动力系统VIII 奇异理论II：应用 [Dynamical Systems Ⅷ: Singularity Theory Ⅱ:Applications] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[俄罗斯] 阿诺德（Amol'，V.I.） 著

图书标签:

• 动力系统
• 奇异理论
• 应用数学
• 非线性动力学
• 分岔理论
• 拓扑学
• 灾难理论
• 数学物理
• 控制理论
• 几何学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030234957

版次：1

商品编码：12034545

包装：精装

丛书名： 国外数学名著系列（续一）（影印版）52

外文名称：Dynamical Systems Ⅷ: Singularity Theory Ⅱ:Applications

开本：16开

出版时间：2009-01-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　This volume of the Encyclopaedia is devoted to applications of singularity theory in mathematics and physics. The authors Arnol'd，Vasil'ev， Goryunov and Lyashko study bifurcation sets arising in various contexts such as the stability of singular points of dynamical systems， boundaries of the domains of ellipticity and hyperbolicity of partial differential equations， boundaries of spaces of oscillating linear equations with variable coefficients and boundaries of fundamental systems of solutions.
　　The book also treats applications of the following topics： functions on manifolds with boundary， projections of complete intersections， caustics， wave fronts， evolvents， maximum functions， shock waves， Petrovskij lacunas and generalizations of Newton's topological proof that Abelian integrals are transcendental.
　　The book contains a list of open problems， conjectures and directions for future research.
　　It will be of great interest for mathematicians and physicists as a reference and research aid.

内页插图

目录

Singularity Theory II Classification and Applications
V.I Arnol'd，V.V Goryunov，O.V Lyashko，V.A Vasil'ev
Translated from the Russian by J.S Joel
Contents
Foreword
Chapter 1. Classification of Functions and Mappings 8
1. Functions on a Manifold with Boundary 8
1.1. Classification of Functions on a Manifold with a Smooth Boundary 8
1.2. Versal Deformations and Bifurcation Diagrams 11
1.3. Relative Homology Basis 14
1.4. Intersection Form 14
1.5. Duality of Boundary Singularities 17
1.6. Functions on a Manifold with a Singular Boundary 17
2. Complete Intersections 20
2.1. Start of the Classification 21
2.2. Critical and Discriminant Sets 24
2.3. The Nonsingular Fiber 26
2.4. Relations Between the Tyurina and Milnor Numbers 28
2.5. Adding a Power of a New Variable 29
2.6. Relative Monodromy 29
2.7. Dynkin Diagrams 30
2.8. Parabolic and Hyperbolic Singularities 31
2.9. Vector Fields on a Quasihomogeneous Complete Intersection 33
2.10. The Space of a Miniversal Deformation of a Quasihomogeneous Singularity 35
2.11. Topological Triviality of Versal Deformations 36
3. Projections and Left-Right Equivalence 37
3.1. Projections of Space Curves onto the Plane 38
3.2. Singularities of Projections of Surfaces onto the Plane 39
3.3. Projections of Complete Intersections 43
3.4. Projections onto the Line 47
3.5. Mappings of the Line into the Plane 57
3.6. Mappings of the Plane into Three-Space 59
4. Nonisolated Singularities of Functions 65
4.1. Transversal Type of a Singularity 65
4.3. Topology of the Nonsingular Fiber 66
4.4. Series of Isolated Singularities 67
4.5. The Number of Indices of a Series 68
4.6. Functions with a One-Dimensional Complete Intersection as Critical Set and with Transversal Type Ai 69
5. Vector Fields Tangent to Bifurcation Varieties 79
5.1. Functions on Smooth Manifolds 79
5.2. Projections onto the Line 81
5.3. Isolated Singularities of Complete Intersections 82
5.4. The Equation of a Free Divisor 84
6. Divergent and Cyclic Diagrams of Mappings 84
6.1. Germs of Smooth Functions 85
6.2. Envelopes 85
6.3. Holopmorphic Diagrams 87
Chapter 2. Applications of the Classification of Critical Points of Functions 88
1. Legendre Singularities 88
1.1. Equidistants 89
1.2. Projective Duality 90
1.3. Legendre Transformation 90
1.4. Singularities of Pedals and Primitives 91
1.5. The Higher-Dimensional Case 91
2. Lagrangian Singularities 92
2.1. Caustics 92
2.2. The Manifold of Centers 93
2.3. Caustics of Systems of Rays 94
2.4. The Gauss Map 95
2.5. Caustics of Potential Systems of Noninteracting Particles 95
2.6. Coexistence of Singularities 97
3. Singularities of Maxwell Sets 98
3.1. Maxwell Sets 98
3.2. Metamorphoses of Maxwell Sets 100
3.3. Extended Maxwell Sets 103
3.4. Complete Maxwell Set Close to the Singularity As 106
3.5. The Structure of Maxwell Sets Close to the Metamorphosis As 110
3.6. Enumeration of the Connected Components of Spaces of Nondegenerate Polynomials 112
4. Bifurcations of Singular Points of Gradient Dynamical Systems 113
4.1. Thom's Conjecture 114
4.2. Singularities of Corank One 115
4.3. Guckenheimer's Counterexample 116
4.4. Three-Parameter Families of Gradients 117
4.5. Normal Forms of Gradient Systems D4 118
4.6. Bifurcation Diagrams and Phase Portaits of Standard Families 118
4.7. Multiparameter Families 120
Chapter 3. Singularities of the Boundaries of Domains of Function Spaces 121
1. Boundary of Stability 122
1.1. Domains of Stability 122
1.2. Singularities of the Boundary of Stability in Low-Dimensional Spaces 122
1.3. Stabilization Theorem 123
1.4. Finiteness Theorem 124
2. Boundary of Ellipticity 124
2.1. Domains of Ellipticity 124
2.2. Stabilization Theorems 124
2.3. Boundaries of Ellipticity and Minimum Functions 125
2.4. Singularities of the Boundary of Ellipticity in Low-Dimensional Spaces 126
3. Boundary of Hyperbolicity 127
3.1. Domain of Hyperbolicity 127
3.2. Stabilization Theorems 127
3.3. Local Hyperbolicity 128
3.4. Local Properties of Domains of Hyperbolicity 129
4. Boundary of the Domain of Fundamental Systems 131
4.1. Domain of Fundamental Systems and the Bifurcation Set 131
4.2. Singularities of Bifurcation Sets of
Generic Three-Parameter Families 132
4.3. Bifurcation Sets and Schubert Cells 136
4.4. Normal Forms 140
4.5. Duality 141
4.6. Bifurcation Sets and Tangential Singularities 142
4.7. The Group of Transformations of Sets and Finite Determinacy. 143
4.8. Bifurcation Diagrams of Flattenings of Projective Curves 145
S 5. Linear Differential Equations and Complete Flag Manifolds 146
Chapter 4. Applications of Ramified Integrals and Generalized Picard-Lefschetz Theories 149
1. Newton's Theorem on Nonintegrability 150
1.1. Newton's Theorem and Ar

