2018年版高等数学竞赛题解析教程 科用 陈仲 东南大学出版社 依据江苏省高数竞赛大纲 大 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 陈仲
• 东南大学出版社
• 江苏省高数竞赛
• 数学教材
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• 2018年版

店铺： 北京新脚步图书专营店

出版社： 东南大学出版社

ISBN：9787564168339

商品编码：26133523895

丛书名： 高等数学竞赛题解析教程(2017)

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产品展示	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

基本信息	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

商品名称：	2018高等数学竞赛题解析教程
作 者：	陈仲
定 价：	43.80
重 量：
ISBN   号：	9787564174668
出  版  社：	东南大学出版社
开 本：	16开
页 数：	342
字 数：	431000
装 帧：	平装
出版时间/版次：	2017-11-1
印刷时间/印次：	2017-11-1

编辑推荐	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

陈仲主编的《高等数学竞赛题解析教程》根据江苏省普通高等学校非理科专业高等 数学竞赛委员会制订的高等数学竞赛大纲，并参照教 育部制订的考研数学考试大纲编写而成，内容分为极 限与连续、一函数微分学、一函数积分学、多 函数微分学、多函数积分学、空间解析几何、级数 、微分方程等八个专题，每个专题含“基本概念与内 容提要”、“竞赛题与精选题解析”、“练习题”三 个部分。其中，竞赛题选自江苏（1-14届）、北京（1- 15届）、浙江（1-10届）、广东、陕西、上海、天津等 省市大学生数学竞赛试题；全国大学生数学竞赛试题 （1-8届初赛和决赛）；清华大学、南京大学、上海交 通大学等高校大学生数学竞赛试题；莫斯科大学等国 外高校大学生数学竞赛试题。 高等数学竞赛能激励大学生们学习高等数学的兴 趣，活跃思想。高等数学竞赛试题中既含基本题，又 含很多具有较高水平和较大难度的趣味题，这些题目 构思*妙，方法灵活，技巧性强。本书逐条解析，并 对重要题目深入分析，总结解题方法与技巧。 本书可供准备本科高等数学竞赛的老师和学生作 为应试教程，也可供各类高等学校的大学生作为学习 高等数学和考研的参考书，特别有益于成绩**的大 学生提高高等数学水平。

内容介绍	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

作者介绍	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

陈仲，南京大学数学系教授。曾任全国高等数学研究会常务理事，并参加国家理科“高等数学”试题库建设；曾任江苏省研究生入学考试数学阅卷领导小组副组长、江苏省普通高校高等数学竞赛命题组组长。曾获江苏省一类**课程奖，两次获江苏省**教学成果二等奖；曾获南京大学“十佳教师”，连续三年被南京大学学生评为“我*喜爱的老师”，获“浦苑恒星”。*作有《微分方程》《微积分学引论》(上、下册)《硕士生入学考试历年数学试题解析》《大学数学典型题解析》《大学数学教程》(上、下册)《微积分习题与试题解析教程》等。

