微分幾何中的 Bochner 技術 （英文版）The Bochner tech pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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伍鴻熙 著

圖書標籤:

• Differential Geometry
• Bochner Techniques
• Partial Differential Equations
• Riemannian Geometry
• Geometric Analysis
• Mathematical Analysis
• Topology
• Manifolds
• Curvature
• Harmonic Analysis

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040478389

版次：1

商品編碼：12244748

包裝：精裝

叢書名： 數學經典論題

開本：16

齣版時間：2017-10-01

用紙：膠版紙

頁數：213

內容簡介

This monograph is a detailed survey of an area of differential geometry surrounding the Bochner technique. This is a technique that falls

under the general heading of "curvature and topology" and refers to a method initiated by Salomon Bochner in the 1940's for proving on compact Riemannian manifolds that certain objects of geometric interest (e.g. harmonic forms, harmonic spinor fields, etc.) must satisfy additional differential equations when appropriate curvatureconditions are imposed. In 1953, K. Kodaira applied this method to prove the vanishing theorem that now bears his name for harmonic forms with values in a holomorphic vector bundle; this was the crucial step that allowed him to prove his famous imbedding theorem. Subsequently, the Bochner technique has been extended, on the one hand, to spinor fields andharmonic maps and, on the other, to harmonic functions and harmonic maps on noncompact manifolds . The last has led to the proof of rigidity properties of certain Kähler manifolds and locally symmetric spaces. This monograph gives a self-contained and coherent account of some of these developments,assuming the basic facts about Riemannian and Kähler geometry as well as the statement of the Hodge theorem. Thebrief introductions to the elementary portions of spinor geometry and harmonic maps may be especially useful to beginners.

Bochner 技術是數學中經典和有效的技術，可以用來證明數學中非常重要的消失定理和剛性性質。伍鴻熙教授著書眾多，寫作經驗豐富，本書是di一次係統介紹Bochner技術及其應用的著作。

目錄

1 Coordinates and Frames Normal at a Point
2 The Weitzenbock Formulas
3 Some Results in the Compact Case
4 Some Results in the Noncompact Case

5 Harmonic Spinor Fields
5.1 Algebra
5.2 Topology
5.3 Geometry

6 Harmonic Mapping
6.1 Riemannian vector bundles
6.2 The definition of a harmonic map and the first consequences .
6.3 Existence results
6.4 First applications of the Bochner technique
6.5 Strong rigidity theorems
6.6 Miscellaneous remarks
References
Appendix: Vector Fields and Pdcci Curvature by S. Bochner
A.1 Real spaces
A.2 Hermitian metric
A.3 Complex spaces
Index

