從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談 [Discussion from the Multidimensional of Pythagoras Teherem:The Theory of Simplex Rambling] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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瀋文選，楊清桃 著

圖書標籤:

• Pythagoras定理
• 單形論
• 高維幾何
• 拓撲學
• 數學漫談
• 幾何學
• 多維空間
• 數學普及
• 理論漫步
• 抽象代數

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560353708

版次：1

商品編碼：12026995

包裝：精裝

叢書名： 現代數學中的著名定理縱橫談叢書

外文名稱：Discussion from the Multidimensional of Pythagoras Teherem:The Theory of Simplex Rambling

開本：

內容簡介

　　1維單形就是綫段，2維單形就是三角形，3維單形就是四麵體，從三角形、四麵體到高維單形有一係列有趣的結論和優美的公式與不等式，《從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談》詳盡地介紹瞭1000餘個結論、公式、不等式及其推導、證明。從三角形到四麵體，再到高維單形，其周界從綫段變到三角形麵，再變到體、超體，其兩邊夾角變到綫綫角、綫麵角、麵麵角，再變到維度角、級彆角等，這就要用到新的數學工具來處理。《從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談》係統地介紹瞭單形的一般概念、特性及其理論，介紹瞭從單形的周界嚮量錶示到引入k重嚮量，從單形的頂點嚮量錶示到引入重心坐標，從研究同一單形中的有趣幾何關係到研究多個單形間的奇妙幾何關係式，引導讀者進入用代數方法研究幾何問題的神奇數學世界。
　　《從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談》可供初等數學、教育數學、凸體幾何研究工作者及數學愛好者參考，適於中學數學教師、師範院校數學專業的教師和學生，也可以作為有關專業研究生的教材或參考書。

作者簡介

　　瀋文選，男，1948年生。湖南師範大學數學與計算機科學學院教授，曾任全國初等數學研究會理事長，湖南省高師數學教育研究會理事長，全國高師數學教育研究會常務理事，全國教育數學研究會常務理事，湖南省中學數學研究會副理事長，湖南省數學會中學數學委員會副主任，湖南師大數學奧林匹剋研究所副所長，《中國初等數學研究》主任，《數學教育學報》編委，《現代中學數學》副主編，中國數學奧林匹剋高級教練。
　　長期從事中學數學研究、初等數學研究、奧林匹剋數學研究、教育數學研究，已齣版學術專著16部，主編高校教材4部，齣版其他書籍近40部，發錶學術論文100餘篇，其他文章200餘篇。多年來為全國初、高中數學聯賽，數學鼕令營，國傢集訓隊提供試題20餘道，是湖南省數學奧林匹剋培訓的主要組織者與授課者，已指導碩士研究生78名。

內頁插圖

目錄

引言 從高維Pythagoras定理談起
第一章 n維歐氏空間簡介
1．1 點的嚮量錶示和嚮量的運算
1．2 n維歐氏空間
1．3 變換
1．4 子空間，凸集，凸多胞形
1．5 點距關係

第二章 單形的周界嚮量錶示，k重嚮量
2．1 單形的周界嚮量錶示
2．2 k重嚮量

第三章 單形的頂點嚮量錶示，重心坐標
3．1 單形的頂點嚮量錶示
3．2 重心坐標的概念

第四章 k維平行體
4．1 k維平行體的有關概念
4．2 k維平行體的基本性質
4．3 k維平行體中的幾類不等式

第五章 單形的概念及體積公式
5．1 單形的有關概念
5．2 單形的體積公式

第六章 重心坐標的基本性質及應用
6．1 重心坐標的基本性質
6．2 En中的無窮遠點
6．3 重心坐標的應用舉例

第七章 單形中的一些定理與公式
7．1 單形的高綫，界麵
7．2 高維情形的Menelaus定理，Ceva定理，Routh定理
7．3 單形的射影定理，餘弦定理和正弦定理
7．4 關聯單形的超球
7．5 單形的重心，中綫，萊布尼茲公式
7．6 單形的中麵，高維Stewart定理
7．7 單形二麵角的平分麵
7．8 En中的張角公式，定比分點公式
7．9 過單形特殊點的綫或麵
7．10 單形的Fermat點，Steiner點
7．11 單形的Nagel點，Spieker超球麵
7．12 單形的心距公式
7．13 九點圓定理的高維推廣
7．14 側棱等長的n維單形錐體
7．15 正則單形中的幾個公式

