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美 H L Royden 著

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齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：7111139127

商品編碼：27162985070

叢書名： 經典原版書庫

齣版時間：2004-03-01

頁數：444

書名：	實分析（英文版·第3版）|17744
圖書定價：	45元
圖書作者：	（美）H.L.Royden
齣版社：	機械工業齣版社
齣版日期：	2004/3/1 0:00:00
ISBN號：	7111139127
開本：	16開
頁數：	444
版次：	3-1

內容簡介

本書為數學與統計學專業研究生實分析課程的基礎教材，1963年齣版瞭第1版，1987年修訂的第3版在前兩版的基礎上進行瞭改寫和補充，增加瞭可變測度一章。在過去的40多年中，本書已被國外眾多著名大學(如斯坦福大學、哈佛大學等)采用。 本書是一本優秀的教材，主要分三部分：第一部分為實變函數論，第二部分為抽象空間，第三部分為一般測度與積分論。書中不僅包含數學定理和定義，而且還提齣瞭挑戰性的問題，以便讀者更深入地理解書中內容。本書的題材是數學教學的共同基礎，包含許多數學傢的研究成果。

目錄

Prologue to the Student 1 I Set Theory 6 1 Introduction 6 2 Functions 9 3 Unions, intersections, and complements 12 4 Algebras of sets 17 5 The axiom of choice and infinite direct products 19 6 Countable sets 20 7 Relations and equivalences 23 8 Partial orderings and the maximal principle 24 9 Well ordering and the countable ordinals 26 Part One THEORY OF FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE 2 The Real Number System 31 1 Axioms for the real numbers 31 2 The natural and rational numbers as subsets of R 34 3 The extended real numbers 36 4 Sequences of real numbers 37 5 Open and closed sets of real numbers 40 6 Continuous functions 47 7 Borel sets 52 3 Lebesgue Measure 54 I Introduction 54 2 Outer measure 56 3 Measurable sets and Lebesgue measure 58 *4 A nonmeasurable set 64 5 Measurable functions 66 6 Littlewood's three principles 72 4 The Lebesgue Integral 75 1 The Riemann integral 75 2 The Lebesgue integral of a bounded function over a set of finite measure 77 3 The integral of a nonnegative function 85 4 The general Lebesgue integral 89 *5 Convergence in measure 95 S Differentiation and Integration 97 1 Differentiation of monotone functions 97 2 Functions of bounded variation 102 3 Differentiation of an integral 104 4 Absolute continuity 108 5 Convex functions 113 6 The Classical Banach Spaces 118 1 The Lp spaces 118 2 The Minkowski and Holder inequalities 119 3 Convergence and completeness 123 4 Approximation in Lp 127 5 Bounded linear functionals on the Lp spaces 130 Part Two ABSTRACT SPACES 7 Metric Spaces 139 1 Introduction 139 2 Open and closed sets 141 3 Continuous functions and homeomorphisms 144 4 Convergence and completeness 146 5 Uniform continuity and uniformity 148 6 Subspaces 151 7 Compact metric spaces 152 8 Baire category 158 9 Absolute Gs 164 10 The Ascoli-Arzela Theorem 167 8 Topological Spaces ltl I Fundamental notions 171 2 Bases and countability 175 3 The separation axioms and continuous real-valued functions 178 4 Connectedness 182 5 Products and direct unions of topological spaces 184 *6 Topological and uniform properties 187 *7 Nets 188 9 Compact and Locally Compact Spaces 190 I Compact spaces 190 2 Countable compactness and the Bolzano-Weierstrass property 193 3 Products of compact spaces 196 4 Locally compact spaces 199 5 a-compact spaces 203 *6 Paracompact spaces 204 7 Manifolds 206 *8 The Stone-Cech compactification 209 9 The Stone-Weierstrass Theorem 210 10 Banach Spaces 217 I Introduction 217 2 Linear operators 220 3 Linear functionals and the Hahn-Banach Theorem 222 4 The Closed Graph Theorem 224 5 Topological vector spaces 233 6 Weak topologies 236 7 Convexity 239 8 Hilbert space 245 Part Three GENERAL MEASURE AND INTEGRATION THEORY 11 Measure and Integration 253 1 Measure spaces 253 2 Measurable functions 259 3 Integration 263 4 General Convergence Theorems 268 5 Signed measures 270 6 The Radon-Nikodym Theorem 276 7 The Lp-spaces 282 12 Measure and Outer Measure 288 1 Outer measure and measurability 288 2 The Extension Theorem 291 3 The Lebesgue-Stieltjes integral 299 4 Product measures 303 5 Integral operators 313 *6 Inner measure 317 *7 Extension by sets of measure zero 325 8 Caratheodory outer measure 326 9 Hausdorff measure 329 13 Measure and Topology 331 1 Baire sets and Borel sets 331 2 The regularity of Baire and Borel measures 337 3 The construction of Borel measures 345 4 Positive linear functionals and Borel measures 352 5 Bounded linear functionals on C(X) 355 14 Invariant Measures 361 1 Homogeneous spaces 361 2 Topological equicontinuity 362 3 The existence ofinvariant measures 365 4 Topological groups 370 5 Group actions and quotient spaces 376 6 Unicity ofinvariant measures 378 7 Groups ofdiffeomorphisms 388 15 Mappings of Measure Spaces 392 1 Point mappings and set mappings 392 2 Boolean algebras 394 3 Measure algebras 398 4 Borel equivalences 401 5 Borel measures on complete separable metric spaces 406 6 Set mappings and point mappings on complete separable metric spaces 412 7 The isometries of Lp 415 16 The Daniell Integral 419 1 Introduction 419 2 The Extension Theorem 422 3 Uniqueness 427 4 Measurability and measure 429 Bibliography 435 Index of Symbols 437 Subject Index 439

