特殊函數論及其應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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趙教練，李海龍 著

圖書標籤:

• 特殊函數
• 數學分析
• 高等數學
• 應用數學
• 工程數學
• 物理數學
• Gamma函數
• 貝塞爾函數
• Legendre函數
• 漸近分析

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030485199

版次：1

商品編碼：12056291

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2016-06-01

用紙：膠版紙

頁數：143

字數：192000

正文語種：中文

內容簡介

　　《特殊函數論及其應用》介紹和總結瞭在數論和數學物理等學科中有重要應用的幾類特殊函數，如Zeta函數、Gamma函數、超幾何函數、橢圓函數等，主要分析和闡述在研究特殊函數時新的思想、方法和技巧，論證特殊函數的解析性質、特殊函數之間的內在聯係、特殊函數的完全單調、模恒等式、漸近逼近、對數凸性等性質及其應用，獲得瞭一些有趣的結果和應用。
　　《特殊函數論及其應用》可以作為特殊函數論的入門讀物，也可供數學係、物理係的師生及工程技術研究人員參考。

內頁插圖

目錄

前言
第1章 緒論
1．1 理論背景
1．2 國內外研究綜述
1．3 結構導引
1．4 相關概念

第2章 預備知識
2．1 概要
2．2 復變函數基礎知識
2．2．1 復數基本概念
2．2．2 Cauchy-Riemann方程
2．2．3 復積分基本概念
2．2．4 冪級數
2．2．5 Laurent展開式及留數
2．3 Jensen公式
2．4 部分分式分解
2．4．1 有理函數部分分式分解
2．4．2 餘切函數的分解及應用

第3章 數論中的特殊函數
3．1 Plana求和公式及應用
3．2 Kubert函數及乘積公式
3．2．1 導引
3．2．2 相關結果
3．2．3 均值定理

第4章 超幾何函數與橢圓Theta恒等式
4．1 R，amanujan三次橢圓函數論
4．1．1 -些經典橢圓函數論的基本性質
4．1．2 主要結論及證明
4．2 JacobiTheta恒等式及其應用
4．2．1 Ramanujan的模恒等式
4．2．2 Theta恒等式的推廣和應用
4．2．3 平方和定理的新證明

第5章 Polygamma函數及q．模擬
5．1 Polygamma函數完全單調及應用
5．1．1 導引
5．1．2 改進及證明
5．2 Trigamma函數的完全單調性
5．2．1 導引
5．2．2 主要結論及證明
5．2．3 包含Polygamma函數的完全單調性推廣
5．3 Polygamma的q一模擬及完全單調
5．3．1 Gamma的q一模擬及基本性質
5．3．2 導引
5．3．3 主要引理及證明
5．3．4 q-Polygamma的完全單調性

第6章 特殊函數的漸近逼近及不等式
6．1 Ramanujan Gamma雙嚮逼近
6．1．1 導引
6．1．2 Ramanujan Gamma雙嚮逼近的推廣
6．1．3 已有結論的比較
6．2 Ramanujan問題與基本超越函數
6．2．1 引言
6．2．2 基本超越函數餘項估計
6．2．3 與Becker-Stark的比較
6．3 Carlson不等式
6．3．1 導引
6．3．2 Carlson不等式改進與加強
6．3．3 兩個推廣
6．3．4 比較分析

第7章 多參量Gini均值
7．1 引言
7．2 概念和性質
7．3 主要結論及證明
7．3．1 Gini均值對數凸性的新證明
7．3．2 推廣及性質
參考文獻
附錄 Polygamma完全單調的補充證明

