现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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史及民 著

图书标签:

• 数学
• 概率论
• 鞅
• 离散数学
• 随机过程
• 应用数学
• 高等教育
• 数学分析
• 典藏版
• 基础丛书

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030075574

版次：1

商品编码：12171594

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：1999-09-01

用纸：胶版纸

页数：234

字数：197000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》介绍离散鞅的基本理论与应用，尤以停时定理、鞅收敛定理、鞅不等式等为重点.注熏背景描述与应用举例，突出典型证法，严格推理，为《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》的特点。
　　《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》的读者对象.为高等院校数理统计及工程、生物、金融经济等相关的应用专业的大学生、研究生、教师及有关的工作者.

内页插图

目录

第一章 测度与概率基础
§1．1 集合运算
§1．2 示性函数
§1．3 单词类，π一类λ-类
§1．4 λ-系与单调系
§1．5 可测空间与测度空间
§1．6 可测变换导出分布
§1．7 测度的扩张与完备化
§1．8 概率空间中的积分及收敛定理
§1．9 乘积测度空间Fubini定理及Kolmogorov相容性定理
§1．10 Hahn分解与Radon-Nikodym定理
§1．11 独立性
§1．12 Borel-Cantelli引理与KolmogorovO-l律
习题一

第二章 条件概率与条件期望
§2．1 定义
2．1．1 初等情形
2．1．2 一般情形
§2．2 条件期望的性质
§Z．3 条件独立性
§2．4 正则条件概率与正则条件分布
2．4．1 正则条件概率
Z．4．2 正则条件分布
§2．5 应用
习题二

第三章 离散鞅及其应用
§3．1 基本概念
3．1．1 定义
3．1．2 简单性质
3．1．3 例
3．1．4 下鞅的分解
§3．2 停时定理及其应用
3．2．1 停时及其性质
3．2．2 停时定理及其应用
3．2．3 例
3．2．4 Wald方程的推广
§3．3 鞅收敛定理
3．3．1 上穿不等式
3．3．2 下鞅收敛定理
3．3．3 条件期望的收敛定理
3．3．4 例
§3．4 鞅不等式
3．4．1 Doob最大不等式
3．4．2 Burkholder不等式
3．4．3 Davis不等式
§3．5 Gundy、周的鞅分解及鞅变换的收敛性
3．5．1 Gundy的鞅分解定理
3．5．2 周元燊鞅差分解定理
3．5．3 鞅变换的收敛性
§3．6 随机变量级数的收敛性
3．6．1 关于非负随机序列级数的一个结果
3．6．2 鞅差级数与随机序列级数
3．6．3 鞅差级数的收敛集合
§3．7 鞅差列的强大数律
§3．8 鞅的中心极限定理
3．8．1 稳定地依分布收敛
3．8．2 随机变量阵列行和之中心极限定理
3．8．3 平方可积鞅差阵列行和的中心极限定理
3．8．4 其他结果
习题三