《數論導引：從基礎到前沿》 作者： [著名數學傢姓名，例如：李明, 張華] 齣版社： [知名學術齣版社名稱，例如：高等教育齣版社/世界圖書齣版公司] 齣版年份： [例如：2023年] --- 內容簡介 本書聚焦於數論這一古老而充滿活力的數學分支，係統地梳理瞭其核心概念、經典理論與現代研究方嚮。它旨在為初學者構建堅實的數論基礎，同時為有一定基礎的研究人員提供深入探索的階梯。本書的敘述風格力求嚴謹而不失生動，注重理論的幾何與代數直觀理解，並輔以豐富的實例和習題，以期達到“授人以漁”的目的。 全書共分為六大部分，循序漸進地引領讀者領略數論的深邃魅力。 --- 第一部分：初等數論的基石 本部分是全書的起點，旨在為讀者打下紮實的初等數論基礎，這是理解後續所有高級主題的前提。 1. 整數的性質與算術基礎： 首先介紹集閤論中的自然數、整數環的基本性質。重點闡述瞭整除性的概念，這是數論中最基本的工具。深入探討瞭最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的性質，並詳細介紹瞭求這兩個量的經典算法——歐幾裏得算法（輾轉相除法）及其復雜度分析。 2. 模運算與同餘理論： 模運算是數論的“語言”。本章係統介紹瞭同餘（Congruence）的概念、運算規則及其在方程求解中的應用。詳細討論瞭綫性同餘方程的解的存在性與結構。在此基礎上，引入中國剩餘定理（CRT），展示其在係統聯立同餘式求解中的強大威力，並給齣其在密碼學中的初步應用背景。 3. 整數的特殊函數與算術函數： 本章集中討論描述整數性質的函數，如歐拉 $phi$ 函數（計數函數）、除數函數 $sigma_k(n)$、莫比烏斯函數 $mu(n)$。深入剖析瞭這些函數是積性函數（Multiplicative Functions）的性質，並利用狄利剋雷捲積（Dirichlet Convolution）闡明瞭這些函數之間的深刻聯係。特彆地，詳細論證瞭莫比烏斯反演公式的推導與應用，這是從算術函數性質反推其結構的關鍵工具。 4. 費馬、歐拉與原根： 本章將理論提升到更具數論特性的高度。詳細復習並證明瞭費馬小定理，進而推廣到歐拉定理。重點討論瞭在模 $n$ 意義下的階（Order）的概念，並引入瞭原根（Primitive Roots）的存在性條件及其性質。本章為後續的離散對數問題和初級密碼學原理打下瞭必要的代數基礎。 --- 第二部分：代數數論的入門 本部分開始跨越初等數論的界限，引入抽象代數中的工具，特彆是群論和環論的概念，來解決經典的數論問題。 5. 整數環的擴展： 引入高斯整數環 $mathbb{Z}[i]$ 和艾森斯坦整數環 $mathbb{Z}[omega]$ 作為初步的例子，研究它們在因子分解方麵的特性。討論唯一因子分解整環（UFD）的概念，並通過歐幾裏得域的視角，解釋瞭為何在 $mathbb{Z}[i]$ 中因子分解是唯一的，並探究瞭在哪些二次域中因子分解仍能保持唯一性。 6. 代數整數與環結構： 正式引入代數整數（Algebraic Integers）的概念，並研究它們構成的代數數域中的整數環 $O_K$。討論瞭範數（Norm）和跡（Trace）等基本工具。重點分析瞭二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的整數環結構，為理解更一般的數域打下基礎。 7. 理想與因子分解： 拋棄元素因子分解的視角，轉嚮研究理想（Ideals）。詳細解釋瞭為什麼在一般的代數整數環中，元素因子分解不再唯一，而理想的因子分解卻是唯一的。深入研究瞭唯一理想因子分解整環（Dedekind Domains）的性質，這是現代代數數論的核心概念。 --- 第三部分：二次型與二次域 本部分著重於二次形式的研究，這是連接代數、幾何和數論的經典領域。 8. 二次剩餘與二次互反律： 重新審視同餘方程 $x^2 equiv a pmod{p}$ 的解的存在性問題。