好的，這是一份針對您所描述的書籍《微分幾何中的Bochner技術》（The Bochner Technique in Differential Geometry）的、不包含該書具體內容的詳細簡介，旨在介紹相關領域背景和可能涉及的更廣泛主題，同時保持專業性和信息密度。 --- 《微分幾何中的Bochner技術》：領域概述與方法論的深度探索 本書旨在深入剖析現代微分幾何中一個至關重要且極具影響力的分析工具集——Bochner技術。盡管我們此處不探討該技術在您特定著作中的具體應用細節，但可以從更宏觀的視角，勾勒齣Bochner技術所植根的數學土壤、其核心概念的普遍性，以及它在多個幾何與拓撲領域中作為橋梁的重要性。 I. 問題的提齣：幾何分析的基石 微分幾何本質上是通過分析工具來研究幾何對象的數學分支。從黎曼幾何的度量結構到更抽象的縴維叢理論，幾何對象的內在屬性往往通過其上的偏微分方程（PDEs）來揭示。經典幾何分析的挑戰在於，如何將局部光滑性與全局拓撲、拓撲不變量與度量結構聯係起來。 Bochner技術，其核心精神在於利用特定類型的微分算子（通常與拉普拉斯算子或更一般的黎曼幾何算子相關聯），結閤巧妙的代數恒等式和積分技巧，來導齣關於幾何對象性質的深刻結論。這種方法的強大之處在於其普適性和對緊湊性、非負性等概念的敏感性。 II. 基礎數學環境的構建 要理解Bochner方法的應用潛力，必須首先建立堅實的分析基礎。這涉及對以下核心概念的熟練掌握： A. 黎曼流形與張量分析： 流形的局部坐標係、度量張量 $g$ 及其逆 $g^{-1}$ 的性質，是所有後續分析的起點。對聯絡（如列維-奇維塔聯絡）、麯率張量（裏奇麯率、魏因加滕麯率等）的理解，是構建Bochner型算子的先決條件。張量分析要求對協變導數和外微分有透徹的理解，因為所有重要的微分算子都必須在坐標變換下保持其張量特性。 B. 譜理論與算子理論： Bochner技術往往與譜理論緊密相連。在緊緻流形上，拉普拉斯-貝爾特拉米算子 $Delta$ 擁有離散的、實數域上的特徵值譜。分析算子的性質（自伴隨性、橢圓性）直接決定瞭其解的正則性和存在性。對L²空間上的希爾伯特空間理論的熟悉，對於理解通過能量法證明存在性或唯一性至關重要。 C. 嚮量叢與縴維叢上的分析： 幾何問題常常涉及嚮量叢（如切叢、法叢或更高階的張量叢）。在這些空間上進行分析，需要引入聯絡形式，從而定義赫奇算子（Hodge Laplacian）或其他相關的拉普拉斯算子。Bochner方法在此類設置中，常常用於研究特定叢的截麵或上同調類的存在性與衰減性。 III. Bochner思想的核心範式：一個分析框架 Bochner技術並非單一的公式，而是一套結構化的分析策略，通常圍繞以下步驟展開： A. 構造一個“Bochner”型算子： 這通常涉及構造一個正定（或半正定）的二階微分算子 $L$ 作用於某個函數或嚮量場（或更復雜的對象，如1-形式、2-形式、或特定類型的張量）。這個算子 $L$ 的選擇至關重要，它必須能捕捉到幾何對象的某種內在“能量”或“麯率信息”。在許多情況下，這種算子是通過巧妙地組閤黎曼麯率項、度量項和微分算子本身得到的。 B. 尋找代數恒等式： 核心步驟在於找到一個微分恒等式，將新構造的算子 $L$ 的結果與某個關鍵量的平方的散度聯係起來。例如，證明 $ ext{div}(V) = langle L f, f angle$ 或 $ ext{div}(V) = langle L omega, omega angle - ext{CurvatureTerm}$。這裏的 $V$ 是某個嚮量場或1-形式，而 $f$ 或 $omega$ 是我們感興趣的對象。 C. 利用積分和邊界條件： 通過對該恒等式在流形上（或邊界清晰的區域上）進行積分，利用散度定理（Green's Identities的推廣），將微分方程轉化為積分關係。如果流形是緊緻的，或者如果邊界項可以被控製（例如，如果所有場在無窮遠處衰減），那麼積分關係通常可以導齣關於 $langle L cdot, cdot angle$ 的非負性或零性結論。 D. 結論的推導： 如果 $langle L X, X angle geq 0$ 且通過分析證明 $langle L X, X angle = 0$ 僅當 $X=0$，則意味著我們所研究的函數、嚮量場或微分形式必須是零，從而推導齣流形的幾何性質（如平坦性、非負麯率等）。 IV. 廣泛的應用領域與概念關聯 Bochner技術的普適性使其在多個子領域扮演瞭關鍵角色： A. 緊緻性與覆蓋空間： 在復雜流形（Kähler流形）上，Bochner技術是證明關鍵函數空間緊緻性的有力工具。通過分析與Ricci麯率或相關麯率項相關的算子，可以證明某些幾何量（如度量或聯絡的模空間）具有有限維近似，這對於幾何結構的穩定性研究至關重要。 B. 極值問題與幾何流： 在研究幾何流（如Ricci流）的長期行為時，Bochner方法常被用來證明某些能量泛函（如能量泛函、譜函數）的單調性或其梯度流的收斂性。這要求對能量泛函的二階變分（即Bochner型算子）進行深入分析。 C. 拓撲不變量的分析證明： 雖然Bochner技術本身是分析性的，但它可以作為連接分析與拓撲的橋梁。例如，在某些情況下，它可以用來分析熱核的漸近展開，從而間接連接到Chern-Weil理論或Hirzebruch-Riemann-Roch公式的某些方麵。 D. 特定幾何的洞察： 在卡拉比-丘流形等特殊結構上，Bochner技術可以與赫奇理論（Hodge Theory）完美結閤，例如，通過分析與皮斯（Pisano）引理相關的算子，來研究這些流形的特殊度量（如凱勒-愛因斯坦度量）的存在性。 V. 展望：從經典到現代的演進 Bochner技術的精神貫穿瞭微分幾何分析的近百年曆史。現代的演進不再局限於傳統的拉普拉斯算子，而是擴展到更復雜的非綫性算子、更高維度的張量方程，以及在非黎曼幾何（如辛幾何或普適覆蓋空間）中的應用。掌握這一技術框架，意味著掌握瞭用分析手段解決幾何難題的基本“語言”和“思維定勢”，是深入研究現代幾何分析的必經之路。它強調瞭代數技巧、偏微分方程和幾何直覺的和諧統一。 ---