附录
参考文献
内容索引

前言/序言

　　作为概率论的一个分支，鞅论虽早在40年代形成，但获得真正的发展却是五六十年代以后的事情。今天，在经历了近二三十年以来的迅猛发展之后，鞅论在概率中的地位已日渐突出。鞅论方法成了随机过程与数理统计研究的有力工具；鞅论正向其他数学分支渗透并与结合形成新分支；鞅论已在形形色色的实际问题（像奖券收集、随机徘徊、传染病估价、U-统计量弱收敛、经验过程与对数似然过程的弱收敛、自回归定阶，以及一些经济数学问题等）中派上了用场。
　　有鉴于此，为坚实我们统计方向硕士生的概率基础，以利他们日后的深入研究，自1992年起我们在教学中穿插了鞅内容。这中间产生了后来的一份交流讲义。而这册书稿正是在那讲义基础上，根据反馈回来的专家意见，特别是陈希孺院士的系统修改建议，历经两年多的反复扩充、修改与教学实践后形成的。
　　本书共三章。第一章其实是为学（复）习测度论与概率论有关基础内容的读者勾勒了一个提纲，所列结果，除个别者外，均述而不证。第二章讨论条件概率与条件期望，为鞅论奠基。兼顾到本科生学习中多对此浓有兴趣，故尽可能地详作介绍，第三章为全书的核心，阐述离散鞅理论与应用，尤以停时定理、鞅收敛与鞅分解定理、鞅不等式、鞅差列的大数定律及鞅的中心极限定理为重点。鉴于鞅内容本身的特殊性，为适合初学，论述中注意了背景描述与实用举例及突出典型方法，论证中既追求严密推理，又注意详明各步的推理依据，三章内容（连同附录）基本构成封闭体系，可方便自学，围绕正文或全书的重点，于每章末配了一定数量的习题，教学中可依实际情况酌作增减，
　　尽管罄尽全力，但囿于水平，我对这册向大学高年级与硕士生介绍离散鞅基础知识的小书究竟能给读者多少真正的帮助，于心茫然，至于内容上的挂一漏万，错舛与不妥，就更不待言了。凡此，殷切希望概率界前辈、专家及广大读者不吝赐教，以期改正。
　　值此我诚挚感谢陈希孺院士，没有他的惠教、支持与帮助，就不可能有此书稿，最后，我必须感谢我的妻子邰玉兰，是她的贤惠、理解与全力相助，给了我这些年全心力业务投入的机会，
　　本书是山西省归国留学人员研究基金项目，还得到有关方面的出版资助，谨此致谢。

现代数学基础丛书·典藏版50：拓扑动力系统导论 内容简介 本书是“现代数学基础丛书”的第50卷，聚焦于现代数学中一个至关重要且富有活力的交叉领域——拓扑动力系统。作为典藏版系列的一部分，本书旨在为具有一定数学基础（包括实分析、基础拓扑学和常微分方程知识）的读者，提供一个深入、系统且富有洞察力的入门导轨，使其能够全面理解拓扑动力系统的基本概念、核心理论框架及其在现代科学中的广泛应用。 拓扑动力系统是研究动态系统在拓扑空间上演化规律的数学分支。它强调系统的几何结构和拓扑性质，侧重于长期行为（如极限集、不变集）与系统整体结构之间的关系，而不像经典常微分方程理论那样过度依赖具体的解析解。 全书的结构设计兼顾了理论的严谨性与概念的清晰性，力求在保持数学专业深度的同时，使复杂的理论易于被研究者和高年级学生所掌握。 第一部分：基础概念与拓扑框架的建立 本书伊始，首先对动力系统进行严格的数学定义，明确“拓扑动力系统”的内涵。我们从最基础的半流与流的概念入手，在紧致豪斯多夫空间上建立起基本的演化模型。 重点阐述了拓扑等价性（或拓扑共轭）这一核心概念。理解两个动力系统的拓扑共轭关系，是判断它们本质上是否相同的关键。通过大量的例子，如旋转群、线性系统在圆上的限制等，读者将建立起对拓扑结构如何约束动力学行为的直观认识。 此外，本部分详细讨论了不变集的性质，特别是极限集（Limit Sets）、吸引子（Attractors）和稳定集（Invariant Sets）的拓扑特征。引入了半轨道的结构定理，揭示了在完备度量空间上，半轨道如何收敛或趋向于复杂的结构。 第二部分：基本结构与稳定性理论 此部分深入探讨了动力系统中的关键结构要素： 周期点与环面动力学： 详细分析了周期点的分布及其稳定性。在环面上，我们特别关注斜直线（Slender Orbits）和布朗运动（Bronchial Motion）的拓扑表现。布朗运动的引入，为理解更复杂的非均匀动力学奠定了基础。 Poincaré截面法： 借鉴了经典微分方程理论中的有效工具，本书系统地介绍了如何使用Poincaré截面将高维流的问题降维到离散映射的问题上。重点分析了Poincaré映射的拓扑特性，及其与原流的等价性。 稳定性与指数分离： 虽然拓扑动力系统不依赖于具体的度量，但为了理解局部稳定性，我们引入了局部不变流形的概念，并讨论了在局部欧氏空间内，动力系统行为如何由线性化近似决定。 第三部分：混沌现象的拓扑视角 动力系统的研究，特别是自二十世纪中叶以来，与混沌（Chaos）现象的发现密不可分。本书从拓扑学的角度深入剖析了混沌的数学定义与特征。 敏感依赖性（SdC）： 区别于对初始条件的依赖，我们关注拓扑意义上的敏感性——在任意邻域内，点的轨迹都能被分散开来。 拓扑混合性（Topological Mixing）： 阐释了系统在空间中分布的均匀性，这是系统行为“不可预测性”的另一重要拓扑体现。 Devaney 混沌的定义： 详细介绍了DeVany关于混沌的三个拓扑充要条件（稠密的周期点、拓扑混合性、敏感依赖性），并提供了经典Tent Map（帐篷映射）和Baker’s Map（面包师映射）在这些性质上的具体验证。 第四部分：遍历论与测度理论的连接 拓扑动力系统虽然强调拓扑结构，但与遍历论（Ergodic Theory）的结合是研究长期平均行为的必然要求。本书在这一部分架起了这两大领域的桥梁： 不变测度： 引入了概率测度的概念，并探讨了拓扑正则性与测度正则性之间的相互影响。我们探讨了拓扑熵（Topological Entropy）和测度熵（Metric Entropy）的关系，特别是压力函数（Pressure Function）在刻画系统复杂性中的作用。 Lyapunov 指数与分岔： 尽管Lyapunov指数通常与度量有关，但本书讨论了在特定拓扑结构下，Lyapunov指数如何反映系统对初始扰动的敏感程度，并简要介绍了分岔理论如何导致拓扑结构的突变。 第五部分：前沿应用与展望 本书的最后一部分展示了拓扑动力系统在当代科学研究中的重要应用： 几何动力学： 探讨了黎曼流形上测地线流的拓扑性质，包括Horseshoe（马蹄形）结构在双曲动力系统中的普遍性。 数论与动力学： 简要介绍了如何利用动力系统工具研究Diophantine逼近问题，以及与调制空间（Moduli Spaces）相关的动力学问题。 目标读者 本书适合于数学系研究生、致力于动力系统、拓扑学、微分几何或理论物理研究的科研人员。读者应具备扎实的实分析、集合论和基础拓扑学知识。本书的编排旨在作为专业课程的参考教材，或作为自学者深入研究该领域的基石。通过阅读本书，读者将建立起一套严谨的数学框架，用以分析和理解自然界中各种复杂演化过程的内在规律。