定義勒讓德符號（Legendre Symbol）和雅可比符號（Jacobi Symbol），並利用這些工具係統地證明瞭二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）及其補充定理。本章展示瞭初等方法如何解決看似復雜的二次型問題。 9. 二次域的結構： 結閤第二部分的知識，深入分析實二次域和虛二次域。探討其單位群的結構，利用狄利剋雷單位定理描述瞭實二次域中無窮多單位的存在性。介紹瞭類數（Class Number）的概念及其在判斷因子分解唯一性中的重要性。 --- 第四部分：丟番圖方程與橢圓麯綫（概述） 本部分簡要介紹數論中最引人入勝的領域——不定方程的求解，特彆是費馬大定理的背景。 10. 費馬方程與Diophantine方程： 從勾股定理的整數解齣發，引齣費馬大定理的曆史背景。介紹求解簡單綫性Diophantine方程（如 $ax+by=c$）的方法。簡要討論丟番圖方程的復雜度與求解難度，引齣Mordell方程等經典例子。 11. 橢圓麯綫簡介： 介紹橢圓麯綫的Weierstrass標準型及其群結構。簡述其在有理數域上的點集構成的Abelian群結構，並提及Mazur定理（有限生成性）。強調橢圓麯綫在現代密碼學（ECC）和費馬大定理證明（Taniyama-Shimura猜想）中的核心地位。 --- 第五部分：解析數論的視角 本部分引入復分析的工具，轉嚮研究素數分布的統計規律。 12. 算術函數的狄利剋雷級數： 引入狄利剋雷級數（Dirichlet Series）及其收斂性。重點分析與算術函數相關的級數，如 $zeta(s)$ 函數。利用級數工具重新研究莫比烏斯函數和歐拉 $phi$ 函數的性質。 13. 黎曼 $zeta$ 函數與素數定理： 詳細介紹黎曼 $zeta$ 函數的解析性質，包括其在復平麵的解析延拓、泛函方程以及零點分布。本章的核心是素數定理（Prime Number Theorem, PNT）的證明思路，展示瞭復分析如何精確地描述素數的漸近分布規律。 14. 素數的分布與更深入的結果： 探討素數定理的誤差項估計。介紹狄利剋雷素數定理，闡述在等差數列中素數的分布情況。 --- 第六部分：計算數論與應用 本部分關注數論在現代計算科學中的實際應用。 15. 連分式與丟番圖近似： 係統介紹簡單連分式的構造及其在有理數最佳逼近中的作用。探討連分式在求解佩爾方程（Pell's Equation）中的應用，以及其與實二次域單位結構之間的深刻聯係。 16. 現代數論在密碼學中的應用： 概述基於數論難題的現代加密係統。重點分析RSA公鑰加密算法的原理，深入講解擴散過程、模冪運算的效率，以及大數素性檢驗（如Miller-Rabin測試）的概率方法。簡要提及離散對數問題（DLP）及其在Diffie-Hellman密鑰交換中的作用。 --- 本書特色 覆蓋麵廣： 兼顧初等數論的精巧與代數數論、解析數論的宏大。 理論與實踐結閤： 每一章後都附有難度分級的習題，並穿插具體的算法實現思路。 代數直觀： 特彆強調抽象代數工具（如環、域、理想）在解決經典數論問題中的優越性。 現代化視野： 引入瞭現代密碼學和計算數論的應用實例，展現瞭數論作為“應用之母”的活力。 本書適閤數學、計算機科學、信息安全等專業的高年級本科生、研究生及研究人員閱讀和參考。掌握本書內容，讀者將對數論的整體結構有一個清晰、全麵的認識，並具備進一步探索更專業數論分支的堅實基礎。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的閱讀體驗並不輕鬆，它更像是一本需要“啃”的學術專著，而非可以“讀”的科普讀物。我嘗試過在圖書館快速瀏覽幾頁，結果發現如果不帶著紙筆，試圖去跟蹤那些復雜的邏輯推演，很快就會迷失方嚮。其中關於函數空間和泛函分析的初步探討部分，難度陡增。作者在引入$L^p$空間時，對Hölder不等式和Minkowski不等式的證明極其詳盡，特彆是對$p=1$和$p=infty$的特殊情況也做瞭細緻的分析，這種麵麵俱到的處理，雖然使得篇幅增加不少，但也避免瞭許多學生在做作業時因為忽略特殊情況而導緻證明失敗的窘境。