目录	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

专题1 函数与极限   1.1 基本概念与内容提要     1.1.1 一函数基本概念     1.1.2 数列的极限     1.1.3 函数的极限     1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法     1.1.5 无穷小量     1.1.6 无穷大量     1.1.7 求数列或函数的极限的方法     1.1.8 函数的连续性   1.2 竞赛题与精选题解析     1.2.1 求函数的表达式（例1.1 -1.4 ）     1.2.2 利用四则运算求极限（例1.5 -1.1 8）     1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.1 9-1.2 8）     1.2.4 利用两个重要极限求极限（例1.2 9-1.3 2）     1.2.5 利用等价无穷小因子代换求极限（例1.3 3-1.3 8）     1.2.6 无穷小比较与无穷大比较（例1.3 9-1.4 2）     1.2.7 连续性与间断点（例1.4 3-1.4 9）     1.2.8 利用介值定理的证明题（例1.5 0-1.5 4）   练习题一 专题2 一函数微分学   2.1 基本概念与内容提要     2.1.1 导数的定义     2.1.2 左、右导数的定义     2.1.3 微分概念     2.1.4 基本初等函数的导数公式     2.1.5 求导法则     2.1.6 高阶导数     2.1.7 微分中值定理     2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式     2.1.9 洛必达法则     2.1.1 0导数在几何上的应用   2.2 竞赛题与精选题解析     2.2.1 利用导数的定义解题（例2.1 -2.7 ）     2.2.2 利用求导法则解题（例2.8 -2.1 5）     2.2.3 求高阶导数（例2.1 6-2.2 9）     2.2.4 与微分中值定理有关的证明题（例2.3 0-2.4 9）     2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.5 0-2.7 0）     2.2.6 利用洛必达法则求极限（例2.7 1-2.8 1）     2.2.7 导数在几何上的应用（例2.8 2-2.1 01）     2.2.8 不等式的证明（例2.1 02-2.1 13）   练习题二 专题3 一函数积分学   3.1 基本概念与内容提要     3.1.1 不定积分基本概念     3.1.2 基本积分公式     3.1.3 不定积分的计算     3.1.4 定积分基本概念     3.1.5 定积分中值定理     3.1.6 变限的定积分     3.1.7 定积分的计算     3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质     3.1.9 定积分在几何与物理上的应用     3.1.10 反常积分   3.2 竞赛题与精选题解析     3.2.1 求原函数（例3.1  3.4 ）     3.2.2 求不定积分（例3.5 -3.1 9）     3.2.3 利用定积分的定义求极限（例3.2 0-3.2 6）     3.2.4 应用积分中值定理解题（例3.2 7-3.3 2）     3.2.5 变限的定积分的应用（例3.3 3-3.4 8）     3.2.6 定积分的计算（例3.4 9 3.6 7）     3.2.7 定积分在几何与物理上的应用（例3.6 8-3.7 9）     3.2.8 积分不等式的证明（例3.8 0-3.1 07）     3.2.9 积分等式的证明（例3.1 08-3.1 11）     3.2.1 0反常积分（例3.1 12-3.1 20）   练习题三 专题4 多函数微分学   4.1 基本概念与内容提要   4.1 I l二函数的极限与连续性-     4.1.2 偏导数与全微分     4.1.3 多复合函数与隐函数的偏导数     4.1.4 高阶偏导数     4.1.5 二函数的极值     4.1.6 条件极值     4.1.7 多函数的值   4.2 竞赛题与精选题解析     4.2.1 求二函数的极限（例4.1 -4.2 ）     4.2.2 