前言/序言

　　特殊函數是指在數學和工程領域中非常重要的函數，一般地，作為數學研究的一個分支，特殊函數論（或稱為超越函數論）是指實與復分析、數學物理、數論等學科中具有基礎理論和重要應用價值的函數。特殊函數主要包括Gamma函數、Zeta函數、超幾何與閤流超幾何函數、Weierstrass函數與Jacobi橢圓函數、Lame函數、正交多項式等。
　　本書主要介紹Gamma函數、超幾何函數、橢圓函數和Zeta函數等幾類經典特殊函數及它們之間的內在聯係，特殊函數的完全單調、模恒等式、漸近逼近、對數凸性等性質及其應用。主要利用解析函數論、微分方程、凸函數理論等思想、方法和技巧，具體分析和研究瞭Plana求和公式、Kubert函數、Gauss超幾何函數2F（a，b；c；z）、Polygamma函數及其q一模擬，Ramanujan Gamma函數、Gini均值及Jacobi橢圓函數等特殊函數的性質。作為應用，揭示瞭不同特殊函數之間的相互關係，給齣瞭Hurwitz-LerchZeta函數的積分錶達，改進瞭部分特殊函數漸近逼近的界，建立瞭一些新的有趣的性質和不等式，並且推廣瞭已有的結果。這些結果有利於在理論上更深入地理解特殊函數的性質，並且便於在實踐中更廣泛地應用這些性質，豐富瞭特殊函數論的研究。
　　本書核心部分主要是Gamma函數和Zeta函數的相關結論，由於Gamma函數在特殊函數論中的基礎重要性，幾乎所有的特殊函數論的專著和教材都從Euler積分定義的Gamma函數開始。它具備豐富和優美的特性，在數學的許多分支以及物理、工程等學科中都起著不可或缺的重要作用。它的重要性和豐富性集聚瞭幾個世紀以來最優秀的數學傢的智慧，如Wallis（1616～1703）、Bernoulli（1700～1782）、Euler（1707～1783）、Goldbach（1690~1764）、Gauss（1777～1855）、Ramanujan（1887～1920）等。數學傢的共同努力使得Gamma函數已經成為高度發展瞭的係統理論，而Riemann（函數更是數論中的核心課題。
　　本書的核心內容是兩位作者近年來在數論和特殊函數研究中所獲得的一些結果，全書力圖體現樸素的思想、分析的技巧和新穎的角度這三者有機結閤的思路。對於復雜的問題，從一些簡單的情形齣發，尋找規律；對於經典的研究對象，力求從嶄新的角度去審視和分析。
　　本書的齣版得到瞭渭南師範學院學術專著齣版基金、第58批中國博士後基金（2015M582619）、陝西省教育廳專項基金項目（15JK1264）、特色學科和人纔項目（14TSXK02，15ZRRC05）及國傢自然科學基金項目（61402335）等的資助，作者在此一並錶示衷心的感謝。
　　由於作者水平有限，書中難免存在不足之處，懇請專傢學者批評指正。

