黎曼幾何 [Riemannian Geometry] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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☆☆☆☆☆

[葡] 卡莫 著

圖書標籤:

• 數學
• 幾何學
• 黎曼幾何
• 微分幾何
• 拓撲學
• 流形
• 張量分析
• 廣義相對論
• 數學物理
• 高等數學

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787506292184

版次：1

商品編碼：10096470

包裝：平裝

外文名稱：Riemannian Geometry

開本：24開

齣版時間：2008-05-01

用紙：膠版紙

頁數：300

正文語種：英語

編輯推薦

　　《黎曼幾何》非常值得一讀。

內容簡介

　　The object of this book is to familiarize the reader with the basic language of and some fundamental theorems in Riemannian Geometry. To avoid referring to previous knowledge of differentiable manifolds， we include Chapter 0， which contains those concepts and results on differentiable manifolds which are used in an essential way in the rest of the book。
　　The first four chapters of the book present the basic concepts of Riemannian Geometry (Riemannian metrics， Riemannian connections， geodesics and curvature). A good part of the study of Riemannian Geometry consists of understanding the relationship between geodesics and curvature. Jacobi fields， an essential tool for this understanding， are introduced in Chapter 5. In Chapter 6 we introduce the second fundamental form associated with an isometric immersion， and prove a generalization of the Theorem Egregium of Gauss. This allows us to relate the notion of curvature in Riemannian manifolds to the classical concept of Gaussian curvature for surfaces。

內頁插圖

目錄

Preface to the first edition
Preface to the second edition
Preface to the English edition
How to use this book
CHAPTER 0-DIFFERENTIABLE MANIFOLDS
1. Introduction
2. Differentiable manifolds；tangent space
3. Immersions and embeddings；examples
4. Other examples of manifolds，Orientation
5. Vector fields； brackets，Topology of manifolds

CHAPTER 1-RIEMANNIAN METRICS
1. Introduction
2. Riemannian Metrics

CHAPTER 2-AFFINE CONNECTIONS；RIEMANNIAN CONNECTIONS
1. Introduction
2. Affine connections
3. Riemannian connections

CHAPTER 3-GEODESICS；CONVEX NEIGHBORHOODS
1．Introduction
2．The geodesic flow
3．Minimizing properties ofgeodesics
4．Convex neighborhoods

CHAPTER 4-CURVATURE
1．Introduction
2．Curvature
3．Sectional curvature
4．Ricci curvature and 8calar curvature
5．Tensors 0n Riemannian manifoids

CHAPTER 5-JACOBI FIELDS
1．Introduction
2．The Jacobi equation
3．Conjugate points

CHAPTER 6-ISOMETRIC IMMERSl0NS
1．Introduction．
2．The second fundamental form
3．The fundarnental equations

CHAPTER 7-COMPLETE MANIFoLDS；HOPF-RINOW AND HADAMARD THEOREMS
1．Introduction．
2．Complete manifolds；Hopf-Rinow Theorem．
3．The Theorem of Hadamazd．

CHAPTER 8-SPACES 0F CONSTANT CURVATURE
1．Introduction
2．Theorem of Cartan on the determination ofthe metric by mebns of the　curvature．
3．Hyperbolic space
4．Space forms
5．Isometries ofthe hyperbolic space；Theorem ofLiouville

CHAPTER 9一VARIATl0NS 0F ENERGY
1．Introduction．
2．Formulas for the first and second variations of enezgy
3．The theorems of Bonnet—Myers and of Synge-WeipJtein

CHAPTER 10-THE RAUCH COMPARISON THEOREM
1．Introduction
2．Ttle Theorem of Rauch．
3．Applications of the Index Lemma to immersions
4．Focal points and an extension of Rauch’s Theorem

CHAPTER 11—THE MORSE lNDEX THEOREM
1．Introduction
2.The Index Theorem

CHAPTER 12-THE FUNDAMENTAL GROUP OF MANIFOLDS 0F NEGATIVE CURVATURE
1．Introduction
2．Existence of closed geodesics
CHAPTER 13-THE SPHERE THEOREM
References
Index

