西方數學文化理念傳播譯叢：高觀點下的初等數學（全3冊） [Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[德] 剋萊因 著，舒湘芹 等 譯

圖書標籤:

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• 西方數學
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• 數學思想
• 科普讀物

齣版社： 復旦大學齣版社

ISBN：9787309059823

版次：1

商品編碼：10083491

包裝：平裝

外文名稱：Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint

開本：32開

齣版時間：2008-09-01

用紙：膠版紙

頁數：286

字數：776000

正文語種：中文

內容簡介

　　菲利剋斯·剋萊因是19世紀末20世紀初世界有影響力的數學學派——哥廷根學派的創始人，他不僅是偉大的數學傢，也是現代國際數學教育的奠基人、傑齣的數學史傢和數學教育傢，在數學界享有崇高的聲譽和巨大的影響。

　　本書是剋萊因根據自己在哥廷根大學多年為德國中學數學教師及在校學生開設的講座所撰寫的基礎數學普及讀物。該書反映瞭他對數學的許多觀點，嚮人們生動地展示瞭一流大師的遺風，齣版後被譯成多種文字，是一部數學教育的不朽傑作，影響至今不衰。全書共分3捲。一捲：算術，代數、分析；第二捲：幾何；第三捲：精確數學與近似數學。

　　剋萊因認為函數為數學的”靈魂”。應該成為中學數學的“基石”，應該把算術、代數和幾何方麵的內容，通過幾何的形式用以函數為中心的觀念綜閤起來；強調要用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，主張加強函數和微積分的教學，改革和充實代數的內容，倡導”高觀點下的初等數學”意識。在剋萊因看來，一個數學教師的職責是：”應使學生瞭解數學並不是孤立的各門學問，而是一個有機的整體”；基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視。理解初等數學問題，隻有觀點高瞭，事物纔能顯得明瞭而簡單；一個稱職的教師應當掌握或瞭解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過。他認為”有關的每一個分支，原則上應看做是數學整體的代錶”，“有許多初等數學的現象隻有在非初等的理論結構內纔能深刻地理解”。

　　本書對我國從事數學學習和數學教育的廣大讀者具有較好的啓示作用，用本書譯者之一，我國數學傢、數學教育傢吳大任先生的話來說，”所有對數學有一定瞭解的人都可以從中獲得教益和啓發”，此書”至今讀來仍然感到十分親切。這是因為，其內容主要是基礎數學，其觀點蘊含著真理……”。

作者簡介

　　菲利剋斯·剋萊因是19世紀末20世紀初世界最有影響力的數學學派——哥廷根學派的創始人，他不僅是偉大的數學傢，也是現代國際數學教育的奠基人、傑齣的數學史傢和數學教育傢，在數學界享有崇高的聲譽和巨大的影響。

內頁插圖

精彩書評

　　教師應該具備更高的數學觀點。理由是，觀點越高，事物越顯得簡單。

　　《高觀點下的初等數學》一書，至今讀來仍然感到十分親切。這是因為，其內容主要是基礎數學，其觀點蘊含著真理，而當時德國數學教育中的不少問題，在今日之我國也仍然存在。剋萊因聲稱本書是為中學教師和成熟的大學生寫的，但按其內容，所有對數學有一定瞭解的人都可以從中獲得教益和啓發……現代數學已發生瞭極大變化，新成果、新概念、新觀點、新學科層齣不窮。我熱切希望我國高水平的數學多麵手會寫齣更結閤我國實際的、現代

目錄

第一捲 目錄
博洽內容獨特風格
——《高觀點下的初等數學》導讀 吳大任
紀念剋萊因
——介紹《高觀點下的初等數學》 齊民友
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第一部分 算術
第一章 自然數的運算
§1.1 學校裏數的概念的引入
§1.2 運算的基本定律
§1.3 整數運算的邏輯基礎

第二章 數的概念的第一個擴張
§2.1 負數
§2.2 分數
§2.3 無理數
第三章 關於整數的特殊性質

第四章 復數
§4.1 通常的復數
§4.2 高階復數，特彆是四元數
§4.3 四元數的乘法——鏇轉和伸展
§4.4 中學復數教學
附：關於數學的現代發展及一般結構

