微积分讲稿：高维微积分 pdf epub mobi txt 电子书下载 2025

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谢锡麟著

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出版社：复旦大学出版社

ISBN：9787309134063

版次：1

商品编码：12306020

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-12-01

用纸：胶版纸

页数：614

字数：924000

正文语种：中文

具体描述

内容简介

　　微积分作为整个数理知识体系的基石，不仅对后续诸多数理知识体系的研习具有基础性的意义，而且微积分知识体系自身就为认识世界提供了系统的思想与方法。
　　《微积分讲稿：高维微积分》主要针对向量值映照建立微分学与积分学，另包括级数。高维微分学主要包括：点列的极限、向量值映照的极限、向量值映照的可微性与导数、多元函数的分析性质、多元函数的无限小分析方法、多元函数与向量值映照的有限增量公式与估计、隐映照定理及其应用、逆映照定理及其应用等。高维积分学主要包括：曲线、曲面上积分的建立、闭方块上Riemann积分的Darboux分析与Lebesgue定理、Fubini定理与体积分换元公式、广义积分与含有参变量的积分、Gauss-Ostrogradskii公式、Green公式、Stokes公式与场论基础等。级数主要包括：数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数等。
　　《微积分讲稿：高维微积分》按知识点划分各份讲稿（对应于章），每一讲稿包括：（1）理论阐述，按知识要素展开，并体现分析的图示化过程；（2）应用事例，归类相关方法使其可适用于一类问题，而非仅是例题的罗列；（3）拓广深化，致力于将相关思想与方法联系于其他知识体系，为专题性研究以及理论联系实际提供事例。借此，本讲稿兼具理论教程、课程辅导以及拓广深化这三方面的功能。讲稿撰写上注重体现知识体系的脉络结构、逻辑发展、思想方法；为便于阅读，在写作上注重演绎推导过程完整，应用事例丰富。
　　《微积分讲稿：高维微积分》可作为力学、物理学、数学、航空宇航科学与技术、材料科学、计算机科学等相关专业的本科生与研究生的微积分教程，亦可作为相关科学与技术研究的参考。

