高等代数思想方法及应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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卢博，田双亮，张佳 著

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• 高等代数
• 代数思想
• 数学方法
• 问题解决
• 数学分析
• 大学教材
• 数学学习
• 理论与应用
• 抽象代数
• 数学思维

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030508720

版次：1

商品编码：12109542

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-01-01

用纸：胶版纸

页数：211

字数：267000

正文语种：中文

内容简介

　　《高等代数思想方法及应用》较为全面、系统地通过经典结论、典型例子等方式，一方面归纳了高等代数中所蕴含的数学思想方法，另一方面探讨了高等代数在数学以及其他学科的应用。内容包括：公理化思想、分解思想、递推思想、归纳与演绎方法、矩阵方法等思想方法与行列式、矩阵、多项式、线性空间等在数学及其他学科中的应用。
　　《高等代数思想方法及应用》可作为数学专业高年级本科生的选修课教材，也可供其他专业的教师和学生参考。

内页插图

目录

前言
第1讲 公理化的思想方法
1．1 概念
1．2 应用

第2讲 矩阵的思想方法
2．1 多项式理论中矩阵的思想方法
2．2 行列式中矩阵的思想方法
2．3 线性方程组中矩阵的思想方法
2．4 二次型中矩阵的思想方法
2．5 线性空间中矩阵的思想方法

