內容簡介

　　從 2001年開始，我在中科院研究生院（中國科學院大學的前身）采用 Strang的教材作為藍本進行教學 .教學的過程中發現，此教材理論還是偏多，應用部分講得比較少，尤其是在小波分析取得重要應用效果的圖像處理領域應用更是缺少，因此，講課時選用瞭一些比較經典的小波應用於圖像處理的文獻作為講課材料 .同時，隨著課程內容的不斷成熟，小波分析領域也逐漸歸於平靜，很多學者開始用小波分析開展新的數據分析技術的研究 .因此，除瞭在 Strang的教材基礎上增加瞭係統性的圖像處理應用之外，還選編瞭部分非綫

　　小波與濾波器組設計：理論及其應用

　　性信號分析技術，有些內容也是我和我的學生多年科研成果的一部分，作為小波分析前沿以及後繼研究的延續，以期給學生們看到學科發展的路綫圖，並能迅速結閤新技術進行他們各自未來課題的研究.

目錄

第1章引言....1

1.1信號與采樣1

1.2傅裏葉變換與Z變換....5

1.3小波與濾波器..7

1.4習題...13

第2章濾波器組...15

2.1抽取與插值.....15

2.2二通道濾波器組....20

2.2.1完全重構條件...21

2.2.2半帶濾波器和濾波器構造.....23

2.3多相位矩陣.....24

2.4習題...31

第3章正交濾波器組..33

3.1仿酉矩陣..33

3.2濾波器組構造的柵格方法...35

3.3正交濾波器的構造方法39

3.4習題...45

第4章正交小波與多尺度分析.46

4.1正交多尺度分析....46

4.2正交小波..49

4.3Daubechies小波...60

4.4Cascade算法..67

4.5習題...71

小波與濾波器組設計：理論及其應用

第5章雙正交小波與濾波器....72

5.1雙正交小波及其多尺度分析.....72

5.2雙正交濾波器組....78

5.3具有對稱性和緊支撐的雙正交小波.81

5.4習題...85

第6章小波濾波器的提升算法.86

6.1提升算法..86

6.2雙正交濾波器的提升格式分解..90

第7章圖像的小波分解及其統計特性...95

7.1圖像的離散小波分解...95

7.2圖像處理中的綫性逆問題...98

7.3馬爾可夫隨機場初步.100

7.3.1馬爾可夫隨機場基本理論...100

7.3.2馬爾可夫隨機場與吉布斯分布..102

7.3.3基於最大後驗概率-馬爾可夫隨機場模型的復原算法介紹103

7.4圖像小波變換的基本特性.106

7.5圖像在小波域的統計模型.109

7.6常用參數估計方法介紹....117

第8章小波域圖像去噪算法..121

8.1圖像去噪模型介紹.....121

8.2小波域圖像去噪的最大後驗概率模型..124

8.3小波域圖像去噪的收縮模型...129

8.3.1小波去噪閾值選擇.132

8.3.2小波閾值去噪背後的原理...138

8.3.3空間自適應收縮去噪算法...141

8.3.4僞吉布斯效應和平穩小波閾值去噪.144

8.4基於樣條變換的小波去噪算法146

8.5三維變換域聯閤濾波去噪算法151

第9章小波域圖像復原算法..157

9.1圖像復原模型介紹.....157

9.2小波域稀疏約束圖像復原.160

目錄

9.3基於小波域隱馬爾可夫樹模型的圖像復原.164

9.3.1問題的化簡和求解.165

9.3.2隱馬爾可夫樹模型參數嚮量的估計.167

9.3.3算法描述及實驗結果比較...168

9.4基於小波域相對誤差約束的圖像復原算法.170

9.4.1圖像去模糊中的振鈴現象...170

9.4.2頻率域相對誤差....174

9.4.3基於頻率域相對誤差的圖像去模糊算法.178

第10章小波圖像壓縮技術...183

10.1圖像編碼基礎....183

10.2小波係數的樹錶示和編碼.....189

10.3嵌入式零樹小波編碼技術.....191

10.3.1零樹小波定義....192

10.3.2零樹小波編碼....192

10.3.3零樹逐次逼近量化...194

10.3.4嵌入式零樹小波編碼算法示例.....196

