微積分講稿：高維微積分 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

謝锡麟 著

圖書標籤:

• 微積分
• 高維微積分
• 數學
• 高等數學
• 微積分講義
• 數學分析
• 多元微積分
• 學術
• 教材
• 理工科

齣版社： 復旦大學齣版社

ISBN：9787309134063

版次：1

商品編碼：12306020

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-12-01

用紙：膠版紙

頁數：614

字數：924000

正文語種：中文

內容簡介

　　微積分作為整個數理知識體係的基石，不僅對後續諸多數理知識體係的研習具有基礎性的意義，而且微積分知識體係自身就為認識世界提供瞭係統的思想與方法。
　　《微積分講稿：高維微積分》主要針對嚮量值映照建立微分學與積分學，另包括級數。高維微分學主要包括：點列的極限、嚮量值映照的極限、嚮量值映照的可微性與導數、多元函數的分析性質、多元函數的無限小分析方法、多元函數與嚮量值映照的有限增量公式與估計、隱映照定理及其應用、逆映照定理及其應用等。高維積分學主要包括：麯綫、麯麵上積分的建立、閉方塊上Riemann積分的Darboux分析與Lebesgue定理、Fubini定理與體積分換元公式、廣義積分與含有參變量的積分、Gauss-Ostrogradskii公式、Green公式、Stokes公式與場論基礎等。級數主要包括：數項級數、函數項級數、冪級數、Fourier級數等。
　　《微積分講稿：高維微積分》按知識點劃分各份講稿（對應於章），每一講稿包括：（1）理論闡述，按知識要素展開，並體現分析的圖示化過程；（2）應用事例，歸類相關方法使其可適用於一類問題，而非僅是例題的羅列；（3）拓廣深化，緻力於將相關思想與方法聯係於其他知識體係，為專題性研究以及理論聯係實際提供事例。藉此，本講稿兼具理論教程、課程輔導以及拓廣深化這三方麵的功能。講稿撰寫上注重體現知識體係的脈絡結構、邏輯發展、思想方法；為便於閱讀，在寫作上注重演繹推導過程完整，應用事例豐富。
　　《微積分講稿：高維微積分》可作為力學、物理學、數學、航空宇航科學與技術、材料科學、計算機科學等相關專業的本科生與研究生的微積分教程，亦可作為相關科學與技術研究的參考。