第二部分 代數
第五章 含實未知數的實方程
§5.1 含一個參數的方程
§5.2 含兩個參數的方程
§5.3 含3個參數λ，μ，ν的方程

第六章 復數域方程
§6.1 代數的基本定理
§6.2 含一個復參數的方程

第三部分 分析
第七章 對數函數與指數函數
§7.1 代數分析的係統討論
§7.2 理論的曆史發展
§7.3 中學裏的對數理論
§7.4 函數論的觀點

第八章 角函數
§8.1 角函數理論
§8.2 三角函數錶
§8.3 角函數的應用

第九章 關於無窮小演算本身
§9.1 無窮小演算中的一般考慮
§9.2 泰勒定理
§9.3 曆史的與教育學上的考慮

附錄
Ⅰ.數e和π的超越性
Ⅱ.集閤論

第二捲 目錄
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第四部分 最簡單的幾何流形
第十章 作為相對量的綫段、麵積與體積
第十一章 平麵上的格拉斯曼行列式原理
第十二章 格拉斯曼空間原理
第十三章 直角坐標變換下空間基本圖形的分類
第十四章 導齣的流形

第五部分 幾何變換
第十五章 仿射變換
第十六章 投影變換
第十七章 高階點變換
§17.1 反演變換
§17.2 某些較一般的映射投影
§17.3 最一般的可逆單值連續點變換

第十八章 空間元素改變而造成的變換
§18.1 對偶變換
§18.2 相切變換
§18.3 某些例子
第十九章 虛數理論

第六部分 幾何及其基礎的係統討論
第二十章 係統的討論
§20.1 幾何結構概述
§20.2 關於綫性代換的不變量理論
§20.3 不變量理論在幾何學上的應用
§20.4 凱萊原理和仿射幾何及度量幾何的係統化

第二十一章 幾何學基礎
§21.1 側重運動的平麵幾何體係
§21.2 度量幾何的另一種發展體係——平行公理的作用
§21.3 歐幾裏得的《幾何原本》

第三捲 目錄
譯者的話
第一版序
第三版序
前言
第七部分 實變函數及其在直角坐標下的錶示法
第二十二章 關於單個自變數x的闡釋
§22.1 經驗準確度與抽象準確度，現代實數概念
§22.2 精確數學與近似數學，純粹幾何中亦有此分野
§22.3 直觀與思維，從幾何的不同方麵說明
§22.4 用關於點集的兩個定理來闡明

第二十三章 單變數x的函數y＝f（x）
§23.1 函數的抽象確定和經驗確定（函數帶概念）
§23.2 關於空間直觀的引導作用
§23.3 自然規律的準確度（附關於物質構成的不同觀點）
§23.4 經驗麯綫的屬性：連通性、方嚮、麯率
§23.5 關於連續函數的柯西定義和經驗麯綫類似到什麼程度？
§23.6 連續函數的可積性
§23.7 關於最大值和最小值的存在定理
§23.8 4個廣義導數
§23.9 魏爾斯特拉斯不可微函數；它的形象概述
§23.10 魏爾斯特拉斯函數的不可微性
§23.11 “閤理”函數

第二十四章 函數的近似錶示
§24.1 用閤理函數近似錶示經驗麯綫
§24.2 用簡單解析式近似錶示閤理函數
§24.3 拉格朗日插值公式
§24.4 泰勒定理和泰勒級數
§24.5 用拉格朗日多項式近似錶示積分和導函數
§24.6 關於解析函數及其在闡釋自然中的作用
§24.7 用有盡三角級數插值法

第二十五章 進一步闡述函數的三角函數錶示
§25.1 經驗函數錶示中的誤差估計
§25.2 通過最小二乘法所得的三角級數插值
§25.3 調和分析儀
§25.4 三角級數舉例
§25.5 切比雪夫關於插值法的工作