第八章 單形的構造
8．1 單形的構造定理
……
第九章 同一單形中的幾何關係
第十章 多個單形間的一些關係
第十一章 歐式空間的幾類點集
參考文獻
編輯手記

前言/序言

　　美麗的數學花園，奇妙的數學花壇，如果去遊園，不僅欣賞瞭純美的景觀，而且可以享受充滿數學智慧的精彩遊程，開闊我們的視野，優化我們的思維，滌去濛昧與無知。以至於諾貝爾奬獲得者、著名的物理學傢楊振寜先生也說齣瞭：“我贊美數學的優美和力量，它有戰術的技巧與靈活，又有戰略上的雄纔遠慮，而且，奇跡的奇跡，它的一些美妙要領竟是支配物理世界的基本結構。”
　　為建設好這數學花園，擴展數學花壇，就要運用張景中院士的教育數學思想，對浩如煙海的數學材料進行再創造，把數學傢們的數學化成果改造成學習者易於接受的知識，把數學化過程盡可能變成適閤學習者可操作的活動過程，藉助操作活動展示數學的優美特徵，暴露數學的實質內涵，揭示樸素的數學思考過程，讓數學冰冷的美麗轉化為火熱的思考，將數學抽象的形式轉化為具體的案例。這也可以響應張奠宙教授的倡議：建構符閤時代需求的數學常識，享受充滿數學智慧的精彩人生。
　　筆者認為，探討數學知識的係統運用是建設數學花園、擴展數學花壇的一種重要途徑。為此，筆者以數學中的幾個重要工具——矩陣、行列式、嚮量為專題，展示它們在初等數學各學科中的廣泛應用及擴展，便形成這一套書。
　　這本書是《從高維Pythagoras定理談起——單形論漫談》，在幾何學中，最古老的定理就是直角三角形中的Pythagoras（畢達哥拉斯，前572-前497）定理，在我國稱為勾股定理（約前11世紀，商高就認識瞭邊長為3：4：5的直角三角形，即勾三股四弦五）：直角三角形兩直角邊平方和等於斜邊的平方。
　　在平麵幾何中，三角形占據著極為重要的地位，它是平麵中最簡單的多邊形，它具有一係列優美的特殊性質，人們從中歸結齣一係列著名的定理、公式和不等式，人們用這些定理、公式、不等式來探求平麵幾何中的各類問題。如果將平麵中的三角形嚮高維歐氏空間推廣，便提齣瞭高維歐氏空間中的單純形（簡稱單形）問題的研究課題，單形是高維歐氏空間中最簡單的幾何圖形，它亦有一係列優美的特殊性質，既可從中歸結齣一係列定理、公式、不等式，也可運用它來探求高維歐氏空間乃至常麯率空間中的各類問題。

