

作者简介

　　沈文选，男，1948年生。湖南师范大学数学与计算机科学学院教授，曾任全国初等数学研究会理事长，湖南省高师数学教育研究会理事长，全国高师数学教育研究会常务理事，全国教育数学研究会常务理事，湖南省中学数学研究会副理事长，湖南省数学会中学数学委员会副主任，湖南师大数学奥林匹克研究所副所长，《中国初等数学研究》主任，《数学教育学报》编委，《现代中学数学》副主编，中国数学奥林匹克高级教练。
　　长期从事中学数学研究、初等数学研究、奥林匹克数学研究、教育数学研究，已出版学术专著16部，主编高校教材4部，出版其他书籍近40部，发表学术论文100余篇，其他文章200余篇。多年来为全国初、高中数学联赛，数学冬令营，国家集训队提供试题20余道，是湖南省数学奥林匹克培训的主要组织者与授课者，已指导硕士研究生78名。

内页插图

目录

引言 从高维Pythagoras定理谈起
第一章 n维欧氏空间简介
1．1 点的向量表示和向量的运算
1．2 n维欧氏空间
1．3 变换
1．4 子空间，凸集，凸多胞形
1．5 点距关系

第二章 单形的周界向量表示，k重向量
2．1 单形的周界向量表示
2．2 k重向量

第三章 单形的顶点向量表示，重心坐标
3．1 单形的顶点向量表示
3．2 重心坐标的概念

第四章 k维平行体
4．1 k维平行体的有关概念
4．2 k维平行体的基本性质
4．3 k维平行体中的几类不等式

第五章 单形的概念及体积公式
5．1 单形的有关概念
5．2 单形的体积公式

第六章 重心坐标的基本性质及应用
6．1 重心坐标的基本性质
6．2 En中的无穷远点
6．3 重心坐标的应用举例

第七章 单形中的一些定理与公式
7．1 单形的高线，界面
7．2 高维情形的Menelaus定理，Ceva定理，Routh定理
7．3 单形的射影定理，余弦定理和正弦定理
7．4 关联单形的超球
7．5 单形的重心，中线，莱布尼兹公式
7．6 单形的中面，高维Stewart定理
7．7 单形二面角的平分面
7．8 En中的张角公式，定比分点公式
7．9 过单形特殊点的线或面
7．10 单形的Fermat点，Steiner点
7．11 单形的Nagel点，Spieker超球面
7．12 单形的心距公式
7．13 九点圆定理的高维推广
7．14 侧棱等长的n维单形锥体
7．15 正则单形中的几个公式

第八章 单形的构造
8．1 单形的构造定理
……
第九章 同一单形中的几何关系
第十章 多个单形间的一些关系
第十一章 欧式空间的几类点集
参考文献
编辑手记

前言/序言

　　美丽的数学花园，奇妙的数学花坛，如果去游园，不仅欣赏了纯美的景观，而且可以享受充满数学智慧的精彩游程，开阔我们的视野，优化我们的思维，涤去蒙昧与无知。以至于诺贝尔奖获得者、著名的物理学家杨振宁先生也说出了：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的技巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙要领竟是支配物理世界的基本结构。”
　　为建设好这数学花园，扩展数学花坛，就要运用张景中院士的教育数学思想，对浩如烟海的数学材料进行再创造，把数学家们的数学化成果改造成学习者易于接受的知识，把数学化过程尽可能变成适合学习者可操作的活动过程，借助操作活动展示数学的优美特征，暴露数学的实质内涵，揭示朴素的数学思考过程，让数学冰冷的美丽转化为火热的思考，将数学抽象的形式转化为具体的案例。这也可以响应张奠宙教授的倡议：建构符合时代需求的数学常识，享受充满数学智慧的精彩人生。
　　笔者认为，探讨数学知识的系统运用是建设数学花园、扩展数学花坛的一种重要途径。为此，笔者以数学中的几个重要工具——矩阵、行列式、向量为专题，展示它们在初等数学各学科中的广泛应用及扩展，便形成这一套书。
　　这本书是《从高维Pythagoras定理谈起——单形论漫谈》，在几何学中，最古老的定理就是直角三角形中的Pythagoras（毕达哥拉斯，前572-前497）定理，在我国称为勾股定理（约前11世纪，商高就认识了边长为3：4：5的直角三角形，即勾三股四弦五）：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方。
　　在平面几何中，三角形占据着极为重要的地位，它是平面中最简单的多边形，它具有一系列优美的特殊性质，人们从中归结出一系列著名的定理、公式和不等式，人们用这些定理、公式、不等式来探求平面几何中的各类问题。如果将平面中的三角形向高维欧氏空间推广，便提出了高维欧氏空间中的单纯形（简称单形）问题的研究课题，单形是高维欧氏空间中最简单的几何图形，它亦有一系列优美的特殊性质，既可从中归结出一系列定理、公式、不等式，也可运用它来探求高维欧氏空间乃至常曲率空间中的各类问题。