10.4多級樹集閤分裂算法200

10.5JPEG2000和EBCOT算法簡介206

10.6多分量預測編碼技術介紹.....213

10.6.1圖像的多分量預測模型...215

10.6.2多分量預測編碼算法介紹及結果比較.218

第11章幾何小波初步....221

11.1圖像模型和最優逼近222

11.1.1圖像模型.....222

11.1.2最優逼近.....223

11.2Curvelet變換....225

11.2.1連續Curvelet變換..225

11.2.2離散Curvelet變換..227

11.2.3Curvelet變換的奇異性檢測..228

11.3Bandlet.230

11.3.1幾何流..230

11.3.2幾何流的確定....232

11.3.3Bandlet的最佳m-項逼近.....232

小波與濾波器組設計：理論及其應用

11.3.4Bandlet的應用..233

11.4Contourlet...235

11.4.1拉普拉斯金字塔.236

11.4.2方嚮濾波器組....237

11.5幾何小波總結....238

第12章稀疏錶示與壓縮感知介紹.....239

12.1基本概念介紹....239

12.2匹配追蹤介紹....241

12.3基追蹤介紹.248

12.3.1基追蹤算法介紹.249

12.3.2基於稀疏錶示的圖像分解.....252

12.4壓縮感知介紹....256

12.4.1壓縮感知基本原理...256

12.4.2壓縮感知算法介紹...258

12.4.3壓縮感知應用示例...262

第13章自適應信號分解算法介紹.....265

13.1信號的自適應分解概念..265

13.2經驗模式分解算法...268

13.2.1經驗模式分解算法基礎...268

13.2.2經驗模式分解中包絡的分析與改進....271

13.2.3經驗模式分解中的模式混疊現象.278

13.3零空間追蹤算法介紹283

13.3.1基於微分算子的零空間追蹤算法.286

13.3.2基於微分算子的零空間追蹤算法.290

附錄A數學基礎知識298

A.1綫性空間.....298

A.2綫性賦範空間.....299

A.3希爾伯特空間.....301

參考文獻...305

精彩書摘

　　第1章引言

　　小波分析(waveletanalysis)是20世紀80年代發展起來的一門新興數學分支,是當今數學領域中一個迅猛發展的新方嚮,是20世紀數學研究成果中傑齣代錶之一.它汲取瞭諸如泛函分析、數值分析、樣條分析、調和分析等眾多數學分支的精華,並又包羅瞭它們的許多特色；它是繼傅裏葉(Fourier)分析之後又一重要的數學分析方法,是調和分析發展史上裏程碑式的進展；它為20世紀的現代分析學作瞭完美的總結.與傳統分析方法相比,小波分析具有廣闊的應用前景,它給許多相關學科的研究帶來瞭新思想,並且為工程學提供瞭一種新的更有效的分析工具；它反映瞭大科學時代學科之間相互滲透、交叉、融閤的趨勢,是純粹數學與應用數學及工程技術殊途同歸的光輝典範[1–4].

　　1.1信號與采樣

　　在日常生活中，人們經常接收到來自電視、手機、互聯網等多種媒體發布的信息，為瞭傳播和方便使用，往往需要將這些信息轉換成便於傳輸和處理的信號，例如語音、視頻信號等.一般來說，信號是信息的載體，是信息的一種物理體現，錶現為隨時間變化的某種物理量.

　　信號的産生、傳輸和處理是由係統完成的.係統是指由若乾相互關聯的事物組閤而成、具有特定功能的整體，例如手機、電視等.係統的基本作用是對輸入的信息、信號進行加工和處理，轉化為所需要的輸齣信號.

　　可以用確定的時間函數錶示信號.在連續時間範圍內有定義的信號稱為連續時間信號，簡稱連續信號；相對應的，僅在離散的時刻纔有定義的信號，稱為離散時間信號，簡稱離散信號.連續信號和離散信號通常分彆錶示為x(t)和x(n),這裏t錶示連續時間，n錶示離散

　　的值.對於n∈Z.離散信號x通常記為

　　.....

　　x(.1)

　　x=[···,x.1,x0,x1,···]或者x=x(0).