内页插图

前言
符号表

第一部分高维微分学
第一章向量值映照的背景
§1．1 知识要素
§1．1．1 向量值映照
§1．1．2 范数与距离
§1．1．3 Euclid空间中的点列
§1．2 应用事例
§1．2．1 极坐标系
§1．2．2 柱坐标系
§1．2．3 球坐标系
§1．2．4 椭圆柱坐标系
§1．2．5 双极柱坐标系
§1．3 拓广深化
§1．4 建立路径
第二章向量值映照的极限
§2．1 知识要素
§2．1．1 向量值映照极限的定义
§2．1．2 向量值映照极限的分析性质
§2．1．3 向量值映照极限的计算方法
§2．1．4 Euclid空间中点集拓扑基础
§2．2 应用事例
§2．2．1 基于路径分析
§2．2．2 基于极坐标分析
§2．2．3 累次极限
§2．3 建立路径
第三章向量值映照的可微性与导数的计算方法
§3．1 知识要素
§3．1．1 向量值映照的可微性定义
§3．1．2 方向导数
§3．1．3 高阶偏导数
§3．1．4 导数计算的充分性方法
§3．1．5 导数计算的极限分析方法
§3．2 应用事例
§3．2．1 导数计算的充分性方法
§3．2．2 导数计算的极限分析方法
§3．2．3 矩阵形式的链式求导
§3．3 拓广深化
§3．3．1 单参数向量值映照的变化率
§3．3．2 单参数单位正交基的变化率
§3．3．3 速度与加速度等合成原理
§3．3．4 角速度与角速度合成原理
§3．3．5 单位正交基下速度与加速度的表示
§3．4 建立路径
第四章基于直线单参数化的相关分析结论
§4．1 知识要素
§4．1．1 直线单参数化
§4．1．2 多元函数可微性的一个充分性条件
§4．1．3 多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件
§4．2 建立路径
第五章无限小分析方法
§5．1 知识要素
§5．1．1 基于直线单参数化获得无限小增量公式
§5．1．2 多项式逼近的唯一性
§5．1．3 获得多元高阶多项式逼近的实际方法
§5．1．4 自由最值问题
§5．1．5 多元函数展开至二阶的几何意义
§5．2 应用事例
§5．2．1 自由最值问题
§5．2．2 获得复杂函数的多元高阶多项式逼近
§5．3 建立路径
第六章有限增量公式或估计
§6．1 知识要素
§6．1．1 基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式
§6．1．2 基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计
§6．1．3 基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计
§6．2 建立路径
第七章曲线向量值映照
§7．1 知识要素
§7．1．1 曲线的切向量与切线
§7．1．2 曲线的局部标架与其运动方程
§7．1．3 曲线的局部参数化
§7．2 应用事例
§7．3 建立路径
第八章曲面向量值映照
§8．1 知识要素
§8．1．1 曲面的切平面与法向量
§8．1．2 曲面的基本形式
§8．1．3 曲面的 Gauss曲率与平均曲率
§8．1．4 曲面的局部标架与其运动方程
§8．1．5 曲面的法截线与主法截线
§8．1．6 曲面的局部参数化
§8．2 应用事例
§8．2．1 二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率
§8．2．2 旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率
§8．3 建立路径
第九章隐映照定理
§9．1 知识要素
§9．1．1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理
§9．1．2 由压缩映照定理获得隐映照定理
§9．1．3 隐函数导数的计算方法
§9．2 应用事例
§9．2．1 隐函数的导数计算
§9．2．2 隐映照的导数计算
§9．3 拓广深化
§9．3．1 基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性
§9．3．2 基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性
§9．4 建立路径
第十章隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示）
§10．1 知识要素
§10．1．1 隐映照定理
§10．1．2 曲线的隐式表示
§10．1．3 曲面的隐式表示
§10．2 应用事例
§10．2．1 曲线的隐式表示
§10．2．2 曲面的隐式表示
§10．3 建立路径
第十一章隐映照定理的应用（约束上的最值问题）
第十二章逆映照定理与微分同胚
第十三章隐映照定理与逆映照定理的综合应用

第二部分高维积分学
第十四章积分应用理论
第十五章积分分析理论（Darboux和分析）
第十六章积分分析理论（Lebesgue定理）
第十七章计算理论（Fubini定理）
第十八章计算理论（体积分换元公式）
第十九章广义积分与含参变量的积分
第二十章 Gauss-Ostrogradskii公式
第二十一章 Green公式
第二十二章 Stokes公式
第二十三章场论基础

第三部分级数
第二十四章正项数项级数
第二十五章一般数项级数
第二十六章函数项级数
第二十七章幂级数
第二十八章 Fourier级数

名词索引
插图目录
参考文献

前言/序言

　　可作为一种世界观的数理观点
　　我国著名学者谈镐生先生认为：“按照近代观点，物理、化学、天体物理、地球物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学是物理科学的、数学又是所有学科的共同工具，力学和数学原是科学发展史上的孪生子，因此，可以形象地认为，物理科学是一根梁，力学和数学是它的两根支柱。”俄罗斯著名学者V.I.Arnold在其《论数学教育》中开门见山地指出：“数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实验科学；数学是物理中‘做实验’比较‘便宜’的那部分。”
　　结合笔者就相关数理知识体系的持续性研习，在教学与研究中逐渐明晰了一种可作为世界观的数理观点——归纳为基于坚实数理基础之上的“融会贯通”与“触类旁通”，以此实现“学问”向“能力”的进阶；表现为按数量方式，认知自然世界与非自然世界的一种具有统一性的世界观。数理观点基于力学、数学、物理学等学科所属的相关知识体系，这些知识体系不仅内在紧密相连、不可分割，而且在认知世界的过程中需要各知识体系之间的相互协作。现今的大学设有力学类、数学类、物理类专业，借此传播相关的知识体系，这可能源于具体组织教学时对相关知识的侧重。然而，这些知识本质上并非孤立，数理观点可以力学、数学、物理学作为核心知识体系，可融合化学、计算机科学、材料科学、生物学、医学，甚至经济学、管理学、社会学等学科，借此为认识自然与非自然世界提供系统的思想与方法。
　　作为高等院校的职业教师，笔者将教学认识为两个方面：“知识体系自身的研究”与“知识体系传播的研究”；并且立足于基于知识体系自身的研究，以驱动知识体系传播的研究，以下按“知识体系研究”、“传播方法研究”这两方面进行概述。

