2018年版高等數學競賽題解析教程 科用 陳仲 東南大學齣版社 依據江蘇省高數競賽大綱 大 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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店鋪： 北京新腳步圖書專營店

齣版社： 東南大學齣版社

ISBN：9787564168339

商品編碼：26133523895

叢書名： 高等數學競賽題解析教程(2017)

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産品展示	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

基本信息	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

商品名稱：	2018高等數學競賽題解析教程
作 者：	陳仲
定 價：	43.80
重 量：
ISBN   號：	9787564174668
齣  版  社：	東南大學齣版社
開 本：	16開
頁 數：	342
字 數：	431000
裝 幀：	平裝
齣版時間/版次：	2017-11-1
印刷時間/印次：	2017-11-1

編輯推薦	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

陳仲主編的《高等數學競賽題解析教程》根據江蘇省普通高等學校非理科專業高等 數學競賽委員會製訂的高等數學競賽大綱，並參照教 育部製訂的考研數學考試大綱編寫而成，內容分為極 限與連續、一函數微分學、一函數積分學、多 函數微分學、多函數積分學、空間解析幾何、級數 、微分方程等八個專題，每個專題含“基本概念與內 容提要”、“競賽題與精選題解析”、“練習題”三 個部分。其中，競賽題選自江蘇（1-14屆）、北京（1- 15屆）、浙江（1-10屆）、廣東、陝西、上海、天津等 省市大學生數學競賽試題；全國大學生數學競賽試題 （1-8屆初賽和決賽）；清華大學、南京大學、上海交 通大學等高校大學生數學競賽試題；莫斯科大學等國 外高校大學生數學競賽試題。 高等數學競賽能激勵大學生們學習高等數學的興 趣，活躍思想。高等數學競賽試題中既含基本題，又 含很多具有較高水平和較大難度的趣味題，這些題目 構思*妙，方法靈活，技巧性強。本書逐條解析，並 對重要題目深入分析，總結解題方法與技巧。 本書可供準備本科高等數學競賽的老師和學生作 為應試教程，也可供各類高等學校的大學生作為學習 高等數學和考研的參考書，特彆有益於成績**的大 學生提高高等數學水平。

內容介紹	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

作者介紹	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

陳仲，南京大學數學係教授。曾任全國高等數學研究會常務理事，並參加國傢理科“高等數學”試題庫建設；曾任江蘇省研究生入學考試數學閱捲領導小組副組長、江蘇省普通高校高等數學競賽命題組組長。曾獲江蘇省一類**課程奬，兩次獲江蘇省**教學成果二等奬；曾獲南京大學“十佳教師”，連續三年被南京大學學生評為“我*喜愛的老師”，獲“浦苑恒星”。*作有《微分方程》《微積分學引論》(上、下冊)《碩士生入學考試曆年數學試題解析》《大學數學典型題解析》《大學數學教程》(上、下冊)《微積分習題與試題解析教程》等。

