西方数学文化理念传播译丛：高观点下的初等数学（全3册） [Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[德] 克莱因 著，舒湘芹 等 译

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• 西方数学
• 数学哲学
• 数学思想
• 科普读物

出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309059823

版次：1

商品编码：10083491

包装：平装

外文名称：Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint

开本：32开

出版时间：2008-09-01

用纸：胶版纸

页数：286

字数：776000

正文语种：中文

内容简介

　　菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。

　　本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。

　　克莱因认为函数为数学的”灵魂”。应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导”高观点下的初等数学”意识。在克莱因看来，一个数学教师的职责是：”应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”；基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视。理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。他认为”有关的每一个分支，原则上应看做是数学整体的代表”，“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”。

　　本书对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，用本书译者之一，我国数学家、数学教育家吴大任先生的话来说，”所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发”，此书”至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理……”。

作者简介

　　菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。

内页插图

精彩书评

　　教师应该具备更高的数学观点。理由是，观点越高，事物越显得简单。

　　《高观点下的初等数学》一书，至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理，而当时德国数学教育中的不少问题，在今日之我国也仍然存在。克莱因声称本书是为中学教师和成熟的大学生写的，但按其内容，所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发……现代数学已发生了极大变化，新成果、新概念、新观点、新学科层出不穷。我热切希望我国高水平的数学多面手会写出更结合我国实际的、现代

目录

第一卷 目录
博洽内容独特风格
——《高观点下的初等数学》导读 吴大任
纪念克莱因
——介绍《高观点下的初等数学》 齐民友
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第一部分 算术
第一章 自然数的运算
§1.1 学校里数的概念的引入
§1.2 运算的基本定律
§1.3 整数运算的逻辑基础

第二章 数的概念的第一个扩张
§2.1 负数
§2.2 分数
§2.3 无理数
第三章 关于整数的特殊性质

第四章 复数
§4.1 通常的复数
§4.2 高阶复数，特别是四元数
§4.3 四元数的乘法——旋转和伸展
§4.4 中学复数教学
附：关于数学的现代发展及一般结构

第二部分 代数
第五章 含实未知数的实方程
§5.1 含一个参数的方程
§5.2 含两个参数的方程
§5.3 含3个参数λ，μ，ν的方程

第六章 复数域方程
§6.1 代数的基本定理
§6.2 含一个复参数的方程

第三部分 分析
第七章 对数函数与指数函数
§7.1 代数分析的系统讨论
§7.2 理论的历史发展
§7.3 中学里的对数理论
§7.4 函数论的观点

第八章 角函数
§8.1 角函数理论
§8.2 三角函数表
§8.3 角函数的应用

第九章 关于无穷小演算本身
§9.1 无穷小演算中的一般考虑
§9.2 泰勒定理
§9.3 历史的与教育学上的考虑

附录
Ⅰ.数e和π的超越性
Ⅱ.集合论

第二卷 目录
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第四部分 最简单的几何流形
第十章 作为相对量的线段、面积与体积
第十一章 平面上的格拉斯曼行列式原理
第十二章 格拉斯曼空间原理
第十三章 直角坐标变换下空间基本图形的分类
第十四章 导出的流形

第五部分 几何变换
第十五章 仿射变换
第十六章 投影变换
第十七章 高阶点变换
§17.1 反演变换
§17.2 某些较一般的映射投影
§17.3 最一般的可逆单值连续点变换

第十八章 空间元素改变而造成的变换
§18.1 对偶变换
§18.2 相切变换
§18.3 某些例子
第十九章 虚数理论

第六部分 几何及其基础的系统讨论
第二十章 系统的讨论
§20.1 几何结构概述
§20.2 关于线性代换的不变量理论
§20.3 不变量理论在几何学上的应用
§20.4 凯莱原理和仿射几何及度量几何的系统化

第二十一章 几何学基础
§21.1 侧重运动的平面几何体系
§21.2 度量几何的另一种发展体系——平行公理的作用
§21.3 欧几里得的《几何原本》

第三卷 目录
译者的话
第一版序
第三版序
前言
第七部分 实变函数及其在直角坐标下的表示法
第二十二章 关于单个自变数x的阐释
§22.1 经验准确度与抽象准确度，现代实数概念
§22.2 精确数学与近似数学，纯粹几何中亦有此分野
§22.3 直观与思维，从几何的不同方面说明
§22.4 用关于点集的两个定理来阐明

