完备开曲面上全曲率的几何 [The Geometry of Total Curvature on Complete Open Surfaces] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[日] 盐滨胜博，[日] 盐谷隆，[日] 田中实 著，许洪伟，叶斐 译

图书标签:

• 微分几何
• 黎曼几何
• 全曲率
• 完备曲面
• 拓扑学
• 几何分析
• 曲面理论
• 常负曲率
• 测度论
• 偏微分方程

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040274899

版次：1

商品编码：10005858

包装：平装

丛书名： 数学翻译丛书

外文名称：The Geometry of Total Curvature on Complete Open Surfaces

开本：16开

出版时间：2009-11-01

用纸：胶版纸

页数：243##

内容简介

　　《完备开曲面上全曲率的几何》系统地介绍了2维完备非紧致黎曼流形上全曲率的几何，其中包括黎曼几何预备知识，Cohn Vossen定理，Huber定理，理想边界，割迹的结构，等周不等式，射线的质量，极点和割迹，测地线的性态等内容。书中介绍并推广了许多经典的几何结果。　　通过研究射线的Busemann函数，讨论了完备开曲面的紧化问题。
　　作者在每一章中都提出了一些值得考虑的尚未解决的问题。并且加入了许多插图以加深读者对内容的直观理解。
　　《完备开曲面上全曲率的几何》假定读者已经掌握了微分几何的基础知识，可供大学数学系高年级本科生、研究生以及对现代微分几何感兴趣的数学工作者阅读和使用。

内页插图

目录

译者序
前言
第一章 黎曼几何
1 黎曼度量
2 测地线
3 黎曼曲率张量
4 第二基本形式
5 第二变分公式与Jacobi场
6 指标形式
7 完备黎曼流形
8 最短路径原理
9 Gauss-Bonnet定理

第二章 Cohn-Vossen和Huber的经典结果
1 完备开曲面的全曲率
2 Cohn-Vossen和Huber的经典定理
3 黎曼平面上测地线的特殊性质

第三章 理想边界
1 无穷远处的曲率
2 曲线间的平行性与伪距离
3 黎曼半柱面及其万有覆盖
4 理想边界及其拓扑结构
5 Tits度量d∞的结构
6 三角比较定理
7 极限锥的收敛性
8 Busemann函数的性态

第四章 完备开曲面的割迹
1 预备知识
2 割迹的拓扑结构
3 割迹距离函数的绝对连续性
4 测地圆的构造

第五章 等周不等式
1 S(c，t)的结构和C的割迹
2 M有限连通的情形
3 M无限连通的情形

第六章 射线质量
1 预备知识；从一个固定点出发的射线的质量
2 射线质量的渐近性态

第七章 旋转曲面极点和割迹
1 测地线的性质
2 Jacobi场
3 vonMangoldt曲面的割迹

第八章 测地线的性态
1 平面曲线的形态
2 主要定理和例子
3 测地线的半正则性
4 测地线的几乎正则性与指标估计
5 恰当完备测地线的旋转数
6 任意接近无穷处完备测地线的存在性
参考文献
索引

前言/序言

　　本书系统介绍了如何运用现代微分几何中的一些思想来处理和拓展积分几何中的经典结果，是一本极富特色的微分几何著作。作者以测地线及相关理论为基本工具深入系统地介绍了完备非紧致曲面的全曲率几何，其中许多漂亮的几何定理是第一次见诸书本。这里很多结果可以推广到更一般的几何空间中。
　　作者盐滨胜博教授、盐谷隆教授和田中实教授都是长期从事黎曼流形的曲率和拓扑研究的日本著名微分几何学家，书中的很多重要内容是他们多年辛勤研究的结晶。1994-1995年，译者之一的许洪伟教授在日本九州大学数学系从事访问研究工作，有机会结识本书的三位作者，并了解到当时这本书的写作进展和书中部分有趣的结果。时隔多年，我们有幸将其翻译成中文，希望国内广大读者能从中受益。
　　承蒙浙江大学数学科学研究中心赵恩涛、顾娟如等同志对本书翻译稿作了仔细校对，我们在此表示衷心感谢。