从高维毕达哥拉斯定理谈起：单形论漫谈 本书旨在探索以高维毕达哥拉斯定理为切入点，深入浅出地展开对单形（Simplex）理论及其相关几何、拓扑学概念的讨论。全书结构严谨，内容丰富，力求在保持数学深度与严谨性的同时，提供清晰直观的几何图像和多角度的阐释。 第一章：毕达哥拉斯定理的几何直观与高维延展 本章从二维平面上的毕达哥拉斯定理出发，逐步将其推广至三维空间，建立起欧几里得空间中距离测量的基本框架。我们将详细讨论如何在高维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中定义向量的长度（范数）以及任意两点间的距离，并严格证明高维空间中勾股定理的有效性。这一基础的建立为后续单形概念的引入奠定了坚实的解析几何基础。我们将特别关注维度 $n$ 增大时，几何直观所面临的挑战，并引入投影、内积等概念，以保持概念的清晰度。 第二章：点集与凸组合：单形的基石 单形论的起点是对“点集”和“凸组合”的精确定义。本章将详细阐述凸集的性质，特别是凸组合在线性空间中的重要地位。我们将定义仿射空间（Affine Space）的概念，并阐明仿射独立性与线性独立性的区别与联系。这是理解单形生成所需最小点集的关键。随后，引入“凸包”（Convex Hull）的概念，展示如何通过一组点的凸包来构建最基本的几何对象。 第三章：单形的精确定义与基础结构 本章的核心在于对“单形”（Simplex）进行严谨的数学定义。我们首先定义 $k$ 维单形，即由 $k+1$ 个仿射独立的点生成的凸包。我们将讨论不同维度的单形，例如： 0 维单形：点（Vertex） 1 维单形：线段（Edge） 2 维单形：三角形（Triangle） 3 维单形：四面体（Tetrahedron） 更高维单形：称为 $k$-单形。 我们将分析单形的内在结构，包括其边、面等附属单形（Face）的构成方式。通过使用巴里中心坐标（Barycentric Coordinates），我们将展示如何唯一地表示单形内的任意点，并探讨这些坐标的几何意义——它们是衡量点在单形内相对位置的天然工具。 第四章：高维毕达哥拉斯定理与单形体积 本章将高维毕达哥拉斯定理的应用提升到新的高度，探讨其在计算高维单形体积中的作用。对于一个 $k$ 维单形，其体积（或更准确地说是 $k$ 维测度）的计算通常依赖于其顶点的坐标。我们将展示如何利用行列式（Gram Matrix的行列式）或更一般地，利用外积和格拉姆矩阵（Gram Matrix）来计算由一组向量张成的平行多面体（Parallelepiped）的体积，并推导出体积与单形顶点集合之间关系。特别地，我们将探讨三维四面体体积公式的推广形式，并说明为何在某些特殊的正交坐标系下，体积计算会简化，但这并非一般情况。 第五章：单纯复形：单形的组合与拓扑结构 单形本身是孤立的几何对象，但数学和应用中更常处理的是由一系列单形通过特定规则组合而成的结构——单纯复形（Simplicial Complex）。本章介绍单纯复形的定义、细分（Subdivision）操作，以及链（Chain）的概念。我们将讨论如何通过“粘合”低维单形的面，构造出具有特定拓扑性质的高维空间模型。理解单纯复形是连接几何结构与代数拓扑学（如同调论）的桥梁。 第六章：定向、边界算子与代数拓扑的初探 为了能对单形进行更深入的代数处理，本章引入“定向”（Orientation）的概念。一个单形的方向（即顶点的排列顺序）决定了其边界算子的符号。我们将定义边界算子 $partial$，它将一个 $k$ 维单形映射到其 $(k-1)$ 维边界的带有符号的组合。严格证明 $partial^2 = 0$ 是代数拓扑中的一个基本且深刻的结果。这一结果的意义在于，它揭示了结构内部的某种平衡性，为后续同调群的构建奠定了基础。 第七章：单形在优化问题中的应用：线性规划的几何视角 本章将理论转向实际应用，探讨单形在最优化理论中的核心地位。在 $n$ 维空间中，线性规划（Linear Programming）问题的可行域（Feasible Region）总是一个凸多面体（Convex Polytope）。关键的理论是，如果问题存在最优解，那么最优解一定位于该多面体的某个顶点上。我们进而论证，这些顶点正是由构成可行域的超平面（Hyperplanes）的交点形成的，而在拓扑上，最优性搜索的过程可以被视为在由这些约束条件定义的高维单形结构中进行移动。本书将侧重于如何从几何上理解单纯形法（Simplex Method）的每一步迭代，即从一个顶点移动到相邻的、使得目标函数值更优的另一个顶点。 第八章：单形与更高维几何的展望 在收尾部分，本书将展望单形理论在更广泛几何领域中的应用。我们将简要触及单纯剖分（Simplicial Partitioning）在数值分析（如有限元方法）中的重要性，以及单形如何作为研究更复杂几何体（如流形）的局部逼近工具。同时，也会提及单形在信息几何（Information Geometry）中构建概率分布空间（如概率单纯形）的作用，再次强调高维几何概念的普适性与强大生命力。 本书适合具有微积分和线性代数基础的读者，旨在提供一个从基础分析到应用实践的完整学习路径，使读者能深刻理解高维几何构造的精妙之处。