《微积分讲稿：高维微积分》旨在为读者提供一个深入理解多变量微积分核心概念和方法的平台。本书不同于一般教材，它更侧重于从直观和几何的视角出发，辅以严谨的数学推导，帮助读者建立起对高维空间中函数行为的深刻洞察。全书结构清晰，逻辑严谨。开篇从点集拓扑的基础概念入手，如开集、闭集、邻域、极限点等，为后续讨论建立坚实的理论基础。这部分内容对于理解高维空间中的连续性、收敛性至关重要，尤其是在处理复杂函数的性质时，这些基础将发挥关键作用。接着，本书深入探讨了多变量函数的连续性。我们将多变量函数的极限和连续性概念推广到$mathbb{R}^n$空间，并引入了一些重要的定理，例如一致连续性。理解多变量函数的连续性是理解可微性的前提，本书会通过大量的例子来阐释不同函数在不同区域上的连续性行为。核心章节之一是多元函数的微分。本书将梯度、方向导数、偏导数等概念清晰地呈现在读者面前，并着重阐述它们在几何上所代表的含义，例如梯度向量指示函数增长最快的方向。本书会详细推导并讲解雅可比矩阵和海森矩阵，分析它们在描述局部线性近似和曲率方面的作用。链式法则在高维空间中的推广也是重点，我们将通过多种形式的链式法则推导，展示其在复合函数求导中的强大威力。本书对多元函数的积分进行了全面的介绍。从二重积分、三重积分的定义和计算方法出发，逐步过渡到高维区域上的多重积分。我们将详细讲解积分区域的选取、变量替换（尤其是雅可比行列式的运用）以及利用格林公式、高斯散度定理和斯托克斯定理等来简化或解决复杂的积分问题。这些定理不仅是计算工具，更是连接微分和积分的深刻桥梁，揭示了向量场在不同维度上的基本性质。特别地，本书在介绍曲线积分和曲面积分时，着重强调了它们在物理学和工程学中的应用，如功的计算、通量计算等。读者将能清晰地看到，这些抽象的数学概念是如何被用来描述和解决实际问题的。为了增强读者的理解，本书在每个章节都配有丰富的例题和练习题。例题的选取既有典型的基础题，也有具有一定挑战性的综合题，旨在帮助读者巩固所学概念，并掌握解题技巧。练习题则鼓励读者主动思考，将理论知识应用于实践。本书的写作风格力求简洁明了，同时又不失严谨性。在概念的引入上，我们强调直观的几何解释，尽量避免直接给出抽象的定义。在证明推导上，我们力求步步到位，让读者能够清楚地理解每一个逻辑环节。本书的目标是让读者在掌握高维微积分的工具和方法的同时，也能对其背后的数学思想和美学有更深的体会。本书适合对象包括数学、物理、工程、计算机科学等领域的本科生、研究生，以及任何对高维微积分感兴趣的读者。通过对本书的学习，读者将能够：深刻理解多变量函数的极限、连续性、微分和积分的概念。熟练掌握梯度、方向导数、雅可比矩阵、海森矩阵等核心工具。能够运用链式法则、换元法等进行复杂的导数和积分计算。理解并应用格林公式、高斯散度定理、斯托克斯定理等重要的积分定理。建立起在高维空间中进行数学分析和解决问题的能力。本书期望能成为读者探索高维微积分世界的得力助手，帮助您在这片广阔的数学天地中游刃有余。