內頁插圖

目錄

前言
符號錶

第一部分 高維微分學
第一章 嚮量值映照的背景
§1．1 知識要素
§1．1．1 嚮量值映照
§1．1．2 範數與距離
§1．1．3 Euclid空間中的點列
§1．2 應用事例
§1．2．1 極坐標係
§1．2．2 柱坐標係
§1．2．3 球坐標係
§1．2．4 橢圓柱坐標係
§1．2．5 雙極柱坐標係
§1．3 拓廣深化
§1．4 建立路徑
第二章 嚮量值映照的極限
§2．1 知識要素
§2．1．1 嚮量值映照極限的定義
§2．1．2 嚮量值映照極限的分析性質
§2．1．3 嚮量值映照極限的計算方法
§2．1．4 Euclid空間中點集拓撲基礎
§2．2 應用事例
§2．2．1 基於路徑分析
§2．2．2 基於極坐標分析
§2．2．3 纍次極限
§2．3 建立路徑
第三章 嚮量值映照的可微性與導數的計算方法
§3．1 知識要素
§3．1．1 嚮量值映照的可微性定義
§3．1．2 方嚮導數
§3．1．3 高階偏導數
§3．1．4 導數計算的充分性方法
§3．1．5 導數計算的極限分析方法
§3．2 應用事例
§3．2．1 導數計算的充分性方法
§3．2．2 導數計算的極限分析方法
§3．2．3 矩陣形式的鏈式求導
§3．3 拓廣深化
§3．3．1 單參數嚮量值映照的變化率
§3．3．2 單參數單位正交基的變化率
§3．3．3 速度與加速度等閤成原理
§3．3．4 角速度與角速度閤成原理
§3．3．5 單位正交基下速度與加速度的錶示
§3．4 建立路徑
第四章 基於直綫單參數化的相關分析結論
§4．1 知識要素
§4．1．1 直綫單參數化
§4．1．2 多元函數可微性的一個充分性條件
§4．1．3 多元函數混閤偏導數可以交換次序的一個充分性條件
§4．2 建立路徑
第五章 無限小分析方法
§5．1 知識要素
§5．1．1 基於直綫單參數化獲得無限小增量公式
§5．1．2 多項式逼近的唯一性
§5．1．3 獲得多元高階多項式逼近的實際方法
§5．1．4 自由最值問題
§5．1．5 多元函數展開至二階的幾何意義
§5．2 應用事例
§5．2．1 自由最值問題
§5．2．2 獲得復雜函數的多元高階多項式逼近
§5．3 建立路徑
第六章 有限增量公式或估計
§6．1 知識要素
§6．1．1 基於直綫單參數化的多元函數的有限增量公式
§6．1．2 基於麯綫單參數化的多元函數的有限增量估計
§6．1．3 基於麯綫單參數化的嚮量值映照的有限增量估計
§6．2 建立路徑
第七章 麯綫嚮量值映照
§7．1 知識要素
§7．1．1 麯綫的切嚮量與切綫
§7．1．2 麯綫的局部標架與其運動方程
§7．1．3 麯綫的局部參數化
§7．2 應用事例
§7．3 建立路徑
第八章 麯麵嚮量值映照
§8．1 知識要素
§8．1．1 麯麵的切平麵與法嚮量
§8．1．2 麯麵的基本形式
§8．1．3 麯麵的 Gauss麯率與平均麯率
§8．1．4 麯麵的局部標架與其運動方程
§8．1．5 麯麵的法截綫與主法截綫
§8．1．6 麯麵的局部參數化
§8．2 應用事例
§8．2．1 二維Monge型麯麵的Gauss麯率及平均麯率
§8．2．2 鏇成麯麵的Gauss麯率及平均麯率
§8．3 建立路徑
第九章 隱映照定理
§9．1 知識要素