评分☆☆☆☆☆

这本《从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈》的标题实在太引人注目了，尤其是“高维Pythagoras定理”这个概念，瞬间就勾起了我对数学、几何学，乃至更抽象的结构理论的兴趣。我一直对这种看似基础却能延伸出无限复杂性的理论抱有极大的好奇心。这本书的选材角度非常独特，它似乎想从一个大家耳熟能详的数学概念入手，逐步引导读者进入一个更为专业和深奥的领域——单形论。我期望作者能用一种既能让初学者感到启发，又不至于让专业人士觉得肤浅的方式来展开论述。我尤其关注它如何处理从二维、三维的直观几何过渡到更高维度的抽象空间。这种跨越的逻辑构建，想必是全书的精彩所在。这本书的“漫谈”二字，也暗示了行文风格或许会相对轻松活泼，而非纯粹的教科书式推导，这对于我们这些希望在享受阅读乐趣中学习新知识的读者来说，简直是福音。我期待它能提供一个全新的视角来理解空间、维度以及这些概念在现代科学中的应用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名组合方式，让我感受到了一种跨学科的张力，这正是我所追求的阅读体验。毕达哥拉斯定理是欧氏几何的基石，而单形论则常常出现在抽象代数和现代优化问题的背景中。如何巧妙地将这两个领域——一个古老且直观，一个现代且抽象——编织在一起，是这本书最令我期待的部分。我猜测，作者可能利用高维空间中的距离和角度的概念，来阐述单形体的各种性质，比如其体积、表面积的计算，以及它们在拟合、分类问题中的作用。如果能辅以清晰的图示（即使是低维类比的图示），将极大地帮助读者构建心智模型。我特别看重作者在处理“维度灾难”和“非直观性”问题上的笔法，看看他们是如何驯服这些反直觉的高维现象的。

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，我对数学理论书籍的接受度是比较挑剔的，很多书往往在开篇就用一堆公式把人劝退了。《从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈》这个名字，至少在营销层面是极其成功的，因为它承诺了一个可触及的起点。我希望阅读体验能证明这个承诺是真实的。单形，作为多面体在高维空间中的基础单元，其重要性不言而喻。如果这本书能帮我建立起对n维空间中“面”、“边”、“顶点”的稳固概念，那这本书的价值就达到了。我更倾向于那种带有哲学思辨和历史背景介绍的论述方式，而不是枯燥的公理化证明。毕竟，伟大的数学发现往往诞生于直觉和深刻的洞察力，而非纯粹的逻辑推演。期待这本书能捕捉到这些“灵光一现”的瞬间，让单形论不再是高悬于空的理论。

评分☆☆☆☆☆

我最近对任何能拓宽我对“空间”认知的读物都抱有浓厚兴趣。《从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈》这个标题，听起来就像是一场智力探险的邀请函。我不太关心它是否提供了某个特定领域（如线性规划）的详尽应用手册，我更关注的是它如何重塑我对几何本质的理解。单形，作为最“简单”的高维凸体，是理解复杂结构的基础。这本书如果能以一种讲故事的方式，讲述单形论是如何一步步被发展和应用的，从早期的几何猜想到现代算法的支撑，那将是一次愉快的学习旅程。我希望它能在保持学术严谨性的同时，用一种充满探索精神的笔调，带领我们领略数学结构之美。

评分☆☆☆☆☆

我花了很长时间挑选这次想读的书籍，最终被这本《从高维Pythagoras定理谈起：单形论漫谈》的书名吸引住了。它不像那些晦涩难懂的专业著作，反而透着一股深入浅出的智慧。我猜想，作者一定非常擅长将复杂的数学思想“翻译”成普通人能够理解的语言。单形论本身就是一个非常重要的数学分支，它与凸几何、拓扑学乃至优化理论都有着千丝万缕的联系。如果这本书能够清晰地阐述单形论的核心思想，并且有效连接到那个高维的毕达哥拉斯定理的引子，那么它无疑是极具价值的入门读物。我特别希望看到作者如何构建这个“谈起”的过程，它是不是像搭积木一样，一步步搭建起对更高维度几何直觉的认知框架。那种从熟悉的定理到陌生理论的平滑过渡，是衡量一本优秀科普或入门书的关键标准。