微積分及其應用（中譯本） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 彼得·拉剋斯（Peter Lax），[美] 瑪麗亞·特雷爾（Maria Terrell） 著，林開亮等 譯

圖書標籤:

• 微積分
• 數學
• 高等數學
• 應用數學
• 理工科
• 教材
• 大學教材
• 數學分析
• 微積分應用
• 工程數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030569172

版次：31

商品編碼：12336104

包裝：平裝

叢書名： 現代數學譯叢

開本：16開

齣版時間：2018-03-01

頁數：472

字數：593000

正文語種：中文

內容簡介

《微積分及其應用（中譯本）》是美國著名數學傢彼得·拉剋斯與康奈爾大學數學教授瑪麗亞·特雷爾閤著的單變量微積分教材，內容覆蓋瞭一元微積分的基礎，包括：數列的極限、函數的連續性、函數的微分、可微函數的基本理論、導數的應用、函數的積分、積分的方法、積分的近似計算，以及微分方程。另有兩章介紹復數與概率。《微積分及其應用（中譯本）》與拉剋斯的另一著名教材《綫性代數及其應用》簡明清晰、行雲流水的風格一緻，通過引入許多背景自然的應用實例，兩位作者緻力於引導讀者對微積分這一重要的基礎課題獲得理解。《微積分及其應用（中譯本）》末尾還提供瞭部分習題的答案。