評分☆☆☆☆☆

我最近接觸到一本叫做《The Bochner Technique in Differential Geometry》的書，雖然我不是這本書的讀者，但僅憑書名，就足以引起我強烈的興趣。在我有限的數學知識裏，“Bochner技術”這個詞匯就帶著一種神秘而強大的氣息，讓我聯想到它可能是一種能夠深入剖析幾何對象本質的分析方法。我設想，這本書的作者一定花費瞭巨大的精力，將這種高深的數學理論以一種清晰、係統的方式呈現齣來。我好奇它究竟是如何運用分析學的工具來研究幾何學的，比如如何通過積分、微分方程等手段來揭示流形的麯率、拓撲結構，甚至是某些特定函數的性質。這本書的存在，讓我對微分幾何這個領域充滿瞭敬畏之情，也激發瞭我想要去瞭解更多關於數學分析如何與幾何學相結閤的願望。它像是一個等待被發掘的寶藏，裏麵蘊藏著豐富的數學智慧。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學研究充滿熱情的學生，我一直對現代幾何學的前沿進展感到著迷。最近，我被一本名為《The Bochner Technique in Differential Geometry》的書吸引住瞭。雖然我還沒有機會深入研讀，但從其書名和我所瞭解的數學領域來看，這本書無疑是一部重量級的著作。Bochner 技術，這個名字本身就帶有強大的數學力量，預示著在理解黎曼流形性質方麵有著深刻的洞見。我知道，這項技術與調和函數、調和映射以及流形的拓撲和幾何特徵之間存在著緊密的聯係。想象一下，能夠利用這個強大的分析工具來揭示流形的深層結構，這是多麼令人振奮的事情。這本書似乎提供瞭一個係統性的視角，將Bochner技術置於微分幾何的宏大框架下進行闡釋，這對於我這樣的初學者來說，無疑是一座燈塔，指引我探索更加廣闊的數學海洋。我非常期待通過這本書，能夠建立起對Bochner技術堅實的理解，並學會如何將其應用到實際的幾何問題中，從而為我的研究打下堅實的基礎。它的存在本身就足以激發我學習的動力，讓我對即將到來的知識之旅充滿期待。

評分☆☆☆☆☆

我一直對純粹數學的研究抱有濃厚的興趣，特彆是那些能夠連接不同數學分支的理論。《The Bochner Technique in Differential Geometry》這個書名，立刻就吸引瞭我。我知道Bochner技術在微分幾何領域扮演著核心角色，它將分析學和幾何學巧妙地結閤起來，用於研究流形的各種性質。我非常期待這本書能夠係統地闡述Bochner技術的原理，包括其背後的數學思想、關鍵的定理以及典型的應用。想象一下，能夠利用這個技術來理解流形的拓撲分類、證明一些深刻的幾何存在性定理，或者分析調和函數的行為，這是多麼令人興奮的事情。這本書的價值，在於它提供瞭一個深入理解現代微分幾何的途徑，對於那些想要在幾何分析領域進行深入研究的讀者來說，它無疑是一部不可或缺的參考書。它的存在，讓我對接下來的學習充滿瞭期待，我相信它會為我打開一扇通往更廣闊數學世界的大門。

評分☆☆☆☆☆

作為一位對理論物理，特彆是弦論領域的研究者，我深切關注著數學在物理理論發展中的作用。《The Bochner Technique in Differential Geometry》這本書的書名，讓我立刻聯想到瞭其在幾何分析中的潛在應用。我知道，Bochner技術在研究流形的拓撲不變量、證明一些重要的幾何定理時扮演著至關重要的角色。在理論物理中，我們經常需要在高維流形上進行計算和推理，而對這些流形性質的深入理解，往往離不開強大的數學工具。這本書的齣現，對於我來說，就像是找到瞭一個能夠幫助我理解物理模型背後的幾何結構的“鑰匙”。我期待它能夠提供關於Bochner技術在麯率、調和映射等概念上的應用細節，這些都是構建物理模型不可或缺的元素。通過學習這本書，我希望能更好地理解物理定律的幾何本質，並將其轉化為更精確的數學描述，從而在理論研究中取得突破。

評分☆☆☆☆☆

我近期偶然翻閱到一本名為《The Bochner Technique in Differential Geometry》的書，雖說我並非微分幾何領域的專業人士，但其“Bochner技術”這個術語立刻勾起瞭我的好奇心。它聽起來就像是一種能夠“解析”幾何結構的強大工具，一種能夠從分析的角度去理解麯麵、空間等幾何對象的視角。我腦海中不禁浮現齣，通過這種技術，或許能夠揭示一些隱藏在錶麵之下的深刻聯係，比如幾何特性與拓撲性質之間的微妙互動。對於一個對數學的內在聯係和不同分支如何相互支撐感到著迷的讀者來說，這本厚重的著作似乎提供瞭一個極好的窗口，去窺探微分幾何的精髓。我設想，這本書會以一種嚴謹但不失啓發性的方式，引導讀者一步步領略Bochner技術的奧妙，從基本概念的鋪墊，到復雜應用的展示，環環相扣，引人入勝。它的存在，讓我對微分幾何這門看似抽象的學科，有瞭更加具體和深入的認識，仿佛打開瞭一扇通往更深層次理解的大門。

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包裝很好精緻，紙張不錯，質感。

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