第二十三章 单变数x的函数y＝f（x）
§23.1 函数的抽象确定和经验确定（函数带概念）
§23.2 关于空间直观的引导作用
§23.3 自然规律的准确度（附关于物质构成的不同观点）
§23.4 经验曲线的属性：连通性、方向、曲率
§23.5 关于连续函数的柯西定义和经验曲线类似到什么程度？
§23.6 连续函数的可积性
§23.7 关于最大值和最小值的存在定理
§23.8 4个广义导数
§23.9 魏尔斯特拉斯不可微函数；它的形象概述
§23.10 魏尔斯特拉斯函数的不可微性
§23.11 “合理”函数

第二十四章 函数的近似表示
§24.1 用合理函数近似表示经验曲线
§24.2 用简单解析式近似表示合理函数
§24.3 拉格朗日插值公式
§24.4 泰勒定理和泰勒级数
§24.5 用拉格朗日多项式近似表示积分和导函数
§24.6 关于解析函数及其在阐释自然中的作用
§24.7 用有尽三角级数插值法

第二十五章 进一步阐述函数的三角函数表示
§25.1 经验函数表示中的误差估计
§25.2 通过最小二乘法所得的三角级数插值
§25.3 调和分析仪
§25.4 三角级数举例
§25.5 切比雪夫关于插值法的工作

第二十六章 二元函数
§26.1 连续性
§26.2 偏导次序的颠倒实例
§26.3 用球函数级数近似表示球面上的函数
§26.4 球函数在球面上的值分布
§26.5 用有尽球函数级数作近似表示的误差估计

第八部分 平面曲线的自由几何
第二十七章 从精确理论观点讨论平面几何
§27.1 关于点集的若干定理
§27.2 通过对两个或多个不相交圆的反演所产生的点集
§27.3 极限点集的性质
§27.4 二维连续统概念、一般曲线概念
§27.5 覆盖整个正方形的皮亚诺曲线
§27.6 较狭义的曲线概念：若当曲线
§27.7 更狭义的曲线概念：正则曲线
§27.8 用正则理想曲线近似表示直观曲线
§27.9 理想曲线的可感知性
§27.10 特殊理想曲线：解析曲线与代数曲线，代数曲线的格拉斯曼几何产生法
§27.11 用理想图形表现经验图形；佩雷观点

第二十八章 继续从精确理论观点讨论平面几何
§28.1 对两个相切圆的相继反演
§28.2 对3个循环相切圆的相继反演（“模图形”）
§28.3 4个循环相切圆的标准款
§28.4 4个循环相切圆的一般款
§28.5 所得非解析曲线的性质
§28.6 这整个论述的前提，韦龙尼斯的进一步理想化

第二十九章 转入应用几何：A. 测量学
§29.1 一切实际度量的不准确性，斯涅尼奥斯课题的实践
§29.2 通过多余的度量来确定准确度，最小二乘法的原则阐述
§29.3 近似计算，用关于球面小三角形的勒让德定理来说明
§29.4 地球参考椭面上最短线在测量学中的意义（附关于微分方程论的假设）
§29.5 关于水准面及其实际测定

第三十章 续论应用几何：B.作图几何
§30.1 关于作图几何中一种误差理论的假设，用帕斯卡定理的作图说明
§30.2 由经验图形推导理想曲线性质的可能性
§30.3 对代数曲线的应用，将要用到的关于代数的知识
§30.4 提出所要证明的定理：w′＋2t″＝n（n－2）
§30.5 证明中将采用的连续性方法
§30.6 有与无二重点的Cn之间的转化
§30.7 符合定理的偶次曲线举例
§30.8 奇次曲线的例子
§30.9 举例说明证明中的连续性方法，证明的完成

第九部分 用作图和模型表现理想图形
§1 无奇点挠曲线，特殊地，C3的形状（曲线的投影及其切线曲面的平面截线）
§2 挠曲线的7种奇点
§3 关于无奇点曲面形状的一般讨论
§4 关于F3的二重点，特别是它的二切面重点和单切面重点
§5 F3的形状概述
呼吁： 通过观察自然，不断修订传统科学结论
人名译名对照
译后记