目錄

目錄
序言
第1章 數和極限 1
1.1 不等式 1
1.1.1 不等式的法則 3
1.1.2 三角不等式 3
1.1.3 算術-幾何平均值不等式 4
問題 7
1.2 實數和最小上界定理 10
1.2.1 實數作為無限小數 10
1.2.2 最小上界定理 12
1.2.3 捨入 14
問題 16
1.3 數列及其極限 17
1.3.1 的近似 20
1.3.2 數列與級數 21
1.3.3 區間套 32
1.3.4 柯西數列 33
問題 35
1.4 數字e 39
問題 42
第2章 函數及其連續性 45
2.1 函數的概念 45
2.1.1 有界函數 48
2.1.2 函數的運算 49
問題 51
2.2 連續性 52
2.2.1 用極限定義函數在一點處的連續性 54
2.2.2 區間上的連續性 57
2.2.3 介值定理與最值定理 58
問題 61
2.3 函數的復閤及逆 63
2.3.1 反函數 66
問題 70
2.4 正弦與餘弦 71
問題 74
2.5 指數函數 75
2.5.1 放射性衰變 76
2.5.2 細菌繁殖 76
2.5.3 代數定義 77
2.5.4 指數型增長 78
2.5.5 對數 80
問題 84
2.6 函數列及其極限 85
2.6.1 函數列 85
2.6.2 函數項級數 92
2.6.3 函數與 96
問題 101
第3章 導數和微分 105
3.1 導數的概念 105
3.1.1 幾何意義 107
3.1.2 可導與連續 110
3.1.3 導數的應用 112
問題 117
3.2 求導法則 119
3.2.1 和、積與商的導數 120
3.2.2 復閤函數的導數 124
3.2.3 高階導數及記號 127
問題 128
3.3 函數ex和lnx的導數 132
3.3.1 函數ex的導數 132
3.3.2 函數lnx的導數 133
3.3.3 冪函數的導數 135
3.3.4 微分方程y'= ky 135
問題 136
3.4 三角函數的導數 138
3.4.1 正弦和餘弦函數的導數 138
3.4.2 微分方程y"+y=0 140
3.4.3 反三角函數的導數 142
3.4.4 微分方程y"-y=0 144
問題 146
3.4.5 冪級數的導數 148
問題 151
第4章 可導函數的理論 153
4.1 中值定理 153
4.1.1 一階導數用於最優化 156
4.1.2 利用微分證明不等式 160
4.1.3 推廣的中值定理 162
問題 163
4.2 高階導數 166
4.2.1 二階導數檢驗 170
4.2.2 凸函數 171
問題 173
4.3 泰勒定理 175
4.3.1 泰勒級數的例子 180
問題 185
4.4 逼近導數 186
問題 191
第5章 導數的應用 194
5.1 氣壓 194
問題 196
5.2 運動定律 196
問題 201
5.3 求函數零點的牛頓法 201
5.3.1 平方根的逼近 203
5.3.2 多項式根的逼近 204
5.3.3 牛頓法的收斂性 206
問題 209
5.4 光的反射和摺射 210
問題 215
5.5 數學與經濟學 216
問題 219
第6章 積分 221
6.1 積分的例子 221
6.1.1 從速度錶確定路程 221
6.1.2 細棒的質量 223
6.1.3 正函數下方圖的麵積 225
6.1.4 負函數和淨總值 227
問題 228
6.2 積分 229
6.2.1 積分的近似 231
6.2.2 積分的存在性 235
6.2.3 積分的進一步的性質 238
問題 241
6.3 微積分基本定理 243
問題 251
6.4 積分的應用 253
6.4.1 體積 253
6.4.2 纍積量 255
6.4.3 弧長 256
6.4.4 功 257
問題 259
第7章 積分方法 260
7.1 分部積分 260
7.1.1 帶積分形式餘項的泰勒公式 264
7.1.2 優化數值近似 266
7.1.3 微分方程的應用 267
7.1.4 π的Wallis乘積公式 267
問題 269
7.2 換元法 271
問題 276
7.3 廣義積分 277
問題 290
7.4 積分的其他性質 292
7.4.1 函數列的積分 292
7.4.2 含參變量的積分 295
問題 297
第8章 積分的近似數值計算 298
8.1 近似積分 298
8.1.1 中點法則 300
8.1.2 梯形法則 301
問題 302
8.2 辛普森法則 304
8.2.1 辛普森法則的替代方法 307
問題 309
第9章 復數 310
9.1 復數 310
9.1.1 復數的運算 311
9.1.2 復數的幾何 315
問題 320
9.2 復值函數 323
9.2.1 連續性 323
9.2.2 導數 324
9.2.3 復值函數的積分 325
9.2.4 復變量的函數 326
9.2.5 復指數函數 329
問題 332
第10章 微分方程 334
10.1 用微積分描述振動 334
10.1.1 力學係統的振動 334
10.1.2 耗散和能量守恒 338
10.1.3 沒有摩擦力時的振動 339
10.1.4 沒有摩擦力的綫性振動 342
10.1.5 帶摩擦力的綫性振動 344
10.1.6 外力驅動的綫性係統 348
問題 352
10.2 種群動力學 355
10.2.1 微分方程 355
10.2.2 人口增長與漲落 361
10.2.3 兩個物種 365
問題 373
10.3 化學反應 374
問題 381
10.4 微分方程的數值求解 382
問題 386
第11章 概率 387
11.1 離散概率 387
問題 396
11.2 信息論：感興趣的事有多有趣? 397
問題 400
11.3 連續概率 401
問題 409
11.4 誤差律 411
問題 419
部分問題的答案 421
術語對照錶 448
譯後記 454
《現代數學譯叢》已齣版書目 456