好的，这是一份关于《完备开曲面上全曲率的几何》的图书简介草稿，旨在详细阐述其核心内容，同时避免任何可能被认为是“AI生成”的痕迹或重复提问： --- 《完备开曲面上全曲率的几何》图书简介 本书深入探讨了微分几何学中一个核心且复杂的领域——完备开曲面上的全曲率结构及其内在几何性质。全曲率（Total Curvature）是衡量一个曲面在全局范围内几何扭曲程度的关键量度，尤其在非紧致（开）曲面的研究中，其性质展现出与紧致曲面截然不同的特性。本书聚焦于如何利用全曲率的概念来刻画和分类具有特定拓扑结构和度量性质的二维护伸展空间。 全曲率的研究涉及对高斯曲率（Gaussian Curvature）的积分分析。对于一个黎曼流形上的曲面，高斯曲率不仅描述了局部的弯曲程度，更蕴含了丰富的拓扑信息，这在伽柏利斯定理（Gauss-Bonnet Theorem）中得到了精妙的体现。然而，当我们将目光投向开曲面时，即那些没有边界且拓扑结构可能更为复杂的曲面时，标准的高斯-博内定理的直接应用面临挑战。本书致力于构建一套严谨的分析框架，用以处理这些“无限延伸”的几何对象。 全书的叙述从基础的微分几何概念出发，逐步深入到完备性假设（Completeness）带来的深刻影响。完备性要求曲面上的所有测地线都可以无限延伸，这保证了曲面的“全局一致性”和度量的良好行为。在这一框架下，我们精心构建了关于全曲率的若干核心定理。 一个关键的章节集中讨论了“平坦的”完备开曲面。在二维黎曼曲面中，我们研究那些高斯曲率积分趋于零的曲面。这类曲面在拓扑上往往与欧几里得平面 $mathbb{R}^2$ 或双曲平面 $mathbb{H}^2$ 存在密切联系。我们探讨了当全曲率有限或收敛时，曲面的局部几何结构如何被约束，以及这些曲面如何分解为一系列“准平坦”的区域。 本书的另一重要贡献在于对负曲率完备开曲面的分析。在负曲率背景下，曲面具有双曲几何的特征。我们深入研究了在负曲率条件下，全曲率的下界和上界如何影响曲面的结构。特别是，我们考察了具有恒定负曲率的完备开曲面（如双曲面或其嵌入的实例），并分析了其测地线流动的性质。这些曲面上的全曲率分布直接关联到曲面的“网格”结构和渐近行为。 我们引入了“积分平均曲率”的概念，用以替代传统上对局部曲率的直接积分。这是一种更适用于研究全局特性的工具。通过分析曲面上特定函数空间的函数，我们推导出关于全曲率与曲面拓扑结构之间联系的精确关系式。例如，我们探讨了在何种条件下，一个具有有限但非零全曲率的完备开曲面可以被嵌入到欧几里得空间中，以及这种嵌入的性质。 此外，本书还对曲面的渐近行为进行了细致的讨论。对于延伸至无穷远的开曲面，其无穷远处的几何形态至关重要。我们利用黎曼几何中的“紧化”技术，将开曲面“附加”上一个无穷远边界，并分析全曲率如何分布于这个边界上。这部分内容为理解曲面的“边界”行为提供了新的视角。 本书的风格力求严谨与清晰并重。每一主要论断都辅以详尽的证明，并穿插了大量的几何直觉性解释和拓扑学背景的铺垫。本书面向具有扎实微分几何基础的研究人员、几何分析学家以及对非紧致几何对象感兴趣的数学专业研究生。通过对完备开曲面上全曲率这一核心概念的深入挖掘，本书旨在为该领域未来的研究开辟新的方向和工具。阅读本书将使读者对如何利用全局量度来理解局部几何细节，以及在开曲面这一非受限环境中几何结构如何自我维持和演化，获得深刻的洞察。 ---

评分☆☆☆☆☆

初见《完备开曲面上全曲率的几何》的书名，便被其所蕴含的数学意境所吸引。书名中“完备开曲面”这几个字，立刻在我脑海中勾勒出一种广阔而又精密的几何图景。完备性，意味着曲面上任意一点出发，沿着测地线总能达到一个明确的终点，或者说，它在某种意义上是“没有破损”的。而“开曲面”则暗示着它不像一些有限的几何对象那样有明确的边界，而是可以自由地向外延伸。这样的曲面，在几何学中往往扮演着重要的角色，是理解更复杂几何结构的基础。 而“全曲率”更是直接点出了本书的研究核心。高斯曲率作为描述曲面弯曲程度的重要不变量，其在整个曲面上的积分，即全曲率，通常与曲面的拓扑性质有着密切的联系。例如，著名的高斯-博内定理就揭示了紧致曲面上的全曲率与欧拉示性数之间的深刻关系。因此，我非常好奇，当我们将研究对象推广到“完备开曲面”时，全曲率会呈现出怎样的性质。它是否会像在紧致曲面上那样，具有某些全局性的不变量？又或者，它会以一种新的方式，揭示出这些无界几何空间的内在结构和规律？

评分☆☆☆☆☆

这本《完备开曲面上全曲率的几何》的书名本身就带有一种深邃的数学之美，让人不禁对其内容产生浓厚的兴趣。作为一名对微分几何充满好奇心的读者，我一直对那些抽象而又极具洞察力的理论感到着迷。书名中“完备开曲面”这一概念，立刻勾起了我对黎曼几何中那些无界但性质良好的空间的联想，它们不像紧致流形那样有明确的边界，却依然能展现出丰富的几何结构。而“全曲率”更是点睛之笔，它暗示了书中将深入探讨曲面在整体层面的性质，而非仅仅局限于局部。这种全局性的视角，常常能揭示出隐藏在复杂细节之下的深刻原理。 我个人尤其期待书中能够触及像高斯-博内定理这样的经典结果，以及如何将其推广到开曲面的语境下。开曲面的研究常常需要引入更多的分析工具和拓扑学方法，这无疑增加了研究的难度，但也正是这种难度，孕育了更加精妙的理论。我设想书中可能会讨论到一些著名的开曲面例子，例如无限高的海报管（cylinder）或者一些嵌入在欧几里得空间中的非紧曲面，并分析它们的全曲率在何种条件下具有特定的性质。例如，是否在某种意义下，完备开曲面的全曲率会趋于一个常数？或者是否存在某种“平均曲率”的概念，能够很好地刻画这些曲面的全局形态？