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本优秀的数学书籍，不仅仅是教你“怎么做”，更要让你明白“为什么这么做”。《微积分讲稿：高维微积分》在这方面做得无可挑剔。作者在引入每一个新概念时，都会首先阐述其出现的背景和解决的问题，让我能够从解决实际问题的角度去理解这些抽象的数学工具。比如，在讲解“方向导数”时，他会联系生活中的场景，比如斜坡的陡峭程度，或者温度计在不同方向上的变化率，让我能够直观地理解这个概念的物理含义。而当进入到“梯度”和“散度”这些稍显复杂的内容时，作者更是通过精妙的物理类比，比如流体的流动，电场的分布，来帮助我理解这些向量场的重要性质。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，让我对高维微积分的理解不再是浮于表面。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的整体印象，可以用“深入浅出，触类旁通”来概括。我最喜欢的部分是关于“外微分”和“de Rham定理”的讲解。这部分内容在我之前的学习中一直是一个难以逾越的障碍，但在这本书中，作者用一种非常清晰的思路，将这些复杂的概念分解开来，并用几何的语言进行解释。我逐渐理解了外微分是如何统一了梯度、散度和旋度的概念，以及de Rham定理是如何揭示了微分形式的拓扑不变性。这种从具体到抽象，再从抽象回归到具体的过程，让我对高维微积分的理解进入了一个新的层次。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一个非数学专业背景的读者来说，一本好的教材不仅仅是知识的传递，更是学习过程中的一种引导和陪伴。这本书在这方面做得极其出色。它没有一开始就抛出大量复杂的定义和定理，而是通过一个个精心设计的问题，引导读者主动思考，去发现规律，去构建自己的理解框架。我印象最深刻的是在讲解多重积分时，作者花了大量的篇幅去讨论如何选择合适的积分次序，以及如何通过变量代换来简化计算。他没有简单地给出公式，而是从面积元素、体积元素在高维空间中的变换出发，一步一步地推导出雅可比行列式的概念。这个过程充满了一种探险的乐趣，我仿佛跟着作者一起，在高维空间中跋涉，一点点揭开它神秘的面纱。书中的例子也十分丰富，涵盖了物理学、工程学、经济学等多个领域，让我看到了高维微积分在实际应用中的强大力量，也进一步激发了我深入学习的动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书对于我来说，更像是一位循循善诱的数学引路人。我尤其欣赏作者在讲解“微分流形”和“张量分析”这些高阶内容时的处理方式。他并没有上来就使用大量艰深的术语，而是从“光滑函数”和“坐标变换”等基础概念入手，逐步构建起微分流形的整体框架。我曾经对这些概念感到非常困惑，但通过这本书的讲解，我逐渐理解了它们在描述弯曲空间和研究物理现象时的重要性。作者在书中穿插的许多历史典故和名人轶事，也让枯燥的数学学习过程增添了不少趣味，让我知道这些伟大的数学思想是如何在历史的长河中孕育和发展的，这对我来说是一种额外的精神食粮。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《微积分讲稿：高维微积分》之前，我对高维空间的想象还停留在科幻电影里的多维生物。这本书却以一种严谨而又不失趣味的方式，将高维微积分的魅力展现得淋漓尽致。作者在讲解“曲线积分”和“曲面积分”时，给我留下了深刻的印象。他不仅仅是给出公式，而是引导我去思考，积分的本质究竟是什么？在多维空间中，积分又意味着什么？他通过对路径、面积等概念的细致阐述，让我理解了曲线积分是如何衡量一个向量场沿着一条曲线的“做功”，而曲面积分又是如何衡量一个向量场穿过一个曲面的“流量”。这些看似抽象的概念，在作者的笔下，变得生动而富有力量，让我感受到了数学工具的强大。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，《微积分讲稿：高维微积分》是一本让我重新燃起对数学学习热情的神奇之书。