第3讲 同构的思想方法
3．1 概念
3．2 应用

第4讲 分解的思想方法
4．1 矩阵中分解的思想方法
4．2 行列式中分解的思想方法
4．3 二次型中分解的思想方法

第5讲 降阶与递推的思想方法
第6讲 线性方程组的思想方法
6．1 基础知识
6．2 应用举例

第7讲 归纳与演绎的思想方法
7．1 多项式理论中的归纳与演绎的思想方法
7．2 行列式与矩阵中归纳与演绎的思想方法

第8讲 几何与分析中代数的思想方法
8．1 线性方程组在几何中的应用
8．2 行列式在几何中的应用
8．3 二次型在几何中的应用
8．4 用逆矩阵求不定积分

第9讲 矩阵合同及相关方法
9．1 几何背景
9．2 应用

第10讲 转化方法在证明中的应用
10．1 证明过程是命题转化的链条
10．2 掌握基本观点、开拓转化思路
10．3 在等价条件的探求与证明中提高转化本领

第11讲 矩阵的初等变换方法
11．1 基础知识
11．2 应用

第12讲 多项式矩阵的初等变换方法
12．1 基础知识
12．2 应用

第13讲 多项式恒等及恒等变形方法
13．1 基础知识
13．2 解题思路

第14讲 行列式的应用
14．1 行列式与数列、多项式
14．2 行列式与体积
14．3 克拉默法则的几何解释

第15讲 矩阵的应用
15．1 区组设计的关联矩阵
15．2 矩阵的特征值在实际问题中的应用
15．3 二次曲面的类型

第16讲 多项式的应用
16．1 密码
16．2 多项式与密码

第17讲 线性空间与线性变换的应用
17．1 线性码
17．2 可交换的线性变换
17．3 酉空间在量子力学中的应用

第18讲 模型中的高等代数
18．1 配制食品模型
18．2 马尔可夫型决策问题
18．3 年龄结构种群的离散模型
参考文献

前言/序言

　　高等代数是数学与应用数学专业最主要、最基础的课程之一，是初等代数的延伸和拓展，该课程以各种代数结构及其性质为主要研究对象，体现着丰富而又深刻的思想方法。学习高等代数的思想方法及应用对于掌握高等代数的知识和发展规律、加深对高等代数的理解、培养代数学能力有着重要的作用。
　　本书在高等代数的基础上，结合作者的学习、教学和科研，并查阅资料、咨询同行，通过经典结论、典型例子等提炼，较为全面、系统地总结了高等代数中所蕴含的常见数学思想方法和独特数学思想方法，也探索了高等代数在数学以及其他学科的应用。主要包括：
　　（1）数学思想方法：公理化思想方法，分解思想方法，递推思想方法，归纳与演绎思想方法，矩阵思想方法，线性方程组思想方法，降阶思想方法，同构的思想方法，矩阵初等变换的方法。
　　（2）应用：行列式的应用，如行列式与体积的关系；矩阵的应用；多项式的应用，如多项式在密码中的应用；线性空间与线性映射的应用；模型中高等代数的应用。
　　本书具有以下特征：
　　（1）本书内容由专题组成，内容编排以思想方法为线索，旨在让学生对思想方法的掌握更具整体性。
　　（2）本书通过具体实例来阐述相关思想方法，从而使读者易于理解和掌握。
　　（3）部分专题的内容具有较强的启发性，有助于读者理解数学的本质和内在的数学思想方法；部分专题是关于高等代数的应用，具有一定实际背景，能体现数学的科学价值和应用价值。
　　非常感谢西北民族大学数学与计算机科学学院的鼓励与支持；本书的编写与出版得到了国家民委应用数学重点学科（项目编号：1001672219），西北民族大学科研创新团队，西北民族大学研究生教育教学改革研究项目和国家自然科学基金（项目编号：11501451）的资助，在此一并表示感谢。
　　由于作者水平有限，书中定有许多不足之处，敬请读者批评指正。

好的，这是一份关于一本假设的、与《高等代数思想方法及应用》内容无关的图书的详细简介。 --- 《结构之美：从古代几何到现代拓扑的演进》 内容提要 本书旨在深入探讨数学结构概念在不同历史时期和不同数学分支中的发展脉络与核心思想。我们不局限于单一的代数框架，而是将目光投向一个更宏大的图景：数学家们如何从具象的几何图形、数系规则中抽象出内在的、普适的结构关系。本书从古希腊的欧几里德几何出发，追溯至笛卡尔的解析几何，随后过渡到抽象代数、群论的萌芽，并最终探讨了现代拓扑学和范畴论中对“结构”这一概念的深刻理解。 全书共分为六个主要部分，每一部分都聚焦于一种关键的结构范式及其在数学发展中的里程碑。