高等數學（本科少學時類型 第4版 下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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同濟大學數學係 編

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學
• 本科教材
• 少學時
• 第四版
• 下冊
• 理工科
• 大學教材
• 微積分
• 函數
• 極限

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040431186

版次：4

商品編碼：12274402

包裝：平裝

叢書名： 普通高等教育“十一五”國傢級規劃教材

開本：32開

齣版時間：2015-08-01

用紙：膠版紙

頁數：251

字數：200000

正文語種：中文

內容簡介

　　《高等數學（本科少學時類型 第4版 下冊）》分上、下兩冊齣版。上冊6章，內容為函數與極限，一元函數微積分，微分方程；下冊4章，內容為嚮量代數與空間解析幾何，多元函數微積分，無窮級數。
　　《高等數學（本科少學時類型 第4版 下冊）》按照適當降低理論深度，突齣微積分中實用的分析和運算方法，著重基本技能的訓練而不過分追求技巧的思想，對第二版做瞭修訂。參照專科教學基本要求，對原書內容作瞭少量增刪；結構上作瞭適當調整；刪去瞭某些要求過高的習題，增加瞭突齣基本訓練的題目，增加瞭便於階段復習的章復習題，使之更適應《高等數學（本科少學時類型 第4版 下冊）》的使用要求，《高等數學（本科少學時類型 第4版 下冊）》可作工科本科少學時專業和專科的教材或參考書。

內頁插圖

目錄

第七章 嚮量代數與空間解析幾何
第一節 嚮量及其綫性運算
一、嚮量的概念
二、嚮量的加減法
三、嚮量與數的乘法
習題7-1
第二節 點的坐標與嚮量的坐標
一、空間直角坐標係
二、利用坐標作嚮量的綫性運算
三、嚮量的模、兩點間的距離
四、嚮量的方嚮角與方嚮餘弦
五、嚮量的投影
習題7-2
第三節 數量積·嚮量積混閤積
一、兩嚮量的數量積
二、兩嚮量的嚮量積
*三、嚮量的混閤積
習題7-3
第四節 平麵及其方程
一、點的軌跡·方程的概念
二、平麵的點法式方程
三、平麵的一般方程
四、兩平麵的夾角
習題7-4
第五節 空間直綫及其方程
一、空間直綫的一般方程
二、空間直綫的點嚮式方程與參數方程
三、兩直綫的夾角
四、直綫與平麵的夾角
五、綜閤舉例
習題7-5
第六節 麯麵及其方程
一、柱麵
二、鏇轉麯麵
三、二次麯麵
習題7-6
第七節 空間麯綫及其方程
一、空間麯綫的一般方程
二、空間麯綫的參數方程
三、空間麯綫在坐標麵上的投影
習題7-7

第七章 復習題

第八章 多元函數微分法及其應用
第一節 多元函數的基本概念
一、多元函數的概念·區域
二、多元函數的極限
三、多元函數的連續性
習題8-1
第二節 偏導數
一、偏導數的定義及其計算法
二、高階偏導數
習題8-2
第三節 全微分
習題8-3
第四節 多元復閤函數的求導法則
習題8-4
第五節 隱函數的求導公式
習題8-5
第六節 多元函數微分法的幾何應用舉例
一、空間麯綫的切綫與法平麵
二、麯麵的切平麵與法綫
習題8-6
第七節 多元函數的極值及其求法
一、多元函數的極值及最大值、最小值
二、條件極值
習題8-7

第八章 復習題

第九章 重積分及麯綫積分
第一節 二重積分的概念與性質
一、麯頂柱體的體積與二重積分
二重積分的性質
習題9-1
第二節 二重積分的計算法
一、利用直角坐標計算二重積分
二、利用極坐標計算二重積分
習題9-2
第三節 二重積分的應用
一、麯麵的麵積
二、平麵薄片的質心
三、平麵薄片的轉動慣量
習題9-3
*第四節 三重積分
一、三重積分的概念
二、三重積分的計算法
'習題9-4
*第五節 對弧長的麯綫積分
一、對弧長的麯綫積分的概念
二、對弧長的麯綫積分的計算法
*習題9-5
*第六節 對坐標的麯綫積分
一、對坐標的麯綫積分的概念
二、對坐標的麯綫積分的計算法
*習題9-6
*第七節 格林公式及其應用
一、格林公式
二、平麵上麯綫積分與路徑無關的條件
*習題9-7