前言/序言

　　要使我国的数学事业更好地发展起来，需要数学家淡泊名利并付出更艰苦地努力。另一方面，我们也要从客观上为数学家创造更有利的发展数学事业的外部环境，这主要是加强对数学事业的支持与投资力度，使数学家有较好的工作与生活条件，其中也包括改善与加强数学的出版工作。
　　从出版方面来讲，除了较好较快地出版我们自己的成果外，引进国外的先进出版物无疑也是十分重要与必不可少的。从数学来说，施普林格（Springer）出版社至今仍然是世界上最具权威的出版社。科学出版社影印一批他们出版的好的新书，使我国广大数学家能以较低的价格购买，特别是在边远地区工作的数学家能普遍见到这些书，无疑是对推动我国数学的科研与教学十分有益的事。
　　这次科学出版社购买了版权，一次影印了23本施普林格出版社出版的数学书，就是一件好事，也是值得继续做下去的事情。大体上分一下，这23本书中，包括基础数学书5本，应用数学书6本与计算数学书12本，其中有些书也具有交叉性质。这些书都是很新的，2000年以后出版的占绝大部分，共计16本，其余的也是1990年以后出版的。这些书可以使读者较快地了解数学某方面的前沿，例如基础数学中的数论、代数与拓扑三本，都是由该领域大数学家编著的“数学百科全书”的分册。对从事这方面研究的数学家了解该领域的前沿与全貌很有帮助。按照学科的特点，基础数学类的书以“经典”为主，应用和计算数学类的书以“前沿”为主。这些书的作者多数是国际知名的大数学家，例如《拓扑学》一书的作者诺维科夫是俄罗斯科学院的院士，曾获“菲尔兹奖”和“沃尔夫数学奖”。这些大数学家的著作无疑将会对我国的科研人员起到非常好的指导作用。
　　当然，23本书只能涵盖数学的一部分，所以，这项工作还应该继续做下去。更进一步，有些读者面较广的好书还应该翻译成中文出版，使之有更大的读者群。
　　总之，我对科学出版社影印施普林格出版社的部分数学著作这一举措表示热烈的支持，并盼望这一工作取得更大的成绩。

