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美 H L Royden 著

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出版社： 机械工业出版社

ISBN：7111139127

商品编码：27162985070

丛书名： 经典原版书库

出版时间：2004-03-01

页数：444

书名：	实分析（英文版·第3版）|17744
图书定价：	45元
图书作者：	（美）H.L.Royden
出版社：	机械工业出版社
出版日期：	2004/3/1 0:00:00
ISBN号：	7111139127
开本：	16开
页数：	444
版次：	3-1

内容简介

本书为数学与统计学专业研究生实分析课程的基础教材，1963年出版了第1版，1987年修订的第3版在前两版的基础上进行了改写和补充，增加了可变测度一章。在过去的40多年中，本书已被国外众多著名大学(如斯坦福大学、哈佛大学等)采用。 本书是一本优秀的教材，主要分三部分：第一部分为实变函数论，第二部分为抽象空间，第三部分为一般测度与积分论。书中不仅包含数学定理和定义，而且还提出了挑战性的问题，以便读者更深入地理解书中内容。本书的题材是数学教学的共同基础，包含许多数学家的研究成果。

目录

Prologue to the Student 1 I Set Theory 6 1 Introduction 6 2 Functions 9 3 Unions, intersections, and complements 12 4 Algebras of sets 17 5 The axiom of choice and infinite direct products 19 6 Countable sets 20 7 Relations and equivalences 23 8 Partial orderings and the maximal principle 24 9 Well ordering and the countable ordinals 26 Part One THEORY OF FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE 2 The Real Number System 31 1 Axioms for the real numbers 31 2 The natural and rational numbers as subsets of R 34 3 The extended real numbers 36 4 Sequences of real numbers 37 5 Open and closed sets of real numbers 40 6 Continuous functions 47 7 Borel sets 52 3 Lebesgue Measure 54 I Introduction 54 2 Outer measure 56 3 Measurable sets and Lebesgue measure 58 *4 A nonmeasurable set 64 5 Measurable functions 66 6 Littlewood's three principles 72 4 The Lebesgue Integral 75 1 The Riemann integral 75 2 The Lebesgue integral of a bounded function over a set of finite measure 77 3 The integral of a nonnegative function 85 4 The general Lebesgue integral 89 *5 Convergence in measure 95 S Differentiation and Integration 97 1 Differentiation of monotone functions 97 2 Functions of bounded variation 102 3 Differentiation of an integral 104 4 Absolute continuity 108 5 Convex functions 113 6 The Classical Banach Spaces 118 1 The Lp spaces 118 2 The Minkowski and Holder inequalities 119 3 Convergence and completeness 123 4 Approximation in Lp 127 5 Bounded linear functionals on the Lp spaces 130 Part Two ABSTRACT SPACES 7 Metric Spaces 139 1 Introduction 139 2 Open and closed sets 141 3 Continuous functions and homeomorphisms 144 4 Convergence and completeness 146 5 Uniform continuity and uniformity 148 6 Subspaces 151 7 Compact metric spaces 152 8 Baire category 158 9 Absolute Gs 164 10 The Ascoli-Arzela Theorem 167 8 Topological Spaces ltl I Fundamental notions 171 2 Bases and countability 175 3 The separation axioms and continuous real-valued functions 178 4 Connectedness 182 5 Products and direct unions of topological spaces 184 *6 Topological and uniform properties 187 *7 Nets 188 9 Compact and Locally Compact Spaces 190 I Compact spaces 190 2 Countable compactness and the Bolzano-Weierstrass property 193 3 Products of compact spaces 196 4 Locally compact spaces 199 5 a-compact spaces 203 *6 Paracompact spaces 204 7 Manifolds 206 *8 The Stone-Cech compactification 209 9 The Stone-Weierstrass Theorem 210 10 Banach Spaces 217 I Introduction 217 2 Linear operators 220 3 Linear functionals and the Hahn-Banach Theorem 222 4 The Closed Graph Theorem 224 5 Topological vector spaces 233 6 Weak topologies 236 7 Convexity 239 8 Hilbert space 245 Part Three GENERAL MEASURE AND INTEGRATION THEORY 11 Measure and Integration 253 1 Measure spaces 253 2 Measurable functions 259 3 Integration 263 4 General Convergence Theorems 268 5 Signed measures 270 6 The Radon-Nikodym Theorem 276 7 The Lp-spaces 282 12 Measure and Outer Measure 288 1 Outer measure and measurability 288 2 The Extension Theorem 291 3 The Lebesgue-Stieltjes integral 299 4 Product measures 303 5 Integral operators 313 *6 Inner measure 317 *7 Extension by sets of measure zero 325 8 Caratheodory outer measure 326 9 Hausdorff measure 329 13 Measure and Topology 331 1 Baire sets and Borel sets 331 2 The regularity of Baire and Borel measures 337 3 The construction of Borel measures 345 4 Positive linear functionals and Borel measures 352 5 Bounded linear functionals on C(X) 355 14 Invariant Measures 361 1 Homogeneous spaces 361 2 Topological equicontinuity 362 3 The existence ofinvariant measures 365 4 Topological groups 370 5 Group actions and quotient spaces 376 6 Unicity ofinvariant measures 378 7 Groups ofdiffeomorphisms 388 15 Mappings of Measure Spaces 392 1 Point mappings and set mappings 392 2 Boolean algebras 394 3 Measure algebras 398 4 Borel equivalences 401 5 Borel measures on complete separable metric spaces 406 6 Set mappings and point mappings on complete separable metric spaces 412 7 The isometries of Lp 415 16 The Daniell Integral 419 1 Introduction 419 2 The Extension Theorem 422 3 Uniqueness 427 4 Measurability and measure 429 Bibliography 435 Index of Symbols 437 Subject Index 439