评分☆☆☆☆☆

这本《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》带给我的体验，更像是一次意外的“知识探险”，虽然不是我最初设定的目的地，但沿途的风景也足够令人惊叹。我最初是被“典藏版”几个字吸引，以为会是一本集结了数学发展史上的经典理论，并且以一种相对通俗易懂的方式呈现。然而，当我翻开它，扑面而来的是一种高度抽象和严谨的学术风格。里面关于鞅的定义和性质的阐述，尤其是其数学结构的描述，让我对概率测度、条件期望等概念有了全新的认识。虽然我无法完全消化其中的每一个证明，但能感受到作者在构建这个理论体系时所付出的巨大努力和清晰的逻辑。尤其是书中对离散鞅在不同场景下的应用介绍，比如在随机游走、赌博策略，甚至是一些更复杂的金融模型中的运用，让我窥见了数学理论如何与现实世界紧密相连。这不仅仅是枯燥的公式推导，更是思维的舞蹈，是智慧的结晶。尽管我可能无法立刻将这些理论应用到我的工作中，但它极大地拓宽了我的视野，让我对概率论的深度和广度有了更直观的理解。这就像是在一个完全陌生的领域里进行了一次导览，虽然不能成为这个领域的专家，但至少了解了那里有哪些重要的地标和建筑。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉，就像是在参加一场关于数学的“思想盛宴”，虽然我可能只是个匆匆的过客，但品尝到的每一道“菜肴”都充满了智慧的芬芳。我之前对“鞅”这个概念只停留在一些模糊的印象中，知道它在金融和统计领域有着重要应用。拿到这本书，我希望能从中找到一些关于它如何被构建，以及如何在实际问题中发挥作用的清晰解释。书中的内容确实非常系统和深入，从离散鞅的定义，到各种性质的详细阐述，再到其在不同领域，如随机过程、金融建模、信号处理等方面的具体应用，都进行了详尽的介绍。我特别留意了其中关于鞅的收敛定理，以及它如何帮助分析随机过程的长期行为，这部分内容让我对概率论的分析工具有了更深的认识。尽管我承认，书中的数学推导和证明对我而言，有一定的难度，有些地方需要反复阅读和思考，甚至需要借助其他参考资料来辅助理解。但是，正是这种挑战性，让我感受到了数学的魅力。它不仅仅是冷冰冰的公式，更是逻辑的艺术，是思想的延伸。这本书让我看到了数学理论的深度和其强大的解释力，也让我对未来的学习方向有了更清晰的认识。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本《离散鞅及其应用》纯属偶然，本意是想找一些关于时间序列分析的入门读物，对数据建模方面的内容比较感兴趣。没想到这本书的切入点如此之高。书中的数学语言和符号系统对我来说，简直就像是在解读一部古老的密码。我尝试着去理解“鞅”这个概念，从它的定义开始，再到各种性质的推导，发现这比我想象的要复杂得多。我尤其对那些关于收敛性、鞅变换的定理感到非常吃力，感觉自己像是被丢进了一个数学的迷宫，每一个转角都可能遇到新的难题。我之前对概率论和统计学有所涉猎，但这本书所涉及的层面，感觉已经远远超出了我现有的知识储备。书中的一些证明过程，需要对实分析、测度论有相当深入的了解，这些对我来说都是比较陌生的领域。虽然我能看到作者在理论构建上的严谨性和系统性，以及对各种应用场景的深刻洞察，但这些对我而言，更多的是一种“高山仰止”的感觉。我无法从中直接获得可供实践的技巧，更多的是一种对数学之美的敬畏，以及对自己知识储备不足的深刻反思。这本书更适合那些有扎实数学基础，或者专门从事相关研究的读者。