动力系统学中的前沿探索：从基础到极限的理论构建与实际应用 第一部分：经典动力系统的深化与拓展 本书并非聚焦于奇异性理论在动力系统中的具体应用，而是深入探讨动力系统理论体系的另一重要分支——定性理论的精细化研究及其在复杂系统建模中的应用。我们将沿着经典拓扑动力学、光滑动力学以及保结构动力学的路径，构建一个严谨而广阔的理论框架，为理解宏观现象的微观机制提供坚实的数学基础。 第一章：遍历理论的最新进展与测度空间中的动力学 本章着重于马尔可夫过程、Ergodic Theory（遍历理论）在非均匀测度空间上的推广。我们不再满足于经典勒贝格测度下的不变测度的存在性证明，而是转向研究粗糙测度（Rough Measures）下动力系统的遍历性质。 1.1 非平移不变系统的遍历性：探讨在具有时变性或空间依赖性的系统中，如何定义和寻找“广义不变测度”。这要求我们引入新的工具，例如随机微分方程（SDEs）在希尔伯特空间上的推广形式，并研究其解的渐近分布的平稳性。 1.2 熵理论的精化：介绍相对熵（Relative Entropy）和条件熵（Conditional Entropy）在信息论动力学中的应用。重点分析系统的信息产生速率，特别是对于高维混沌系统的拓扑熵与度量熵之间的精确关系，以及如何利用这些熵值来量化系统的不可预测性。这部分内容将涉及最新的拓扑动力学与信息几何学的交叉成果。 1.3 正则性与粗糙性：研究动力系统解的正则性对遍历性的影响。当系统由一阶微分方程演化时，其解的连续性是基础。本章将分析次黎曼几何（Sub-Riemannian Geometry）框架下，非光滑流形的动力学行为，特别是其不变集上的测度如何被“扭曲”。 第二章：结构保持积分系统与李雅普诺夫稳定性分析的拓展 本章的重点在于动力系统的保守性与稳定性分析，但我们超越了标准的哈密顿系统，关注于更广义的结构保持系统。 2.1 辛几何与模空间的动力学：深入探讨辛流形上的动力学，特别是当系统维度较高时，李雅普诺夫指数的计算面临的数值困难和理论挑战。我们引入模空间（Moduli Space）的概念，研究参数化系统的稳定性如何随着结构参数的变化而变化。 2.2 保辛流的长期行为：分析高维、大时间尺度下保辛系统的长期行为。重点探讨 KAM 定理（Kolmogorov–Arnold–Moser Theorem）的推广形式，以及在何种非微扰条件下，系统能够保持准周期运动，避免进入完全混沌状态。这涉及到对“可积性”的更精细的代数几何刻画。 2.3 能量与对称性的相互作用：从诺特定理的视角出发，探讨系统中内禀的对称性如何直接决定了守恒量（积分）的存在性。本章将结合微分代数的方法，系统性地寻找非标准守恒量，例如与流形结构相关的拓扑不变量。 第二部分：复杂网络中的动力学建模与控制 本部分将动力系统的理论工具应用于描述和控制复杂网络现象，关注于非线性耦合系统的集体行为。 第三章：耦合振荡器网络的同步与解耦 同步现象是复杂网络中最引人注目的集体行为之一。本章旨在提供一套严谨的数学工具来分析和设计同步行为。 3.1 广义耦合算子：超越传统的欧几里得距离耦合，我们研究基于图拉普拉斯矩阵的非对称、非局部耦合算子。分析在这些非标准耦合作用下，同步的临界耦合强度（Critical Coupling Strength）是如何确定的。 3.2 多尺度同步分析：在包含不同时间尺度振荡子的网络中（例如快慢变量），同步的出现往往是分层的。