二函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3 -4.8 ）     4.2.3 求多复合函数与隐函数的偏导数（例4.9 -4.2 0）     4.2.4 求高阶偏导数（例4.2 1-4.3 0）     4.2.5 求二函数的极值（例4.3 1-4.3 5）     4.2.6 求条件极值（例4.3 6-4.3 9）     4.2.7 求多函数在有界闭域上的值（例4.4 0一4.4 1）   练习题四 专题5 多函数积分学   5.1 基本概念与内容提要     5.1.1 二重积分基本概念     5.1.2 二重积分的计算     5.1.3 交换二次积分的次序     5.1.4 三重积分基本概念与计算     5.1.5 重积分的应用     5.1.6 曲线积分基本概念与计算     5.1.7 格林公式     5.1.8 曲面积分基本概念与计算     5.1.9 斯托克斯公式     5.1.1 0高斯公式   5.2 竞赛题与精选题解析     5.2.1 二重积分的计算（例5.1 -5.1 6）     5.2.2 交换二次积分的次序（例5.1 7 5.2 6）     5.2.3 三重积分的计算（例5.2 7 5.3 1）     5.2.4 与重积分有关的不等式的证明（例5.3 2-5.3 8）     5.2.5 曲线积分的计算（例5.3 9-5.4 4）     5.2.6 应用格林公式解题（例5.4 5-5.5 5）     5.2.7 曲面积分的计算（例5.5 6-5.5 8）     5.2.8 应用斯托克斯公式解题（例5.5 9-5.6 0）     5.2.9 应用高斯公式解题（例5.6 1-5.6 7）     5.2.1 0多函数积分学的应用题（例5.6 8 5.7 7）   练习题五 专题6 空间解析几何   6.1 基本概念与内容提要     6.1.1 向量的基本概念与向量的运算     6.1.2 空间的平面   6.1 _3空间的直线     6.1.4 空间的曲面     6.1.5 空间的曲线   6.2 竞赛题与精选题解析     6.2.1 向量的运算（例6.1 -6.5 ）     6.2.2 空间平面的方程（例6.6 -6.9 ）     6.2.3 空间直线的方程（例6.1 0-6.1 5）     6.2.4 空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.1 6-6.2 6）     6.2.5 空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.2 7 6.3 2）   练习题六 专题7 级数   7.1 基本概念与内容提要     7.1.1 数项级数的主要性质     7.1.2 正项级数敛散性判别法     7.1.3 任意项级数敛散性判别法     7.1.4 幂级数的收敛半径、收敛域与和函数     7.1.5 初等函数关于z的幂级数展开式     7.1.6 傅氏级数   7.2 竞赛题与精选题解析     7.2.1 判别正项级数的敛散性（例7.1 -7.1 6）     7.2.2 判别任意项级数的敛散性（例7.1 7 7.2 8）     7.2.3 ，求幂级数的收敛域与和函数（例7.2 9-7.4 6）     7.2.4 求数项级数的和（例7.4 7-7.5 4）     7.2.5 求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.5 5-7.6 1）     7.2.6 求函数的傅氏级数展开式（例7.6 2）   练习题七 专题8 微分方程   8.1 基本概念与内容提要     8.1.1 微分方程的基本概念     8.1.2 一阶微分方程     8.1.3 二阶微分方程     8.1.4 微分方程的应用   8.2 竞赛题与精选题解析     8.2.1 微分方程的特解（例8.1 -8.3 ）     8.2.2 变量可分离方程的应用题（例8.4 -8.8 ）     8.2.3 齐次微分方程的应用题（例8.9 ）     8.2.4 一阶线性微分方程的应用题（例8.1 0-8.1 2）     8.2.5 求解二阶线性微分方程（例8.1 3-8.2 0）     8.2.6 求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.2 1-8.2 2）   练习题八 练习题答案与提示