第二十六章 二元函數
§26.1 連續性
§26.2 偏導次序的顛倒實例
§26.3 用球函數級數近似錶示球麵上的函數
§26.4 球函數在球麵上的值分布
§26.5 用有盡球函數級數作近似錶示的誤差估計

第八部分 平麵麯綫的自由幾何
第二十七章 從精確理論觀點討論平麵幾何
§27.1 關於點集的若乾定理
§27.2 通過對兩個或多個不相交圓的反演所産生的點集
§27.3 極限點集的性質
§27.4 二維連續統概念、一般麯綫概念
§27.5 覆蓋整個正方形的皮亞諾麯綫
§27.6 較狹義的麯綫概念：若當麯綫
§27.7 更狹義的麯綫概念：正則麯綫
§27.8 用正則理想麯綫近似錶示直觀麯綫
§27.9 理想麯綫的可感知性
§27.10 特殊理想麯綫：解析麯綫與代數麯綫，代數麯綫的格拉斯曼幾何産生法
§27.11 用理想圖形錶現經驗圖形；佩雷觀點

第二十八章 繼續從精確理論觀點討論平麵幾何
§28.1 對兩個相切圓的相繼反演
§28.2 對3個循環相切圓的相繼反演（“模圖形”）
§28.3 4個循環相切圓的標準款
§28.4 4個循環相切圓的一般款
§28.5 所得非解析麯綫的性質
§28.6 這整個論述的前提，韋龍尼斯的進一步理想化

第二十九章 轉入應用幾何：A. 測量學
§29.1 一切實際度量的不準確性，斯涅尼奧斯課題的實踐
§29.2 通過多餘的度量來確定準確度，最小二乘法的原則闡述
§29.3 近似計算，用關於球麵小三角形的勒讓德定理來說明
§29.4 地球參考橢麵上最短綫在測量學中的意義（附關於微分方程論的假設）
§29.5 關於水準麵及其實際測定

第三十章 續論應用幾何：B.作圖幾何
§30.1 關於作圖幾何中一種誤差理論的假設，用帕斯卡定理的作圖說明
§30.2 由經驗圖形推導理想麯綫性質的可能性
§30.3 對代數麯綫的應用，將要用到的關於代數的知識
§30.4 提齣所要證明的定理：w′＋2t″＝n（n－2）
§30.5 證明中將采用的連續性方法
§30.6 有與無二重點的Cn之間的轉化
§30.7 符閤定理的偶次麯綫舉例
§30.8 奇次麯綫的例子
§30.9 舉例說明證明中的連續性方法，證明的完成

第九部分 用作圖和模型錶現理想圖形
§1 無奇點撓麯綫，特殊地，C3的形狀（麯綫的投影及其切綫麯麵的平麵截綫）
§2 撓麯綫的7種奇點
§3 關於無奇點麯麵形狀的一般討論
§4 關於F3的二重點，特彆是它的二切麵重點和單切麵重點
§5 F3的形狀概述
呼籲： 通過觀察自然，不斷修訂傳統科學結論
人名譯名對照
譯後記

精彩書摘

　　第一部分 算術
　　第一章　自然數的運算
　　讓我們從算術的基礎即正整數的運算講起。就像以後各章一樣，我們先提齣中學裏是怎樣處理這些內容的，再講從高等數學觀點看它們意味著什麼。
　　1.1 學校裏數的概念的引入
　　我隻限於做一些簡單的提示。這將使你們迴憶起自己是怎樣學到數的概念的。我這樣講的目的，當然不是像中學講習班那樣，為瞭把你們領進教學之門，而僅僅是為瞭擺齣我們據以進行評論的材料。
　　教小孩學會整數的性質，學會整數的運算，再使他們徹底掌握，這是一個很難的問題，要他們下幾年的工夫，從小學一年級學到10歲或11歲。德國的教法也許用直觀和生成兩個詞來錶達最為確切。也就是說，整個數的概念結構是在熟悉的、具體的事物的基礎上逐步建立起來的，這與大學裏學習用的邏輯及係統方法恰成鮮明的對照。
　　這一部分教學內容可以大緻劃分如下：小學一後級整整一年都學整數1到20，前半學年從1學到10。整數最初齣現是用一個個點或一排排小孩熟悉的各種東西標上數字，然後用直觀法講授加法和乘法，使小孩牢記在心。
　　第二階段教整數1到100，引入阿拉伯數字，同時引入位製概念和十進製。附帶說說，“阿拉伯數字”這個名稱就像許許多多科學名稱一樣，是一個張冠李戴的名稱。發明這種記數的形式實際上是印度人，而不是阿拉伯人。第二階段的另一個主要目的是學會乘法錶，可以說必須要睡著瞭也背得齣5×7或3×8。當然學生要熟記乘法錶到這種程度，這隻有通過直觀的手段。支用具體的東西使學生搞清楚之後，纔能夠說有把握。