本章采用平均场理论（Mean-Field Theory）与慢流近似（Slow Flow Approximation）相结合的方法，解析地分离出快变量驱动下的慢动力学，并研究慢变量上的集体同步状态。 3.3 去同步化与网络鲁棒性：研究如何通过最小化的外部干预（如删除少量节点或增加噪声）来破坏已形成的同步状态。这直接关系到网络通信或生物节律的鲁棒性，涉及到图论中的最小割（Min-Cut）问题与动力系统的稳定性分析的结合。 第四章：时变网络的拓扑演化与动力学适应 现代系统（如社交网络、神经元网络）的连接结构是随时间变化的。本章探讨动态拓扑对系统整体动力学的影响。 4.1 随机过程与图的演化：将网络的连接变化建模为马尔可夫跳跃过程或随机微分方程。重点分析系统的动力学轨迹如何在其演化的拓扑空间中“漂移”。 4.2 适应性动力系统：研究网络节点自身的动力学规则会反过来影响网络拓扑的系统（如反应-扩散网络）。我们分析拓扑反馈机制下的稳态解，即哪些网络结构是系统自洽演化的最终归宿。 4.3 非线性偏微分方程（PDEs）在网络传播中的应用：将网络中的信息或疾病传播过程，通过平均场近似转化为连续的非线性PDEs。研究这些PDEs在具有时变边界条件或时变系数下的解的结构稳定性，特别关注波的传播速度与网络拓扑结构间的关系。 第三部分：计算动力学与高维系统分析 本部分关注在实际计算中处理高维非线性系统的方法论，重点在于降维与特征提取。 第五章：不变流形理论的数值实现与不确定性量化 对于复杂系统，往往只有特定的低维不变流形（如吸引子、鞍点集）才对长期行为起决定性作用。 5.1 中心流形计算的误差分析：系统地回顾和比较计算中心流形（Center Manifold）和不变流形的数值算法，例如基于泰勒展开、核函数近似或投影方法的优缺点。关键在于量化计算近似带来的误差如何影响系统在临界点附近的稳定性判断。 5.2 高维系统的庞加莱截面与特征提取：针对高维吸引子的分析，引入多重庞加莱截面法，以揭示系统复杂几何结构中的低维投影特征。本章将详细讨论如何利用主成分分析（PCA）和非线性降维技术（如Isomap、t-SNE）来有效地“发现”系统内在的低维动力学结构，而不依赖于先验的物理模型。 第六章：随机扰动下的结构稳定性与Hopf分岔的泛函分析 本章将随机性视为系统固有的组成部分，而非外部干扰，并研究系统在随机驱动下的分岔行为。 6.1 随机Hopf分岔理论：研究具有广义乘性噪声的动力系统如何产生随机极限环。重点分析噪声诱导的（Noise-Induced）稳定性和分岔点，这与确定性系统中的分岔有着本质的区别。我们将使用随机积分和伊藤微积分的工具来精确描述噪声对系统稳定性的影响。 6.2 泛函驱动系统：探讨系统的演化不仅依赖于当前状态，还依赖于过去状态集合的系统（例如，具有延迟项的系统）。分析这些延迟微分方程（DDEs）的极限环的稳定性和其对延迟参数的敏感性。延迟项的引入极大地丰富了系统的分岔类型，本章将系统分类这些新的分岔结构。 6.3 系统的可控性与可观测性在随机环境下的重定义：在存在噪声的情况下，如何用最小的输入实现对系统状态的精确控制（可控性），以及如何从含有噪声的观测数据中可靠地估计系统真实状态（可观测性）。这要求我们引入卡尔曼滤波的非线性扩展——扩展卡尔曼滤波器（EKF）和粒子滤波器（PF）的理论基础及其在复杂动力系统状态估计中的局限性。