數學史上的瑰寶：解析經典數學著作的深度與廣度 獻給嚴謹求知者的學術導航 目錄： 引言：數學研究的基石與演進 第一部分：代數結構與數論的疆域 群論的精妙：對稱性的邏輯架構 環與域的拓撲：代數幾何的先聲 數論的殿堂：從歐幾裏得到現代猜想 第二部分：分析學的宏偉藍圖 實分析與測度論：嚴謹性的基石 泛函分析的無限維度 調和分析：傅裏葉的遺産與現代應用 第三部分：拓撲學與幾何學的交織 拓撲空間的本質與分類 微分幾何：流形上的計算 第四部分：概率論與隨機過程的復雜性 測度論概率論的嚴格基礎 隨機過程的動態演化 結語：通往知識深處的階梯 --- 引言：數學研究的基石與演進 本指南旨在為數學愛好者、研究生及專業研究人員提供一份詳盡的、涵蓋瞭二十世紀以來數學核心分支的參考書目導覽。我們聚焦於那些奠定現代數學大廈的經典著作，這些書籍不僅是知識的載體，更是數學思想發展的裏程碑。它們以其無與倫比的嚴謹性、清晰的邏輯結構和深刻的洞察力，引領著一代又一代的學者深入探索抽象世界的奧秘。我們所探討的領域，從離散的代數結構到連續的分析空間，無不體現著數學傢們對模式、結構與量化的不懈追求。這些著作的核心價值，在於它們係統性地梳理瞭某一學科從基本公理到前沿研究的全貌，是構建紮實理論基礎的不可或缺的工具。 第一部分：代數結構與數論的疆域 群論的精妙：對稱性的邏輯架構 對稱性是自然界和人工構造中普遍存在的美學與結構原則，而群論正是描述這種對稱性的完美語言。我們推薦的經典著作，著重於從基礎的群定義齣發，係統闡述子群、正規子群、商群的構建，並深入探討同態與同構的深刻聯係。重點章節會詳盡分析有限群的結構定理，如西洛夫定理（Sylow Theorems）的證明及其在分類問題中的應用。更進一步，這些書籍將帶領讀者進入無限群的世界，介紹自由群、其錶示論的初步概念，以及群作用在集閤上的應用，尤其是在幾何與組閤學中的體現。對於學習者而言，理解如何通過群的性質來簡化復雜的對稱問題，是掌握現代物理學（如量子力學）和密碼學基礎的關鍵一步。 環與域的拓撲：代數幾何的先聲 環論和域論是代數幾何和代數拓撲的語言基礎。經典教材會嚴格定義這些代數結構，區分交換環與非交換環，並引入理想（Ideals）的概念，這是理解商結構的核心。關於域的理論，重點將放在域擴張（Field Extensions），伽羅瓦群（Galois Group）的構建及其與多項式根的深刻聯係，這是對古典代數難題（如五次方程求解）的徹底解答。在這些著作中，讀者可以清晰地看到，如何從簡單的加減乘除規則，構建齣可以處理幾何對象的抽象框架。 數論的殿堂：從歐幾裏得到現代猜想 數論被譽為“數學女王”，其迷人之處在於其簡潔的陳述與極高的研究難度。本領域的經典讀物，必然始於歐幾裏得算法、同餘關係（Modular Arithmetic）和中國剩餘定理。隨後，內容將轉嚮更具挑戰性的領域：解析數論，包括狄利剋雷的素數定理的證明思想（盡管證明本身極度復雜），以及代數數論的基礎，例如關於整環、唯一分解域的討論，以及對費馬大定理（在特定曆史背景下）的初步探索。這些著作的價值在於，它們展示瞭如何用分析的工具去攻剋離散的整數問題。 第二部分：分析學的宏偉藍圖 實分析與測度論：嚴謹性的基石 現代數學分析學的基石是建立在實分析和測度論之上的。區彆於傳統微積分的直觀敘事，經典教材強調 $epsilon-delta$ 語言的徹底運用。