第九章 復習題

第十章 無窮級數
第一節 常數項級數的概念與性質
一、常數項級數的定義
二、級數的性質
習題10-1
第二節 常數項級數的審斂法
一、正項級數及其審斂法
二、交錯級數及其審斂法
三、絕對收斂與條件收斂
習題10-2
第三節 冪級數
一、函數項級數的一般概念
二、冪級數及其收斂區間
三、冪級數的運算
習題10-3
第四節 函數展開成冪級數
習題10-4
*第五節 冪級數在近似計算中的應用
*習題10-5

第十章 復習題
附錄 二階和三階行列式簡介

思考題答案
習題答案

高等數學（本科少學時類型 第4版 下冊） 一、 內容概述 本書是“高等數學（本科少學時類型 第4版）”係列的下冊，旨在為普通高等院校理工科專業以及其他需要學習高等數學的專業提供一門內容精煉、重點突齣、易於掌握的數學基礎課程。本冊內容緊承上冊，重點涵蓋瞭微分方程、多變量微積分（包括多元函數微分學與積分學）、嚮量分析、無窮級數以及概率論與數理統計等核心數學概念和方法。全書在保持高等數學嚴謹性的同時，更加注重理論與實際應用的結閤，力求使學生在有限的學時內，能夠紮實掌握解決各類工程技術和科學研究中常見數學問題的基本工具和思想方法。 二、 章節詳述 第一部分：微分方程 本部分是整個高等數學體係中解決動態問題和模型構建的關鍵。我們將從基本概念入手，係統介紹常微分方程的解法和理論。 常微分方程概論： 概念與分類： 引入微分方程的基本定義，如階、綫性、齊次與非齊次等概念，明確微分方程在描述自然界和社會現象中的重要作用，例如物理係統的運動、生物種群的生長、經濟模型的變化等。 基本概念： 詳細解釋解、通解、特解、初值問題等基本術語，為後續學習奠定基礎。 解的存在唯一性定理： 介紹在何種條件下，微分方程的解是存在的且唯一的，這是理論分析和數值計算的基礎。 一階微分方程的解法： 可分離變量方程： 講解一類最簡單的微分方程，通過變量分離即可求解，並給齣具體例子。 齊次方程： 介紹適用於形如 $y' = f(y/x)$ 的方程，通常通過變量替換轉化為可分離變量方程。 綫性方程： 重點講解一階綫性微分方程的解法，包括常係數和變係數兩種情況，其中常係數綫性方程通過積分因子法求解，變係數綫性方程則需要更一般的積分因子方法。 全微分方程： 講解當微分方程滿足特定條件時，可以通過尋找一個勢函數來求解，即全微分方程的判定與求解。 伯努利方程： 介紹一類特殊的非綫性方程，通過變量替換可轉化為綫性方程。 高階綫性微分方程： 概念與性質： 引入二階及更高階綫性微分方程，強調綫性疊加原理等基本性質。 常係數齊次綫性微分方程： 這是最重要的一類，詳細介紹特徵方程法，包括不同根、重根、復根的情況，並推導通解形式。 常係數非齊次綫性微分方程： 講解如何求解非齊次方程，通常采用待定係數法或常數變易法，並強調特解的求法。 降階法： 在某些特殊情況下，可以將高階方程轉化為低階方程進行求解。 微分方程組： 概念與解法： 介紹由多個微分方程組成的方程組，重點講解綫性微分方程組的解法，通常通過矩陣方法（如特徵值與特徵嚮量）求解。 應用舉例： 通過實際問題，如電路分析、力學振動、化學反應速率等，展示微分方程在工程和科學中的實際應用，加深學生對理論的理解。 第二部分：多變量微積分 本部分將研究涉及多個自變量的函數，包括它們的極限、連續性、微分和積分，是描述三維空間及更高維度現象的基礎。 多元函數微分學： 概念與幾何意義： 引入二元及多元函數的概念，討論它們的定義域、圖像（麯麵）和幾何意義。 極限與連續： 推廣單變量函數的極限與連續性概念到多元函數，討論極限存在的條件和連續性的性質，以及在實際問題中如何判斷函數的連續性。 偏導數： 講解偏導數的定義，即保持除一個自變量外其餘自變量不變時，對該自變量的微分。強調偏導數刻畫瞭函數沿著坐標軸方嚮的變化率。 全微分： 介紹全微分的概念，它是函數在某點附近變化量的綫性主部，是判斷函數可微性的關鍵。 可微性與偏導數的關係： 深入探討函數可微的條件，以及偏導數存在是否能推齣函數可微。 多元函數求導法則： 鏈式法則： 講解復閤多元函數求導的鏈式法則，這在處理復雜函數關係時至關重要。 方嚮導數與梯度： 定義方嚮導數，錶示函數沿著任意方嚮的變化率。引入梯度嚮量，它指示瞭函數增長最快的方嚮，並且其模長即為該方嚮上的最大方嚮導數。 高階偏導數： 介紹二階及更高階偏導數，並討論混閤偏導數在某些條件下相等（如 Clairaut 定理）。 泰勒公式： 推廣單變量泰勒公式到多元函數，用於函數在某點附近進行局部近似，是數值計算和理論分析的重要工具。 極值問題： 無條件極值： 講解如何利用偏導數求解函數的局部最大值和最小值，包括駐點和二階偏導數判彆法。 條件極值（拉格朗日乘數法）： 介紹求解約束條件下的極值問題，拉格朗日乘數法是一種強大的通用方法。 多元函數積分學： 重積分： 二重積分的計算： 講解二重積分的概念和計算方法，通常轉化為纍次積分（先對一個變量積分，再對另一個變量積分）。 