评分☆☆☆☆☆

《动力系统VIII 奇异理论II：应用》这个书名，在我看来，传递出一种探索未知、揭示规律的科学精神。当我第一次看到它时，脑海中立刻浮现出那些复杂而精妙的数学模型，以及它们如何被用来解释我们周围世界的种种现象。我猜想，这本书的读者群体应该是对数学和科学有着高度热情的专业人士，他们可能正在研究如何预测天气变化，如何设计更稳定的机械系统，或者如何理解金融市场的波动。而“奇异理论II：应用”这个副标题，则表明这本书在前代研究的基础上，进一步深化了对“奇异”之处的理论理解，并着重于将这些理论成果转化为实际可行的解决方案。这让我联想到，书中可能包含了很多具体的案例分析，通过严谨的数学推导，来阐释奇异理论在各个学科领域的应用价值。对于我这样的普通读者而言，虽然可能无法完全理解其中的数学公式，但光是想象它能够解释那些看似偶然却又必然发生的“奇异”事件，就已经充满了吸引力。这本书的出现，无疑是对动力系统和奇异性理论研究的一次重要推进，也为渴望理解世界运行机制的求知者提供了更为广阔的视野。

评分☆☆☆☆☆

这本《动力系统VIII 奇异理论II：应用》的名字本身就散发着一种严谨而又富有探索精神的气息。当我看到“奇异理论II”这个后缀时，不禁联想到它必定是在“奇异理论I”的基础上进行了更深入的挖掘和拓展，并且重点在于“应用”层面。这意味着，书中可能不仅仅是纯粹的数学推导和理论构建，而是会将这些抽象的数学工具应用于解释现实世界中的各种复杂现象。我猜测，这本书的篇幅应该不小，内容也势必相当扎实，可能包含了大量的公式、定理、证明，以及对这些理论在不同学科领域中的实际案例分析。对于非专业人士来说，理解起来可能需要一定的数学基础和逻辑思维能力。然而，正是这种对复杂问题的深入剖析，以及将理论与实践相结合的尝试，才使得这本书具有了非凡的价值。我想象着书中可能涉及到的案例，或许是从微观粒子世界的混沌行为，到宏观宇宙的结构演化，亦或是社会经济系统的动态变化。这本书的出现，为我们理解那些看似无序却又暗藏规律的现象提供了一个强有力的理论框架。我非常期待能够通过阅读这本书，提升自己对科学方法论的理解，并尝试用更具洞察力的视角去观察和分析周围的世界。

评分☆☆☆☆☆

当我在书店的架子上看到《动力系统VIII 奇异理论II：应用》这本书时，第一个反应就是，这肯定是一本需要静下心来，细细品味的学术著作。从书名就能感受到其内容的专业性和深度。“动力系统”本身就指向了研究事物如何随时间变化的学科，“奇异理论”则暗示着对那些看似“不规则”或“突变”现象的关注，而“应用”二字则勾勒出了将这些理论应用于现实世界的广阔前景。我大胆推测，这本书的读者可能以大学教师、科研人员以及高年级理工科学生为主，他们需要在专业领域进行深入研究，或者需要为复杂的工程问题寻找数学模型。这本书的装帧设计，我想象中应该是比较朴实而又具备学术气息的，可能不会有过多的花哨装饰，但字迹清晰，排版严谨。我非常好奇，书中会如何通过数学的语言来描绘那些在自然界或社会生活中随处可见的“奇异”现象，比如蝴蝶效应的放大，或者市场经济的突然崩溃。这本书的出版，无疑为相关领域的研究者提供了一个重要的数据源和理论参考，也让对科学的严谨性和普适性充满好奇的人们，得以窥探到理解复杂世界的钥匙。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当引人注目，深邃的蓝色背景上，金色的奇异吸引子图案如同宇宙中的星云，散发着神秘而迷人的光芒。当我第一次拿到《动力系统VIII 奇异理论II：应用》时，就被这种视觉冲击力所吸引。虽然我并不是理论物理学的专业人士，但对数学和自然科学的广泛兴趣让我对这类探讨事物本质和演化规律的书籍情有独钟。这本书的定价对于一本学术专著来说，似乎也颇具分量，这让我对其中蕴含的知识深度和研究价值有了更高的期待。我推测，这本书的读者群体应该相当专业，可能是在数学、物理、工程甚至经济学等领域进行前沿研究的学者、研究生，抑或是对动力系统和奇异性概念有着深厚兴趣的爱好者。对于我这样的普通读者而言，虽然可能难以完全消化其中的艰深理论，但单单从书名中“奇异理论”和“应用”这两个词汇，就能感受到它所要揭示的关于世界运行机制中那些非线性、不规则但又具有深刻内在规律的现象。我很好奇，书中会如何将抽象的数学概念与实际的应用场景相结合，例如在描述天气变化、金融市场波动，甚至是生物体的生长发育过程中，奇异理论能扮演怎样的角色。这本书的出版，无疑是为该领域的研究者提供了一扇深入探索的窗口，也为渴望理解复杂世界背后逻辑的求知者们开启了一扇充满挑战但也令人兴奋的大门。

评分☆☆☆☆☆

《动力系统VIII 奇异理论II：应用》这个书名，在我看来，代表着一种对事物内在规律的深度挖掘和对现实世界复杂性的深刻洞察。我猜想，这本书的作者一定在动力系统和奇异性理论领域有着极为深厚的造诣。尤其“应用”二字，则表明这本书的重点并不仅仅停留在理论层面，而是致力于将这些抽象的数学工具转化为解决实际问题的有力武器。这本书的读者群体，我推测大概是那些致力于在各自领域解决复杂问题的研究人员，例如在物理学中模拟不稳定性现象，在工程学中分析系统故障，甚至在生物学中解释细胞分化过程。它可能包含了一些前沿的研究成果，为同行提供了新的研究思路和技术手段。对于我这样的普通读者而言，虽然可能难以完全理解书中的数学推导，但仅仅从它所涵盖的“应用”领域，就足以引发我无限的遐想。我很好奇，书中会如何以奇异理论的视角来解析那些我们日常生活中习以为常，但背后却蕴含着复杂演化规律的现象。这本书的出现，无疑是对该领域知识的一次重要充实和发展，也为渴望深入理解世界运行机制的读者们提供了一份宝贵的精神食粮。