前言/序言

西方數學文化理念傳播譯叢：高觀點下的初等數學（全3冊） 叢書導言：跨越時代的數學洞察 “西方數學文化理念傳播譯叢”旨在架起東西方數學思想交流的橋梁，深入挖掘西方數學傳統中的核心理念、發展脈絡及其哲學意涵。本譯叢匯集瞭一批在世界數學史上具有裏程碑意義的著作，它們不僅是數學知識的載體，更是特定文化背景下人類理性精神的結晶。我們希望通過這些經典譯介，使國內讀者能夠從更宏觀、更深入的視角理解數學的本質、演變及其與人文科學的交織關係。 本叢書所選取的作品，往往要求作者具備深厚的數學功底和廣闊的文化視野，他們不僅精於演算，更善於從曆史、哲學和邏輯的高度審視數學的結構與美學。譯介的重點在於保留原著的學術嚴謹性與思想的深刻性，同時力求文字流暢、術語準確，以便更好地服務於高等院校的師生、科研人員以及所有對數學思想史感興趣的讀者。 分冊介紹：聚焦與深化 “高觀點下的初等數學”是本譯叢中的一套極其重要的係列，它通過對看似基礎的初等數學概念進行高屋建瓴的審視，揭示瞭這些概念背後蘊含的深刻數學結構和邏輯基礎。全書共三捲，每一捲都從不同的數學分支切入，將初等概念置於現代數學的框架下重新考察。 第一捲：算術與數論——從直感到公理的飛躍 本捲聚焦於自然數、整數、有理數乃至實數的構造與性質，但其視角遠非傳統的初等算術教學。作者以高度概括的方式，追溯瞭數的概念從古代的計數實踐到現代集閤論基礎的演變路徑。 主要內容概述： 1. 數的本源與公理化嘗試： 探討皮亞諾公理體係的建立及其對數學邏輯的深遠影響。分析如何從有限的幾個基本假設齣發，構建起無限的自然數集閤。這部分內容不僅涉及代數結構，更觸及瞭公理化方法論的哲學基礎。 2. 整數與域的構造： 詳細闡述瞭如何由自然數構造整數集，並通過等價關係定義有理數域。此處引入瞭抽象代數中“域”的概念，將初等分數運算提升至代數結構分析的層麵。 3. 可公度性與無理數： 深入分析瞭古希臘數學傢在處理邊長與對角綫關係時遇到的危機，即無理數的發現。本捲不再停留於“開平方”的計算，而是將其置於實數集的完備性問題中討論，解釋瞭戴德金截割或柯西序列等現代完備性論證方法的必要性。 4. 初等數論的結構洞察： 盡管名稱為“初等”，但對素數分布、同餘理論的討論，無不體現齣對數論深層結構的把握。例如，對歐幾裏得素數定理的早期猜想與證明思想的梳理，展示瞭如何用高級工具預見初等問題的復雜性。 本捲的價值在於，它將所有讀者熟知的加減乘除運算，還原為其最基礎的邏輯單元，使讀者理解“我們如何知道這些規則是成立的”，而非僅僅是“如何應用這些規則”。 第二捲：幾何學——從直觀到拓撲的連續統一 第二捲將目光投嚮幾何學，但其關注點並非歐幾裏得幾何的單純復習，而是從更廣闊的視角審視空間、圖形和度量的本質。本書旨在打破傳統教材中平麵幾何與立體幾何的壁壘，展示幾何學在不同維度和不同度量體係下的統一性。 主要內容概述： 1. 歐氏幾何的邏輯重建： 重新審視希爾伯特對歐氏幾何的公理化工作，強調其作為一門演繹科學的嚴密性。重點分析平行公設的不可替代性及其在非歐幾何發展中的曆史地位。 2. 非歐幾何的誕生與意義： 詳細解析瞭雙麯幾何和橢圓幾何的基本性質，不再將其視為“奇特的”替代品，而是作為與歐氏幾何並駕齊驅的、邏輯上同樣自洽的幾何體係。這引導讀者認識到幾何學的“真理”是依賴於其所采納的公理體係的。 3. 射影幾何的視角革命： 射影幾何在本書中占據重要地位，它揭示瞭透視學如何催生齣一種更基本、更不變的幾何性質——不依賴於長度和角度，隻依賴於點的連接關係。對對偶性原理的討論，體現瞭數學中深刻的對稱美。 4. 度量與變換： 幾何學的“高觀點”體現在對變換群的引入。通過李群（盡管可能不使用群論的術語，但其思想貫穿始終）的視角，分析剛體運動、相似變換等，將幾何的本質歸結為在特定變換群作用下保持不變的性質。 本捲的目標是使讀者認識到，我們日常所見的幾何隻是一個龐大的幾何傢族中的特例，理解幾何學的本質在於對空間結構和變換群的深刻洞察。 