測度論部分，將詳細論述勒貝格測度（Lebesgue Measure）的構造，為何需要超越黎曼積分，並引入可測函數、勒貝格積分的收斂定理（如單調收斂定理和優控收斂定理）。這些工具是概率論、泛函分析乃至現代微分方程理論的不可或缺的前提。 泛函分析的無限維度 當我們將分析的對象從有限維歐幾裏得空間擴展到無限維函數空間時，泛函分析應運而生。推薦的文獻會詳盡介紹賦範嚮量空間、巴拿赫空間（Banach Spaces）和希爾伯特空間（Hilbert Spaces）。核心內容包括貝爾定理（Baire Category Theorem）、開映射定理（Open Mapping Theorem）和閉圖像定理（Closed Graph Theorem）。此外，對算子理論的初步探討，例如有界綫性算子的性質及其譜理論的引入，也構成瞭這部分內容的關鍵。 調和分析：傅裏葉的遺産與現代應用 調和分析是研究函數在“頻率”域中錶示的學問。從傅裏葉級數和傅裏葉變換的定義齣發，教材將逐步過渡到更抽象的、基於局部緊群上的拓撲群的傅裏葉分析。這需要對捲積操作有深刻理解，並展示其在偏微分方程（PDEs）求解中的強大威力。對傅裏葉變換在 $L^p$ 空間上的性質的探討，是理解信號處理和數學物理的重要橋梁。 第三部分：拓撲學與幾何學的交織 拓撲空間的本質與分類 拓撲學研究的是空間在連續形變下保持不變的性質。經典入門讀物從點集拓撲（General Topology）開始，定義開集、閉集、連續函數、緊緻性（Compactness）和連通性（Connectedness）。這些抽象概念的引入，使得我們可以用統一的語言處理幾何、分析和代數中的結構。進階部分會探討度量空間，並引齣代數拓撲的序幕——同倫與同調群的直觀意義，即用代數不變量來區分拓撲空間。 微分幾何：流形上的計算 現代物理學和幾何學的核心語言是微分幾何，它將微積分建立在更廣闊的、不依賴於坐標係的框架上。推薦的書籍將從麯綫和麯麵的概念入手，嚴格定義光滑流形（Smooth Manifolds）、切空間（Tangent Spaces）和嚮量場。張量場的概念及其在流形上的外微分（Exterior Differentiation）是關鍵工具，它們是廣義相對論和現代拓撲場論的數學基礎。 第四部分：概率論與隨機過程的復雜性 測度論概率論的嚴格基礎 現代概率論完全建立在測度論之上。要理解概率的嚴謹性，必須掌握勒貝格積分在概率空間上的應用。經典教材會詳細闡述隨機變量的定義、期望的精確計算，以及最重要的——大數定律和中心極限定理的嚴格證明。理解概率的“事件”是如何被建模為測度空間中的子集，是超越初級概率論的關鍵一步。 隨機過程的動態演化 隨機過程是描述隨時間演化的隨機現象的數學模型。入門級的隨機過程課程會重點介紹馬爾可夫鏈（Markov Chains）——無論是離散時間還是連續時間——及其穩態分布和遍曆性。更深入的著作將探討布朗運動（Brownian Motion）的構造、伊藤積分（Itô Calculus）的原理，這是金融數學和復雜係統建模的基石。 結語：通往知識深處的階梯 以上所概述的數學領域，每一個都代錶著人類智力在理解世界結構方麵取得的重大飛躍。這些經典著作並非易讀之物，它們要求讀者具備堅實的預備知識和高度的抽象思維能力。然而，正是通過對這些嚴謹體係的係統學習，我們纔能真正掌握現代科學和工程領域所依賴的那些最深層的、最可靠的數學工具。它們是探索未知的堅實階梯，而非膚淺的知識概覽。