積分區域的變換： 介紹如何利用坐標變換（如極坐標變換）簡化二重積分的計算。 三重積分： 推廣到三重積分，並介紹其計算方法和在物理學、工程學中的應用（如體積、質量、重心計算）。 麯綫積分與麯麵積分： 第一類麯綫積分（對弧長積分）： 講解沿著麯綫對函數進行積分，常用於計算麯綫的質量、質心等。 第二類麯綫積分（對坐標積分）： 講解沿著麯綫對變量的微分進行積分，常用於計算功、環量等。 格林公式： 連接平麵區域上的二重積分與區域邊界上的麯綫積分，是重要的理論工具。 第一類麯麵積分（對麵積積分）： 講解在麯麵上對函數進行積分，常用於計算麯麵的質量、質心等。 第二類麯麵積分（對坐標麯麵積分）： 講解在麯麵上對嚮量場的通量進行積分，常用於計算流體流量等。 高斯公式（散度定理）： 連接空間區域上的三重積分與區域邊界麯麵上的麯麵積分，是三維空間中的核心定理。 斯托剋斯公式（鏇度定理）： 連接麯麵上的麯麵積分與麯麵邊界上的麯綫積分，是嚮量分析中的重要工具。 第三部分：無窮級數 本部分將研究無限項的和，這是將離散序列的性質推廣到連續變化的基礎，在函數逼近、數值計算和物理建模中發揮著核心作用。 數項級數： 概念與收斂性： 定義數項級數，介紹收斂、發散、部分和等概念。 收斂判彆法： 詳細介紹各種判彆級數收斂性的方法，包括： 比較判彆法： 通過比較已知級數來判斷待判彆級數的收斂性。 比值判彆法和根值判彆法： 適用於具有比例或指數形式的級數。 積分判彆法： 將級數的收斂性與一個積分的收斂性聯係起來。 交錯級數判彆法： 適用於符號交替齣現的級數。 絕對收斂與條件收斂： 區分級數絕對收斂和條件收斂的含義及重要性。 調和級數、p-級數： 討論一些重要的特殊級數及其收斂性。 冪級數： 概念與收斂域： 介紹冪級數，即以變量的冪為項的級數，重點講解其收斂域的確定。 函數展開成冪級數： 介紹如何將常見函數（如指數函數、三角函數、對數函數）展開成冪級數，即泰勒展開。 函數項級數與一緻收斂： 簡單介紹函數項級數的概念，並引入一緻收斂的概念，它保證瞭在極限運算中的某些性質。 泰勒級數與麥剋勞林級數： 深入講解泰勒級數，它提供瞭將函數錶示為無窮多項式的方法，是函數逼近和分析的重要工具。 傅裏葉級數（簡要介紹，根據少學時課程安排）： 概念與基本思想： 介紹傅裏葉級數是將周期函數錶示為三角函數（正弦和餘弦）級數的一種方法，在信號處理、熱傳導等領域有廣泛應用。 第四部分：概率論與數理統計（入門） 本部分將介紹概率論的基本概念，為理解隨機現象和進行數據分析打下基礎，為後續學習統計學提供必要的數學工具。 隨機事件與概率： 隨機事件的定義與運算： 介紹必然事件、不可能事件、隨機事件，以及事件的並、交、差、補等運算。 概率的定義與性質： 介紹概率的公理化定義，以及概率的基本性質，如非負性、規範性、可加性等。 條件概率與獨立性： 講解條件概率的概念，以及事件之間的獨立性判斷。 全概率公式與貝葉斯公式： 介紹這兩個重要的概率計算公式，在復雜事件的概率計算中非常有用。 隨機變量及其分布： 離散型隨機變量： 介紹離散型隨機變量及其概率分布列，以及數學期望和方差的概念。 連續型隨機變量： 介紹連續型隨機變量及其概率密度函數，以及數學期望和方差的概念。 常見分布： 介紹二項分布、泊鬆分布、均勻分布、指數分布、正態分布等基本概率分布。 多維隨機變量（簡要介紹）： 介紹二維隨機變量及其聯閤分布、邊緣分布、條件分布的概念。 數理統計初步： 統計量： 介紹樣本均值、樣本方差等統計量的概念。 參數估計（簡要介紹）： 介紹點估計和區間估計的基本思想。 假設檢驗（簡要介紹）： 介紹假設檢驗的基本思想和步驟。 三、 教學目標與特色 本書的編寫遵循“精講多練、突齣重點、強化應用”的原則。 教學目標： 使學生掌握高等數學的基本概念、基本理論和基本方法。 培養學生運用數學知識解決實際問題的能力。 為後續專業課程的學習奠定必要的數學基礎。 提升學生的邏輯思維能力、抽象思維能力和空間想象能力。 本書特色： 內容精煉： 針對少學時特點，對內容進行瞭優化和篩選，突齣核心知識點。 理論與實踐結閤： 大量選取瞭貼近工程實際和社會應用的例題和習題，幫助學生理解數學的實用性。 由淺入深： 概念引入清晰，推導過程詳略得當，難度循序漸進。 配套習題： 每章配有大量不同難度和類型的習題，包括概念題、計算題和應用題，方便學生鞏固和提高。 語言風格： 力求語言平實、準確，避免過於晦澀的錶達，便於學生理解和接受。 四、 適用對象 本書適用於普通高等院校理工科專業以及其他對高等數學有需求的專業，尤其是學時相對較少的專業。 五、 結語 “高等數學（本科少學時類型 第4版 下冊）”緻力於為學生提供一個紮實、高效的學習平颱，幫助他們在有限的時間內，建立起堅實的數學基礎，為未來的學習和工作打下堅實的基礎。掌握本書內容，將為學生解決復雜的工程問題、進行科學研究以及理解更高級的數學理論提供重要的支撐。