评分☆☆☆☆☆

这本书我读了一段时间了，感觉内容实在太硬核了，完全不是我这种数学爱好者能轻松拿下的。书名虽然听起来高大上，像是数学领域的“珠穆朗玛峰”，但实际翻开第一页就感受到一股扑面而来的学术气息。那些公式、符号，还有层出不穷的定义，看得我头晕眼花。我本来是想着能够理解一些概率论和统计学的基础知识，顺便对“鞅”这个概念有个初步的认识，毕竟在一些金融模型或者信号处理的介绍里经常会提到。然而，这本书显然不是为初学者准备的“入门指南”，更像是一本为数学专业研究生量身定制的“秘籍”。里面的定理证明非常严谨，逻辑链条环环相扣，稍不留神就会跟不上作者的思路。我尝试着去理解其中几个看起来比较基础的概念，比如离散时间随机过程，但很快就被更深层次的定义和推导绕晕了。这让我深刻体会到，在深入研究某个数学分支之前，扎实的概率论基础和高等数学功底是多么的重要。这本书无疑是该领域的权威著作，对于想要在这方面进行深入研究的学者来说，价值是毋庸置疑的。但对我来说，它更像是一座遥不可及的山峰，我现在只能仰望，暂时没有勇气去攀登。也许，过几年我重新拾起这本书时，会有不一样的感受吧。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《现代数学基础丛书·典藏版51：离散鞅及其应用》，我的初衷是想了解一下这个在概率论中非常重要的概念，尤其是在一些高级统计模型和金融衍生品定价中常常被提及。这本书的内容无疑是非常权威和全面的，它系统地介绍了离散鞅的定义、性质以及各种重要的定理。我尤其对书中关于鞅的收敛性和它的遍历性方面的论述印象深刻，这部分内容为理解随机过程的稳定性提供了重要的理论支撑。书中的应用部分，涵盖了从基础的随机游走到更复杂的马尔可夫链分析，以及在不同金融模型中的应用案例，这让我看到了理论知识如何转化为实际的分析工具。然而，坦白说，这本书的难度对我来说不小。里面的数学语言和证明方式非常严谨，很多地方需要对高等数学，尤其是测度论和实分析有相当的了解才能完全消化。我感觉自己更像是一个初学者，在攀登一座陡峭的山峰，虽然能看到山顶的风景，但要一步步走上去，还需要付出巨大的努力。这本书更像是为专业研究人员设计的，提供了深入探索的理论基石。对于想要入门的读者，可能需要先打好更坚实的基础，或者选择一些更具导向性的入门书籍。