微分方程数值解法/中国科学院研究生教学丛书 余徳浩 汤华中编著 计算数学工作者 科学与工程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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余德浩 编

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出版社： 科学

ISBN：7030113128

商品编码：26768228949

丛书名： 微分方程数值解法中国科学院研究生教学丛书

出版时间：2003-10-01

 

基本信息

书名:微分方程数值解法
：34
作者:余徳浩 汤华中编著
出版社：科学出版社
出版日期：2003-10-01
ISBN：9787030113122

字数：396000
页码：471
版次：1
装帧：平装
开本：16
商品重量：

 

 

目录

第一章 常微分方程初、边值问题数值解法
1.1 引言
1.2 Euler方法
1.2.1 Euler方法及其几何意义
1.2.2 Euler方法的误差分析
1.2.3 Euler方法的稳定性
1.2.4 改进的Euler方法
1.3 Runge-Kutta方法
1.3.1 显式Runge-Kutta方法
1.3.2 隐式Runge-Kutta方法
1.3.3 半隐式Runge-Kutta方法，
1.3.4 单步法的稳定性和收敛性
1.4 线性多步方法
1.4.1 Adams外插法
1.4.2 Adams内插法
1.4.3 一般线性多步公式
1.5 线性多步法的稳定性和收敛性
1.5.1 线性差分方程
1.5.2 线性多步法的局部截断误差
1.5.3 线性多步法的稳定性和收敛性
1.5.4 绝对稳定性
1.6 预估-校正算法
1.7 刚性方程组的解法
1.8 解常微分方程边值问题的试射法
1.8.1 二阶线性常微分方程的试射法
1.8.2 二阶非线性常微分方程的试射法
1.9 解两点边值问题的有限差分方法
1.9.1 有限差分近似的基本概念
1.9.2 用差商代替导数的方法
1.9.3 积分插值法
1.9.4 解三对角方程组的追赶法
1.1O Hamilton系统的辛几何算法
1.10.1 辛几何与辛代数的基本概念
1.10.2 线性哈密顿系统的辛差分格式
1.10.3 辛Runge-Kutta方法
习题

第二章 抛物型方程的差分方法
2.1 有限差分方法的基础
2.2 一维抛物型方程的差分方法
2.2.1 常系数热传导方程
2.2.2 变系数热传导方程
2.3 差分格式的稳定性和收敛性
2.3.1 ε图方法
2.3.2 稳定性分析的矩阵方法
2.3.3 Gerschgorin定理及其应用
2.3.4 稳定性分析的Fourier方法
2.3.5 能量方法
2.3.6 差分方程的收敛性
2.4 二维抛物型方程的差分方法
2.4.1 显式差分格式
2.4.2 隐式差分格式
2.4.3 差分格式的稳定性分析
2.4.4 交替方向隐式差分格式
2.4.5 辅助应变量的边界条件
习题
……

第三章 双曲型方程的差分方法
第四章 椭圆型方程的差分方法
第五章 有限元方法
第六章 边界元方法
参考文献

 

内容提要

 

 

《微分方程数值解法》为《中国科学院研究生教学丛书》之一。《微分方程数值解法》内容包括常微分方程初边值问题数值解法、偏微分方程的差分方法、偏微分方程和边界积分方程的有限元方法和边界元方法。《微分方程数值解法》选材力求通用新颖，叙述力求深入浅出，既介绍了在科学和工程计算中常用的计算方法，又包含了近年来研究的进展，还有作者的若干研究成果。
《微分方程数值解法》可作为高等院校理工科高年级学生和研究生的教材或参考书，也可作为计算数学工作者和从事科学与工程计算人员的参考读物。

 