評分☆☆☆☆☆

作為一本“少學時”版本，它在內容的取捨上做到瞭恰到好處。我能明顯感覺到，作者在保留高等數學核心精髓的同時，剔除瞭那些對於本科階段大部分專業而言並非必需的、過於深入或偏門的理論。這讓我能夠將有限的學習時間聚焦在最重要、最基礎的知識點上，而不會被繁雜的細節所淹沒。例如，在關於微分方程的部分，作者選取瞭最常用、最經典的類型進行講解，並通過實際應用場景來展示其解決問題的能力，這讓我對微分方程的應用有瞭更直觀的認識。我記得之前接觸過的某本教材，裏麵關於微分方程的部分，簡直可以齣一本專門的書籍瞭，看得我頭昏腦漲，而這本教材的講解則顯得更加聚焦和實用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的翻譯質量也相當不錯，語言流暢自然，沒有生硬的直譯感。這對於非英語母語的學生來說，無疑是學習上的一個巨大優勢。我曾經讀過一些翻譯質量不高的數學教材，閱讀起來非常費力，而這本教材的翻譯讓我能夠更專注於數學內容的學習。下冊中關於嚮量微積分的部分，經常涉及復雜的嚮量運算和幾何理解，流暢的翻譯讓我能夠更清晰地把握作者的意圖，避免瞭因為語言障礙而産生的理解偏差。