目錄	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

專題1 函數與極限   1.1 基本概念與內容提要     1.1.1 一函數基本概念     1.1.2 數列的極限     1.1.3 函數的極限     1.1.4 證明數列或函數極限存在的方法     1.1.5 無窮小量     1.1.6 無窮大量     1.1.7 求數列或函數的極限的方法     1.1.8 函數的連續性   1.2 競賽題與精選題解析     1.2.1 求函數的錶達式（例1.1 -1.4 ）     1.2.2 利用四則運算求極限（例1.5 -1.1 8）     1.2.3 利用夾逼準則與單調有界準則求極限（例1.1 9-1.2 8）     1.2.4 利用兩個重要極限求極限（例1.2 9-1.3 2）     1.2.5 利用等價無窮小因子代換求極限（例1.3 3-1.3 8）     1.2.6 無窮小比較與無窮大比較（例1.3 9-1.4 2）     1.2.7 連續性與間斷點（例1.4 3-1.4 9）     1.2.8 利用介值定理的證明題（例1.5 0-1.5 4）   練習題一 專題2 一函數微分學   2.1 基本概念與內容提要     2.1.1 導數的定義     2.1.2 左、右導數的定義     2.1.3 微分概念     2.1.4 基本初等函數的導數公式     2.1.5 求導法則     2.1.6 高階導數     2.1.7 微分中值定理     2.1.8 泰勒公式與馬剋勞林公式     2.1.9 洛必達法則     2.1.1 0導數在幾何上的應用   2.2 競賽題與精選題解析     2.2.1 利用導數的定義解題（例2.1 -2.7 ）     2.2.2 利用求導法則解題（例2.8 -2.1 5）     2.2.3 求高階導數（例2.1 6-2.2 9）     2.2.4 與微分中值定理有關的證明題（例2.3 0-2.4 9）     2.2.5 馬剋勞林公式與泰勒公式的應用（例2.5 0-2.7 0）     2.2.6 利用洛必達法則求極限（例2.7 1-2.8 1）     2.2.7 導數在幾何上的應用（例2.8 2-2.1 01）     2.2.8 不等式的證明（例2.1 02-2.1 13）   練習題二 專題3 一函數積分學   3.1 基本概念與內容提要     3.1.1 不定積分基本概念     3.1.2 基本積分公式     3.1.3 不定積分的計算     3.1.4 定積分基本概念     3.1.5 定積分中值定理     3.1.6 變限的定積分     3.1.7 定積分的計算     3.1.8 奇偶函數與周期函數定積分的性質     3.1.9 定積分在幾何與物理上的應用     3.1.10 反常積分   3.2 競賽題與精選題解析     3.2.1 求原函數（例3.1  3.4 ）     3.2.2 求不定積分（例3.5 -3.1 9）     3.2.3 利用定積分的定義求極限（例3.2 0-3.2 6）     3.2.4 應用積分中值定理解題（例3.2 7-3.3 2）     3.2.5 變限的定積分的應用（例3.3 3-3.4 8）     3.2.6 定積分的計算（例3.4 9 3.6 7）     3.2.7 定積分在幾何與物理上的應用（例3.6 8-3.7 9）     3.2.8 積分不等式的證明（例3.8 0-3.1 07）     3.2.9 積分等式的證明（例3.1 08-3.1 11）     3.2.1 0反常積分（例3.1 12-3.1 20）   練習題三 專題4 多函數微分學   4.1 基本概念與內容提要   4.1 I l二函數的極限與連續性-     4.1.2 偏導數與全微分     4.1.3 多復閤函數與隱函數的偏導數     4.1.4 高階偏導數     4.1.5 二函數的極值     4.1.6 條件極值     4.1.7 多函數的值   4.2 競賽題與精選題解析     4.2.1 求二函數的極限（例4.1 -4.2 ）     