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内容简介

　　《特殊函数论及其应用》介绍和总结了在数论和数学物理等学科中有重要应用的几类特殊函数，如Zeta函数、Gamma函数、超几何函数、椭圆函数等，主要分析和阐述在研究特殊函数时新的思想、方法和技巧，论证特殊函数的解析性质、特殊函数之间的内在联系、特殊函数的完全单调、模恒等式、渐近逼近、对数凸性等性质及其应用，获得了一些有趣的结果和应用。
　　《特殊函数论及其应用》可以作为特殊函数论的入门读物，也可供数学系、物理系的师生及工程技术研究人员参考。

内页插图

目录

前言
第1章 绪论
1．1 理论背景
1．2 国内外研究综述
1．3 结构导引
1．4 相关概念

第2章 预备知识
2．1 概要
2．2 复变函数基础知识
2．2．1 复数基本概念
2．2．2 Cauchy-Riemann方程
2．2．3 复积分基本概念
2．2．4 幂级数
2．2．5 Laurent展开式及留数
2．3 Jensen公式
2．4 部分分式分解
2．4．1 有理函数部分分式分解
2．4．2 余切函数的分解及应用

第3章 数论中的特殊函数
3．1 Plana求和公式及应用
3．2 Kubert函数及乘积公式
3．2．1 导引
3．2．2 相关结果
3．2．3 均值定理

第4章 超几何函数与椭圆Theta恒等式
4．1 R，amanujan三次椭圆函数论
4．1．1 -些经典椭圆函数论的基本性质
4．1．2 主要结论及证明
4．2 JacobiTheta恒等式及其应用
4．2．1 Ramanujan的模恒等式
4．2．2 Theta恒等式的推广和应用
4．2．3 平方和定理的新证明

第5章 Polygamma函数及q．模拟
5．1 Polygamma函数完全单调及应用
5．1．1 导引
5．1．2 改进及证明
5．2 Trigamma函数的完全单调性
5．2．1 导引
5．2．2 主要结论及证明
5．2．3 包含Polygamma函数的完全单调性推广
5．3 Polygamma的q一模拟及完全单调
5．3．1 Gamma的q一模拟及基本性质
5．3．2 导引
5．3．3 主要引理及证明
5．3．4 q-Polygamma的完全单调性

第6章 特殊函数的渐近逼近及不等式
6．1 Ramanujan Gamma双向逼近
6．1．1 导引
6．1．2 Ramanujan Gamma双向逼近的推广
6．1．3 已有结论的比较
6．2 Ramanujan问题与基本超越函数
6．2．1 引言
6．2．2 基本超越函数余项估计
6．2．3 与Becker-Stark的比较
6．3 Carlson不等式
6．3．1 导引
6．3．2 Carlson不等式改进与加强
6．3．3 两个推广
6．3．4 比较分析

第7章 多参量Gini均值
7．1 引言
7．2 概念和性质
7．3 主要结论及证明
7．3．1 Gini均值对数凸性的新证明
7．3．2 推广及性质
参考文献
附录 Polygamma完全单调的补充证明

前言/序言

　　特殊函数是指在数学和工程领域中非常重要的函数，一般地，作为数学研究的一个分支，特殊函数论（或称为超越函数论）是指实与复分析、数学物理、数论等学科中具有基础理论和重要应用价值的函数。特殊函数主要包括Gamma函数、Zeta函数、超几何与合流超几何函数、Weierstrass函数与Jacobi椭圆函数、Lame函数、正交多项式等。
　　本书主要介绍Gamma函数、超几何函数、椭圆函数和Zeta函数等几类经典特殊函数及它们之间的内在联系，特殊函数的完全单调、模恒等式、渐近逼近、对数凸性等性质及其应用。主要利用解析函数论、微分方程、凸函数理论等思想、方法和技巧，具体分析和研究了Plana求和公式、Kubert函数、Gauss超几何函数2F（a，b；c；z）、Polygamma函数及其q一模拟，Ramanujan Gamma函数、Gini均值及Jacobi椭圆函数等特殊函数的性质。作为应用，揭示了不同特殊函数之间的相互关系，给出了Hurwitz-LerchZeta函数的积分表达，改进了部分特殊函数渐近逼近的界，建立了一些新的有趣的性质和不等式，并且推广了已有的结果。这些结果有利于在理论上更深入地理解特殊函数的性质，并且便于在实践中更广泛地应用这些性质，丰富了特殊函数论的研究。
　　本书核心部分主要是Gamma函数和Zeta函数的相关结论，由于Gamma函数在特殊函数论中的基础重要性，几乎所有的特殊函数论的专著和教材都从Euler积分定义的Gamma函数开始。它具备丰富和优美的特性，在数学的许多分支以及物理、工程等学科中都起着不可或缺的重要作用。它的重要性和丰富性集聚了几个世纪以来最优秀的数学家的智慧，如Wallis（1616～1703）、Bernoulli（1700～1782）、Euler（1707～1783）、Goldbach（1690~1764）、Gauss（1777～1855）、Ramanujan（1887～1920）等。数学家的共同努力使得Gamma函数已经成为高度发展了的系统理论，而Riemann（函数更是数论中的核心课题。
　　本书的核心内容是两位作者近年来在数论和特殊函数研究中所获得的一些结果，全书力图体现朴素的思想、分析的技巧和新颖的角度这三者有机结合的思路。对于复杂的问题，从一些简单的情形出发，寻找规律；对于经典的研究对象，力求从崭新的角度去审视和分析。
　　本书的出版得到了渭南师范学院学术专著出版基金、第58批中国博士后基金（2015M582619）、陕西省教育厅专项基金项目（15JK1264）、特色学科和人才项目（14TSXK02，15ZRRC05）及国家自然科学基金项目（61402335）等的资助，作者在此一并表示衷心的感谢。
　　由于作者水平有限，书中难免存在不足之处，恳请专家学者批评指正。
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