評分☆☆☆☆☆

盡管是“少學時”版本，但本書並沒有犧牲內容的深度。相反，它在許多關鍵概念的講解上，都達到瞭相當的深度，能夠為學生打下紮實的數學基礎。我尤其欣賞它在講解某些證明時，所展示的嚴謹的邏輯推理過程，這對於培養學生的數學思維和嚴謹性至關重要。在下冊中，關於多元函數泰勒公式的展開和應用，以及隱函數定理和反函數定理的證明，都處理得相當到位，既有直觀的幾何解釋，也有嚴謹的數學推導。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，無疑是為我這個在高等數學的海洋中掙紮瞭許久的本科生注入瞭一劑強心劑。不同於以往接觸到的厚重、晦澀的教材，這本“少學時”版本在保持核心知識體係完整性的前提下，進行瞭精煉和優化。我尤其欣賞它在概念講解上的循序漸進，雖然我接觸的隻是下冊，但其中關於多變量函數、重積分、麯綫積分、麯麵積分等內容，作者的處理方式顯得尤為巧妙。他並沒有一開始就拋齣繁復的定義和定理，而是通過大量的、貼閤實際的例子，逐步引導讀者理解抽象的數學概念。例如，在講解二重積分時，作者用瞭一個計算不規則麯麵上體積的問題，生動形象地展示瞭二重積分的幾何意義，讓我這個曾經對積分錶示“敬而遠之”的學生，第一次感受到瞭數學工具的強大力量。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格也相當值得稱贊，它不像某些教材那樣冷冰冰、公式堆砌，而是帶有一種引導和啓發的語調。作者在講解一些比較難理解的定理時，會用一些生動的類比，或者提齣一些啓發性的問題，引導讀者主動去思考，去探索。我特彆喜歡書中關於“數學思想”的討論，它不僅僅是傳授知識，更是在培養一種數學思維方式。例如，在講解一些證明技巧時，作者會分析其背後的邏輯，以及這種技巧的通用性，這讓我不僅僅是記住公式，更能理解公式是如何被推導齣來的，以及在其他問題中如何應用。下冊中關於數項級數和冪級數的講解，往往容易讓人覺得枯燥，但作者通過將其與函數逼近等實際問題聯係起來，讓我看到瞭這些抽象理論的實際價值。

評分☆☆☆☆☆

我之前也接觸過其他版本的高等數學教材，但不得不說，這本“少學時”版本在解決學生實際學習痛點方麵做得尤為齣色。很多學生在學習高等數學時，常常會遇到“知其然不知其所以然”的問題，即知道公式怎麼用，但不知道為什麼是這樣。這本書則在這方麵進行瞭彌補，它在引入新的概念或定理時，會先從其産生的原因、解決的問題入手，然後再逐步深入到數學的嚴謹定義和證明。我特彆欣賞它在處理收斂性判定時，並沒有直接給齣各種判彆法，而是先從直觀的幾何意義上解釋級數求和的含義，再逐步引入各種判彆法，這樣能有效降低學生的畏難情緒。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構設計也十分閤理，循序漸進，層層遞進。從基礎概念的引入，到復雜定理的講解，再到應用題的練習，整個學習過程都顯得井井有條。這對於像我這樣學習能力相對較弱的學生來說，極大地減輕瞭學習的壓力，讓我在一步一個腳印中，逐漸掌握高等數學的知識。特彆是在處理重積分的坐標變換問題時，作者先是從二重積分在極坐標係下的計算開始，然後逐步推廣到更一般的變量代換，整個過程銜接自然，邏輯清晰，讓我對這一重要技巧有瞭深刻的理解。

評分☆☆☆☆☆

從閱讀體驗上來說，這本書的排版設計也非常人性化。清晰的章節劃分，醒目的公式標注，以及穿插在各處的“提示”和“注意”欄目，都極大地提升瞭閱讀效率。我曾經因為某個數學符號的含義不明而卡住半天，但在這本書中，幾乎所有的專業術語和符號都有詳盡的解釋，或者在首次齣現時就給齣瞭清晰的定義。下冊內容涉及的多元函數微積分部分，往往是很多學生感到頭疼的難點。但作者在處理梯度、散度、鏇度等概念時，沒有簡單地羅列公式，而是從嚮量場的物理意義入手，比如流體流動、電場磁場分布等，讓這些抽象的概念變得觸手可及。我尤其喜歡它在例題解析方麵的詳盡程度，每一步計算都清晰可見，甚至會分析為什麼選擇這種方法，有哪些替代方案，這對於我這種需要鞏固基礎的學生來說，簡直是福音。

評分☆☆☆☆☆

我認為，一本好的數學教材，不僅在於其內容的準確性，更在於其能否激發學生的學習興趣。而這本教材，恰恰在這方麵做得非常齣色。作者通過生動的語言、豐富的例子，以及對數學思想的深入剖析，成功地將高等數學的魅力展現在讀者麵前。我曾經認為數學是一門枯燥乏味的學科，但在閱讀瞭這本書的下冊後，我開始對高等數學産生瞭濃厚的興趣，並且更加渴望去探索數學世界的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

從練習題的設計來看，這本書也很有考量。它不僅僅提供瞭大量的計算題來鞏固基本功，更包含瞭一些概念性的題目和應用題，來考察學生對知識的理解和運用能力。我特彆喜歡書中那些需要綜閤運用多個知識點纔能解決的應用題，這些題目能夠有效地鍛煉我的解題思路和解決實際問題的能力。例如，在講解麯麵積分時，作者提供瞭一個關於計算流體通過一個麯麵的流量的問題，這讓我能夠將抽象的數學工具與實際的物理場景聯係起來，從而更深刻地理解其應用。