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张秀平 著

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出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303223268

商品编码：29892053458

包装：平装-胶订

出版时间：2017-06-01

基本信息

书名：组合数学(第2版)

定价：24.80元

作者：张秀平

出版社：北京师范大学出版社

出版日期：2017-06-01

ISBN：9787303223268

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装-胶订

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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内容提要

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本课程的目的是要求学生掌握组合数学的基础内容和组合所用的思想方法。 内容包括抽屉原则，基本计数原理，组合恒等式、反演公式、容斥原理、递推关系、生成函数、图与匹配，以及组合设计等。本书包括以下内容: 抽屉原则，二项式定理，容斥原理，递推关系与生成函数，图与匹配，组合设计。适合大学本科数学系或者其它开设组合数学课程的院系学生使用。

目录

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作者介绍

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1980年进入北京师范大学数学系学习，1987年获硕士学位，1999年获得博士学位。1987年至今始终在北京师范大学数学系工作，学术水平良好，影响力适中，教龄29年，曾讲授过微积分，近世代数，常微分方程，图论，组合数学等课程，并开展过微积分与组合数学两门课的双语教学工作，深受学生爱戴。

文摘

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序言

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图书简介：离散结构与算法设计 书名： 离散结构与算法设计（第2版） 作者： [此处可插入作者姓名] 出版社： [此处可插入出版社名称] 出版日期： [此处可插入出版日期] --- 内容概要 本书全面而深入地探讨了现代计算机科学和信息技术领域至关重要的离散数学基础及其在算法设计与分析中的应用。作为一本面向本科高年级学生、研究生以及对理论计算机科学感兴趣的专业人士的教材或参考书，本版在保持原版严谨性的基础上，进一步充实了前沿的计算理论内容，并优化了大量的例题和习题，旨在帮助读者建立坚实的数学思维框架，为解决复杂的计算问题奠定基础。 全书内容围绕离散数学的四大核心支柱展开：逻辑与证明、集合论基础、组合学原理与计数、图论及其应用，并将其与算法分析方法紧密结合。我们力求在抽象的数学结构与实际的计算过程之间架起一座清晰的桥梁。 --- 第一部分：逻辑、集合与证明方法 本部分是构建所有离散数学知识体系的基石。 第一章：命题逻辑与一阶谓词逻辑 本章详尽介绍了命题的构成、逻辑联结词（合取、析取、蕴含、双条件）、真值表、逻辑等价性及其简化方法。重点讲解了如何利用逻辑等价律进行推理和简化复杂的逻辑表达式。随后，深入探讨了一阶谓词逻辑（量词理论），包括全称量词（$forall$）和存在量词（$exists$）的正确使用、量词的否定以及在自然语言到数学符号之间的精确转换。特别强调了逻辑蕴涵、有效性与满足性（Satisfiability）的概念，为后续的程序正确性验证打下基础。 第二章：集合论基础与关系 从集合的基本概念（子集、幂集、集合的运算）出发，系统地介绍了集合论的公理化视角（有限集合的范畴内）。随后，详细阐述了关系的数学结构，包括笛卡尔积、关系的表示（如邻接矩阵）、关系的性质（自反性、对称性、传递性、反对称性）。重点剖析了等价关系及其划分（Partition）的理论，以及偏序关系（Poset）和哈斯图（Hasse Diagram）的应用，为数据库理论中的依赖关系和排序算法的结构分析提供工具。 第三章：函数与归纳法 本章探讨了函数作为一种特殊关系的性质：单射（一对一）、满射（映到）和双射（一一对应）。强调了函数在构造数学模型中的重要性。至关重要的是，本章系统地介绍了数学归纳法（Mathematical Induction）的两种形式——第一数学归纳法和强数学归纳法（Well-Ordering Principle）。归纳法不仅作为一种证明技术被深入讲解，更被应用于证明递归算法的正确性、验证循环不变量以及分析递归函数的复杂度。 --- 第二部分：计数、生成函数与递归关系 本部分是组合数学的核心，侧重于“数数”的艺术与科学，是理解概率模型和算法性能分析的关键。 第四章：基础计数原理 本章系统梳理了所有基础的计数技术：加法原理、乘法原理。在此基础上，详细讲解了排列（Permutations）和组合（Combinations），包括带重复元素的排列与组合问题，以及鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的各种形式（经典形式、推广形式）在证明存在性问题中的强大应用。通过大量实例演示如何识别问题的结构并恰当地应用这些原理。 第五章：生成函数与组合恒等式 生成函数是解决复杂计数问题的强大工具。本章首先介绍了普通生成函数（OGF）和指数生成函数（EGF）的定义与基本性质，特别是它们与序列的对应关系。详细推导了二项式定理和多项式展开，并展示了如何利用生成函数来求解线性递归关系。通过生成函数，读者可以清晰地看到组合构造是如何转化为代数运算的。 第六章：递归关系分析 本章专注于分析算法中的递归结构。系统地介绍了求解常系数线性齐次递归关系（一阶、二阶及更高阶）的特征方程法。接着，扩展到非齐次关系的求解方法，包括待定系数法和特殊解的构造。这部分内容与算法分析中的主定理（Master Theorem）紧密相关，为分析分治策略（如快速排序、归并排序）的时间复杂度提供了必要的代数背景。 --- 第三部分：图论——结构与连通性 图论是离散数学在网络、数据结构和优化问题中最直接的应用领域。 第七章：图论基础 本章从图（Graph）的基本定义开始，区分了有向图（Digraph）和无向图，并引入了特殊图的类型（如完全图、二分图、正则图）。详细讨论了图的表示方法：邻接矩阵、邻接表，并分析了不同表示法在空间和时间复杂度上的权衡。重点讲解了图的度序列、握手定理（Handshaking Lemma）及其推广，以及子图、同构的概念。 第八章：图的连通性与遍历 本章聚焦于图的结构特性。深入探讨了连通分量、割点（Articulation Points）和桥（Bridges）的概念，并介绍了寻找它们的高效算法（如基于DFS的算法）。随后，详细阐述了欧拉路径（Eulerian Paths）和哈密顿回路（Hamiltonian Cycles）存在的充要条件。对图的遍历算法——深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）——进行了严谨的描述，并分析了它们在图搜索和结构分析中的效率。 第九章：图的着色与平面图 本章讨论图的约束问题。图着色问题被详细介绍，包括色数（Chromatic Number）的定义和性质，特别是四色定理的背景介绍。重点分析了二分图的识别及其在匹配问题中的应用。接着，进入平面图理论，介绍了欧拉公式在连通平面图中的应用，并讲解了库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）——判断图是否可平面嵌入的充要条件，这对于VLSI设计和地图绘制等领域至关重要。 第十章：图的加权与最短路径 本章将图论与优化问题结合起来。首先定义了带权图和树的结构。详细介绍了生成树的概念，并对最小生成树（MST）的构造算法进行了深入分析，包括普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的机制、正确性证明和复杂度分析。最后，重点讲解了最短路径问题，包括解决单源最短路径的迪杰斯特拉（Dijkstra）算法以及处理负权边的贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法，并简要提及了多源最短路径的Floyd-Warshall算法。 --- 第四部分：代数结构基础与应用 本部分为理解更深层次的抽象代数和密码学等前沿领域奠定基础。 第十一章：代数结构概述 本章对离散结构中的代数概念进行初步介绍。定义了群（Group）的基本公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并探讨了子群、陪集和拉格朗日定理。虽然不求深入抽象代数，但群论的基本概念对于理解对称性、编码理论（如循环码）和基础密码学（如有限域）至关重要。本章将重点放在循环群和二面体群的具体例子上。 --- 学习目标与特色 本书旨在培养读者形式化思考的能力。每一章节的结构都遵循“定义 $ ightarrow$ 定理与性质 $ ightarrow$ 证明 $ ightarrow$ 应用实例”的模式。 1. 证明技能强化： 大量内置的范例证明（直接证明、反证法、构造法、反向/逆向归纳法），帮助读者掌握严谨的数学论证过程。 2. 算法关联性： 紧密结合图论与算法分析，例如，使用生成函数分析递归，用图论结构分析网络连通性。 3. 丰富的习题集： 习题难度梯度合理，涵盖了概念理解、技巧应用和开放性探究三类，确保读者能够将理论知识转化为解决实际问题的能力。 本书的深度和广度使其成为离散数学课程的理想教材，同时也是计算机科学、软件工程、电子工程以及应用数学领域研究人员的得力参考工具书。