從高維畢達哥拉斯定理談起：單形論漫談 本書旨在探索以高維畢達哥拉斯定理為切入點，深入淺齣地展開對單形（Simplex）理論及其相關幾何、拓撲學概念的討論。全書結構嚴謹，內容豐富，力求在保持數學深度與嚴謹性的同時，提供清晰直觀的幾何圖像和多角度的闡釋。 第一章：畢達哥拉斯定理的幾何直觀與高維延展 本章從二維平麵上的畢達哥拉斯定理齣發，逐步將其推廣至三維空間，建立起歐幾裏得空間中距離測量的基本框架。我們將詳細討論如何在高維歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中定義嚮量的長度（範數）以及任意兩點間的距離，並嚴格證明高維空間中勾股定理的有效性。這一基礎的建立為後續單形概念的引入奠定瞭堅實的解析幾何基礎。我們將特彆關注維度 $n$ 增大時，幾何直觀所麵臨的挑戰，並引入投影、內積等概念，以保持概念的清晰度。 第二章：點集與凸組閤：單形的基石 單形論的起點是對“點集”和“凸組閤”的精確定義。本章將詳細闡述凸集的性質，特彆是凸組閤在綫性空間中的重要地位。我們將定義仿射空間（Affine Space）的概念，並闡明仿射獨立性與綫性獨立性的區彆與聯係。這是理解單形生成所需最小點集的關鍵。隨後，引入“凸包”（Convex Hull）的概念，展示如何通過一組點的凸包來構建最基本的幾何對象。 第三章：單形的精確定義與基礎結構 本章的核心在於對“單形”（Simplex）進行嚴謹的數學定義。我們首先定義 $k$ 維單形，即由 $k+1$ 個仿射獨立的點生成的凸包。我們將討論不同維度的單形，例如： 0 維單形：點（Vertex） 1 維單形：綫段（Edge） 2 維單形：三角形（Triangle） 3 維單形：四麵體（Tetrahedron） 更高維單形：稱為 $k$-單形。 我們將分析單形的內在結構，包括其邊、麵等附屬單形（Face）的構成方式。通過使用巴裏中心坐標（Barycentric Coordinates），我們將展示如何唯一地錶示單形內的任意點，並探討這些坐標的幾何意義——它們是衡量點在單形內相對位置的天然工具。 第四章：高維畢達哥拉斯定理與單形體積 本章將高維畢達哥拉斯定理的應用提升到新的高度，探討其在計算高維單形體積中的作用。對於一個 $k$ 維單形，其體積（或更準確地說是 $k$ 維測度）的計算通常依賴於其頂點的坐標。我們將展示如何利用行列式（Gram Matrix的行列式）或更一般地，利用外積和格拉姆矩陣（Gram Matrix）來計算由一組嚮量張成的平行多麵體（Parallelepiped）的體積，並推導齣體積與單形頂點集閤之間關係。特彆地，我們將探討三維四麵體體積公式的推廣形式，並說明為何在某些特殊的正交坐標係下，體積計算會簡化，但這並非一般情況。 第五章：單純復形：單形的組閤與拓撲結構 單形本身是孤立的幾何對象，但數學和應用中更常處理的是由一係列單形通過特定規則組閤而成的結構——單純復形（Simplicial Complex）。本章介紹單純復形的定義、細分（Subdivision）操作，以及鏈（Chain）的概念。我們將討論如何通過“粘閤”低維單形的麵，構造齣具有特定拓撲性質的高維空間模型。理解單純復形是連接幾何結構與代數拓撲學（如同調論）的橋梁。 第六章：定嚮、邊界算子與代數拓撲的初探 為瞭能對單形進行更深入的代數處理，本章引入“定嚮”（Orientation）的概念。一個單形的方嚮（即頂點的排列順序）決定瞭其邊界算子的符號。我們將定義邊界算子 $partial$，它將一個 $k$ 維單形映射到其 $(k-1)$ 維邊界的帶有符號的組閤。嚴格證明 $partial^2 = 0$ 是代數拓撲中的一個基本且深刻的結果。這一結果的意義在於，它揭示瞭結構內部的某種平衡性，為後續同調群的構建奠定瞭基礎。 第七章：單形在優化問題中的應用：綫性規劃的幾何視角 本章將理論轉嚮實際應用，探討單形在最優化理論中的核心地位。在 $n$ 維空間中，綫性規劃（Linear Programming）問題的可行域（Feasible Region）總是一個凸多麵體（Convex Polytope）。關鍵的理論是，如果問題存在最優解，那麼最優解一定位於該多麵體的某個頂點上。我們進而論證，這些頂點正是由構成可行域的超平麵（Hyperplanes）的交點形成的，而在拓撲上，最優性搜索的過程可以被視為在由這些約束條件定義的高維單形結構中進行移動。本書將側重於如何從幾何上理解單純形法（Simplex Method）的每一步迭代，即從一個頂點移動到相鄰的、使得目標函數值更優的另一個頂點。 第八章：單形與更高維幾何的展望 在收尾部分，本書將展望單形理論在更廣泛幾何領域中的應用。我們將簡要觸及單純剖分（Simplicial Partitioning）在數值分析（如有限元方法）中的重要性，以及單形如何作為研究更復雜幾何體（如流形）的局部逼近工具。同時，也會提及單形在信息幾何（Information Geometry）中構建概率分布空間（如概率單純形）的作用，再次強調高維幾何概念的普適性與強大生命力。 本書適閤具有微積分和綫性代數基礎的讀者，旨在提供一個從基礎分析到應用實踐的完整學習路徑，使讀者能深刻理解高維幾何構造的精妙之處。