精彩书摘

　　第一部分 算术
　　第一章　自然数的运算
　　让我们从算术的基础即正整数的运算讲起。就像以后各章一样，我们先提出中学里是怎样处理这些内容的，再讲从高等数学观点看它们意味着什么。
　　1.1 学校里数的概念的引入
　　我只限于做一些简单的提示。这将使你们回忆起自己是怎样学到数的概念的。我这样讲的目的，当然不是像中学讲习班那样，为了把你们领进教学之门，而仅仅是为了摆出我们据以进行评论的材料。
　　教小孩学会整数的性质，学会整数的运算，再使他们彻底掌握，这是一个很难的问题，要他们下几年的工夫，从小学一年级学到10岁或11岁。德国的教法也许用直观和生成两个词来表达最为确切。也就是说，整个数的概念结构是在熟悉的、具体的事物的基础上逐步建立起来的，这与大学里学习用的逻辑及系统方法恰成鲜明的对照。
　　这一部分教学内容可以大致划分如下：小学一后级整整一年都学整数1到20，前半学年从1学到10。整数最初出现是用一个个点或一排排小孩熟悉的各种东西标上数字，然后用直观法讲授加法和乘法，使小孩牢记在心。
　　第二阶段教整数1到100，引入阿拉伯数字，同时引入位制概念和十进制。附带说说，“阿拉伯数字”这个名称就像许许多多科学名称一样，是一个张冠李戴的名称。发明这种记数的形式实际上是印度人，而不是阿拉伯人。第二阶段的另一个主要目的是学会乘法表，可以说必须要睡着了也背得出5×7或3×8。当然学生要熟记乘法表到这种程度，这只有通过直观的手段。支用具体的东西使学生搞清楚之后，才能够说有把握。