評分☆☆☆☆☆

我最近翻閱瞭一本關於“偏微分方程引論”的書籍，給我的印象是，它更像是一本麵嚮研究生的綜述性手冊，而不是本科階段的入門教材。作者的知識廣度令人欽佩，不僅覆蓋瞭熱傳導方程、波動方程和拉普拉斯方程這三大經典方程的定性解法（如分離變量法），還深入探討瞭弱解的概念以及能量守恒的原理。書中穿插瞭對Sobolev空間和分布理論的初步介紹，這對於希望從事波動現象或流體力學數值模擬的人來說，提供瞭堅實的理論基礎。然而，對於初次接觸 PDE 的讀者，可能需要事先對傅裏葉分析和常微分方程有非常紮實的掌握，否則會感到步履維艱。它的例題往往側重於邊界條件的復雜性分析，而非計算的巧妙性，這使得全書的難度麯綫陡峭。如果要我推薦給誰，那一定是那些已經具備一定數學分析功底，並準備探索更深層次物理數學問題的進階學習者。

評分☆☆☆☆☆

這本名為“高等數學（上冊）”的著作，帶給我一種穿越迴嚴謹的古典數學課堂的感覺。它的敘事風格非常“歐式”，強調邏輯鏈條的完整性和定理的普適性。微積分部分，極限的ε-δ語言被放在瞭一個非常突齣的位置，作者似乎認為對極限概念的深刻理解是後續所有內容的地基，這一點我非常認同。關於導數的應用，書中囊括瞭大量與物理學、工程學相關的例題，比如求物體運動的瞬時速度和加速度，對培養工科學生的直覺很有幫助。不過，其在“微分中值定理”部分的處理方式略顯傳統，如果能結閤現代的優化問題或者數值逼近的視角來闡述，或許能更好地吸引對應用更感興趣的讀者。書本的插圖不多，但每一個幾何圖形的繪製都恰到好處地服務於定理的證明，沒有絲毫多餘的裝飾。整體而言，這是一部需要耐心啃讀，但迴報豐厚的入門級經典。

評分☆☆☆☆☆

我對“概率論與數理統計”這本書的評價是：結構嚴謹，但深度略顯保守。它忠實地遵循瞭概率論的經典發展脈絡，從概率的基本公理齣發，逐步構建瞭離散型和連續型隨機變量的框架。在數理統計部分，對參數估計（矩估計與極大似然估計）的介紹詳盡無疑，推導過程清晰可見。然而，對於現代統計學越來越重視的非參數方法，如核密度估計或者濛特卡洛模擬的介紹略顯單薄，更像是一個腳注而非係統性的章節。對於希望通過本書直接過渡到機器學習中涉及的貝葉斯推斷或馬爾可夫鏈濛特卡洛（MCMC）方法的讀者來說，可能需要另尋高階讀物作為補充。我個人更喜歡它在“大數定律”和“中心極限定理”部分的講解，作者用通俗易懂的語言描述瞭極限的意義，避免瞭純粹的分析學證明帶來的枯燥感。排版上采用瞭雙欄設計，使得閱讀節奏感較強，適閤長時間的案頭研讀。

評分☆☆☆☆☆

這本關於“綫性代數”的教材，內容組織得極為清晰流暢。作者似乎深諳初學者在接觸矩陣運算和嚮量空間時的睏惑，因此，開篇便用非常直觀的幾何解釋引入瞭基、維數和綫性變換這些核心概念。我尤其欣賞它對矩陣分解（如LU分解和QR分解）的闡述，沒有直接堆砌復雜的公式，而是先通過大量的實例展示瞭這些分解在解決實際工程問題，比如最小二乘法擬閤麯綫時的威力。書中的習題設計也十分巧妙，前半部分側重於基本運算的熟練度訓練，而後半部分則巧妙地融入瞭數值穩定性和計算復雜度的討論，這對於希望將理論應用於實際計算領域的讀者來說，無疑是一筆寶貴的財富。裝幀方麵，紙張的質感非常好，即使用熒光筆重點標記，背麵也很少齣現洇墨現象，足見齣版方對細節的把控。如果非要說有什麼遺憾，也許是關於張量分析的介紹可以再深入一些，但考慮到它麵嚮的是入門和進階讀者，目前的平衡點拿捏得相當到位瞭。總而言之，這是一本能讓你真正理解“為什麼”而不是僅僅“怎麼做”的經典教材。

評分☆☆☆☆☆

關於這本“復變函數與積分變換”的學習體驗，我必須贊揚其在介紹復分析的幾何直覺方麵所做的努力。作者並沒有讓讀者僅僅沉溺於復數的代數運算，而是通過大量的復平麵上的映射圖景，生動地展示瞭共形映射的奇妙性質。留數定理的講解是全書的亮點，它極大地簡化瞭許多原本極其繁瑣的實積分計算，作者通過不同極點類型的例子，將這一強大工具的應用範圍展現得淋灕盡緻。至於積分變換部分，對拉普拉斯變換和傅裏葉變換的介紹側重於它們在求解微分方程中的“操作流程”，對於變換的收斂域和逆變換的嚴格性討論相對簡略，這似乎是定位在“工程應用導嚮”的體現。裝幀上，書本的開本較大，使得公式和圖錶得以充分展開，閱讀時非常舒適，不會齣現頻繁拉伸視綫的情況。這是一本非常實用的工具書，特彆適閤需要處理信號處理或控製係統問題的工程師們。