偏微分方程的有限差分方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張強 著

圖書標籤:

• 偏微分方程
• 有限差分法
• 數值分析
• 科學計算
• 數學模型
• 工程數學
• 計算數學
• 數值方法
• 偏微分方程數值解
• 差分格式

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030553782

版次：31

商品編碼：12273543

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-01-01

頁數：240

字數：353000

正文語種：中文

內容簡介

《偏微分方程的有限差分方法》以拋物型方程、雙麯型方程和橢圓型方程為基本模型，係統地闡述有 限差分方法的基礎理論和主要格式。在詳細介紹每個格式的時候，一些重要的 數值設計思想和理論分析技術得到詳盡的討論，有限差分方法同其他數值方法 的聯係與區彆也得到簡要的論述。《偏微分方程的有限差分方法》既注重理論的嚴謹性，也關注算法的實 現細節；內容既注重曆史的發展軌跡，也關注*新的研究進展。

目錄

目錄
前言
緒論 1
0.1 數值方法研究的必要性 1
0.2 內容和結構 3
第1章 兩個簡單格式 6
1.1 古典格式 6
1.1.1 格式構造 6
1.1.2 可行性和效率 9
1.1.3 數值錶現 11
1.2 簡單推廣 14
1.3 總結 16
習題 16
第2章 綫性差分格式的基本理論 18
2.1 預備知識 18
2.2 相容性 20
2.2.1 逐點相容性 20
2.2.2 整體相容性 22
2.2.3 導數的差商離散 23
2.3 穩定性 26
2.4 Fourier方法 32
2.4.1 理論背景 32
2.4.2 操作過程 35
2.5 收斂性 38
2.5.1 基本概念 39
2.5.2 Lax-Richtmyer等價定理 40
習題 41
第3章 熱傳導方程 43
3.1 相容性 43
3.1.1 加權平均格式 43
3.1.2 三層格式 47
3.2 計算效率 53
3.2.1 時間步長的輪替策略 53
3.2.2 顯隱格式的交替使用 54
3.2.3 Saul'ev 格式及其應用 58
3.3 誤差估計或收斂分析 61
3.3.1 基於強正則性假設 61
3.3.2 弱正則性假設 63
3.4 導數邊界條件 66
3.4.1 單側離散方式 67
3.4.2 雙側離散方式 70
3.4.3 數值錶現 72
3.5 初值條件的離散 73
習題 75
第4章 一維擴散方程 77
4.1 具有光滑係數的綫性擴散方程 77
4.1.1 非守恒型擴散方程 77
4.1.2 守恒型擴散方程 79
4.1.3 穩定性分析方法 82
4.2 具有間斷係數的綫性擴散方程 86
4.3 極坐標下的熱傳導方程 88
4.4 非綫性擴散方程 91
習題 93
第5章 高維擴散方程 95
5.1 微分方程的數值離散 95
5.2 邊界條件的數值離散 98
5.2.1 矩形區域 99
5.2.2 任意區域 101
5.2.3 高維格式的計算效率 106
5.3 分數步長方法 107
5.3.1 交替方嚮隱式方法 107
5.3.2 局部一維化方法 113
5.3.3 注釋和說明 114
習題 116
第6章 綫性常係數對流方程 119
6.1 迎風格式和 Lax-Wendroff格式 119
6.1.1 迎風格式 119
6.1.2 Lax-Wendroff格式 121
6.1.3 穩定性分析方法 122
6.1.4 數值錶現 124
6.2 綫性常係數差分格式 126
6.2.1 基本數值概念 127
6.2.2 單調格式與數值振蕩 128
6.2.3 數值耗散、數值頻散和數值振蕩 129
6.3 其他著名格式 133
6.3.1 Lax-Friedrichs 格式 133
6.3.2 蛙跳格式 135
6.3.3 盒子格式 138
6.4 人工邊界條件 141
習題 143
第7章 綫性雙麯型方程 145
7.1 綫性變係數對流方程 145
7.2 一階雙麯型方程組 148
7.3 二階聲波方程 150
7.3.1 直接離散方式 150
7.3.2 間接離散方式 151
7.3.3 哈密頓係統和辛格式 153
7.4 高維對流方程 155
習題 157
第8章 非綫性雙麯守恒律 159
8.1 弱解和熵解 159
8.2 守恒型差分格式 162
8.2.1 基於光滑解的格式構造 162
8.2.2 關於間斷解的健壯性 167
8.3 有限體積方法 169
8.3.1 基本框架 169
8.3.2 Godunov方法 173
8.4 穩定性和收斂性 177
8.4.1 單調保持格式 178
8.4.2 單調格式 178
8.4.3 TVD格式 179
8.5 TVD修正技術 181
8.5.1 數值通量修正技術 181
8.5.2 數值斜率修正技術 182
習題 184
第9章 發展型方程差分方法綜述 185
9.1 對流擴散方程 185
9.1.1 中心差商顯格式 185
9.1.2 常用的解決方法 187
9.2 修正方程方法 191
9.3 能量方法 193
習題 196
第10章 橢圓型方程 198
10.1 五點格式 198
10.1.1 規則內點的五點差分方程 198
10.1.2 非規則內點的五點差分方程 199
10.1.3 離散方程組 200
10.1.4 綫性方程組的數值解法 201
10.2 最大模估計 205
10.2.1 強最大值原理 205
10.2.2 簡單估計 206
10.2.3 精細估計 207
10.3 提高數值精度的方法 209
10.3.1 Richardson外推技術 209
10.3.2 九點格式 210
10.3.3 Kreiss差分格式 210
10.4 有限元方法 211
10.4.1 變分方法的基本理論 212
10.4.2 古典變分法 214
10.4.3 標準有限元方法 216
習題 219
主要參考文獻 221
附錄 222
A Taylor 級數 222
B Fourier 級數 (積分) 222
C 周期函數的離散 Fourier理論 222
D 綫性差分方程的基本理論 223
E 三對角矩陣的特徵值 224
F Gronwall不等式 225
G 圓盤定理 225
部分習題答案和提示 226
索引 228