現代數學方法論導論 本書特色與內容概述 本書旨在為讀者提供一套全麵、深入且實用的現代數學工具箱，重點聚焦於那些在理論物理、工程科學、經濟學以及數據科學等領域中扮演核心角色的數學分支。本書的敘述風格力求清晰、嚴謹而不失直觀性，力圖在保持數學深度與提高應用性之間找到完美的平衡點。我們相信，真正的數學理解源於對其內在邏輯的掌握和對其外部世界建模能力的深刻洞察。 本書並非僅僅是對傳統分析或代數概念的簡單重復，而是著重於介紹和係統闡述那些在當代前沿研究中不可或缺的“連接性”數學結構和高級分析技術。全書內容共分為五個主要部分，共計二十章，結構設計上遵循從基礎框架到復雜模型的遞進路綫。 第一部分：綫性代數的高級視角與張量分析基礎 本部分徹底超越瞭矩陣運算的初級階段，深入探討瞭抽象嚮量空間、綫性變換的幾何意義，以及特徵值問題的深層結構。 第一章：嚮量空間與內積結構 我們從集閤論的視角重新審視嚮量空間，引入瞭域（Fields）的概念及其對代數結構的影響。重點闡述瞭完備性在泛函分析中的重要性，並詳細討論瞭希爾伯特空間（Hilbert Spaces）的結構和傅立葉級數作為其正交基展開的物理意義。 第二章：張量代數與多綫性映射 張量被視為多綫性函數的推廣，是描述物理量（如應力、應變、電磁場）在坐標變換下保持不變性的核心工具。本章詳細介紹瞭張量的定義、指標錶示法（協變與反變）、張量積、收縮運算，以及張量場在流形上的微積分基礎。通過具體的例子（如慣性張量），展現瞭張量分析在剛體力學中的應用。 第二章：譜理論與矩陣分解 重點講解瞭譜理論，不僅限於對稱矩陣，更深入討論瞭非對稱矩陣的若爾當標準型（Jordan Canonical Form）及其在求解微分方程組中的作用。引入瞭奇異值分解（SVD），闡述瞭其在數據壓縮、降維（如主成分分析PCA）和僞逆矩陣構造中的不可替代性。 第二部分：實分析與測度論的嚴謹構建 此部分構築瞭現代分析學的堅實基礎，為理解概率論和泛函分析的抽象概念做準備。 第三章：集閤論與拓撲預備 簡要迴顧勒貝格積分的必要性，重點介紹拓撲空間的基本概念——開集、閉集、緊緻性、連通性，以及度量空間的完備性。強調瞭拓撲結構如何定義極限和連續性的廣義概念。 第四章：勒貝格測度與積分 本書對勒貝格積分的介紹力求嚴謹而清晰。從外測度開始，構造σ-代數，直至定義勒貝格可測函數和勒貝格積分。深入探討瞭積分的收斂定理——單調收斂定理、法圖勒引理（Fatou's Lemma）和占優收斂定理，這些定理是概率論和偏微分方程理論的基石。 第五章：$L^p$ 空間與泛函分析的初探 基於測度論，定義瞭Banach空間中的$L^p$ 空間，並探討瞭Hölder不等式和Minkowski不等式。簡要介紹瞭綫性泛函和算子，為後續的函數空間分析打下基礎。 第三部分：常微分方程的定性分析與穩定性理論 本部分聚焦於超越傳統初等積分方法的常微分方程（ODE）處理技巧，特彆是針對無法求齣解析解的係統。 第六章：一階微分方程的幾何解釋 從相空間的視角審視一階微分方程，討論瞭等傾綫（Isoclines）和相軌跡的繪製，以及積分麯綫的存在性與唯一性定理（Picard-Lindelöf）。 第七章：綫性係統與矩陣指數 詳細分析綫性常微分方程組的解法，特彆是使用矩陣指數函數$e^{At}$。討論瞭齊次與非齊次方程的解法，以及常係數綫性係統的穩定性分類（鞍點、結點、焦點等）。 第八章：非綫性係統的穩定性與分支理論 這是現代動力學係統的核心。重點講解瞭不動點（平衡點）的綫性化分析，即雅可比矩陣的特徵值判據。引入瞭李雅普諾夫（Lyapunov）穩定性概念，並簡要介紹瞭Hopf分支和鞍結分支等初級非綫性動力學現象。 第四部分：偏微分方程的經典模型與變分法 本部分處理描述空間和時間演化過程的偏微分方程（PDE），並引入瞭解決此類問題的強大數學工具——變分法。 第九章：熱傳導方程（擴散方程） 詳細推導瞭二維和三維熱傳導方程，並使用分離變量法求解具有簡單邊界條件（如狄利剋雷、諾伊曼）的定解問題。重點討論瞭傅立葉級數在邊值問題求解中的應用。 第十章：波動方程（波的傳播） 分析瞭弦振動和電磁波傳播的偏微分方程。使用達朗貝爾（d'Alembert）公式展示瞭常微分方程的解法在特定邊界條件下的推廣。 第十一章：拉普拉斯方程與勢論 研究穩態問題的橢圓型方程，特彆是其在靜電學和流體力學中的應用。討論瞭調和函數的性質，如最大值原理。 第十二章：變分法基礎 從歐拉-拉格朗日方程的推導齣發，介紹瞭求解泛函極值的基本方法。重點在於理解共軛變量和勒讓德變換，為後續的優化問題做準備。 第五部分：概率論的公理化視角與隨機過程簡介 本部分將概率論置於測度論的框架內，為處理復雜隨機現象提供嚴謹的分析工具。 第十三章：概率測度與隨機變量 將概率空間定義為 $(Omega, mathcal{F}, P)$。區分瞭離散、連續和混閤隨機變量，並討論瞭它們的聯閤分布函數和邊際分布函數。 第十四章：期望、條件期望與鞅論 基於勒貝格積分，嚴格定義瞭期望和條件期望。引入瞭鞅（Martingale）的概念，這是金融數學和信息論中的關鍵工具，闡述瞭鞅收斂定理及其意義。 第十五章：隨機過程導論 簡要介紹瞭馬爾可夫鏈（Markov Chains）的狀態空間和轉移概率。對布朗運動（Wiener Process）的性質進行瞭初步介紹，如其路徑的連續性、無窮變差性以及二次變差的確定性。 總結與展望 本書的結構設計旨在構建一座堅實的橋梁，連接初級微積分的直觀概念與研究生水平的數學分析和應用技術。通過對張量、測度、穩定性和隨機性的深入探討，讀者將掌握分析現代科學問題的必備“語言”。本書適閤數學、物理、工程及定量經濟學專業的高年級本科生和研究生作為核心教材或參考書，尤其適閤希望從計算導嚮轉嚮理論導嚮的自學者。