《数论导引：从基础到前沿》 作者： [著名数学家姓名，例如：李明, 张华] 出版社： [知名学术出版社名称，例如：高等教育出版社/世界图书出版公司] 出版年份： [例如：2023年] --- 内容简介 本书聚焦于数论这一古老而充满活力的数学分支，系统地梳理了其核心概念、经典理论与现代研究方向。它旨在为初学者构建坚实的数论基础，同时为有一定基础的研究人员提供深入探索的阶梯。本书的叙述风格力求严谨而不失生动，注重理论的几何与代数直观理解，并辅以丰富的实例和习题，以期达到“授人以渔”的目的。 全书共分为六大部分，循序渐进地引领读者领略数论的深邃魅力。 --- 第一部分：初等数论的基石 本部分是全书的起点，旨在为读者打下扎实的初等数论基础，这是理解后续所有高级主题的前提。 1. 整数的性质与算术基础： 首先介绍集合论中的自然数、整数环的基本性质。重点阐述了整除性的概念，这是数论中最基本的工具。深入探讨了最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的性质，并详细介绍了求这两个量的经典算法——欧几里得算法（辗转相除法）及其复杂度分析。 2. 模运算与同余理论： 模运算是数论的“语言”。本章系统介绍了同余（Congruence）的概念、运算规则及其在方程求解中的应用。详细讨论了线性同余方程的解的存在性与结构。在此基础上，引入中国剩余定理（CRT），展示其在系统联立同余式求解中的强大威力，并给出其在密码学中的初步应用背景。 3. 整数的特殊函数与算术函数： 本章集中讨论描述整数性质的函数，如欧拉 $phi$ 函数（计数函数）、除数函数 $sigma_k(n)$、莫比乌斯函数 $mu(n)$。深入剖析了这些函数是积性函数（Multiplicative Functions）的性质，并利用狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）阐明了这些函数之间的深刻联系。特别地，详细论证了莫比乌斯反演公式的推导与应用，这是从算术函数性质反推其结构的关键工具。 4. 费马、欧拉与原根： 本章将理论提升到更具数论特性的高度。详细复习并证明了费马小定理，进而推广到欧拉定理。重点讨论了在模 $n$ 意义下的阶（Order）的概念，并引入了原根（Primitive Roots）的存在性条件及其性质。本章为后续的离散对数问题和初级密码学原理打下了必要的代数基础。 --- 第二部分：代数数论的入门 本部分开始跨越初等数论的界限，引入抽象代数中的工具，特别是群论和环论的概念，来解决经典的数论问题。 5. 整数环的扩展： 引入高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 和艾森斯坦整数环 $mathbb{Z}[omega]$ 作为初步的例子，研究它们在因子分解方面的特性。讨论唯一因子分解整环（UFD）的概念，并通过欧几里得域的视角，解释了为何在 $mathbb{Z}[i]$ 中因子分解是唯一的，并探究了在哪些二次域中因子分解仍能保持唯一性。 6. 代数整数与环结构： 正式引入代数整数（Algebraic Integers）的概念，并研究它们构成的代数数域中的整数环 $O_K$。讨论了范数（Norm）和迹（Trace）等基本工具。重点分析了二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的整数环结构，为理解更一般的数域打下基础。 7. 理想与因子分解： 抛弃元素因子分解的视角，转向研究理想（Ideals）。详细解释了为什么在一般的代数整数环中，元素因子分解不再唯一，而理想的因子分解却是唯一的。深入研究了唯一理想因子分解整环（Dedekind Domains）的性质，这是现代代数数论的核心概念。 --- 第三部分：二次型与二次域 本部分着重于二次形式的研究，这是连接代数、几何和数论的经典领域。 8. 二次剩余与二次互反律： 重新审视同余方程 $x^2 equiv a pmod{p}$ 的解的存在性问题。