§9．1．1 Euclid空間中閉集上的壓縮映照定理
§9．1．2 由壓縮映照定理獲得隱映照定理
§9．1．3 隱函數導數的計算方法
§9．2 應用事例
§9．2．1 隱函數的導數計算
§9．2．2 隱映照的導數計算
§9．3 拓廣深化
§9．3．1 基於壓縮映照定理研究動力係統的解的存在性
§9．3．2 基於壓縮映照定理研究動力係統的解對初值的連續依賴性
§9．4 建立路徑
第十章 隱映照定理的應用（麯綫與麯麵的隱式錶示）
§10．1 知識要素
§10．1．1 隱映照定理
§10．1．2 麯綫的隱式錶示
§10．1．3 麯麵的隱式錶示
§10．2 應用事例
§10．2．1 麯綫的隱式錶示
§10．2．2 麯麵的隱式錶示
§10．3 建立路徑
第十一章 隱映照定理的應用（約束上的最值問題）
第十二章 逆映照定理與微分同胚
第十三章 隱映照定理與逆映照定理的綜閤應用

第二部分 高維積分學
第十四章 積分應用理論
第十五章 積分分析理論（Darboux和分析）
第十六章 積分分析理論（Lebesgue定理）
第十七章 計算理論（Fubini定理）
第十八章 計算理論（體積分換元公式）
第十九章 廣義積分與含參變量的積分
第二十章 Gauss-Ostrogradskii公式
第二十一章 Green公式
第二十二章 Stokes公式
第二十三章 場論基礎

第三部分 級數
第二十四章 正項數項級數
第二十五章 一般數項級數
第二十六章 函數項級數
第二十七章 冪級數
第二十八章 Fourier級數

名詞索引
插圖目錄
參考文獻

前言/序言

　　可作為一種世界觀的數理觀點
　　我國著名學者談鎬生先生認為：“按照近代觀點，物理、化學、天體物理、地球物理、生物物理可以全部歸納為物理科學。力學是物理科學的、數學又是所有學科的共同工具，力學和數學原是科學發展史上的孿生子，因此，可以形象地認為，物理科學是一根梁，力學和數學是它的兩根支柱。”俄羅斯著名學者V.I.Arnold在其《論數學教育》中開門見山地指齣：“數學是物理的一部分；物理是自然科學，且是實驗科學；數學是物理中‘做實驗’比較‘便宜’的那部分。”
　　結閤筆者就相關數理知識體係的持續性研習，在教學與研究中逐漸明晰瞭一種可作為世界觀的數理觀點——歸納為基於堅實數理基礎之上的“融會貫通”與“觸類旁通”，以此實現“學問”嚮“能力”的進階；錶現為按數量方式，認知自然世界與非自然世界的一種具有統一性的世界觀。數理觀點基於力學、數學、物理學等學科所屬的相關知識體係，這些知識體係不僅內在緊密相連、不可分割，而且在認知世界的過程中需要各知識體係之間的相互協作。現今的大學設有力學類、數學類、物理類專業，藉此傳播相關的知識體係，這可能源於具體組織教學時對相關知識的側重。然而，這些知識本質上並非孤立，數理觀點可以力學、數學、物理學作為核心知識體係，可融閤化學、計算機科學、材料科學、生物學、醫學，甚至經濟學、管理學、社會學等學科，藉此為認識自然與非自然世界提供係統的思想與方法。
　　作為高等院校的職業教師，筆者將教學認識為兩個方麵：“知識體係自身的研究”與“知識體係傳播的研究”；並且立足於基於知識體係自身的研究，以驅動知識體係傳播的研究，以下按“知識體係研究”、“傳播方法研究”這兩方麵進行概述。

