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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版51：離散鞅及其應用》介紹離散鞅的基本理論與應用，尤以停時定理、鞅收斂定理、鞅不等式等為重點.注熏背景描述與應用舉例，突齣典型證法，嚴格推理，為《現代數學基礎叢書·典藏版51：離散鞅及其應用》的特點。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版51：離散鞅及其應用》的讀者對象.為高等院校數理統計及工程、生物、金融經濟等相關的應用專業的大學生、研究生、教師及有關的工作者.

內頁插圖

目錄

第一章 測度與概率基礎
§1．1 集閤運算
§1．2 示性函數
§1．3 單詞類，π一類λ-類
§1．4 λ-係與單調係
§1．5 可測空間與測度空間
§1．6 可測變換導齣分布
§1．7 測度的擴張與完備化
§1．8 概率空間中的積分及收斂定理
§1．9 乘積測度空間Fubini定理及Kolmogorov相容性定理
§1．10 Hahn分解與Radon-Nikodym定理
§1．11 獨立性
§1．12 Borel-Cantelli引理與KolmogorovO-l律
習題一

第二章 條件概率與條件期望
§2．1 定義
2．1．1 初等情形
2．1．2 一般情形
§2．2 條件期望的性質
§Z．3 條件獨立性
§2．4 正則條件概率與正則條件分布
2．4．1 正則條件概率
Z．4．2 正則條件分布
§2．5 應用
習題二

第三章 離散鞅及其應用
§3．1 基本概念
3．1．1 定義
3．1．2 簡單性質
3．1．3 例
3．1．4 下鞅的分解
§3．2 停時定理及其應用
3．2．1 停時及其性質
3．2．2 停時定理及其應用
3．2．3 例
3．2．4 Wald方程的推廣
§3．3 鞅收斂定理
3．3．1 上穿不等式
3．3．2 下鞅收斂定理
3．3．3 條件期望的收斂定理
3．3．4 例
§3．4 鞅不等式
3．4．1 Doob最大不等式
3．4．2 Burkholder不等式
3．4．3 Davis不等式
§3．5 Gundy、周的鞅分解及鞅變換的收斂性
3．5．1 Gundy的鞅分解定理
3．5．2 周元燊鞅差分解定理
3．5．3 鞅變換的收斂性
§3．6 隨機變量級數的收斂性
3．6．1 關於非負隨機序列級數的一個結果
3．6．2 鞅差級數與隨機序列級數
3．6．3 鞅差級數的收斂集閤
§3．7 鞅差列的強大數律
§3．8 鞅的中心極限定理
3．8．1 穩定地依分布收斂
3．8．2 隨機變量陣列行和之中心極限定理
3．8．3 平方可積鞅差陣列行和的中心極限定理
3．8．4 其他結果
習題三

附錄
參考文獻
內容索引

前言/序言

　　作為概率論的一個分支，鞅論雖早在40年代形成，但獲得真正的發展卻是五六十年代以後的事情。今天，在經曆瞭近二三十年以來的迅猛發展之後，鞅論在概率中的地位已日漸突齣。鞅論方法成瞭隨機過程與數理統計研究的有力工具；鞅論正嚮其他數學分支滲透並與結閤形成新分支；鞅論已在形形色色的實際問題（像奬券收集、隨機徘徊、傳染病估價、U-統計量弱收斂、經驗過程與對數似然過程的弱收斂、自迴歸定階，以及一些經濟數學問題等）中派上瞭用場。
　　有鑒於此，為堅實我們統計方嚮碩士生的概率基礎，以利他們日後的深入研究，自1992年起我們在教學中穿插瞭鞅內容。這中間産生瞭後來的一份交流講義。而這冊書稿正是在那講義基礎上，根據反饋迴來的專傢意見，特彆是陳希孺院士的係統修改建議，曆經兩年多的反復擴充、修改與教學實踐後形成的。
　　本書共三章。第一章其實是為學（復）習測度論與概率論有關基礎內容的讀者勾勒瞭一個提綱，所列結果，除個彆者外，均述而不證。第二章討論條件概率與條件期望，為鞅論奠基。兼顧到本科生學習中多對此濃有興趣，故盡可能地詳作介紹，第三章為全書的核心，闡述離散鞅理論與應用，尤以停時定理、鞅收斂與鞅分解定理、鞅不等式、鞅差列的大數定律及鞅的中心極限定理為重點。鑒於鞅內容本身的特殊性，為適閤初學，論述中注意瞭背景描述與實用舉例及突齣典型方法，論證中既追求嚴密推理，又注意詳明各步的推理依據，三章內容（連同附錄）基本構成封閉體係，可方便自學，圍繞正文或全書的重點，於每章末配瞭一定數量的習題，教學中可依實際情況酌作增減，
　　盡管罄盡全力，但囿於水平，我對這冊嚮大學高年級與碩士生介紹離散鞅基礎知識的小書究竟能給讀者多少真正的幫助，於心茫然，至於內容上的掛一漏萬，錯舛與不妥，就更不待言瞭。凡此，殷切希望概率界前輩、專傢及廣大讀者不吝賜教，以期改正。
　　值此我誠摯感謝陳希孺院士，沒有他的惠教、支持與幫助，就不可能有此書稿，最後，我必須感謝我的妻子邰玉蘭，是她的賢惠、理解與全力相助，給瞭我這些年全心力業務投入的機會，
　　本書是山西省歸國留學人員研究基金項目，還得到有關方麵的齣版資助，謹此緻謝。
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