第三捲：函數與分析的萌芽——極限思想的哲學與應用 第三捲深入探討瞭現代分析學的基石——函數、極限與連續性，但其敘述方式避免瞭過早引入嚴格的$epsilon-delta$語言的繁瑣，而是首先從曆史和概念發展的角度，闡釋為何需要這些工具。 主要內容概述： 1. 從運動到變化率的描述： 迴溯微積分的起源，重點分析牛頓和萊布尼茨在處理瞬時速率和無窮小量時的直覺與睏境。本書強調，極限概念的引入正是為瞭剋服這些直覺上的不嚴謹性。 2. 序列與級數： 對無窮序列的收斂性進行概念性闡述，而非純粹的計算練習。討論無窮級數的和的意義，以及它如何成為連接離散世界與連續世界的橋梁。對收斂半徑的討論，預示著冪級數和函數展開的強大威力。 3. 連續性的本質： 分析函數連續性的幾何直觀與邏輯定義之間的差異。探討函數在不同點集的性質（如一緻連續性），並將其置於實數完備性的背景下理解，即為何需要“沒有空隙”的數軸。 4. 初步的拓撲思維： 在討論函數性質時，本書悄然引入瞭開集、閉集等拓撲概念的萌芽，展示瞭如何用鄰域和聚集點的概念來統一描述收斂、連續和緊緻性等看似分散的概念。 本捲的精髓在於，它將“初等微積分”中的計算技巧，升華為對變化率、無窮逼近以及函數行為的深刻理解，為讀者未來學習實分析和拓撲學打下堅實的、具有哲學深度的基礎。 譯者寄語：智識的旅行 本叢書的整體目標是提供一種“自上而下”的數學教育體驗。它要求讀者放下對“標準答案”的執著，轉而擁抱數學傢在探索真理過程中所經曆的睏惑、頓悟與邏輯的構建。閱讀這三捲本，如同站在巨人肩上，重新審視那些被我們視為理所當然的數學基石，感受西方數學文化中那種永不滿足於錶象、執著於底層邏輯的探索精神。它不是一本解題手冊，而是一部數學思想的導覽圖。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計簡直是視覺上的享受。拿到手時，那種沉甸甸的質感和恰到好處的重量感，立刻讓人感受到其中蘊含的知識的厚重。封麵設計非常簡潔大氣，采用瞭深沉的色調，配上精緻的燙金字體，散發齣一種古典而又現代的學術氣息。內頁的紙張選擇也非常考究，觸感溫潤，印刷清晰細膩，字裏行間都沒有齣現模糊或重影的情況，閱讀起來非常舒適，長時間翻閱也不會感到眼睛疲勞。排版布局也做得十分用心，圖文穿插得恰到好處，那些復雜的數學公式和圖錶被清晰地分隔在不同的區域，既保證瞭閱讀的流暢性，又不會讓讀者感到信息過載。可以說，光是捧著這本書，就已經是一種對知識的尊重和享受瞭。這本書的裝幀本身，就已經值迴票價，它成功地將嚴謹的學術內容與優雅的藝術形式完美結閤。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期關注數學教育的愛好者，我對這本書中蘊含的教育理念深感認同。它超越瞭傳統應試教育的窠臼，著力於培養讀者的“數學直覺”和“數學審美”。作者非常注重曆史背景的交代，他讓我們明白，每一個數學概念的産生都不是偶然的，而是人類智慧在特定曆史條件下不斷試錯和探索的結果。通過這種方式，我們不僅學到瞭“是什麼”，更重要的是理解瞭“為什麼是這樣”。這種強調理解而非死記硬背的教學方法，對於塑造未來一代的數學思維至關重要。它鼓勵讀者主動思考，質疑既有結論，培養齣真正的批判性思維能力，而不僅僅是成為一個計算的機器。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構安排堪稱教科書級彆的典範。它並非簡單的知識點堆砌，而是遵循著一種嚴密的邏輯遞進關係，層層深入，步步為營。每一章節的開頭都會設定一個引人深思的問題，然後作者會帶著讀者一步步去拆解和解決它，整個過程充滿瞭探索的樂趣。章節之間的過渡極其自然流暢，前一個知識點的結論往往成為下一個挑戰的基石，形成瞭一個緊密的知識網絡。這種結構不僅方便瞭讀者對知識點的梳理和記憶，更重要的是，它培養瞭讀者一種係統性的思維方式，讓我們學會如何從宏觀到微觀，構建起完整的數學認知框架。對於想要係統學習某一數學分支的讀者來說，這本書無疑提供瞭一個極佳的導覽圖。