评分☆☆☆☆☆

这本书《组合数学(第2版)》的质量，从其深度和广度上来说，都是非常出色的。我之前接触过一些组合数学的入门书籍，但往往在某些核心概念上不够深入，而这本书在这方面做得非常到位。例如，在讲到“斯特林数”时，作者不仅介绍了第一类和第二类斯特林数的定义，还深入探讨了它们之间的递推关系，以及在排列、划分等问题中的应用。我特别欣赏作者对“递推关系”的讲解，从最简单的斐波那契数列，到复杂的线性常系数递推关系，作者都给出了详细的求解方法，包括特征方程法、母函数法等，并且对每种方法的适用范围和局限性都做了清晰的说明。此外，书中关于“Burnside 引理”的应用也让我大开眼界，它与 Pólya 计数定理有异曲同工之妙，但在某些情况下更加普适。我记得书中有一个关于计算不同颜色的小球在球体上排列的例子，用 Burnside 引理来解决，真是妙不可言。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我拿到《组合数学(第2版)》这本书时，并没有抱太高的期待，因为我之前对组合数学的印象就是枯燥和抽象。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。它的语言风格非常亲切，作者像一位老朋友在和我交流。在处理一些经典的组合问题时，比如“卡特兰数”，作者并没有直接给出公式，而是通过“路径计数”、“括号匹配”等不同的角度去推导，让我深刻理解了卡特兰数的来源和意义。我特别喜欢书中关于“Ramsey 定理”的介绍，虽然这个定理听起来很哲学，但作者通过“生日问题”这样通俗的例子，将它与实际生活联系起来，让我觉得非常有趣。书中还包含了许多“证明技巧”的讲解，比如数学归纳法、反证法、构造法等，并且在讲解过程中穿插了大量的小练习，让我能够及时巩固所学。总而言之，这本书的魅力在于它的“人性化”，它让复杂的数学概念变得易于接受，并且在潜移默化中提升了读者的数学思维能力。

评分☆☆☆☆☆

初次翻阅这本《组合数学(第2版)》，我立刻被它严谨的逻辑和丰富的例证所吸引。书中的每一个概念都层层递进，从最基础的计数原理讲起，逐步深入到生成函数、图论、组合设计等更复杂的领域。让我印象深刻的是，作者在讲解过程中，并没有一味地堆砌公式，而是花了很多篇幅去解释这些公式背后的思想和直觉。例如，在介绍容斥原理时，作者通过一系列生动有趣的生活场景，比如分派任务、安排座位等，将抽象的原理变得直观易懂。我特别喜欢其中关于“鸽巢原理”的应用，它看似简单，却能解决许多看似棘手的问题，让我对数学的巧妙之处有了更深的体会。此外，书中还提供了大量的习题，难度适中，既能帮助巩固课堂知识，又能激发进一步探索的兴趣。很多习题的解答思路也非常精彩，值得反复揣摩。总体而言，这本书的编写风格非常适合初学者入门，它没有让读者感到畏惧，反而像一位耐心而博学的老师，引导着我们一步步走进组合数学的奇妙世界。

评分☆☆☆☆☆

这本《组合数学(第2版)》在内容编排上，给我的感觉是既全面又深入。作者在梳理完基本的组合计数技巧后，果断地引入了生成函数这一强大的工具。我之前对生成函数总觉得有些神秘，但通过本书的讲解，我才真正理解了它的威力。书中关于如何利用生成函数来解决递推关系、组合恒等式的问题，简直是点石成金。尤其是作者在解析复杂的生成函数时，会详细地展示如何通过泰勒展开、部分分式分解等方法来提取系数，这个过程的每一个细节都被清晰地呈现出来。我还会经常回看关于“二项式定理”和“多项式定理”的章节，它们是生成函数的基础，作者的讲解非常到位。另外，本书在图论部分也做了详尽的阐述，从图的基本概念、通路、连通性，到更高级的主题如匹配、染色问题，都有系统的介绍。我对于书中关于“平面图”的讨论特别感兴趣，作者通过生动的例子，展示了如何判断一个图是否是平面图，以及欧拉公式的应用，这让我对图的几何性质有了全新的认识。

评分☆☆☆☆☆

阅读《组合数学(第2版)》的过程，对我而言，更像是一次思维的训练。这本书的独特之处在于，它不仅仅是知识的传授，更是对解决问题能力的培养。作者在阐述每一个定理或结论时，都会预设一个问题场景，然后一步步地引导读者思考，如何运用已学的知识去解决。这种“引导式”的学习方式，让我觉得受益匪浅。我尤其喜欢书中关于“ Pólya 计数定理”的章节，这个定理在处理对称性问题时非常强大。作者通过计算旋转对称的项链、着色正方体等例子，将抽象的定理变得生动有趣，并且详细解释了如何构造 Pólya 计数定理的核心——“置换群”和“循环指标”。这让我明白了，组合数学不仅仅是数字的排列组合，更是一种逻辑思维的艺术。书中还有一些关于“组合设计”的章节，虽然相对前面部分更具挑战性，但作者的讲解依然清晰，并且给出了很多实际应用，比如在实验设计、编码理论等方面，这让我看到了组合数学的广阔前景。