前言/序言

西方数学文化理念传播译丛：高观点下的初等数学（全3册） 丛书导言：跨越时代的数学洞察 “西方数学文化理念传播译丛”旨在架起东西方数学思想交流的桥梁，深入挖掘西方数学传统中的核心理念、发展脉络及其哲学意涵。本译丛汇集了一批在世界数学史上具有里程碑意义的著作，它们不仅是数学知识的载体，更是特定文化背景下人类理性精神的结晶。我们希望通过这些经典译介，使国内读者能够从更宏观、更深入的视角理解数学的本质、演变及其与人文科学的交织关系。 本丛书所选取的作品，往往要求作者具备深厚的数学功底和广阔的文化视野，他们不仅精于演算，更善于从历史、哲学和逻辑的高度审视数学的结构与美学。译介的重点在于保留原著的学术严谨性与思想的深刻性，同时力求文字流畅、术语准确，以便更好地服务于高等院校的师生、科研人员以及所有对数学思想史感兴趣的读者。 分册介绍：聚焦与深化 “高观点下的初等数学”是本译丛中的一套极其重要的系列，它通过对看似基础的初等数学概念进行高屋建瓴的审视，揭示了这些概念背后蕴含的深刻数学结构和逻辑基础。全书共三卷，每一卷都从不同的数学分支切入，将初等概念置于现代数学的框架下重新考察。 第一卷：算术与数论——从直感到公理的飞跃 本卷聚焦于自然数、整数、有理数乃至实数的构造与性质，但其视角远非传统的初等算术教学。作者以高度概括的方式，追溯了数的概念从古代的计数实践到现代集合论基础的演变路径。 主要内容概述： 1. 数的本源与公理化尝试： 探讨皮亚诺公理体系的建立及其对数学逻辑的深远影响。分析如何从有限的几个基本假设出发，构建起无限的自然数集合。这部分内容不仅涉及代数结构，更触及了公理化方法论的哲学基础。 2. 整数与域的构造： 详细阐述了如何由自然数构造整数集，并通过等价关系定义有理数域。此处引入了抽象代数中“域”的概念，将初等分数运算提升至代数结构分析的层面。 3. 可公度性与无理数： 深入分析了古希腊数学家在处理边长与对角线关系时遇到的危机，即无理数的发现。本卷不再停留于“开平方”的计算，而是将其置于实数集的完备性问题中讨论，解释了戴德金截割或柯西序列等现代完备性论证方法的必要性。 4. 初等数论的结构洞察： 尽管名称为“初等”，但对素数分布、同余理论的讨论，无不体现出对数论深层结构的把握。例如，对欧几里得素数定理的早期猜想与证明思想的梳理，展示了如何用高级工具预见初等问题的复杂性。 本卷的价值在于，它将所有读者熟知的加减乘除运算，还原为其最基础的逻辑单元，使读者理解“我们如何知道这些规则是成立的”，而非仅仅是“如何应用这些规则”。 第二卷：几何学——从直观到拓扑的连续统一 第二卷将目光投向几何学，但其关注点并非欧几里得几何的单纯复习，而是从更广阔的视角审视空间、图形和度量的本质。本书旨在打破传统教材中平面几何与立体几何的壁垒，展示几何学在不同维度和不同度量体系下的统一性。 主要内容概述： 1. 欧氏几何的逻辑重建： 重新审视希尔伯特对欧氏几何的公理化工作，强调其作为一门演绎科学的严密性。重点分析平行公设的不可替代性及其在非欧几何发展中的历史地位。 2. 非欧几何的诞生与意义： 详细解析了双曲几何和椭圆几何的基本性质，不再将其视为“奇特的”替代品，而是作为与欧氏几何并驾齐驱的、逻辑上同样自洽的几何体系。这引导读者认识到几何学的“真理”是依赖于其所采纳的公理体系的。 3. 射影几何的视角革命： 射影几何在本书中占据重要地位，它揭示了透视学如何催生出一种更基本、更不变的几何性质——不依赖于长度和角度，只依赖于点的连接关系。对对偶性原理的讨论，体现了数学中深刻的对称美。 4. 度量与变换： 几何学的“高观点”体现在对变换群的引入。通过李群（尽管可能不使用群论的术语，但其思想贯穿始终）的视角，分析刚体运动、相似变换等，将几何的本质归结为在特定变换群作用下保持不变的性质。 本卷的目标是使读者认识到，我们日常所见的几何只是一个庞大的几何家族中的特例，理解几何学的本质在于对空间结构和变换群的深刻洞察。 第三卷：函数与分析的萌芽——极限思想的哲学与应用 第三卷深入探讨了现代分析学的基石——函数、极限与连续性，但其叙述方式避免了过早引入严格的$epsilon-delta$语言的繁琐，而是首先从历史和概念发展的角度，阐释为何需要这些工具。 主要内容概述： 1. 从运动到变化率的描述： 回溯微积分的起源，重点分析牛顿和莱布尼茨在处理瞬时速率和无穷小量时的直觉与困境。本书强调，极限概念的引入正是为了克服这些直觉上的不严谨性。 2. 序列与级数： 对无穷序列的收敛性进行概念性阐述，而非纯粹的计算练习。讨论无穷级数的和的意义，以及它如何成为连接离散世界与连续世界的桥梁。对收敛半径的讨论，预示着幂级数和函数展开的强大威力。 3. 连续性的本质： 分析函数连续性的几何直观与逻辑定义之间的差异。探讨函数在不同点集的性质（如一致连续性），并将其置于实数完备性的背景下理解，即为何需要“没有空隙”的数轴。 4. 初步的拓扑思维： 在讨论函数性质时，本书悄然引入了开集、闭集等拓扑概念的萌芽，展示了如何用邻域和聚集点的概念来统一描述收敛、连续和紧致性等看似分散的概念。 本卷的精髓在于，它将“初等微积分”中的计算技巧，升华为对变化率、无穷逼近以及函数行为的深刻理解，为读者未来学习实分析和拓扑学打下坚实的、具有哲学深度的基础。 译者寄语：智识的旅行 本丛书的整体目标是提供一种“自上而下”的数学教育体验。它要求读者放下对“标准答案”的执着，转而拥抱数学家在探索真理过程中所经历的困惑、顿悟与逻辑的构建。阅读这三卷本，如同站在巨人肩上，重新审视那些被我们视为理所当然的数学基石，感受西方数学文化中那种永不满足于表象、执着于底层逻辑的探索精神。它不是一本解题手册，而是一部数学思想的导览图。