4.2.2 二函數的連續性、可偏導性與可微性（例4.3 -4.8 ）     4.2.3 求多復閤函數與隱函數的偏導數（例4.9 -4.2 0）     4.2.4 求高階偏導數（例4.2 1-4.3 0）     4.2.5 求二函數的極值（例4.3 1-4.3 5）     4.2.6 求條件極值（例4.3 6-4.3 9）     4.2.7 求多函數在有界閉域上的值（例4.4 0一4.4 1）   練習題四 專題5 多函數積分學   5.1 基本概念與內容提要     5.1.1 二重積分基本概念     5.1.2 二重積分的計算     5.1.3 交換二次積分的次序     5.1.4 三重積分基本概念與計算     5.1.5 重積分的應用     5.1.6 麯綫積分基本概念與計算     5.1.7 格林公式     5.1.8 麯麵積分基本概念與計算     5.1.9 斯托剋斯公式     5.1.1 0高斯公式   5.2 競賽題與精選題解析     5.2.1 二重積分的計算（例5.1 -5.1 6）     5.2.2 交換二次積分的次序（例5.1 7 5.2 6）     5.2.3 三重積分的計算（例5.2 7 5.3 1）     5.2.4 與重積分有關的不等式的證明（例5.3 2-5.3 8）     5.2.5 麯綫積分的計算（例5.3 9-5.4 4）     5.2.6 應用格林公式解題（例5.4 5-5.5 5）     5.2.7 麯麵積分的計算（例5.5 6-5.5 8）     5.2.8 應用斯托剋斯公式解題（例5.5 9-5.6 0）     5.2.9 應用高斯公式解題（例5.6 1-5.6 7）     5.2.1 0多函數積分學的應用題（例5.6 8 5.7 7）   練習題五 專題6 空間解析幾何   6.1 基本概念與內容提要     6.1.1 嚮量的基本概念與嚮量的運算     6.1.2 空間的平麵   6.1 _3空間的直綫     6.1.4 空間的麯麵     6.1.5 空間的麯綫   6.2 競賽題與精選題解析     6.2.1 嚮量的運算（例6.1 -6.5 ）     6.2.2 空間平麵的方程（例6.6 -6.9 ）     6.2.3 空間直綫的方程（例6.1 0-6.1 5）     6.2.4 空間麯麵的方程與空間麯麵的切平麵（例6.1 6-6.2 6）     6.2.5 空間麯綫的方程與空間麯綫的切綫（例6.2 7 6.3 2）   練習題六 專題7 級數   7.1 基本概念與內容提要     7.1.1 數項級數的主要性質     7.1.2 正項級數斂散性判彆法     7.1.3 任意項級數斂散性判彆法     7.1.4 冪級數的收斂半徑、收斂域與和函數     7.1.5 初等函數關於z的冪級數展開式     7.1.6 傅氏級數   7.2 競賽題與精選題解析     7.2.1 判彆正項級數的斂散性（例7.1 -7.1 6）     7.2.2 判彆任意項級數的斂散性（例7.1 7 7.2 8）     7.2.3 ，求冪級數的收斂域與和函數（例7.2 9-7.4 6）     7.2.4 求數項級數的和（例7.4 7-7.5 4）     7.2.5 求初等函數關於x的冪級數展開式（例7.5 5-7.6 1）     7.2.6 求函數的傅氏級數展開式（例7.6 2）   練習題七 專題8 微分方程   8.1 基本概念與內容提要     8.1.1 微分方程的基本概念     8.1.2 一階微分方程     8.1.3 二階微分方程     8.1.4 微分方程的應用   8.2 競賽題與精選題解析     8.2.1 微分方程的特解（例8.1 -8.3 ）     8.2.2 變量可分離方程的應用題（例8.4 -8.8 ）     8.2.3 齊次微分方程的應用題（例8.9 ）     8.2.4 一階綫性微分方程的應用題（例8.1 0-8.1 2）     8.2.5 求解二階綫性微分方程（例8.1 3-8.2 0）     8.2.6 求解可化為二階綫性微分方程的微分方程（例8.2 1-8.2 2）   練習題八 練習題答案與提示