評分☆☆☆☆☆

這本書帶來的最大收獲，或許在於它極大地拓展瞭我對“數學”這個詞的理解邊界。在過去，我可能更多地將數學等同於計算和解題，但閱讀此書後，我開始認識到數學更深層次的文化內涵和哲學意蘊。它不再僅僅是一門工具學科，而是一種觀察世界、理解真理的獨特視角。作者成功地將數學置於人類文明的宏大敘事中進行考察，展示瞭它如何與哲學、藝術、科學等領域相互滲透、共同演進。這種全景式的視野，讓我對數學産生瞭更深層次的敬意，它不僅是邏輯的藝術，更是人類理性探索精神的集中體現。閱讀完畢後，我感覺自己的思維框架被重塑瞭，對許多曾經睏惑的問題都有瞭全新的體悟。

評分☆☆☆☆☆

我特彆欣賞作者在闡述問題時所采用的那種深入淺齣的敘事方式。他似乎有一種魔力，能夠將那些看似高深莫測的數學概念，用一種極其直觀和富有啓發性的語言娓娓道來。閱讀過程中，我常常會有一種豁然開朗的感覺，仿佛原本濛著一層薄霧的數學世界，一下子變得清晰起來。作者不僅僅是在羅列公式和定理，更是在引導我們去理解這些概念背後的思想脈絡和曆史發展。他會不時地穿插一些典故或者類比，讓抽象的知識變得生動起來，仿佛麵前不再是枯燥的符號，而是充滿智慧的對話。這種敘述風格，極大地降低瞭閱讀的門檻，讓一個對高等數學有些敬畏的讀者也能從中汲取到養分，感受到數學的魅力所在。

評分☆☆☆☆☆

好書，高中生看一下，學點東西

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