评分☆☆☆☆☆

这本书带来的最大收获，或许在于它极大地拓展了我对“数学”这个词的理解边界。在过去，我可能更多地将数学等同于计算和解题，但阅读此书后，我开始认识到数学更深层次的文化内涵和哲学意蕴。它不再仅仅是一门工具学科，而是一种观察世界、理解真理的独特视角。作者成功地将数学置于人类文明的宏大叙事中进行考察，展示了它如何与哲学、艺术、科学等领域相互渗透、共同演进。这种全景式的视野，让我对数学产生了更深层次的敬意，它不仅是逻辑的艺术，更是人类理性探索精神的集中体现。阅读完毕后，我感觉自己的思维框架被重塑了，对许多曾经困惑的问题都有了全新的体悟。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排堪称教科书级别的典范。它并非简单的知识点堆砌，而是遵循着一种严密的逻辑递进关系，层层深入，步步为营。每一章节的开头都会设定一个引人深思的问题，然后作者会带着读者一步步去拆解和解决它，整个过程充满了探索的乐趣。章节之间的过渡极其自然流畅，前一个知识点的结论往往成为下一个挑战的基石，形成了一个紧密的知识网络。这种结构不仅方便了读者对知识点的梳理和记忆，更重要的是，它培养了读者一种系统性的思维方式，让我们学会如何从宏观到微观，构建起完整的数学认知框架。对于想要系统学习某一数学分支的读者来说，这本书无疑提供了一个极佳的导览图。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期关注数学教育的爱好者，我对这本书中蕴含的教育理念深感认同。它超越了传统应试教育的窠臼，着力于培养读者的“数学直觉”和“数学审美”。作者非常注重历史背景的交代，他让我们明白，每一个数学概念的产生都不是偶然的，而是人类智慧在特定历史条件下不断试错和探索的结果。通过这种方式，我们不仅学到了“是什么”，更重要的是理解了“为什么是这样”。这种强调理解而非死记硬背的教学方法，对于塑造未来一代的数学思维至关重要。它鼓励读者主动思考，质疑既有结论，培养出真正的批判性思维能力，而不仅仅是成为一个计算的机器。

评分☆☆☆☆☆

我特别欣赏作者在阐述问题时所采用的那种深入浅出的叙事方式。他似乎有一种魔力，能够将那些看似高深莫测的数学概念，用一种极其直观和富有启发性的语言娓娓道来。阅读过程中，我常常会有一种豁然开朗的感觉，仿佛原本蒙着一层薄雾的数学世界，一下子变得清晰起来。作者不仅仅是在罗列公式和定理，更是在引导我们去理解这些概念背后的思想脉络和历史发展。他会不时地穿插一些典故或者类比，让抽象的知识变得生动起来，仿佛面前不再是枯燥的符号，而是充满智慧的对话。这种叙述风格，极大地降低了阅读的门槛，让一个对高等数学有些敬畏的读者也能从中汲取到养分，感受到数学的魅力所在。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简直是视觉上的享受。拿到手时，那种沉甸甸的质感和恰到好处的重量感，立刻让人感受到其中蕴含的知识的厚重。封面设计非常简洁大气，采用了深沉的色调，配上精致的烫金字体，散发出一种古典而又现代的学术气息。内页的纸张选择也非常考究，触感温润，印刷清晰细腻，字里行间都没有出现模糊或重影的情况，阅读起来非常舒适，长时间翻阅也不会感到眼睛疲劳。排版布局也做得十分用心，图文穿插得恰到好处，那些复杂的数学公式和图表被清晰地分隔在不同的区域，既保证了阅读的流畅性，又不会让读者感到信息过载。可以说，光是捧着这本书，就已经是一种对知识的尊重和享受了。这本书的装帧本身，就已经值回票价，它成功地将严谨的学术内容与优雅的艺术形式完美结合。

评分☆☆☆☆☆

好用～～～～～～～～～～

评分☆☆☆☆☆

东西还不错，就是一本书角有点磕碰。也难免。不错。

评分☆☆☆☆☆

换个角度看数学！

评分☆☆☆☆☆

很好的一套书，不过观点太高，我知识能力有限，看不懂

评分☆☆☆☆☆

别人推荐的书，确实不错。了解了很多以前不知道的知识。

评分☆☆☆☆☆

值得拥有

评分☆☆☆☆☆

这明显就是二手货，外面的塑料包装完全是破的，既便差评不给京豆，也一定要给你们差评

评分☆☆☆☆☆

不错！不错！不错！不错！

评分☆☆☆☆☆

的确很好，有的知识点回忆起来还是很特别。