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深入解析与专题突破：面向高水平数学竞赛的精选教程 聚焦高等数学核心概念与高阶应用，打造面向数学建模与前沿研究的知识储备 本教程旨在为有志于在高等数学领域进行深度学习、挑战高难度竞赛（如全国大学生数学竞赛高年级组、各类数学建模竞赛等）的同学提供一套系统性、高强度的进阶学习资源。本书内容紧密围绕现代数学学科的几个核心支柱，并强调理论深度与解题技巧的有机结合。 第一部分：极限理论的精细化构建与应用（超越基础微积分） 本部分着重于对极限概念的严格化处理，并将其延伸至更抽象的空间。 一、拓扑预备与严格定义： $epsilon-delta$ 语言的深度应用： 不仅限于单变量函数，将全面探讨多变量函数、向量值函数、序列极限的严格定义。着重分析在高维空间中，路径依赖性、多重极限的等价性与非等价性。 函数空间中的收敛性： 引入序列收敛、点态收敛、一致收敛的严格区分。重点分析一致收敛性如何保证积分、微分运算的交换性，并辅以反例展示不满足一致收敛时的常见错误。 二、无穷级数与函数逼近： 高级收敛判据： 除了基础的比值判别法、根值判别法，深入讲解Abel 判别法和 Dirichlet 判别法在处理交错级数和周期性函数级数时的威力。 傅里叶级数（初步）： 详细阐述傅里叶级数的收敛性，特别是狄利克雷条件（Dirichlet Conditions）对收敛点的刻画，以及如何利用傅里叶展开进行周期函数的积分和微分运算。 幂级数与泰勒级数的应用边界： 探讨半径的确定，并引入拉格朗日余项、柯西余项、佩亚诺余项的比较分析，用于精确估计函数近似的误差范围。 第二部分：微分学在高维空间中的拓展与优化 本部分超越了传统单变量导数的范畴，深入到多元函数的微分结构。 一、多元函数微分与方向导数： 偏导数与梯度： 对梯度算子的物理和几何意义进行详尽解释，特别是梯度指示最大变化率的性质。 方向导数与链式法则的复杂形式： 针对复合函数链的深度解析，特别是涉及隐函数、参数方程组的链式法则应用。 二、雅可比矩阵与海森矩阵： 雅可比行列式： 重点讲解其在多变量替换积分（如极坐标、柱坐标、球坐标变换）中的核心作用，并引入线性变换的体积因子概念。 海森矩阵与二阶偏导数： 严格区分局部极值判据中的必要条件（梯度为零）和充分条件（海森矩阵的正定性/负定性）。通过特征值分析，解析非退化鞍点的几何形态。 三、隐函数与反函数定理： 定理的严格阐述与应用前提： 强调可微性、偏导数的连续性（$C^1$ 条件）在保证局部可逆性时的关键作用。 曲线与曲面的切平面和法线： 利用梯度向量作为法向量的性质，解决空间几何问题。 第三部分：积分学的进阶结构与场论基础 本部分将积分概念从平面延展至三维空间，为后续的物理和工程应用打下基础。 一、定积分的高级技巧： 反常积分（广义积分）： 对瑕点（积分区间端点使被积函数无界）的处理。深入探讨 $int_0^1 frac{1}{x^p} dx$ 和 $int_1^infty frac{1}{x^p} dx$ 的收敛性判定，并引入阿贝尔试验和狄利克雷试验。 积分的变上限函数与微积分基本定理的推广： 探讨 $frac{d}{dx} int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt$ 的计算法则。 二、多重积分的坐标变换精要： 累次积分的计算顺序： 强调积分区域的几何描述和积分次序的灵活转换（Fubini 定理的实际应用）。 极坐标、柱坐标、球坐标变换的几何推导： 不仅是公式记忆，更在于理解变换因子（雅可比行列式）的几何意义——局部面积/体积的缩放因子。 三、线积分与面积分（初步）： 路径积分（线积分）： 区分第一类和第二类线积分。重点分析保守场（Conservative Fields）的概念，即判断一个向量场是否可以表示为某个标量函数（势函数）的梯度。 曲面积分（面积分）： 引入向量场的通量（Flux）概念，理解面积分在计算穿过某一曲面的流体流量或电磁场通量时的物理意义。 第四部分：常微分方程（ODE）的解析解法与稳定性分析 本部分侧重于求解能够明确给出解析表达式的微分方程，并对解的长期行为进行初步探讨。 一、一阶常微分方程的精细分类： 伯努利方程、黎卡提方程的降阶技巧： 掌握将特定形式的非线性方程通过代换转化为可降阶或线性方程的方法。 积分因子法： 针对一阶线性微分方程的通用解法，强调积分因子的构造过程。 二、高阶常微分方程： 常系数齐次与非齐次方程： 详述特征方程的建立，以及待定系数法和常数变易法在求解特定非齐次项（如指数函数、三角函数、多项式）时的应用范围与局限性。 欧拉方程： 针对 $a_n x^n y^{(n)} + dots + a_1 x y' + a_0 y = 0$ 形式的方程，介绍通过代换 $x=e^t$ 转化为常系数方程的系统解法。 三、初值问题的解的性质： 解的存在唯一性定理（皮卡-林德勒夫）： 对解的存在性和唯一性进行初步探讨，理解初值条件在确定解曲线中的关键作用。 第五部分：数学建模与计算思维导引 本部分旨在培养读者将理论应用于实际问题的能力，为进入更高级的数学建模或计算数学打基础。 泰勒展开在数值逼近中的应用： 结合二阶导数信息，分析如何利用泰勒公式构造更精确的数值积分公式（如辛普森法则的数学原理）。 牛顿法（多维推广）： 利用多元函数的梯度和海森矩阵，系统推导多维方程组的牛顿迭代公式，并讨论其收敛速度。 本书特色： 本书不侧重于基础概念的重复讲解，而是将重点放在关键定理的严密证明思路、不同数学分支之间的内在联系（如梯度场与保守场的联系，雅可比行列式在积分中的体现），以及解题过程中的“陷阱”识别与规避。通过大量的例题分析，读者将能建立起坚实的理论框架和高效的应试技巧。