評分☆☆☆☆☆

我不得不說，這本《微積分及其應用》（中譯本）在理解數學的“為什麼”上做得相當齣色，這對於我這樣總想刨根問底的學習者來說，簡直是福音。書中的內容組織並非簡單的知識堆砌，而是遵循著一條清晰的邏輯脈絡，從最基本的極限概念齣發，層層遞進，將導數、積分等核心概念一一鋪展開來。作者在介紹每個新概念時，都會先迴顧與之相關的舊知識，並解釋新概念是如何在前者的基礎上發展而來，以及它解決瞭哪些先前無法解決的問題。這種“溫故而知新”的學習方式，讓我在理解新知識的同時，也鞏固瞭基礎，使得整個學習過程連貫而順暢。而且，書中對定理的證明也處理得恰到好處，既保證瞭嚴謹性，又不會過於冗長枯燥，很多證明都配有形象的比喻或幾何解釋，讓抽象的數學語言變得生動起來。我特彆喜歡那些“思考題”部分，它們往往提齣一些開放性的問題，引導讀者去探索微積分在更廣泛領域中的潛在應用，這極大地拓展瞭我的視野，讓我意識到微積分的強大力量遠不止書本上的那些例子。總的來說，這本書讓我從被動接受知識，轉變為主動探索和理解，這是一種質的飛躍。

評分☆☆☆☆☆

不得不承認，這本《微積分及其應用》（中譯本）在我學習數學的道路上扮演瞭至關重要的角色，它以其獨特的敘事方式和深入淺齣的講解，徹底改變瞭我對微積分的看法。我一直以為微積分是大學纔需要接觸的高深內容，但這本書從最基礎的概念講起，循序漸進，即使是完全沒有接觸過微積分的讀者，也能找到學習的起點。作者在講解每一個公式、每一個定理時，都會先從其背後的數學直覺齣發，解釋“為什麼會是這樣”，而不是直接拋齣結論，這種方式極大地降低瞭學習門檻，並且能夠培養讀者獨立思考的能力。書中的一些“思考與討論”環節，更是讓我樂在其中，它們鼓勵讀者去質疑、去探索，甚至去嘗試構建自己的數學模型，這極大地提升瞭我的學習主動性。我還發現，這本書在引導讀者建立數學模型方麵做得非常齣色，它會分析現實世界中的問題，然後逐步將其抽象成數學語言，再運用微積分的工具去求解，最後再將結果解釋迴現實世界，這種完整的建模過程，讓我深刻理解瞭數學在解決實際問題中的應用邏輯。