前言/序言

拓撲學基礎與現代幾何學導論 第一章：集閤論與邏輯基礎 本章旨在為後續更深入的幾何學研究奠定堅實的邏輯和集閤論基礎。我們將從最基本的集閤概念、關係和函數齣發，詳細闡述皮亞諾公理下的自然數構造，以及康托爾的集閤論，特彆是良序原理和選擇公理在數學證明中的角色。 1.1 集閤的構造與運算： 集閤的定義、外延性原理、子集、冪集、笛卡爾積。集閤之間的關係：相等、包含、不交。 1.2 函數與映射： 單射、滿射、雙射的嚴格定義與性質。函數的復閤、逆函數的存在性。 1.3 序關係與等價關係： 偏序集、全序集、良序集。等價關係的定義、等價類的劃分性質。 1.4 邏輯推理與證明方法： 命題演算、謂詞邏輯基礎。直接證明、反證法、數學歸納法（包括強歸納法）的嚴謹應用。 第二章：拓撲空間導論 拓撲學的核心在於研究空間中“鄰域”和“連續性”的概念，而無需依賴度量或距離。本章將引入拓撲空間的基本框架。 2.1 拓撲空間的定義： 拓撲結構的定義、開集、閉集、閉包、內部、邊界的概念。 2.2 基與相對拓撲： 基（Basis）和子基（Subbasis）如何生成拓撲結構。子空間的相對拓撲的構造及其性質。 2.3 連續性與拓撲同胚： 連續映射的拓撲定義及其與開/閉集的等價描述。拓撲同胚（Homeomorphism）作為拓撲性質保持的等價關係。 2.4 重要的拓撲性質： 分離公理（$T_0, T_1, T_2$（Hausdorff）, $T_3, T_4$）。緊緻性（Compactness）的定義及其在度量空間中的等價描述（Heine-Borel定理的拓撲推廣）。連通性（Connectedness）與路徑連通性（Path-Connectedness）的區分與聯係。 2.5 積空間與商空間： 積拓撲的構造及其在分析多個維度時的重要性。商拓撲的構造，即由等價關係導齣的拓撲結構。 第三章：度量空間 度量空間是拓撲學的一個特例，其中引入瞭距離的概念，使得我們可以討論收斂性、完備性和維度等更具分析性的結構。 3.1 度量空間的定義與實例： 歐幾裏得度量、離散度量、切比雪夫度量等常見度量函數的性質。 3.2 開球與閉球： 由度量誘導的開集和閉集。度量空間中的拓撲性質與度量性質的關係。 3.3 收斂性與完備性： 序列的收斂性定義。柯西序列的概念。完備度量空間（如$mathbb{R}^n$）的重要性及其在不動點定理（如Banach不動點定理）中的應用。 3.4 連續性與等距映射： 度量空間之間的連續函數與等距映射（Isometry）的定義。 第四章：流形初步 流形是現代幾何學和拓撲學的核心研究對象，它局部看起來像歐幾裏得空間，但整體結構可能非常復雜。 4.1 歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 的基礎性質： 綫性代數迴顧、開集、緊集、凸集。 4.2 拓撲流形的定義： $n$ 維拓撲流形的嚴格定義：豪斯多夫性、第二可數性、局部歐幾裏得性。 4.3 坐標圖與圖冊： 坐標變換、圖冊的最小性要求。導航員（Navigators）和坐標係的選擇。 4.4 局部結構： 流形上的開集、子流形（Submanifolds）的概念介紹。嵌入定理的初步討論。 第五章：微分拓撲入門 本章將引入微分結構，從而從研究流形的拓撲性質轉嚮研究其光滑結構。 5.1 光滑映射的定義： $mathcal{C}^k$ 級映射和光滑映射（$mathcal{C}^infty$）。在局部坐標係下對光滑性的檢驗。 5.2 常微分方程與流： 嚮量場在流形上的定義。嚮量場的局部積分麯綫。常微分方程解的存在性與唯一性定理在流形上的應用。 5.3 浸入與淹沒： 浸入（Immersion）與淹沒（Submersion）的定義及其在微分幾何中的關鍵作用（如常值函數的水平集）。 5.4 逆函數定理與隱函數定理： 在流形背景下，對這些關鍵定理的精確錶述和應用，它們是理解流形局部結構的基礎工具。 第六章：微分形式與張量代數基礎 理解流形上的分析和幾何，必須依賴張量和微分形式的概念。 6.1 嚮量空間上的張量： 張量的定義（共變、反變、混閤）。張量積的性質。 6.2 綫性函數空間與對偶空間： 餘嚮量（Covectors）和綫性函數空間。 6.3 外代數與微分形式： 外積（Wedge Product）的定義。$Lambda^k(V^)$ 空間，即 $k$ 階微分形式空間。 6.4 流形上的微分形式： 在局部坐標係下，微分形式的構造。嚮量場與微分形式的收縮運算（內積）。 6.5 外微分（Exterior Differentiation）： 外微分算子 $d$ 的定義及其在局部坐標係下的錶達。$d^2 = 0$ 的性質。 第七章：積分與拓撲聯係 本章連接瞭微分形式和拓撲學，引入瞭積分理論的拓撲視角。 7.1 對流形的積分： $n$ 維流形上的體積形式（或密度）。使用局部坐標係下的積分的定義。 7.2 Stokes 定理的推廣： 從微積分中的格林公式、高斯公式和斯托剋斯定理，推廣到一般流形上的積分恒等式： $$int_{partial M} omega = int_{M} domega$$ 本定理是微分幾何和拓撲學的核心統一工具。 7.3 De Rham 上同調簡介： 閉形式（$domega = 0$）和恰當形式（$omega = deta$）的概念。De Rham 上同調群 $H^k_{dR}(M)$ 作為衡量流形拓撲結構（如“洞”）的代數不變量的初步介紹。 第八章：嚮量叢與切叢 嚮量叢是描述流形上局部嚮量空間集閤的結構，是構建更復雜幾何結構（如度量）的前提。 8.1 嚮量叢的定義： 總空間、基空間、縴維、投影映射。局部平凡性。 8.2 切叢（Tangent Bundle）： 切叢 $TM$ 的嚴格構造，作為所有點的切空間的並集。切嚮量場的定義。 8.3 嚮量叢上的截麵與光滑性： 嚮量場作為切叢的光滑截麵。 8.4 矢量叢的同構： 兩個嚮量叢是否等價。 第九章：綫性連接與測地綫 本章開始探討流形上“直綫”和“麯率”的概念，為引入黎曼幾何做鋪墊。 9.1 仿射聯絡 (Affine Connection)： 聯絡的定義（斜率的綫性化）。平行移動的概念。 9.2 協變導數： 沿著麯綫的嚮量場的方嚮導數。協變導數的定義與性質。 9.3 測地綫方程： 協變導數為零的麯綫——測地綫的定義。測地綫方程的微分形式錶達。 9.4 撓率與麯率： 聯絡的撓率張量（Torsion）的定義。聯絡的麯率張量（Curvature Tensor）的定義，用於衡量平行移動路徑依賴性。 第十章：歐幾裏得幾何迴顧與度量空間 為瞭理解什麼是“彎麯”，我們首先需要精確理解“平坦”的空間結構。 10.1 歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 的內在結構： 內積（Dot Product）的代數定義。由內積誘導的長度、角度和正交性。 10.2 歐幾裏得空間上的幾何概念： 歐幾裏得空間中的測地綫（直綫）。 10.3 經典幾何的重述： 歐幾裏得幾何與雙麯幾何（作為非歐幾裏得幾何的典型代錶）的初步對比，強調“平行公理”的差異如何導緻不同的全局幾何性質。 總結 本書係統地構建瞭從最基礎的拓撲結構到微分流形及其局部綫性結構的理論框架，重點討論瞭光滑性、微分形式的微積分工具以及聯絡的概念。這些是理解任何關於麯率和度量的幾何理論（如廣義相對論、微分拓撲中的特徵類理論）的必要前置知識。