定义勒让德符号（Legendre Symbol）和雅可比符号（Jacobi Symbol），并利用这些工具系统地证明了二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）及其补充定理。本章展示了初等方法如何解决看似复杂的二次型问题。 9. 二次域的结构： 结合第二部分的知识，深入分析实二次域和虚二次域。探讨其单位群的结构，利用狄利克雷单位定理描述了实二次域中无穷多单位的存在性。介绍了类数（Class Number）的概念及其在判断因子分解唯一性中的重要性。 --- 第四部分：丢番图方程与椭圆曲线（概述） 本部分简要介绍数论中最引人入胜的领域——不定方程的求解，特别是费马大定理的背景。 10. 费马方程与Diophantine方程： 从勾股定理的整数解出发，引出费马大定理的历史背景。介绍求解简单线性Diophantine方程（如 $ax+by=c$）的方法。简要讨论丢番图方程的复杂度与求解难度，引出Mordell方程等经典例子。 11. 椭圆曲线简介： 介绍椭圆曲线的Weierstrass标准型及其群结构。简述其在有理数域上的点集构成的Abelian群结构，并提及Mazur定理（有限生成性）。强调椭圆曲线在现代密码学（ECC）和费马大定理证明（Taniyama-Shimura猜想）中的核心地位。 --- 第五部分：解析数论的视角 本部分引入复分析的工具，转向研究素数分布的统计规律。 12. 算术函数的狄利克雷级数： 引入狄利克雷级数（Dirichlet Series）及其收敛性。重点分析与算术函数相关的级数，如 $zeta(s)$ 函数。利用级数工具重新研究莫比乌斯函数和欧拉 $phi$ 函数的性质。 13. 黎曼 $zeta$ 函数与素数定理： 详细介绍黎曼 $zeta$ 函数的解析性质，包括其在复平面的解析延拓、泛函方程以及零点分布。本章的核心是素数定理（Prime Number Theorem, PNT）的证明思路，展示了复分析如何精确地描述素数的渐近分布规律。 14. 素数的分布与更深入的结果： 探讨素数定理的误差项估计。介绍狄利克雷素数定理，阐述在等差数列中素数的分布情况。 --- 第六部分：计算数论与应用 本部分关注数论在现代计算科学中的实际应用。 15. 连分式与丢番图近似： 系统介绍简单连分式的构造及其在有理数最佳逼近中的作用。探讨连分式在求解佩尔方程（Pell's Equation）中的应用，以及其与实二次域单位结构之间的深刻联系。 16. 现代数论在密码学中的应用： 概述基于数论难题的现代加密系统。重点分析RSA公钥加密算法的原理，深入讲解扩散过程、模幂运算的效率，以及大数素性检验（如Miller-Rabin测试）的概率方法。简要提及离散对数问题（DLP）及其在Diffie-Hellman密钥交换中的作用。 --- 本书特色 覆盖面广： 兼顾初等数论的精巧与代数数论、解析数论的宏大。 理论与实践结合： 每一章后都附有难度分级的习题，并穿插具体的算法实现思路。 代数直观： 特别强调抽象代数工具（如环、域、理想）在解决经典数论问题中的优越性。 现代化视野： 引入了现代密码学和计算数论的应用实例，展现了数论作为“应用之母”的活力。 本书适合数学、计算机科学、信息安全等专业的高年级本科生、研究生及研究人员阅读和参考。掌握本书内容，读者将对数论的整体结构有一个清晰、全面的认识，并具备进一步探索更专业数论分支的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实吸引人，简洁的配色中透着一股学术的严谨感，让人一看就知道这不是一本轻松的读物。我原本是想找一本能够系统梳理微积分基础，同时为后续的实分析学习打下坚实地基的教材。翻开第一章，作者开篇就直奔主题，对集合论和函数的基本概念进行了深入浅出的阐述，这对于我这种在本科阶段只有泛泛了解的读者来说，简直是及时雨。特别是关于拓扑空间和度量空间的引入，处理得非常巧妙，没有采用那种堆砌定义的方式，而是通过一些经典的例子，比如欧几里德空间$mathbb{R}^n$的性质，逐步引导读者进入更抽象的领域。