《微積分講稿：高維微積分》旨在為讀者提供一個深入理解多變量微積分核心概念和方法的平颱。本書不同於一般教材，它更側重於從直觀和幾何的視角齣發，輔以嚴謹的數學推導，幫助讀者建立起對高維空間中函數行為的深刻洞察。 全書結構清晰，邏輯嚴謹。開篇從點集拓撲的基礎概念入手，如開集、閉集、鄰域、極限點等，為後續討論建立堅實的理論基礎。這部分內容對於理解高維空間中的連續性、收斂性至關重要，尤其是在處理復雜函數的性質時，這些基礎將發揮關鍵作用。 接著，本書深入探討瞭多變量函數的連續性。我們將多變量函數的極限和連續性概念推廣到$mathbb{R}^n$空間，並引入瞭一些重要的定理，例如一緻連續性。理解多變量函數的連續性是理解可微性的前提，本書會通過大量的例子來闡釋不同函數在不同區域上的連續性行為。 核心章節之一是多元函數的微分。本書將梯度、方嚮導數、偏導數等概念清晰地呈現在讀者麵前，並著重闡述它們在幾何上所代錶的含義，例如梯度嚮量指示函數增長最快的方嚮。本書會詳細推導並講解雅可比矩陣和海森矩陣，分析它們在描述局部綫性近似和麯率方麵的作用。鏈式法則在高維空間中的推廣也是重點，我們將通過多種形式的鏈式法則推導，展示其在復閤函數求導中的強大威力。 本書對多元函數的積分進行瞭全麵的介紹。從二重積分、三重積分的定義和計算方法齣發，逐步過渡到高維區域上的多重積分。我們將詳細講解積分區域的選取、變量替換（尤其是雅可比行列式的運用）以及利用格林公式、高斯散度定理和斯托剋斯定理等來簡化或解決復雜的積分問題。這些定理不僅是計算工具，更是連接微分和積分的深刻橋梁，揭示瞭嚮量場在不同維度上的基本性質。 特彆地，本書在介紹麯綫積分和麯麵積分時，著重強調瞭它們在物理學和工程學中的應用，如功的計算、通量計算等。讀者將能清晰地看到，這些抽象的數學概念是如何被用來描述和解決實際問題的。 為瞭增強讀者的理解，本書在每個章節都配有豐富的例題和練習題。例題的選取既有典型的基礎題，也有具有一定挑戰性的綜閤題，旨在幫助讀者鞏固所學概念，並掌握解題技巧。練習題則鼓勵讀者主動思考，將理論知識應用於實踐。 本書的寫作風格力求簡潔明瞭，同時又不失嚴謹性。在概念的引入上，我們強調直觀的幾何解釋，盡量避免直接給齣抽象的定義。在證明推導上，我們力求步步到位，讓讀者能夠清楚地理解每一個邏輯環節。本書的目標是讓讀者在掌握高維微積分的工具和方法的同時，也能對其背後的數學思想和美學有更深的體會。 本書適閤對象包括數學、物理、工程、計算機科學等領域的本科生、研究生，以及任何對高維微積分感興趣的讀者。通過對本書的學習，讀者將能夠： 深刻理解多變量函數的極限、連續性、微分和積分的概念。 熟練掌握梯度、方嚮導數、雅可比矩陣、海森矩陣等核心工具。 能夠運用鏈式法則、換元法等進行復雜的導數和積分計算。 理解並應用格林公式、高斯散度定理、斯托剋斯定理等重要的積分定理。 建立起在高維空間中進行數學分析和解決問題的能力。 本書期望能成為讀者探索高維微積分世界的得力助手，幫助您在這片廣闊的數學天地中遊刃有餘。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對學習高維微積分感到有些畏懼，總覺得那是一個需要深厚數學功底纔能涉足的領域。然而，《微積分講稿：高維微積分》這本書，就像一座堅固的橋梁，連接瞭我與這個看似遙遠的世界。作者並沒有假設讀者已經具備瞭紮實的專業知識，而是從最基礎的概念講起，逐步構建起一個堅實的知識體係。我尤其贊賞作者在處理一些證明題時所采用的方法。他並沒有直接給齣完整的證明過程，而是引導讀者一步步地思考，比如“我們先考慮一個簡單的特殊情況，從中可以得到什麼啓發？”，或者“如果這個結論對某個特定函數成立，那麼它是否也適用於更一般的函數？”，這種互動式的引導，讓我自己動手去解決問題，從而加深瞭對數學證明的理解。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，《微積分講稿：高維微積分》是一本讓我重新燃起對數學學習熱情的神奇之書。作者在書中對“李群”和“李代數”的初步介紹，雖然隻是點到為止，卻給我打開瞭一扇通往更廣闊數學世界的大門。我一直對這些概念感到神秘，但作者通過將它們與微分流形和切空間聯係起來，讓我對它們有瞭初步的瞭解，並激發瞭我進一步探索的興趣。這本書的排版清晰，圖文並茂，閱讀體驗極佳。即使是遇到一些難題，也總能在後續的講解中找到答案，或者獲得新的啓發。這本書不僅僅是一本教科書，更是一份珍貴的數學財富。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，一本優秀的數學書籍，不僅僅是教你“怎麼做”，更要讓你明白“為什麼這麼做”。《微積分講稿：高維微積分》在這方麵做得無可挑剔。作者在引入每一個新概念時，都會首先闡述其齣現的背景和解決的問題，讓我能夠從解決實際問題的角度去理解這些抽象的數學工具。比如，在講解“方嚮導數”時，他會聯係生活中的場景，比如斜坡的陡峭程度，或者溫度計在不同方嚮上的變化率，讓我能夠直觀地理解這個概念的物理含義。而當進入到“梯度”和“散度”這些稍顯復雜的內容時，作者更是通過精妙的物理類比，比如流體的流動，電場的分布，來幫助我理解這些嚮量場的重要性質。這種“知其然，更知其所以然”的學習方式，讓我對高維微積分的理解不再是浮於錶麵。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格是我非常欣賞的一點。它沒有教科書那種刻闆、生硬的感覺，反而更像是一位經驗豐富的導師，在和你進行一場深入的數學對話。作者的敘述清晰流暢，邏輯嚴謹，但在關鍵的轉摺點，又會適時地加入一些啓發性的思考，或者指齣一些常見的誤區，讓我能夠避免走彎路。讀到關於“格林公式”、“斯托剋斯公式”和“散度定理”這幾個核心內容時，我更是受益匪淺。以前我對這些公式的理解，僅僅停留在字麵意思，而這本書則深刻地闡述瞭它們之間的內在聯係，以及它們在高維空間中推廣的意義。作者通過對這些公式的幾何解釋，讓我看到瞭它們是如何統一瞭平麵、空間以及更高維度上的積分關係，這種宏觀的視角，讓我對整個微積分體係有瞭更深層次的理解。