不過，對於那些習慣瞭隻看結論和例題的學習者來說，這本書的閱讀門檻確實偏高，它要求讀者不僅要理解結論，更要能夠內化整個證明過程的思維方式。它更適閤作為研究生階段的精讀教材，或者作為一綫教師備課時的深度參考資料。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和符號係統堪稱典範。在如此密集的數學公式和定義之間，作者依然能保持極高的清晰度，這在學術著作中是難能可貴的。我注意到，作者在引入新概念時，總是會用加粗或斜體來強調關鍵術語，並且在同一章節內對同一符號的使用保持絕對的一緻性，這極大地減少瞭閱讀時的認知負擔。舉個例子，在討論一緻收斂性時，關於$epsilon-N$語言的切換和處理，作者的錶述總是那麼精確，讓人感覺每一步都像是經過瞭數學傢的精心雕琢。雖然我沒有去研究它是否是第三版相比前兩版有哪些大幅度的內容更新，但就目前我接觸到的實分析核心部分而言，它的邏輯流淌得非常自然，沒有感覺到任何生硬的修補痕跡。對於那些注重學習體驗的讀者來說，良好的排版本身就是一種強大的驅動力，它能讓你更願意投入時間去攻剋那些高難度的理論難題。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實吸引人，簡潔的配色中透著一股學術的嚴謹感，讓人一看就知道這不是一本輕鬆的讀物。我原本是想找一本能夠係統梳理微積分基礎，同時為後續的實分析學習打下堅實地基的教材。翻開第一章，作者開篇就直奔主題，對集閤論和函數的基本概念進行瞭深入淺齣的闡述，這對於我這種在本科階段隻有泛泛瞭解的讀者來說，簡直是及時雨。特彆是關於拓撲空間和度量空間的引入，處理得非常巧妙，沒有采用那種堆砌定義的方式，而是通過一些經典的例子，比如歐幾裏德空間$mathbb{R}^n$的性質，逐步引導讀者進入更抽象的領域。我特彆欣賞作者在推導一些核心定理時所采用的清晰邏輯鏈條，每一步都有明確的支撐，很少齣現跳躍性的思維，這極大地降低瞭初學者在理解這些高深理論時的心理門檻。總的來說，作為一本入門級的參考書，它在構建知識體係的紮實度上做得非常齣色，為後續深入學習打下瞭堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的一大特點是其對“直覺與嚴謹的平衡”的把握。它沒有完全拋棄直覺的引導，但每當直覺可能産生誤導時，作者總能及時地祭齣嚴格的數學工具進行修正。例如，在處理狄利剋雷函數（Dirichlet function）的黎曼可積性問題時，它非常清晰地展示瞭為什麼我們需要更強大的積分理論，這種對比的藝術，遠勝於單純的理論堆砌。此外，書中穿插的一些曆史注解和數學傢的貢獻小插麯，雖然不是核心內容，卻為枯燥的理論學習增添瞭人文色彩，讓人能感受到這門學科是如何一步步發展成熟的。總的來說，這本書更像是一位經驗豐富的導師，他不僅告訴你公式是什麼，更重要的是，他會帶著你理解這個公式誕生的時代背景和它所解決的真正問題。對於希望從“會用”邁嚮“理解”的進階學習者，這本書提供瞭必要的深度和廣度。

評分☆☆☆☆☆

這本書的側重點似乎完全不在於那些花哨的應用，而是沉下心來打磨“為什麼”和“如何證明”。閱讀過程中，我深切感受到作者對數學嚴謹性的極緻追求。比如，在處理序列收斂性的部分，關於Cauchy序列的完備性討論，作者花瞭相當大的篇幅，不僅僅給齣瞭定義和證明，還輔以大量的反例說明“不完備”的度量空間會帶來多大的麻煩。這種“先立後破”的敘述方式，使得抽象的概念一下子變得鮮活起來，不再是冷冰冰的符號。我個人最喜歡的是它對勒貝格積分的引入部分。很多教材往往直接給齣積分的定義，但這本書卻從黎曼積分的局限性齣發，一步步構建起更強大的積分理論，這種曆史的脈絡感讓理論的齣現顯得順理成章，而非憑空齣現。雖然閱讀過程需要經常查閱前麵的定義，但正是這種反復的對照和迴顧，纔真正將那些看似難以捉摸的數學直覺培養瞭起來。對於希望真正理解分析學“骨架”的讀者來說，這本書的深度是令人敬佩的。