我特别欣赏作者在推导一些核心定理时所采用的清晰逻辑链条，每一步都有明确的支撑，很少出现跳跃性的思维，这极大地降低了初学者在理解这些高深理论时的心理门槛。总的来说，作为一本入门级的参考书，它在构建知识体系的扎实度上做得非常出色，为后续深入学习打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的侧重点似乎完全不在于那些花哨的应用，而是沉下心来打磨“为什么”和“如何证明”。阅读过程中，我深切感受到作者对数学严谨性的极致追求。比如，在处理序列收敛性的部分，关于Cauchy序列的完备性讨论，作者花了相当大的篇幅，不仅仅给出了定义和证明，还辅以大量的反例说明“不完备”的度量空间会带来多大的麻烦。这种“先立后破”的叙述方式，使得抽象的概念一下子变得鲜活起来，不再是冷冰冰的符号。我个人最喜欢的是它对勒贝格积分的引入部分。很多教材往往直接给出积分的定义，但这本书却从黎曼积分的局限性出发，一步步构建起更强大的积分理论，这种历史的脉络感让理论的出现显得顺理成章，而非凭空出现。虽然阅读过程需要经常查阅前面的定义，但正是这种反复的对照和回顾，才真正将那些看似难以捉摸的数学直觉培养了起来。对于希望真正理解分析学“骨架”的读者来说，这本书的深度是令人敬佩的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的一大特点是其对“直觉与严谨的平衡”的把握。它没有完全抛弃直觉的引导，但每当直觉可能产生误导时，作者总能及时地祭出严格的数学工具进行修正。例如，在处理狄利克雷函数（Dirichlet function）的黎曼可积性问题时，它非常清晰地展示了为什么我们需要更强大的积分理论，这种对比的艺术，远胜于单纯的理论堆砌。此外，书中穿插的一些历史注解和数学家的贡献小插曲，虽然不是核心内容，却为枯燥的理论学习增添了人文色彩，让人能感受到这门学科是如何一步步发展成熟的。总的来说，这本书更像是一位经验丰富的导师，他不仅告诉你公式是什么，更重要的是，他会带着你理解这个公式诞生的时代背景和它所解决的真正问题。对于希望从“会用”迈向“理解”的进阶学习者，这本书提供了必要的深度和广度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号系统堪称典范。在如此密集的数学公式和定义之间，作者依然能保持极高的清晰度，这在学术著作中是难能可贵的。我注意到，作者在引入新概念时，总是会用加粗或斜体来强调关键术语，并且在同一章节内对同一符号的使用保持绝对的一致性，这极大地减少了阅读时的认知负担。举个例子，在讨论一致收敛性时，关于$epsilon-N$语言的切换和处理，作者的表述总是那么精确，让人感觉每一步都像是经过了数学家的精心雕琢。虽然我没有去研究它是否是第三版相比前两版有哪些大幅度的内容更新，但就目前我接触到的实分析核心部分而言，它的逻辑流淌得非常自然，没有感觉到任何生硬的修补痕迹。对于那些注重学习体验的读者来说，良好的排版本身就是一种强大的驱动力，它能让你更愿意投入时间去攻克那些高难度的理论难题。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的阅读体验并不轻松，它更像是一本需要“啃”的学术专著，而非可以“读”的科普读物。我尝试过在图书馆快速浏览几页，结果发现如果不带着纸笔，试图去跟踪那些复杂的逻辑推演，很快就会迷失方向。其中关于函数空间和泛函分析的初步探讨部分，难度陡增。作者在引入$L^p$空间时，对Hölder不等式和Minkowski不等式的证明极其详尽，特别是对$p=1$和$p=infty$的特殊情况也做了细致的分析，这种面面俱到的处理，虽然使得篇幅增加不少，但也避免了许多学生在做作业时因为忽略特殊情况而导致证明失败的窘境。不过，对于那些习惯了只看结论和例题的学习者来说，这本书的阅读门槛确实偏高，它要求读者不仅要理解结论，更要能够内化整个证明过程的思维方式。它更适合作为研究生阶段的精读教材，或者作为一线教师备课时的深度参考资料。