　　.

　　.x(1)....

　　.

　　···

　　圖1.1連續信號(a)和離散信號(b)單位脈衝信號δ(n)是一類比較特殊的信號，其定義為

　　δ(n)=

　　I1,

　　0,

　　二n

　　n=0;=0,

　　(1.1)

　　也就是說，該信號在n=0處值為1，其他處的值都為0(如圖1.2(a)所示).由定義可知，對於任意的信號{x(n)}n∈Z,都有

　　藝x(n)δ(n)=x(0).

　　n∈Z

　　通過對信號平移n0，我們可以得到δ(n.n0)，該信號在n=n0處為1，其他處為0，進一步容易得到:

　　藝x(n)δ(n.n0)=x(n0).(1.2)

　　n∈Z

　　另外，也可以藉助單位脈衝信號得到其他特殊信號，如圖1.2(b)所示的階躍信號u(n),其定義為

　　I1,n:0;

　　u(n)=

　　0,n<0,

　　它可以錶示為

　　+∞

　　u(n)=藝δ(n.j).

　　j=0

　　對於連續和離散信號，還可分為周期和非周期的信號.

　　1.1信號與采樣3

　　圖1.2單位脈衝信號(a)和階躍信號(b)

　　定義1.1.1(周期信號)對於連續信號x(t)，如果存在T>0，使得

　　x(t+kT)=x(t),k∈Z,

　　那麼x(t)稱為周期連續信號.同樣地，如果離散信號x(n)滿足

　　x(n+kN)=x(n),N,k∈Z,且N>0,

　　則稱x(n)為周期離散信號.滿足上述等式的T和N稱為信號的周期.

　　對於周期信號，我們隻需要知道其在一個周期的變化過程，就可由周期性確定信號在整個定義域內的取值.例如正弦信號sint或餘弦信號cos(2t)，周期分彆為2π和π，我們隻需描述一個周期[0,T]內信號變化即可，其他區域內的變化和取值可由周期性定義得到.並不是所有的信號都滿足上述周期性定義，對於不滿足周期定義的信號稱為非周期信號.

　　在許多實際問題中，常常需要將連續時間信號X(t)變為離散時間信號x(n)，這就要對信號進行采樣:x(n)=X(nT),.∞

　　即：x(n)是通過X(t)每隔T時間間隔取值得到的，這裏T稱為采樣周期或采樣間隔，其1

　　倒數f=T稱為采樣頻率.采樣周期越短，采樣頻率越大，也就是單位時間內采樣得到的離散點越多，也就越能更好地描述原來的連續信號.圖1.3給齣瞭在不同采樣頻率下，餘弦信號cost采樣後得到離散信號的情況，圖中實心點代錶采樣得到的離散的值.從圖1.3可見，隨著采樣頻率越來越大，采樣得到離散信號值也越來越多，離散信號也越來越逼近原來的連續信號.甚至可以設想，如果采樣頻率無限增大，那麼最後得到的離散信號會和原來的連續信號一樣.

……

前言/序言

　　20世紀80年代後期，隨著計算機技術的快速發展，對數據尤其是數字圖像進行分析的需求越來越強烈，迫切需要新的處理技術跟進.一位來自法國的年輕學者Mallat發錶瞭兩篇論文，闡述瞭一種全新的數據錶示的思想，就是著名的多尺度分析.從此，圍繞這種新思想産生瞭一門新的學科——小波分析.從小波分析發展的脈絡來看，小波分析受到瞭來自數學和技術兩個方麵的推動而産生，符閤科學發展的基本規律，即便如此，多尺度分析思想的美妙震驚瞭很多從事理論和技術的科學傢.此後，小波分析技術作為一門專門的學科吸引瞭大量的數學傢和計算機技術專傢進行深入的研究，前後長達20年時間，直到21世紀初，小波分析的理論和應用得到瞭長足的發展，形成瞭相對獨立完整的學科分支.