我们力求揭示，看似分立的数学领域（如数论、几何学、代数）是如何通过对“结构”的共同关注而相互渗透、相互促进的。 第一部分：结构的萌芽——从欧氏公理到非欧几何 本部分考察了数学结构概念的早期形态。我们将详细剖析《几何原本》中的公理化方法，这种方法奠定了数学演绎推理和结构化思维的基石。公理不是凭空产生的，它们是对当时观察到的空间关系的最简洁、最严格的描述。 随后，我们将探讨非欧几里德几何的诞生。高斯、罗巴切夫斯基和黎曼的工作，通过挑战欧几里德第五公设，暴露了公理系统的相对性。这一历史转折点不仅是对空间的重新认识，更是对“结构”——即一套公理体系所能推导出的所有逻辑后果——的深刻反思。我们将分析双曲几何和椭圆几何是如何揭示不同结构之间并存的可能性，这为后续抽象代数的发展提供了重要的哲学铺垫。 第二部分：解析的桥梁——坐标系与代数几何的雏形 解析几何的发明是连接几何直觉与代数运算的决定性一步。笛卡尔和费马引入坐标系，使得几何问题可以转化为代数方程的求解，反之亦然。本部分将分析如何通过坐标变换来理解空间的“结构不变性”——尽管坐标系可以改变，但描述几何对象的基本关系（如距离、角度在某些变换下保持不变）才是结构的核心。 我们还将探讨笛卡尔如何将代数方程（如二次曲线）与其几何形状对应起来，这是早期对“同构”思想的朴素体现。本部分强调，解析几何的贡献在于提供了一种强大的工具，使得结构可以被量化和操纵。 第三部分：抽象的诞生——数域的扩展与群论的先声 当数学家们深入研究代数方程的根时，他们不可避免地遇到了新的数系——复数、代数数域。这一过程促使人们开始关注运算本身的性质，而非仅仅关注数字本身。 本部分重点论述了伽罗瓦理论的革命性意义。伽罗瓦对多项式根的置换群的研究，彻底将研究重心从解方程的“公式”转向了决定根之间关系的“对称性结构”。群的概念——一组元素以及一个封闭、结合的运算，以及单位元和逆元——成为了第一个真正意义上独立于具体元素的抽象代数结构。我们将分析有限域的结构、循环群的性质，以及如何利用置换群来证明五次及以上代数方程无通用代数解这一经典难题。 第四部分：统一的框架——环、域与抽象代数的基础 随着群论的成熟，数学家们开始寻求更一般的结构来统一描述代数现象。本部分深入研究环和域的结构。 环提供了加法和乘法运算，域则在环的基础上加入了非零元素的除法。我们将详细考察这些结构之间的包含关系（例如，整数环 $mathbb{Z}$、有理数域 $mathbb{Q}$），并讨论理想（Ideals）的概念，这是理解模结构的关键。理想的概念使得我们可以研究一个结构在“商结构”中的表现，这为后来的同态和商空间理论奠定了基础。本部分将通过实例（如多项式环、矩阵环）来阐释这些抽象定义是如何精确捕捉了我们对“数系”和“运算系统”的直观理解。 第五部分：空间形态的重塑——拓扑学与不变量的追求 在十九世纪末和二十世纪初，数学家们意识到，仅靠代数和度量不足以描述空间的所有性质。拓扑学的兴起，标志着数学家们开始关注那些在连续形变下保持不变的“结构特性”。 本部分将介绍拓扑空间的基本概念：开集、闭集、邻域以及连续映射。拓扑学的核心在于“邻近性”和“连通性”，而不是精确的距离。我们将探讨紧致性、连通性等拓扑不变量，以及如何使用同伦群和基本群来区分本质上结构不同的空间（例如，甜甜圈与球体在拓扑上是如何区分的）。本部分将强调，拓扑学是对几何结构进行最“软性”描述的系统。 第六部分：结构的高阶概括——范畴论的视角 作为本书的收官部分，我们将探讨范畴论——一种研究数学结构之间关系和变换的“元数学”理论。范畴论的视角极大地抽象化了“结构”的概念。 范畴由对象（Object）和态射（Morphism，即结构保持的映射）构成。无论是集合、群、拓扑空间还是向量空间，都可以被视为一个范畴中的对象。范畴论的关键在于其强大的概括能力，它使用“极限”、“余极限”、“伴随函子”等概念来描述不同数学结构之间在结构保持下的所有可能关系。本部分将展示，通过范畴论的镜头，许多看似不同的数学定理可以被统一在一个简洁的框架之下，体现了数学结构论的终极追求：简洁、普适的统一性。 总结 《结构之美：从古代几何到现代拓扑的演进》不专注于特定的计算技巧或定理证明，而是致力于梳理数学思想史中“结构”这一核心概念是如何从具象走向抽象，并最终成为连接所有数学领域的桥梁。本书适合对数学思维发展史、抽象化过程以及不同数学分支交叉点感兴趣的读者。