評分☆☆☆☆☆

坦率地說，我對數學理論書籍的接受度是比較挑剔的，很多書往往在開篇就用一堆公式把人勸退瞭。《從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談》這個名字，至少在營銷層麵是極其成功的，因為它承諾瞭一個可觸及的起點。我希望閱讀體驗能證明這個承諾是真實的。單形，作為多麵體在高維空間中的基礎單元，其重要性不言而喻。如果這本書能幫我建立起對n維空間中“麵”、“邊”、“頂點”的穩固概念，那這本書的價值就達到瞭。我更傾嚮於那種帶有哲學思辨和曆史背景介紹的論述方式，而不是枯燥的公理化證明。畢竟，偉大的數學發現往往誕生於直覺和深刻的洞察力，而非純粹的邏輯推演。期待這本書能捕捉到這些“靈光一現”的瞬間，讓單形論不再是高懸於空的理論。

評分☆☆☆☆☆

我花瞭很長時間挑選這次想讀的書籍，最終被這本《從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談》的書名吸引住瞭。它不像那些晦澀難懂的專業著作，反而透著一股深入淺齣的智慧。我猜想，作者一定非常擅長將復雜的數學思想“翻譯”成普通人能夠理解的語言。單形論本身就是一個非常重要的數學分支，它與凸幾何、拓撲學乃至優化理論都有著韆絲萬縷的聯係。如果這本書能夠清晰地闡述單形論的核心思想，並且有效連接到那個高維的畢達哥拉斯定理的引子，那麼它無疑是極具價值的入門讀物。我特彆希望看到作者如何構建這個“談起”的過程，它是不是像搭積木一樣，一步步搭建起對更高維度幾何直覺的認知框架。那種從熟悉的定理到陌生理論的平滑過渡，是衡量一本優秀科普或入門書的關鍵標準。

評分☆☆☆☆☆

這本《從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談》的標題實在太引人注目瞭，尤其是“高維Pythagoras定理”這個概念，瞬間就勾起瞭我對數學、幾何學，乃至更抽象的結構理論的興趣。我一直對這種看似基礎卻能延伸齣無限復雜性的理論抱有極大的好奇心。這本書的選材角度非常獨特，它似乎想從一個大傢耳熟能詳的數學概念入手，逐步引導讀者進入一個更為專業和深奧的領域——單形論。我期望作者能用一種既能讓初學者感到啓發，又不至於讓專業人士覺得膚淺的方式來展開論述。我尤其關注它如何處理從二維、三維的直觀幾何過渡到更高維度的抽象空間。這種跨越的邏輯構建，想必是全書的精彩所在。這本書的“漫談”二字，也暗示瞭行文風格或許會相對輕鬆活潑，而非純粹的教科書式推導，這對於我們這些希望在享受閱讀樂趣中學習新知識的讀者來說，簡直是福音。我期待它能提供一個全新的視角來理解空間、維度以及這些概念在現代科學中的應用。

評分☆☆☆☆☆

我最近對任何能拓寬我對“空間”認知的讀物都抱有濃厚興趣。《從高維Pythagoras定理談起：單形論漫談》這個標題，聽起來就像是一場智力探險的邀請函。我不太關心它是否提供瞭某個特定領域（如綫性規劃）的詳盡應用手冊，我更關注的是它如何重塑我對幾何本質的理解。單形，作為最“簡單”的高維凸體，是理解復雜結構的基礎。這本書如果能以一種講故事的方式，講述單形論是如何一步步被發展和應用的，從早期的幾何猜想到現代算法的支撐，那將是一次愉快的學習旅程。我希望它能在保持學術嚴謹性的同時，用一種充滿探索精神的筆調，帶領我們領略數學結構之美。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名組閤方式，讓我感受到瞭一種跨學科的張力，這正是我所追求的閱讀體驗。畢達哥拉斯定理是歐氏幾何的基石，而單形論則常常齣現在抽象代數和現代優化問題的背景中。如何巧妙地將這兩個領域——一個古老且直觀，一個現代且抽象——編織在一起，是這本書最令我期待的部分。我猜測，作者可能利用高維空間中的距離和角度的概念，來闡述單形體的各種性質，比如其體積、錶麵積的計算，以及它們在擬閤、分類問題中的作用。如果能輔以清晰的圖示（即使是低維類比的圖示），將極大地幫助讀者構建心智模型。我特彆看重作者在處理“維度災難”和“非直觀性”問題上的筆法，看看他們是如何馴服這些反直覺的高維現象的。