好的，這是一份關於《偏微分方程的有限差分方法》一書的圖書簡介，重點突齣其內容廣度、深度以及對讀者的價值，同時確保文字風格自然、專業，不含人工智能痕跡。 --- 圖書簡介：《偏微分方程的有限差分方法》 在科學、工程、金融乃至環境模擬等諸多領域中，偏微分方程（PDEs）構成瞭描述自然現象和人造係統演化規律的核心數學工具。然而，除瞭極少數特殊情形外，解析求解這些方程幾乎是不可能的任務。正是在這一背景下，數值方法，特彆是有限差分法（Finite Difference Method, FDM），成為瞭我們理解和預測復雜物理過程的關鍵橋梁。 《偏微分方程的有限差分方法》一書，旨在為讀者提供一個全麵、深入且實用的指南，係統地闡述如何將抽象的偏微分方程轉化為可計算的離散模型。本書不僅側重於理論基礎的嚴謹推導，更強調將數學原理與工程實踐緊密結閤，使用戶能夠有效地解決實際問題。 全書的結構精心設計，力求從基礎概念齣發，逐步深入到前沿技術。 第一部分：基礎與核心理論 本書首先從偏微分方程的分類與基本性質入手，係統梳理瞭描述物理現象的幾類典型方程——拋物型（如熱傳導方程）、雙麯型（如波動方程）和橢圓型（如拉普拉斯方程）。隨後，核心內容聚焦於有限差分法的基本構建模塊：差商的構造。讀者將詳細學習如何通過泰勒級數展開，精確推導齣中心差分、嚮前差分和嚮後差分的精度與誤差特性。這一部分奠定瞭讀者理解後續復雜算法的堅實數學基礎。 我們對差分網格的剖分方式進行瞭詳盡的討論，包括均勻網格與非均勻網格的優劣性分析，為處理復雜幾何邊界打下基礎。 第二部分：時間推進與穩定性分析 對於涉及時間演化的拋物型和雙麯型方程，時間離散化是關鍵。本書花費大量篇幅探討瞭各種時間推進格式的構建與性能比較。 顯式方法：如前嚮歐拉法，講解其實現上的直觀性和計算上的簡便性，同時深入剖析其嚴格的穩定域限製，這對於確保數值解的物理閤理性至關重要。 隱式方法：如後嚮歐拉法和Crank-Nicolson方法。重點在於揭示隱式格式在犧牲部分計算直觀性的同時，如何獲得無條件（或更廣範圍）的穩定性，並詳細闡述瞭求解由這些方法産生的綫性代數方程組（通常是三對角矩陣）的高效算法，例如Thomas算法（TDMA）。 穩定性分析是數值方法的核心靈魂。本書采用馮·諾伊曼穩定性分析法，對各種時間步長與空間步長的組閤進行瞭嚴格的條件判定，幫助讀者理解數值解的發散與收斂背後的內在機理。 第三部分：空間離散與邊界條件的實現 對於穩態問題（橢圓型方程）和對流占優的問題，空間離散的精度和對邊界條件的正確處理直接決定瞭結果的準確性。 本書細緻講解瞭如何在高階差分格式中實現對物理邊界的精確擬閤。對於具有陡峭梯度或激波的物理現象，簡單的二階精度格式往往力不從心。因此，書中專門闢章討論瞭高階差分格式的構造，包括五點格式、九點格式等，以及如何通過局部網格加密（局部網格細化）來優化計算資源配置。 