評分☆☆☆☆☆

閱讀《微積分及其應用》（中譯本）的過程，對我而言，是一場思維的洗禮。這本書的魅力在於它能夠將看似復雜的數學原理，用一種非常“接地氣”的方式呈現齣來。我尤其贊賞作者在引言部分所描繪的微積分“靈魂”——它捕捉變化、量化無窮的能力。這種深刻的洞察力貫穿全書，使得我在學習每一個概念時，都能體會到其背後的數學思想的精妙。書中的插圖和圖示更是功不可沒，它們將抽象的函數圖像、變化趨勢以及麵積、體積等概念形象化，讓我能夠直觀地理解微積分的幾何意義。例如，在講解定積分的概念時，書中通過一係列細分的矩形麵積逼近麯綫下方區域的過程，讓我對“積分”這一概念有瞭具象的認識，而不再是簡單的公式套用。此外，書中在介紹應用時，也挑選瞭許多貼近生活的場景，比如物理學中的功的計算、工程學中的材料力學問題，甚至還有一些關於生物學模型構建的例子。這些生動的案例，不僅讓我看到瞭微積分的實際價值，也為我日後的學習和工作提供瞭寶貴的思路。這本書讓我對數學的理解上升到瞭一個新的層麵，不再是枯燥的符號，而是鮮活的、解決問題的工具。

評分☆☆☆☆☆

這本《微積分及其應用》（中譯本）給我最直觀的感受就是其結構的嚴謹性和內容的豐富性。在我看來，一本好的數學書籍，不僅要講清楚“是什麼”，更要講透“怎麼做”和“有什麼用”。這本書在這幾方麵都做得非常到位。在講解每一個章節時，作者都會先清晰地界定本章的學習目標，然後係統地介紹相關概念和理論，並輔以大量的例題進行鞏固。這些例題的設計可謂匠心獨運，它們不僅覆蓋瞭基礎知識的練習，還包含瞭一些具有挑戰性的綜閤應用題，能夠有效地檢驗讀者對知識的掌握程度。我尤其喜歡書中對一些經典數學問題（例如，如何計算不規則圖形的麵積）的深入剖析，它通過將這些問題分解為無窮小的纍加，巧妙地引齣瞭積分的概念，讓我在理解數學原理的同時，也體會到瞭數學的創造性。此外，書中對微積分在各個學科領域的應用介紹，也讓我受益匪淺，從物理學中的速度、加速度，到工程學中的麯綫擬閤、最優化設計，再到經濟學中的邊際成本、邊際收益，都得到瞭生動的展示。這種跨學科的應用視野，極大地拓展瞭我的知識麵，也讓我看到瞭微積分作為一門基礎學科的普適性和重要性。

評分☆☆☆☆☆

這本《微積分及其應用》（中譯本）給我留下瞭極其深刻的印象，它不僅僅是一本教科書，更像是一位循循善誘的老師，將原本抽象晦澀的微積分概念，以一種極其清晰、直觀的方式呈現齣來。我尤其欣賞書中對數學思想的深度挖掘，它沒有止步於冰冷的公式和定理，而是花大量篇幅去解釋這些概念的由來、它們解決的問題以及它們所蘊含的深刻邏輯。每一次翻閱，都感覺像是在進行一場智力探險，在作者的引導下，我得以窺見數學世界的精妙結構。書中大量的例題更是令人叫絕，它們涵蓋瞭從基礎的求導、積分到更復雜的應用，每道題都設計得彆齣心裁，能夠充分檢驗對知識的掌握程度，並且提供瞭詳細的解題步驟和思路分析，讓我這種曾經在啃硬骨頭時倍感吃力的人，也能一步步攻剋難關，找到學習的樂趣和成就感。更重要的是，作者在闡述理論時，總是能巧妙地聯係到實際生活中的各種現象，比如物理學中的運動學、工程學中的優化問題，甚至是經濟學中的成本分析。這種“學以緻用”的教育理念，極大地激發瞭我學習微積分的動力，讓我切實感受到數學並非脫離現實的空中樓閣，而是解決現實世界難題的強大工具。這本書為我打開瞭理解世界的新視角，讓我能夠更深入地思考事物發展的規律和內在聯係。