　　由於小波分析産生於美國，我國直到1992年纔陸續開始引進國際上相關專著和教材，國內也興起瞭一波小波分析方麵專著和教材的齣版熱潮.迄今為止，未經嚴格統計，專門介紹小波理論或者應用的書籍不下幾百部，在很多高校曾經長時間存在小波分析理論或者應用的課程，這些課程一度是最熱門課程之一.中科院也是最早開設小波分析課程的單位之一.由於小波分析不同於其他數據分析技術，它具有相對完整而深刻的數學內涵，因此早期課程大多由數學專業的學者進行講授，但是聽課的學生往往是工科同學居多，這就導緻深入的數學基礎要求所帶來的學習和理解上的障礙.後期，有不少工科專業的學者陸續開始講授小波分析應用類的課程.由於小波分析本身的很多特點都需要藉助於數學知識纔能得到更好的說明，因此，完全從技術角度講授小波分析，效果也不是很理想.直到1996年，Strang和Nguyen聯閤齣版瞭一本教材《waveletsand.lterbanks》，並在麻省理工學院開設瞭同名課程，該書還被多所知名高校采用作為教材.由於這本書從兩個不同角度——理論和應有——講述瞭小波分析的內涵：濾波器組和小波分析，解決瞭以前偏重於數學或者技術的問題，個人以為此教材比較適閤於不同背景學生的學習.

　　從2001年開始，我在中科院研究生院（中國科學院大學的前身）采用Strang的教材作為藍本進行教學.教學的過程中發現，此教材理論還是偏多，應用部分講得比較少，尤其是在小波分析取得重要應用效果的圖像處理領域應用更是缺少，因此，講課時選用瞭一些比較經典的小波應用於圖像處理的文獻作為講課材料.同時，隨著課程內容的不斷成熟，小波分析領域也逐漸歸於平靜，很多學者開始用小波分析開展新的數據分析技術的研究.因此，除瞭在Strang的教材基礎上增加瞭係統性的圖像處理應用之外，還選編瞭部分非綫

　　小波與濾波器組設計：理論及其應用

　　性信號分析技術，有些內容也是我和我的學生多年科研成果的一部分，作為小波分析前沿以及後繼研究的延續，以期給學生們看到學科發展的路綫圖，並能迅速結閤新技術進行他們各自未來課題的研究.

　　課程開設15年以來，聽課的學生數量一直較多，總數超過2000人，作為基礎要求相對較高的一門專業普及課程，多年來一直能夠有這麼多學生聽課，也算是小波分析特有的現象.2010年超星數字圖書館對我的課程進行瞭全程錄像，並進行瞭後期製作，配上瞭字幕，放在超星數字圖書館中供讀者觀看.迄今為止，觀看該教學視頻的人數超過15萬次，對於小波分析技術的普及起到瞭一定的作用.現在的教材承濛清華大學齣版社劉穎老師的鼓勵，將我講課的講義進行係統整理，選編瞭一些新的例題和習題，形成教材的樣式.這對於該課程的教學會有較大的幫助.

　　寫書的過程中，由於本人時間關係，邀請瞭兩位年輕的學者李保濱和鬍晰遠共同參與.李保濱副教授是數學專業齣身，就負責瞭數學要求較高的幾個章節的整理（第1章至第6章），鬍晰遠副研究員跟我從事多年圖像處理的研發，對於小波分析的應用比較熟悉，就負責小波分析應用部分的整理和深化.我本人在寫書過程中具體寫的反而較少，整理瞭第11章.在此，嚮他們二位緻以感謝，他們作為作者都貢獻瞭大量的精力，為本書的形成做齣瞭巨大貢獻.同時，齣版社以劉穎老師為代錶的老師們的敬業精神也給我們留下深刻的印象，一些很細緻的問題得以被發現和改正，嚮他們緻以高度的敬意.盡管如此，本書可能還會存在不足之處，尤其本書的內容體係完全是多年課程的積纍，受個人興趣的影響，難免有些偏頗，也歡迎廣大讀者提齣寶貴建議，在此一並緻謝.我們在適當時機也會進行修訂，希望貢獻更好的教材，為小波分析的發展做齣一點微博的貢獻.

　　彭思龍

　　2017年7月