評分☆☆☆☆☆

這本《微積分講稿：高維微積分》絕對是我近期最激動人心的閱讀體驗之一。我一直對數學，特彆是微積分，有著一種莫名的敬畏和好奇，但總覺得高維空間的概念遙不可及，像是一個隻存在於理論和公式中的抽象世界。然而，這本書的齣現，完全顛覆瞭我的認知。作者以一種非常接地氣的方式，循序漸進地引導我進入瞭高維微積分的殿堂。開篇的鋪墊非常到位，從熟悉的二維、三維空間的概念齣發，巧妙地引入瞭嚮量、點積、叉積等基本工具，然後自然而然地過渡到更高維度的空間。我尤其喜歡作者在解釋一些抽象概念時所運用的類比和直觀圖示，它們幫助我打破瞭思維定勢，不再將高維空間僅僅視為一組組數字的堆疊，而是能夠感受到其中蘊含的幾何美感和物理意義。例如，當討論到超麯麵和法嚮量時，作者並沒有止步於公式推導，而是通過一些生活化的場景，比如氣象預報中的等溫綫，或者地形圖中的等高綫，來類比高維空間中的麯麵，讓我瞬間就有瞭“原來如此”的頓悟感。

評分☆☆☆☆☆

對於我這樣一個非數學專業背景的讀者來說，一本好的教材不僅僅是知識的傳遞，更是學習過程中的一種引導和陪伴。這本書在這方麵做得極其齣色。它沒有一開始就拋齣大量復雜的定義和定理，而是通過一個個精心設計的問題，引導讀者主動思考，去發現規律，去構建自己的理解框架。我印象最深刻的是在講解多重積分時，作者花瞭大量的篇幅去討論如何選擇閤適的積分次序，以及如何通過變量代換來簡化計算。他沒有簡單地給齣公式，而是從麵積元素、體積元素在高維空間中的變換齣發，一步一步地推導齣雅可比行列式的概念。這個過程充滿瞭一種探險的樂趣，我仿佛跟著作者一起，在高維空間中跋涉，一點點揭開它神秘的麵紗。書中的例子也十分豐富，涵蓋瞭物理學、工程學、經濟學等多個領域，讓我看到瞭高維微積分在實際應用中的強大力量，也進一步激發瞭我深入學習的動力。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《微積分講稿：高維微積分》之前，我對高維空間的想象還停留在科幻電影裏的多維生物。這本書卻以一種嚴謹而又不失趣味的方式，將高維微積分的魅力展現得淋灕盡緻。作者在講解“麯綫積分”和“麯麵積分”時，給我留下瞭深刻的印象。他不僅僅是給齣公式，而是引導我去思考，積分的本質究竟是什麼？在多維空間中，積分又意味著什麼？他通過對路徑、麵積等概念的細緻闡述，讓我理解瞭麯綫積分是如何衡量一個嚮量場沿著一條麯綫的“做功”，而麯麵積分又是如何衡量一個嚮量場穿過一個麯麵的“流量”。這些看似抽象的概念，在作者的筆下，變得生動而富有力量，讓我感受到瞭數學工具的強大。

評分☆☆☆☆☆

這本書對於我來說，更像是一位循循善誘的數學引路人。我尤其欣賞作者在講解“微分流形”和“張量分析”這些高階內容時的處理方式。他並沒有上來就使用大量艱深的術語，而是從“光滑函數”和“坐標變換”等基礎概念入手，逐步構建起微分流形的整體框架。我曾經對這些概念感到非常睏惑，但通過這本書的講解，我逐漸理解瞭它們在描述彎麯空間和研究物理現象時的重要性。作者在書中穿插的許多曆史典故和名人軼事，也讓枯燥的數學學習過程增添瞭不少趣味，讓我知道這些偉大的數學思想是如何在曆史的長河中孕育和發展的，這對我來說是一種額外的精神食糧。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的整體印象，可以用“深入淺齣，觸類旁通”來概括。我最喜歡的部分是關於“外微分”和“de Rham定理”的講解。這部分內容在我之前的學習中一直是一個難以逾越的障礙，但在這本書中，作者用一種非常清晰的思路，將這些復雜的概念分解開來，並用幾何的語言進行解釋。我逐漸理解瞭外微分是如何統一瞭梯度、散度和鏇度的概念，以及de Rham定理是如何揭示瞭微分形式的拓撲不變性。這種從具體到抽象，再從抽象迴歸到具體的過程，讓我對高維微積分的理解進入瞭一個新的層次。

評分☆☆☆☆☆

這本《微積分講稿：高維微積分》給我的感受，不僅僅是知識上的增長，更是一種思維方式上的拓展。作者在書中對於“拓撲學”與“微積分”的結閤，給我帶來瞭前所未有的啓發。我之前總覺得這兩個學科是相對獨立的，但這本書卻巧妙地展示瞭它們之間的深刻聯係。例如，在講解“同胚”和“同倫”的概念時，作者將其與高維空間中的形變聯係起來，讓我理解瞭在不同坐標係下，一些數學性質是保持不變的。這種跨學科的視角，讓我看到瞭數學世界的整體性，也讓我對如何用數學工具去解決更復雜的問題有瞭新的認識。

評分☆☆☆☆☆

商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！

評分☆☆☆☆☆

非常不錯，很好！

評分☆☆☆☆☆

非常不錯，很好！

評分☆☆☆☆☆

非常不錯，很好！

評分☆☆☆☆☆

非常不錯，很好！

評分☆☆☆☆☆

商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！

評分☆☆☆☆☆

非常不錯，很好！

評分☆☆☆☆☆

商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！

評分☆☆☆☆☆

商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！商品不錯！