在邊界條件處理方麵，本書不僅限於Dirichlet（第一類）和Neumann（第二類）條件，還深入探討瞭Robin（第三類）條件以及處理不規則幾何形狀時的虛擬節點法和內插技術，確保數值解在邊界處與物理現實保持一緻。 第四部分：處理對流項與復雜方程 偏微分方程中包含對流項（一階導數項）時，傳統的中心差分格式容易引發數值振蕩，導緻結果不可信。本書提供瞭一係列成熟的策略來應對這一挑戰： 迎風格式（Upwind Schemes）：根據流動的方嚮選擇差分方嚮，這是處理純對流方程的基石。 空間時間守恒格式：確保在離散化過程中，質量、動量或能量等守恒量在計算域內得到精確的離散化守恒。 交錯網格技術：特彆是在處理流體力學問題時，如何將速度和壓力等變量分布在不同的網格點上，以避免棋盤格現象，是本書的特色內容之一。 此外，針對非綫性偏微分方程，本書闡述瞭如何結閤不動點迭代法（如Picard迭代）或牛頓法將非綫性問題綫性化，並與標準的有限差分格式相結閤進行求解。 價值定位與讀者群體 《偏微分方程的有限差分方法》不僅僅是一本公式手冊，更是一本深入淺齣的方法論教程。作者的敘述風格注重邏輯的連貫性和物理圖像的清晰性，確保讀者能夠清晰地看到“為什麼”要這樣做，而非僅僅是“如何”計算。 本書非常適閤以下讀者群體： 1. 工程力學、航空航天、土木工程等領域的本科高年級和研究生：為他們提供解決專業領域內熱傳導、流體流動、結構分析等問題的強大數值工具箱。 2. 應用數學和計算科學的研究人員：作為深入瞭解FDM理論極限、穩定性邊界和高階方法構建的參考資料。 3. 從事計算模擬的工程師和技術人員：提供一套可靠、經過驗證的數值方法藍圖，幫助他們建立和調試自己的模擬代碼。 通過詳盡的案例分析和對算法效率的討論，本書將引導讀者從一個理論學習者成長為一名能夠獨立設計、實施和評估復雜偏微分方程數值解的專傢。掌握瞭有限差分方法的精髓，就掌握瞭將數學模型轉化為工程洞察力的核心能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，無疑為我提供瞭一個深入學習和掌握偏微分方程有限差分方法的絕佳機會。我預見到書中會包含大量的數學推導和公式，這正是理解這類問題的精髓所在。我期待作者能夠以一種既嚴謹又不失易懂的方式來呈現這些內容，盡量減少不必要的晦澀，讓讀者能夠循序漸進地掌握核心概念。特彆是對於一些關鍵的定理和證明，我希望書中能夠有詳盡的解釋，以便我能夠理解其邏輯鏈條。同時，有限差分法的數值穩定性是一個至關重要的話題，我希望書中能夠對此進行深入的分析，介紹一些常用的穩定性判據，以及如何根據不同的問題選擇閤適的差分格式和時間步長來保證數值解的可靠性。此外，對於一些更高級的主題，例如高精度差分格式、自適應網格方法或者與其他數值方法的結閤，如果書中能夠有所涉及，那將是對我極大的啓發。我希望這本書能夠成為我學習和研究偏微分方程有限差分方法過程中不可或缺的參考。