評分☆☆☆☆☆

作為一名資深的數學研究者，我一直對黎曼幾何在現代數學和物理學中的核心地位有著深刻的認識。我手頭已經有一些黎曼幾何的經典著作，但總覺得在某些細節的處理上，或者在某些特定主題的闡述上，可以有更深入或更獨特的視角。我期待一本能夠提供更深刻洞察的書，它不僅僅是內容的堆砌，而是在邏輯結構上更加精巧，在概念的引入上更加富有啓發性。我希望它能超越基礎的介紹，觸及到一些更前沿的研究方嚮，比如調和分析在黎曼流形上的應用，或者與代數幾何的交叉。如果這本書能夠提供一些巧妙的證明技巧，或者對一些著名的定理（如高斯-博內定理）有全新的解讀，那將是極大的收獲。當然，對於一個已經有一定基礎的研究者來說，清晰的符號約定和嚴謹的數學錶述是至關重要的，我希望這本書能夠在這方麵做得一絲不苟，並且提供一些有助於獨立思考和進一步探索的綫索。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學充滿好奇心的學生，我一直對那些能夠揭示宇宙深層結構的理論感到著迷。黎曼幾何，這個名字本身就帶著一種神秘感和深刻性，它似乎是理解彎麯時空、引力以及更廣闊的幾何世界的鑰匙。我一直在尋找一本能夠引導我入門的書，一本既嚴謹又不失引導性的著作。我希望這本書能夠讓我領略到黎曼流形的優雅，理解什麼是麯率，它又是如何影響空間的性質的。我更期待能從中窺探到微分幾何的工具，比如聯絡、協變導數、測地綫等等，這些概念聽起來就充滿瞭力量，仿佛是描述空間內在紋理的語言。當然，對於一個初學者來說，清晰的解釋和豐富的例子是必不可少的，我希望作者能夠循序漸進，從最基礎的概念講起，逐步深入到更復雜的理論。這本書如果能讓我對微分同胚、黎曼度量、以及張量分析這些核心概念有透徹的理解，那我將感到非常滿足。畢竟，這些都是構建黎曼幾何大廈的基石，沒有它們，就如同紙上談兵，無法真正體會到這門學科的精妙之處。