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深入解析與專題突破：麵嚮高水平數學競賽的精選教程 聚焦高等數學核心概念與高階應用，打造麵嚮數學建模與前沿研究的知識儲備 本教程旨在為有誌於在高等數學領域進行深度學習、挑戰高難度競賽（如全國大學生數學競賽高年級組、各類數學建模競賽等）的同學提供一套係統性、高強度的進階學習資源。本書內容緊密圍繞現代數學學科的幾個核心支柱，並強調理論深度與解題技巧的有機結閤。 第一部分：極限理論的精細化構建與應用（超越基礎微積分） 本部分著重於對極限概念的嚴格化處理，並將其延伸至更抽象的空間。 一、拓撲預備與嚴格定義： $epsilon-delta$ 語言的深度應用： 不僅限於單變量函數，將全麵探討多變量函數、嚮量值函數、序列極限的嚴格定義。著重分析在高維空間中，路徑依賴性、多重極限的等價性與非等價性。 函數空間中的收斂性： 引入序列收斂、點態收斂、一緻收斂的嚴格區分。重點分析一緻收斂性如何保證積分、微分運算的交換性，並輔以反例展示不滿足一緻收斂時的常見錯誤。 二、無窮級數與函數逼近： 高級收斂判據： 除瞭基礎的比值判彆法、根值判彆法，深入講解Abel 判彆法和 Dirichlet 判彆法在處理交錯級數和周期性函數級數時的威力。 傅裏葉級數（初步）： 詳細闡述傅裏葉級數的收斂性，特彆是狄利剋雷條件（Dirichlet Conditions）對收斂點的刻畫，以及如何利用傅裏葉展開進行周期函數的積分和微分運算。 冪級數與泰勒級數的應用邊界： 探討半徑的確定，並引入拉格朗日餘項、柯西餘項、佩亞諾餘項的比較分析，用於精確估計函數近似的誤差範圍。 第二部分：微分學在高維空間中的拓展與優化 本部分超越瞭傳統單變量導數的範疇，深入到多元函數的微分結構。 一、多元函數微分與方嚮導數： 偏導數與梯度： 對梯度算子的物理和幾何意義進行詳盡解釋，特彆是梯度指示最大變化率的性質。 方嚮導數與鏈式法則的復雜形式： 針對復閤函數鏈的深度解析，特彆是涉及隱函數、參數方程組的鏈式法則應用。 二、雅可比矩陣與海森矩陣： 雅可比行列式： 重點講解其在多變量替換積分（如極坐標、柱坐標、球坐標變換）中的核心作用，並引入綫性變換的體積因子概念。 海森矩陣與二階偏導數： 嚴格區分局部極值判據中的必要條件（梯度為零）和充分條件（海森矩陣的正定性/負定性）。通過特徵值分析，解析非退化鞍點的幾何形態。 三、隱函數與反函數定理： 定理的嚴格闡述與應用前提： 強調可微性、偏導數的連續性（$C^1$ 條件）在保證局部可逆性時的關鍵作用。 麯綫與麯麵的切平麵和法綫： 利用梯度嚮量作為法嚮量的性質，解決空間幾何問題。 第三部分：積分學的進階結構與場論基礎 本部分將積分概念從平麵延展至三維空間，為後續的物理和工程應用打下基礎。 一、定積分的高級技巧： 反常積分（廣義積分）： 對瑕點（積分區間端點使被積函數無界）的處理。深入探討 $int_0^1 frac{1}{x^p} dx$ 和 $int_1^infty frac{1}{x^p} dx$ 的收斂性判定，並引入阿貝爾試驗和狄利剋雷試驗。 積分的變上限函數與微積分基本定理的推廣： 探討 $frac{d}{dx} int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt$ 的計算法則。 二、多重積分的坐標變換精要： 纍次積分的計算順序： 強調積分區域的幾何描述和積分次序的靈活轉換（Fubini 定理的實際應用）。 極坐標、柱坐標、球坐標變換的幾何推導： 不僅是公式記憶，更在於理解變換因子（雅可比行列式）的幾何意義——局部麵積/體積的縮放因子。 三、綫積分與麵積分（初步）： 路徑積分（綫積分）： 區分第一類和第二類綫積分。重點分析保守場（Conservative Fields）的概念，即判斷一個嚮量場是否可以錶示為某個標量函數（勢函數）的梯度。 麯麵積分（麵積分）： 引入嚮量場的通量（Flux）概念，理解麵積分在計算穿過某一麯麵的流體流量或電磁場通量時的物理意義。 第四部分：常微分方程（ODE）的解析解法與穩定性分析 本部分側重於求解能夠明確給齣解析錶達式的微分方程，並對解的長期行為進行初步探討。 一、一階常微分方程的精細分類： 伯努利方程、黎卡提方程的降階技巧： 掌握將特定形式的非綫性方程通過代換轉化為可降階或綫性方程的方法。 積分因子法： 針對一階綫性微分方程的通用解法，強調積分因子的構造過程。 二、高階常微分方程： 常係數齊次與非齊次方程： 詳述特徵方程的建立，以及待定係數法和常數變易法在求解特定非齊次項（如指數函數、三角函數、多項式）時的應用範圍與局限性。 歐拉方程： 針對 $a_n x^n y^{(n)} + dots + a_1 x y' + a_0 y = 0$ 形式的方程，介紹通過代換 $x=e^t$ 轉化為常係數方程的係統解法。 三、初值問題的解的性質： 解的存在唯一性定理（皮卡-林德勒夫）： 對解的存在性和唯一性進行初步探討，理解初值條件在確定解麯綫中的關鍵作用。 第五部分：數學建模與計算思維導引 本部分旨在培養讀者將理論應用於實際問題的能力，為進入更高級的數學建模或計算數學打基礎。 泰勒展開在數值逼近中的應用： 結閤二階導數信息，分析如何利用泰勒公式構造更精確的數值積分公式（如辛普森法則的數學原理）。 牛頓法（多維推廣）： 利用多元函數的梯度和海森矩陣，係統推導多維方程組的牛頓迭代公式，並討論其收斂速度。 本書特色： 本書不側重於基礎概念的重復講解，而是將重點放在關鍵定理的嚴密證明思路、不同數學分支之間的內在聯係（如梯度場與保守場的聯係，雅可比行列式在積分中的體現），以及解題過程中的“陷阱”識彆與規避。通過大量的例題分析，讀者將能建立起堅實的理論框架和高效的應試技巧。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構編排也十分閤理，雖然是針對2018年的大綱，但其中的核心數學思想是具有極強的穩定性和普適性的。我發現它在處理那些看似孤立的知識點時，總能巧妙地構建起知識網絡。比如，關於級數收斂性的判斷，書中並沒有孤立地講解判彆法，而是將它們置於一個更宏大的背景下進行比較——比如，哪些判彆法在處理比值測試失效時最為有效，以及如何利用柯西極限作為最終的後備力量。這種係統性的梳理，避免瞭我們像“救火隊員”一樣，學一個知識點用一次，用完就忘。更讓我贊賞的是，解析部分往往附帶著對該類問題的“曆史背景”或“變體展望”，雖然篇幅不大，但足以讓人體會到數學研究的脈絡。這種對知識體係的尊重和呈現方式，使得閱讀過程本身就變成瞭一種智力上的享受，而非單純的知識灌輸。對於追求高分的學生來說，這種對知識深層結構的把握是拉開分數差距的關鍵所在。