評分☆☆☆☆☆

讀一本好書，就像與一位智者進行深度交流。我對於這本書充滿瞭期待，因為它所涵蓋的領域——偏微分方程的有限差分方法，是我一直以來都非常感興趣且認為極具價值的研究方嚮。我希望這本書能夠不僅僅是理論的堆砌，更能體現齣作者在這一領域的深刻見解和豐富的實踐經驗。我期待書中能夠提供一些具有啓發性的案例分析，通過具體的實例來展示有限差分方法的強大應用能力，例如在流體力學、傳熱學、電磁學等領域中，這些方法是如何被巧妙運用以解決現實世界的復雜問題。同時，我也希望書中能夠引導我思考有限差分法的局限性，以及在哪些情況下可能需要考慮其他的數值方法。一本真正優秀的教材，應該能夠培養讀者的批判性思維，而不是簡單地灌輸知識。我渴望通過閱讀這本書，不僅能夠紮實掌握有限差分法的理論基礎和計算技巧，更能培養齣獨立分析和解決復雜問題的能力，從而為我未來的學術研究或工程實踐打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計給我留下瞭深刻的印象。它並非那種花哨或過於學術化的風格，而是以一種沉靜而有力的姿態展現在我麵前，傳遞齣一種嚴謹而可靠的學術氣息。封麵的字體選擇非常考究，大小、粗細都恰到好處，給人一種易於閱讀且信息傳遞效率高的感覺。色彩的運用也十分到位，主色調可能是一種深邃的藍色或沉穩的灰色，搭配上關鍵的標題文字，整體營造齣一種寜靜緻遠的氛圍，仿佛邀請讀者一同潛入偏微分方程的深奧世界。雖然我還沒來得及深入閱讀，但僅僅是封麵，就已經激起瞭我對書中內容的無限遐想。我期待這本書能夠以清晰的脈絡和生動的語言，為我解開那些看似復雜的偏微分方程的麵紗。封麵上的作者信息也暗示瞭這是一本經過精心打磨、由經驗豐富的學者撰寫的著作，這讓我對書的專業性和深度充滿瞭信心。或許書中會有一些精美的插圖或圖錶，來輔助理解抽象的概念，這同樣是我對這本書抱有的美好期待之一。總之，這本書的封麵給我留下瞭一個極其積極的初印象，它像一位訓練有素的嚮導，準備帶領我踏上一段充滿挑戰卻也收獲頗豐的知識旅程。

評分☆☆☆☆☆

我對於這本書所包含的研究方嚮充滿瞭好奇。偏微分方程作為數學中一個極其重要的分支，在物理學、工程學、經濟學等眾多領域都有著廣泛的應用。而有限差分方法，作為求解這類方程的經典數值方法之一，其理論和實踐的重要性不言而喻。我非常期待書中能夠詳細闡述有限差分法的基本原理，例如如何將連續的偏微分方程轉化為離散的形式，以及不同階數的差分格式如何影響數值解的精度和穩定性。我特彆想瞭解的是，書中是否會深入探討一些經典的偏微分方程問題，比如熱傳導方程、波動方程、泊鬆方程等，並展示如何運用有限差分法來求解這些方程。此外，對於實際應用中經常遇到的復雜邊界條件和非均勻網格問題，這本書是否能提供有效的處理方法和技巧，也將是我非常關注的重點。我渴望通過這本書，不僅掌握有限差分法的基本操作，更能理解其背後的數學原理，並能夠靈活地將其應用於解決實際問題，甚至從中獲得一些新的研究思路。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書的第一感覺，是它的分量。那種沉甸甸的質感，讓我立刻意識到這並非一本輕鬆的讀物，而是一部需要投入時間和精力去細細品味的作品。紙張的觸感也很不錯，不是那種廉價的、容易泛黃的材料，而是帶著一種溫潤的質感，翻閱起來既舒適又耐用，這無疑增加瞭閱讀的愉悅感。我習慣在拿到新書後，先瀏覽一下目錄和前言，以此來對全書的結構和作者的寫作意圖有一個初步的瞭解。這本書的目錄條理清晰，層層遞進，從基礎概念的鋪墊，到具體方法的講解，再到實際應用的探討，似乎都安排得井井有條。前言部分，作者的語言通常會透露齣他們對該領域的獨特見解和研究熱情，或許會分享一些創作這本書的初衷，以及希望讀者從中獲得些什麼。這些細微之處，往往能夠幫助讀者更好地進入作者的思維模式，從而更有效地吸收書中的知識。對於一本探討偏微分方程及其數值方法的書籍而言，這種嚴謹的結構和清晰的邏輯至關重要，因為它需要引導讀者逐步掌握復雜的技術。