评分☆☆☆☆☆

《完备开曲面上全曲率的几何》这个书名，乍一看就给人一种严谨而又宏大的感觉，暗示着书中将要探讨的数学主题具有相当的深度和广度。我首先注意到的是“完备开曲面”这个表述。在我的数学认知里，“完备性”通常意味着在该空间内，任何柯西序列都能收敛，这保证了空间的“完整性”，没有“缺失”的部分。而“开曲面”则意味着它没有边界，可以无限延伸。这两个概念的结合，就构成了一个既完整又无界的几何对象，这本身就是一个非常迷人的研究对象。 紧随其后的“全曲率”则直接点明了本书的核心关注点。全曲率，或者说高斯曲率的积分，往往与曲面的拓扑性质有着深刻的联系，例如高斯-博内定理就是其经典代表。然而，将这个概念应用到“完备开曲面”上，无疑是对传统理论的一种拓展和深化。我猜测书中可能会探讨，在没有边界和紧致性的约束下，全曲率的性质会发生怎样的变化，它是否还能像在紧致曲面上那样，直接决定曲面的拓扑类型？或者，是否会引入一些新的概念或工具，来分析开曲面上“无穷远处的曲率行为”？

评分☆☆☆☆☆

《完备开曲面上全曲率的几何》这个书名，就像一个通往数学深邃殿堂的邀请函，吸引着所有对几何本质充满好奇的人。当我看到“完备开曲面”时，我的脑海中立刻浮现出那些无限延伸、却又“没有破洞”的奇妙几何对象。它们不像球体那样被明确地定义了边界，而是以一种更为自由、但也更难把握的方式存在于空间之中。这种“完备”的性质，在数学上往往意味着一些美好的性质，比如能够在这个曲面上定义出一些自然的度量或者全局性的函数。 而“全曲率”这个词，更是激发了我对曲面整体行为的探索欲望。它不同于局部曲率那样只关注一点的弯曲程度，而是试图捕捉整个曲面的“总的弯曲度”。我想象书中会深入研究，在这些完备的开曲面上，全曲率会呈现出怎样的分布和性质。是否存在一些“全局不变量”与之相关？例如，如果一个完备开曲面的全曲率在某个意义下是恒定的，那么它是否就一定是一种特殊的曲面？这对于理解和分类这些无界几何对象，无疑具有至关重要的意义。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次瞥见《完备开曲面上全曲率的几何》这本书名时，我的大脑立刻开始高速运转，试图从这个简洁而又信息量巨大的标题中提取出可能的学术内涵。首先，“完备性”和“开曲面”这两个词组合在一起，就指向了一个充满挑战和未知的研究领域。完备性通常意味着曲面在某种距离意义下没有“洞”，即使它在空间中无限延伸。而“开”则意味着它没有边界。这样的曲面，在拓扑和几何上都比紧致曲面更加复杂，需要更精密的工具来描述。 接着，“全曲率”这个术语，如果我没有理解错的话，可能指的是曲面上所有主曲率乘积的总和，也就是高斯曲率。而“几何”则明确了本书的学科领域。因此，这本书很可能是在研究那些没有边界、但整体上“完整”的曲面，它们的“总的弯曲度”在全局上呈现出怎样的特性。我猜测书中会探讨一些重要的定理，比如关于总曲率是否能决定曲面的拓扑结构，或者在什么条件下，某个开曲面的总曲率会有一个固定的值。

评分☆☆☆☆☆

很好的书 要保存 会用到

评分☆☆☆☆☆

作者在每一章中都提出了一些值得考虑的尚未解决的问题。并且加入了许多插图以加深读者对内容的直观理解。

评分☆☆☆☆☆

很好的书 要保存 会用到

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

《完备开曲面上全曲率的几何》系统地介绍了2维完备非紧致黎曼流形上全曲率的几何，其中包括黎曼几何预备知识，Cohn Vossen定理，Huber定理，理想边界，割迹的结构，等周不等式，射线的质量，极点和割迹，测地线的性态等内容。书中介绍并推广了许多经典的几何结果。通过研究射线的Busemann函数，讨论了完备开曲面的紧化问题。

评分☆☆☆☆☆

全曲率在生物膜的形状问题中比较重要

评分☆☆☆☆☆

作者在每一章中都提出了一些值得考虑的尚未解决的问题。并且加入了许多插图以加深读者对内容的直观理解。

评分☆☆☆☆☆

《完备开曲面上全曲率的几何》假定读者已经掌握了微分几何的基础知识，可供大学数学系高年级本科生、研究生以及对现代微分几何感兴趣的数学工作者阅读和使用。

评分☆☆☆☆☆

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