評分☆☆☆☆☆

這本《2018年版高等數學競賽題解析教程》著實是為我們這些渴望在數學競賽中脫穎而齣的學生量身定做的寶典。我當初拿到它的時候，就被其紮實的理論基礎和精妙的解題思路所吸引。它並非那種簡單地羅列公式和例題的教材，而是真正深入到競賽的“靈魂”之中。例如，對於那些晦澀難懂的微積分中的極值問題，書中不僅僅給齣瞭標準的解法，更重要的是，它會引導你去思考為什麼這類問題會齣現在競賽中，背後的數學思想是什麼。作者陳仲教授顯然對高水平的數學競賽有著深刻的理解，他挑選的題目都極具代錶性，覆蓋瞭從基礎概念到高階技巧的各個層麵。我尤其欣賞它對“思維轉換”的強調，很多難題的突破口往往在於一個巧妙的視角轉換，這本書在這方麵的示範作用無可替代。比如，在涉及數論和代數結閤的題目上，它展示瞭如何將高等數學的工具靈活地應用於看似不相關的領域，這對於提升整體的數學素養至關重要。對於備戰省級乃至更高級彆競賽的同學來說，這本書提供的解析深度，遠超一般大學教材附帶的習題解答。它教會你如何“思考”，而不是僅僅“計算”。

評分☆☆☆☆☆

總體而言，這本書就像一位經驗豐富、技藝精湛的教練的訓練日誌。它沒有過多花哨的辭藻，所有的重點都落實在那些能夠真正提升解題能力的核心技巧和思維定式上。對於那些已經吃透瞭基礎教材，但總感覺在競賽賽場上“差那麼一點火候”的同學來說，這本書無疑是最好的“催化劑”。它所蘊含的解題智慧，尤其是在處理函數性質的綜閤運用、微分方程的特解構造，以及嚮量微積分在幾何上的實際意義闡釋等方麵，都達到瞭相當高的水準。讀完它，我感覺自己對高數這門學科的理解層次得到瞭顯著的提升，不再僅僅停留在計算層麵，而是開始能夠欣賞數學結構的美感和邏輯的強大。如果說基礎教材是“骨架”，那麼這本書就是填充在骨架上的“肌肉”和“韌帶”，讓整個知識體係變得更具力量和彈性，足以應對江蘇省高數競賽中那些層齣不窮的挑戰。

評分☆☆☆☆☆

說實話，一開始翻閱這本教程時，我感到瞭一絲壓力，因為它對讀者的基礎要求是比較高的。這絕對不是給剛接觸微積分的新手準備的“入門讀物”。它的內容深度，明顯是瞄準瞭那些已經通過瞭基礎課程考驗，正準備嚮高難度挑戰的群體。我記得有一章專門討論瞭定積分的巧妙應用，書中展示瞭好幾種解同一個定積分的方法，每一種方法都像是打開瞭一扇新的窗戶。有的依賴於對稱性，有的則需要精妙的變量代換，還有的甚至需要用到復變函數中的某些思想的雛形（當然，這本書主要還是立足於實分析）。這種多角度的解析，極大地拓寬瞭我的視野。它讓我們明白，數學問題的解決之道往往不是唯一的，關鍵在於能否根據題目的具體情境，選擇最有效、最優雅的路徑。特彆是對於那些常年睏擾競賽選手的“陷阱題”，這本書的剖析極其到位，它會明確指齣常見的錯誤在哪裏，以及為什麼那個錯誤會産生誤導。這種“反麵教材”式的教學，在應試準備中起到瞭事半功倍的效果。

評分☆☆☆☆☆

作為一本競賽解析教程，它對細節的關注程度達到瞭近乎偏執的地步，這一點從它對“邊界條件”和“特例處理”的強調中就可見一斑。在高等數學中，很多陷阱恰恰就藏在這些容易被忽略的細節裏。陳仲教授的講解清晰而嚴謹，對於那些需要進行嚴格 $epsilon-delta$ 論證的題目，他給齣的步驟是完整且無懈可擊的。我記得有道關於多重積分的題目，涉及到區域的劃分和坐標係的轉換，稍有不慎就會漏掉某個邊界上的貢獻。這本書卻將每一步的轉換動機都闡述得清清楚楚，甚至連積分上限的選取都給齣瞭幾何直觀的解釋。這種對嚴謹性的堅持，對於培養一個未來優秀的數學工作者是至關重要的。它不僅僅是教你如何解題拿分，更是在潛移默化中塑造一種“數學傢的思維習慣”，即對每一個論斷都要進行最嚴格的檢驗。這種深入骨髓的嚴謹，是很多市麵上流傳的“速成秘籍”所無法比擬的。