评分☆☆☆☆☆

总体而言，这本书就像一位经验丰富、技艺精湛的教练的训练日志。它没有过多花哨的辞藻，所有的重点都落实在那些能够真正提升解题能力的核心技巧和思维定式上。对于那些已经吃透了基础教材，但总感觉在竞赛赛场上“差那么一点火候”的同学来说，这本书无疑是最好的“催化剂”。它所蕴含的解题智慧，尤其是在处理函数性质的综合运用、微分方程的特解构造，以及向量微积分在几何上的实际意义阐释等方面，都达到了相当高的水准。读完它，我感觉自己对高数这门学科的理解层次得到了显著的提升，不再仅仅停留在计算层面，而是开始能够欣赏数学结构的美感和逻辑的强大。如果说基础教材是“骨架”，那么这本书就是填充在骨架上的“肌肉”和“韧带”，让整个知识体系变得更具力量和弹性，足以应对江苏省高数竞赛中那些层出不穷的挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构编排也十分合理，虽然是针对2018年的大纲，但其中的核心数学思想是具有极强的稳定性和普适性的。我发现它在处理那些看似孤立的知识点时，总能巧妙地构建起知识网络。比如，关于级数收敛性的判断，书中并没有孤立地讲解判别法，而是将它们置于一个更宏大的背景下进行比较——比如，哪些判别法在处理比值测试失效时最为有效，以及如何利用柯西极限作为最终的后备力量。这种系统性的梳理，避免了我们像“救火队员”一样，学一个知识点用一次，用完就忘。更让我赞赏的是，解析部分往往附带着对该类问题的“历史背景”或“变体展望”，虽然篇幅不大，但足以让人体会到数学研究的脉络。这种对知识体系的尊重和呈现方式，使得阅读过程本身就变成了一种智力上的享受，而非单纯的知识灌输。对于追求高分的学生来说，这种对知识深层结构的把握是拉开分数差距的关键所在。

评分☆☆☆☆☆

作为一本竞赛解析教程，它对细节的关注程度达到了近乎偏执的地步，这一点从它对“边界条件”和“特例处理”的强调中就可见一斑。在高等数学中，很多陷阱恰恰就藏在这些容易被忽略的细节里。陈仲教授的讲解清晰而严谨，对于那些需要进行严格 $epsilon-delta$ 论证的题目，他给出的步骤是完整且无懈可击的。我记得有道关于多重积分的题目，涉及到区域的划分和坐标系的转换，稍有不慎就会漏掉某个边界上的贡献。这本书却将每一步的转换动机都阐述得清清楚楚，甚至连积分上限的选取都给出了几何直观的解释。这种对严谨性的坚持，对于培养一个未来优秀的数学工作者是至关重要的。它不仅仅是教你如何解题拿分，更是在潜移默化中塑造一种“数学家的思维习惯”，即对每一个论断都要进行最严格的检验。这种深入骨髓的严谨，是很多市面上流传的“速成秘籍”所无法比拟的。

评分☆☆☆☆☆

这本《2018年版高等数学竞赛题解析教程》着实是为我们这些渴望在数学竞赛中脱颖而出的学生量身定做的宝典。我当初拿到它的时候，就被其扎实的理论基础和精妙的解题思路所吸引。它并非那种简单地罗列公式和例题的教材，而是真正深入到竞赛的“灵魂”之中。例如，对于那些晦涩难懂的微积分中的极值问题，书中不仅仅给出了标准的解法，更重要的是，它会引导你去思考为什么这类问题会出现在竞赛中，背后的数学思想是什么。作者陈仲教授显然对高水平的数学竞赛有着深刻的理解，他挑选的题目都极具代表性，覆盖了从基础概念到高阶技巧的各个层面。我尤其欣赏它对“思维转换”的强调，很多难题的突破口往往在于一个巧妙的视角转换，这本书在这方面的示范作用无可替代。比如，在涉及数论和代数结合的题目上，它展示了如何将高等数学的工具灵活地应用于看似不相关的领域，这对于提升整体的数学素养至关重要。对于备战省级乃至更高级别竞赛的同学来说，这本书提供的解析深度，远超一般大学教材附带的习题解答。它教会你如何“思考”，而不是仅仅“计算”。

评分☆☆☆☆☆

说实话，一开始翻阅这本教程时，我感到了一丝压力，因为它对读者的基础要求是比较高的。这绝对不是给刚接触微积分的新手准备的“入门读物”。它的内容深度，明显是瞄准了那些已经通过了基础课程考验，正准备向高难度挑战的群体。我记得有一章专门讨论了定积分的巧妙应用，书中展示了好几种解同一个定积分的方法，每一种方法都像是打开了一扇新的窗户。有的依赖于对称性，有的则需要精妙的变量代换，还有的甚至需要用到复变函数中的某些思想的雏形（当然，这本书主要还是立足于实分析）。这种多角度的解析，极大地拓宽了我的视野。它让我们明白，数学问题的解决之道往往不是唯一的，关键在于能否根据题目的具体情境，选择最有效、最优雅的路径。特别是对于那些常年困扰竞赛选手的“陷阱题”，这本书的剖析极其到位，它会明确指出常见的错误在哪里，以及为什么那个错误会产生误导。这种“反面教材”式的教学，在应试准备中起到了事半功倍的效果。