评分☆☆☆☆☆

我之前一直认为高等代数是一门非常枯燥且脱离实际的学科，直到我接触了这本《高等代数思想方法及应用》。这本书的独特之处在于，它不只是罗列公式和定理，而是着重于揭示高等代数背后所蕴含的“思想方法”。作者通过对一些核心概念的深入剖析，例如“线性无关”、“生成空间”、“同态映射”等，让我理解了这些概念的本质和它们是如何被构建起来的。书中大量的图示和类比，也使得原本抽象的概念变得更加具象化，我不再感到困惑。尤其值得称赞的是，本书并没有回避高等代数在实际问题中的应用，而是将其作为理解和深化概念的重要手段。例如，在讲解线性方程组解法时，作者会将其与图论中的连通性问题联系起来；在介绍矩阵对角化时，会提及它在动力系统中的应用。这些鲜活的应用案例，让我真切地体会到了高等代数作为一种强大的数学工具，在解决实际问题中的巨大威力。这本书彻底颠覆了我对高等代数的刻板印象，让我看到了它无穷的魅力和广阔的应用前景。

评分☆☆☆☆☆

我最近在学习一些偏向于理论物理的研究方向，其中涉及到大量的抽象代数概念，之前啃读了几本相关的经典著作，但总感觉隔靴搔痒，理解起来非常吃力。直到我偶然发现了这本《高等代数思想方法及应用》，它彻底改变了我的学习体验。作者在介绍每个概念时，都极其注重其“思想”的来源和发展脉络，而不是直接抛出冷冰冰的定义。比如，在介绍向量空间的时候，作者花了大量的篇幅去阐述“线性”这个核心思想是如何被提炼出来的，以及它为何能在如此广泛的数学对象中得到统一描述。这种“溯本追源”的做法，极大地帮助我消弭了初学者常见的“为什么是这样”的困惑。更重要的是，书中的“应用”部分，我感觉作者并不是简单地堆砌例子，而是精心挑选了那些最能体现高等代数精髓且具有一定深度和启发性的应用场景，比如在机器学习中的某些算法原理，又或者是某些图论问题的代数解释。这些联系让我真切地感受到高等代数作为数学的“语言”，在现代科学研究中的不可或缺性，也让我对未来的学习方向有了更清晰的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书确实让我眼前一亮，它不仅仅是一本讲授高等代数知识的教材，更像是一位经验丰富的导师，循循善诱地引导读者去理解那些深奥而抽象的数学概念。我尤其欣赏作者在阐述概念时所采用的“思想方法”视角，这使得原本枯燥的公式和定理变得生动起来。例如，在讲解群论时，作者并没有停留在定义和性质的罗列，而是深入剖析了群结构背后蕴含的对称性思想，以及这种思想在密码学、晶体学等领域的实际应用。这种“由抽象到具体，再由具体升华到抽象”的论述方式，让我不再是被动接受知识，而是主动去构建自己的数学理解体系。书中的例题设计也极具匠心，每一道题都紧密围绕着核心思想展开，并非为了练习而练习。解题思路的清晰呈现，更是让我体会到了数学的逻辑美。总而言之，这本书为我打开了高等代数学习的新视角，让我感受到了数学的魅力和深度，远超我最初的预期。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学专业的本科生，我对高等代数的学习一直抱有较高的期望，希望能够掌握其核心思想并能灵活运用。这本《高等代数思想方法及应用》恰好满足了我的这一需求。它的结构安排非常合理，首先从最基础的线性代数概念出发，但作者并没有停留于中学阶段的二维、三维空间，而是立刻将读者带入了n维向量空间，并深入探讨了矩阵的本质、特征值与特征向量的几何意义等。接着，本书顺理成章地过渡到了群、环、域等抽象代数的核心内容，并且作者在讲解这些抽象概念时，总是巧妙地将其与之前学习过的具体例子相结合，例如用整数加法群来解释群的定义，用多项式环来理解环的结构。这种“具体到抽象”的逻辑递进，极大地降低了理解的难度。另外，本书在“应用”部分的选择上也颇具眼光，涵盖了编码理论、代数几何的一些初步概念，这些都是我之前接触较少但又非常感兴趣的领域。读完这本书，我感觉自己对高等代数不再是停留在“记公式、做习题”的层面，而是真正理解了其背后的数学思想，并且对它在各个学科中的强大作用有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一个在数学领域摸索多年的业余爱好者来说，寻找一本既能深入讲解概念，又能提供足够应用案例的书籍一直是个挑战。幸运的是，《高等代数思想方法及应用》这本书为我带来了惊喜。它的叙述方式非常引人入胜，作者似乎是一位非常善于沟通的老师，他不仅仅是告诉我“是什么”，更重要的是告诉我“为什么会是这样”。比如，在讲解线性代数中的“子空间”概念时，作者并没有急于给出定义，而是先从几何直观出发，引导读者去思考“直线”、“平面”在更高维空间中的推广，然后再自然而然地引出子空间的定义，并解释其在许多数学结构中的重要性。书中的“应用”部分更是让我大开眼界，其中对密码学中数论在代数结构中的应用、以及在信号处理中的傅里叶分析的代数解释，都让我受益匪浅。这些章节的阐述，让原本感觉遥不可及的数学理论，一下子变得生动而有意义。这本书让我深刻体会到，学习数学不应止步于理解表面的规则，更重要的是去把握其内在的逻辑和思想。