評分☆☆☆☆☆

最近我正在為我即將發錶的論文搜集相關的數學背景知識，其中涉及到一些關於麯率和度量性質的內容。我需要的不僅僅是對黎曼幾何基本概念的瞭解，而是能夠更深入地理解其在特定領域（比如流形上的分析，或者偏微分方程的幾何解釋）的應用。我希望這本書能夠提供足夠的技術細節，讓我能夠理解一些高級的定義和定理，並且能夠在我進行研究時提供有效的工具。例如，我可能需要瞭解如何計算流形上的拉普拉斯算子，或者如何在黎曼流形上定義一些重要的函數空間。如果書中能夠提供一些關於經典例子（如球麵、雙麯空間）的詳細分析，並且能夠指導我如何將這些思想推廣到一般的黎曼流形上，那將非常有幫助。我希望這本書的敘述能夠清晰、簡潔，並且能夠讓我快速地找到我需要的相關信息，而不是需要花費大量時間去篩選和理解。

評分☆☆☆☆☆

我最近在尋找一本能夠幫助我係統梳理物理學中那些抽象概念的書。很多時候，我們在學習相對論或者其他一些前沿物理理論時，都會遇到一些難以捉摸的幾何學描述。比如，時空的彎麯究竟是怎麼迴事？引力是如何被幾何化的？我希望這本書能夠提供一個堅實的數學基礎，讓我能夠真正理解這些物理現象背後的幾何本質。如果它能解釋清楚，例如，如何在黎曼流形上定義距離和角度，以及這些定義如何與物理世界的測量相聯係，那將是極大的幫助。我尤其關注那些關於黎曼張量和裏奇張量的章節，它們似乎是描述時空麯率的關鍵。當然，如果書中能夠包含一些實際的物理應用例子，比如黑洞附近的幾何形狀，或者引力波的傳播，那將更能激發我的學習興趣，讓我覺得這些數學工具不僅僅是抽象的符號，而是能夠描繪和理解我們所處宇宙的有力武器。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學的“美”有著一種特殊的追求，而黎曼幾何，在我看來，就是這種美的極緻體現之一。它用抽象的數學語言，勾勒齣瞭我們所處的三維甚至更高維度的空間的輪廓，並且揭示瞭空間本身的內在結構和動態變化。我希望我找到的這本書，能夠將這種數學的美感淋灕盡緻地展現齣來。它不應該僅僅是一本技術性的手冊，而應該像一首優美的詩，用嚴謹的邏輯和精妙的公式，描繪齣空間的無限可能性。我期待它能讓我感受到，如何從一個簡單的點、一條綫，逐步構建起一個彎麯的、富有彈性的、能夠容納萬物的幾何世界。如果書中能夠巧妙地融入一些幾何直觀的解釋，讓我能夠“看到”那些抽象的概念，比如切空間、聯絡的意義，那將是無價的。我希望這本書能夠激發我對數學的敬畏之心，讓我明白，數學不僅僅是冰冷的計算，更是對宇宙真理的一種深刻探索。

評分☆☆☆☆☆

非歐幾何不知會是怎樣

評分☆☆☆☆☆

經典的幾何書，好好好

評分☆☆☆☆☆

配送快！！贊！！！

評分☆☆☆☆☆

幾何大師do Carmo先生的大作，復旦推薦書單中有很高評價

評分☆☆☆☆☆

很快很滿意，京東圖書滿300減100活動很給力

評分☆☆☆☆☆

非常不錯，全英文的哦，慢慢看唄，總有一天啃下來

評分☆☆☆☆☆

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中一主流；是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。

評分☆☆☆☆☆

質量很好，品質保證。

評分☆☆☆☆☆

do carmo 黎曼幾何..