作者在书中对“李群”和“李代数”的初步介绍，虽然只是点到为止，却给我打开了一扇通往更广阔数学世界的大门。我一直对这些概念感到神秘，但作者通过将它们与微分流形和切空间联系起来，让我对它们有了初步的了解，并激发了我进一步探索的兴趣。这本书的排版清晰，图文并茂，阅读体验极佳。即使是遇到一些难题，也总能在后续的讲解中找到答案，或者获得新的启发。这本书不仅仅是一本教科书，更是一份珍贵的数学财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格是我非常欣赏的一点。它没有教科书那种刻板、生硬的感觉，反而更像是一位经验丰富的导师，在和你进行一场深入的数学对话。作者的叙述清晰流畅，逻辑严谨，但在关键的转折点，又会适时地加入一些启发性的思考，或者指出一些常见的误区，让我能够避免走弯路。读到关于“格林公式”、“斯托克斯公式”和“散度定理”这几个核心内容时，我更是受益匪浅。以前我对这些公式的理解，仅仅停留在字面意思，而这本书则深刻地阐述了它们之间的内在联系，以及它们在高维空间中推广的意义。作者通过对这些公式的几何解释，让我看到了它们是如何统一了平面、空间以及更高维度上的积分关系，这种宏观的视角，让我对整个微积分体系有了更深层次的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分讲稿：高维微积分》给我的感受，不仅仅是知识上的增长，更是一种思维方式上的拓展。作者在书中对于“拓扑学”与“微积分”的结合，给我带来了前所未有的启发。我之前总觉得这两个学科是相对独立的，但这本书却巧妙地展示了它们之间的深刻联系。例如，在讲解“同胚”和“同伦”的概念时，作者将其与高维空间中的形变联系起来，让我理解了在不同坐标系下，一些数学性质是保持不变的。这种跨学科的视角，让我看到了数学世界的整体性，也让我对如何用数学工具去解决更复杂的问题有了新的认识。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对学习高维微积分感到有些畏惧，总觉得那是一个需要深厚数学功底才能涉足的领域。然而，《微积分讲稿：高维微积分》这本书，就像一座坚固的桥梁，连接了我与这个看似遥远的世界。作者并没有假设读者已经具备了扎实的专业知识，而是从最基础的概念讲起，逐步构建起一个坚实的知识体系。我尤其赞赏作者在处理一些证明题时所采用的方法。他并没有直接给出完整的证明过程，而是引导读者一步步地思考，比如“我们先考虑一个简单的特殊情况，从中可以得到什么启发？”，或者“如果这个结论对某个特定函数成立，那么它是否也适用于更一般的函数？”，这种互动式的引导，让我自己动手去解决问题，从而加深了对数学证明的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分讲稿：高维微积分》绝对是我近期最激动人心的阅读体验之一。我一直对数学，特别是微积分，有着一种莫名的敬畏和好奇，但总觉得高维空间的概念遥不可及，像是一个只存在于理论和公式中的抽象世界。然而，这本书的出现，完全颠覆了我的认知。作者以一种非常接地气的方式，循序渐进地引导我进入了高维微积分的殿堂。开篇的铺垫非常到位，从熟悉的二维、三维空间的概念出发，巧妙地引入了向量、点积、叉积等基本工具，然后自然而然地过渡到更高维度的空间。我尤其喜欢作者在解释一些抽象概念时所运用的类比和直观图示，它们帮助我打破了思维定势，不再将高维空间仅仅视为一组组数字的堆叠，而是能够感受到其中蕴含的几何美感和物理意义。例如，当讨论到超曲面和法向量时，作者并没有止步于公式推导，而是通过一些生活化的场景，比如气象预报中的等温线，或者地形图中的等高线，来类比高维空间中的曲面，让我瞬间就有了“原来如此”的顿悟感。

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非常不错，很好！

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