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内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》介绍离散鞅的基本理论与应用，尤以停时定理、鞅收敛定理、鞅不等式等为重点.注熏背景描述与应用举例，突出典型证法，严格推理，为《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》的特点。
　　《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》的读者对象.为高等院校数理统计及工程、生物、金融经济等相关的应用专业的大学生、研究生、教师及有关的工作者.

内页插图

目录

第一章 测度与概率基础
§1．1 集合运算
§1．2 示性函数
§1．3 单词类，π一类λ-类
§1．4 λ-系与单调系
§1．5 可测空间与测度空间
§1．6 可测变换导出分布
§1．7 测度的扩张与完备化
§1．8 概率空间中的积分及收敛定理
§1．9 乘积测度空间Fubini定理及Kolmogorov相容性定理
§1．10 Hahn分解与Radon-Nikodym定理
§1．11 独立性
§1．12 Borel-Cantelli引理与KolmogorovO-l律
习题一

第二章 条件概率与条件期望
§2．1 定义
2．1．1 初等情形
2．1．2 一般情形
§2．2 条件期望的性质
§Z．3 条件独立性
§2．4 正则条件概率与正则条件分布
2．4．1 正则条件概率
Z．4．2 正则条件分布
§2．5 应用
习题二

第三章 离散鞅及其应用
§3．1 基本概念
3．1．1 定义
3．1．2 简单性质
3．1．3 例
3．1．4 下鞅的分解
§3．2 停时定理及其应用
3．2．1 停时及其性质
3．2．2 停时定理及其应用
3．2．3 例
3．2．4 Wald方程的推广
§3．3 鞅收敛定理
3．3．1 上穿不等式
3．3．2 下鞅收敛定理
3．3．3 条件期望的收敛定理
3．3．4 例
§3．4 鞅不等式
3．4．1 Doob最大不等式
3．4．2 Burkholder不等式
3．4．3 Davis不等式
§3．5 Gundy、周的鞅分解及鞅变换的收敛性
3．5．1 Gundy的鞅分解定理
3．5．2 周元燊鞅差分解定理
3．5．3 鞅变换的收敛性
§3．6 随机变量级数的收敛性
3．6．1 关于非负随机序列级数的一个结果
3．6．2 鞅差级数与随机序列级数
3．6．3 鞅差级数的收敛集合
§3．7 鞅差列的强大数律
§3．8 鞅的中心极限定理
3．8．1 稳定地依分布收敛
3．8．2 随机变量阵列行和之中心极限定理
3．8．3 平方可积鞅差阵列行和的中心极限定理
3．8．4 其他结果
习题三

附录
参考文献
内容索引

前言/序言

　　作为概率论的一个分支，鞅论虽早在40年代形成，但获得真正的发展却是五六十年代以后的事情。今天，在经历了近二三十年以来的迅猛发展之后，鞅论在概率中的地位已日渐突出。鞅论方法成了随机过程与数理统计研究的有力工具；鞅论正向其他数学分支渗透并与结合形成新分支；鞅论已在形形色色的实际问题（像奖券收集、随机徘徊、传染病估价、U-统计量弱收敛、经验过程与对数似然过程的弱收敛、自回归定阶，以及一些经济数学问题等）中派上了用场。
　　有鉴于此，为坚实我们统计方向硕士生的概率基础，以利他们日后的深入研究，自1992年起我们在教学中穿插了鞅内容。这中间产生了后来的一份交流讲义。而这册书稿正是在那讲义基础上，根据反馈回来的专家意见，特别是陈希孺院士的系统修改建议，历经两年多的反复扩充、修改与教学实践后形成的。
　　本书共三章。第一章其实是为学（复）习测度论与概率论有关基础内容的读者勾勒了一个提纲，所列结果，除个别者外，均述而不证。第二章讨论条件概率与条件期望，为鞅论奠基。兼顾到本科生学习中多对此浓有兴趣，故尽可能地详作介绍，第三章为全书的核心，阐述离散鞅理论与应用，尤以停时定理、鞅收敛与鞅分解定理、鞅不等式、鞅差列的大数定律及鞅的中心极限定理为重点。鉴于鞅内容本身的特殊性，为适合初学，论述中注意了背景描述与实用举例及突出典型方法，论证中既追求严密推理，又注意详明各步的推理依据，三章内容（连同附录）基本构成封闭体系，可方便自学，围绕正文或全书的重点，于每章末配了一定数量的习题，教学中可依实际情况酌作增减，
　　尽管罄尽全力，但囿于水平，我对这册向大学高年级与硕士生介绍离散鞅基础知识的小书究竟能给读者多少真正的帮助，于心茫然，至于内容上的挂一漏万，错舛与不妥，就更不待言了。凡此，殷切希望概率界前辈、专家及广大读者不吝赐教，以期改正。
　　值此我诚挚感谢陈希孺院士，没有他的惠教、支持与帮助，就不可能有此书稿，最后，我必须感谢我的妻子邰玉兰，是她的贤惠、理解与全力相助，给了我这些年全心力业务投入的机会，
　　本书是山西省归国留学人员研究基金项目，还得到有关方面的出版资助，谨此致谢。
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