现代计算方法与科学计算前沿探索 本书汇集了计算数学领域多个前沿方向的最新研究成果与经典理论，旨在为高等院校师生、科研人员及工程技术人员提供一套系统且深入的计算方法理论框架与实践指导。全书内容覆盖面广，理论推导严谨，并结合大量的实际应用案例，展现了数值计算在解决复杂科学与工程问题中的强大能力。 第一部分：大型科学计算基础与高性能计算 本部分深入探讨了在现代高性能计算（HPC）环境下，如何高效求解大规模科学问题的数学基础和算法优化策略。 1. 稀疏线性系统的迭代求解器： 针对有限元、有限体积等方法产生的超大规模稀疏线性方程组，本书系统梳理了经典的Krylov子空间方法，如GMRES、BiCGSTAB及其变种。重点分析了预处理器的设计与性能优化，详细介绍了代数多重网格（AMG）方法的构建原理，尤其关注其在非结构化网格和各向异性问题中的鲁棒性。此外，探讨了基于图论的稀疏矩阵重排技术，以最大化计算的局部性和数据访问效率。 2. 谱方法与高精度计算： 阐述了谱方法（Spectral Methods）的理论基础，包括Chebyshev谱方法、Legendre谱方法以及相关的快速傅里叶变换（FFT）在求解偏微分方程（PDEs）中的应用。着重分析了谱方法的指数收敛特性，并将其与有限差分、有限元方法的代数收敛性进行对比，为需要极高精度的流体力学、波传播等问题提供了理论工具。 3. 并行计算与可扩展性分析： 本章聚焦于如何将复杂的数值算法并行化。详细讨论了数据并行（如MPI）和任务并行（如OpenMP）的结合使用策略，特别是针对三维网格划分和数据通信开销的最小化技术。书中包含了对算法可扩展性的严格分析，定义并计算了效率、负载均衡因子，并展示了如何利用现代GPU架构（如CUDA/OpenCL）进行大规模矩阵运算的加速。 第二部分：非线性问题与优化算法 本部分关注如何有效地处理和求解复杂的非线性代数方程组和优化问题，这是许多工程优化设计和系统辨识的核心。 4. 拟牛顿法与信赖域方法： 对非线性方程组的求解，除了经典的牛顿法外，重点阐述了拟牛顿方法，如BFGS和DFP算法，及其在海森矩阵难以精确计算时的优势。详细介绍了信赖域（Trust-Region）方法的迭代框架，包括如何动态确定信赖域半径以及如何利用二次模型逼近原函数，确保收敛的安全性和效率。 5. 全局优化与随机搜索算法： 针对工程中普遍存在的非凸优化问题，本书介绍了全局优化策略。内容涵盖模拟退火（Simulated Annealing）、遗传算法（Genetic Algorithms）以及粒子群优化（PSO）等启发式方法。书中结合具体的工程案例，分析了这些随机方法的参数设置、收敛性探讨，并对比了它们与确定性梯度方法的适用场景。 6. 非线性约束优化： 深入探讨了处理带有复杂约束的优化问题的方法。重点介绍内点法（Interior-Point Methods）的原理，包括其将约束问题转化为一系列无约束问题的过程，以及KKT条件的迭代求解。同时，对拉格朗日乘子法的稳定性和二次惩罚函数方法的应用进行了详尽的讨论。 第三部分：时变系统与动态过程的数值模拟 本部分专注于常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs）中涉及时间演化的系统的数值处理技术。 7. ODEs的时间积分方案： 系统梳理了求解一阶和高阶常微分方程的显式和隐式积分方法。详细分析了Runge-Kutta方法的精度、稳定域以及刚性（Stiffness）问题的识别与处理。针对刚性系统，重点讲解了后向欧拉法、Crank-Nicolson方法以及BDF（Backward Differentiation Formulas）方法的稳定性和局部截断误差分析。 8. 线性与非线性PDEs的时间-空间离散化： 针对热传导、波动、对流扩散等经典PDEs，本书对比了有限差分法（FDM）、有限体积法（FVM）和有限元法（FEM）在处理不同边界条件和复杂几何时的优缺点。在时间方向上，重点分析了迎风格式（Upwind Schemes）在对流项处理中的数值耗散问题，并介绍了高分辨率格式如MUSCL格式的构造。 9. 稳定性、收敛性与精度分析： 严格阐述了数值方法的稳定性和收敛性判据，特别是冯·诺依曼稳定性分析在双曲型方程求解中的应用。通过Von Neumann分析，明确了显式格式的CFL条件，并详细推导了离散化误差的阶数，为选择合适的空间和时间步长提供了坚实的理论依据。 第四部分：数据驱动的数值方法与不适定问题 本部分探讨了在数据不完备或问题本身具有内在不稳定性（不适定性）时，如何应用计算方法进行可靠的求解与重构。 10. 反问题与正则化技术： 针对图像重建、地球物理反演等不适定问题，本书详细介绍了Tikhonov正则化、L-曲线方法以及Tracer方法在确定最佳正则化参数中的应用。重点分析了如何将不适定问题转化为具有良好稳定性的最小二乘问题或约束优化问题。 11. 径向基函数（RBF）插值与近似： 介绍了RBF作为一种强大的、不受网格限制的函数逼近工具。讨论了不同核函数（如高斯核、多二次方核）的选择，及其在曲面拟合、高维插值和Meshless方法中的应用，尤其适用于复杂或移动边界问题。 12. 机器学习在数值分析中的融合： 探讨了深度学习技术在加速传统数值求解器中的潜力。内容包括使用神经网络替代传统预处理器、利用PINNs（Physics-Informed Neural Networks）直接求解PDEs的框架，以及使用神经网络来学习复杂系统的涌现行为，从而指导参数选择和模型简化。 全书结构紧凑，理论深度与工程实践紧密结合，是计算数学领域一次全面的、面向未来的知识梳理与方法论介绍。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我拿到这本书的时候，心里是抱着“又是一本老掉牙的教材”的预期。毕竟在这个领域，经典教材层出不穷，要出彩太难了。然而，这本书的章节编排和内容取舍，透露出一种对当代研究前沿的深刻洞察力。它并非仅仅复述牛顿-拉普森或者辛普森法则的皮毛，而是对现代高效求解器背后的数学机理进行了深入剖析，例如处理刚性问题的特定数值格式的收敛性证明，那逻辑的严密和论证的精妙，简直是一件艺术品。我尤其欣赏它在选择例子和案例分析时所展现出的“克制”与“精准”，不贪多而求精，每一个例子都服务于阐明一个核心的数学特性或数值障碍。这使得整本书读起来节奏感极强，不会让人感到冗余和拖沓，仿佛作者在用一种极简主义的哲学来构建复杂的数值世界。

评分☆☆☆☆☆

对于一个刚从数学专业转向计算物理方向的学生来说，最大的痛苦莫过于如何将抽象的数学语言转化为计算机能理解的、高效的算法。这本书在这方面的衔接工作做得堪称业界典范。它不仅仅是告诉你“应该用什么方法”，更重要的是深入解释了“为什么这个方法在这个特定物理模型下表现更优”。那种对误差源的细致入微的探讨，对离散化误差和截断误差的平衡艺术的描绘，让我对“数值稳定性”这个玄之又玄的概念有了具体的、可操作的理解。我甚至发现，书中的某些论述启发了我去重新审视自己正在进行的一个有限元模拟中的网格细化策略，这直接解决了困扰我半年的收敛性问题。这种将理论深度与工程敏感度完美结合的特质，是它超越一般教科书的显著标志。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大感受，是一种“严谨而充满人文关怀”的叙事风格。它不像某些冷冰冰的数学著作，只关注公式的正确性，而是在字里行间流露出对学习者困惑的体察。比如，在解释为什么某些迭代法在高精度计算时会遭遇瓶颈时，作者并非简单地给出一个结论，而是会追溯到数值分析早期的尝试与失败，这种历史的纵深感，让读者在理解当前最优方法的同时，也对数值方法的演进有了更宏大的视角。它成功地将一个看似枯燥的数值计算领域，描绘成一幅由严密逻辑和精巧设计交织而成的壮丽画卷。对于渴望真正掌握这门学科精髓，而不只是学会套用公式的读者来说，这本书提供的知识的“质感”是其他任何读物都无法替代的。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，初读此书时，我的第一反应是“它好厚实”。然而，翻开内页才发现，这种厚重感并非来自于不必要的填充，而是源自内容的密度与广度。它像是一部详尽的工具箱，而不是一本快速入门手册。特别是关于高维偏微分方程数值解的部分，作者没有回避那些棘手的问题，反而直面了网格生成、边界条件处理这些实际操作中的难点。更让人称道的是，它在介绍特定算法时，往往会附带上不同求解器在不同计算平台上的性能对比的宏观讨论，这显示了编著者们深厚的工程背景和对实际计算环境的深刻理解。对于有志于从事高性能计算（HPC）的读者而言，书中关于并行化和矩阵求解器的提及，虽然篇幅有限，但其指引方向的价值是无可估量的，它为你铺设了通往更深层次研究的阶梯。

评分☆☆☆☆☆

这部著作，简直是为我们这些在计算科学的泥潭里摸爬滚打的研究生量身定做的宝典！我记得我刚接触数值方法那会儿，那些教科书上的推导简直是天书，公式密密麻麻，逻辑链条跳跃得让人抓狂。这本书最绝妙的地方就在于，它没有一上来就砸给你一堆抽象的符号，而是用一种非常直观且富有条理性的方式，将复杂的概念层层剥开。尤其对于常微分方程的稳定性分析部分，作者简直像是手把手带着你走过了一个个思维的陷阱，让我这个之前对BDF方法总有一丝模糊认识的人，茅塞顿开。读完后，那种“原来如此，竟是如此简单”的豁然开朗，是其他同类书籍难以给予的酣畅淋漓的体验。它不是那种只停留在理论表面的高谈阔论，而是真正深入到了计算实践的骨髓里，让理论指导实践的路径清晰可见，这点对于工程应用背景的读者来说，价值连城。