黎曼几何 [Riemannian Geometry] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[葡] 卡莫 著

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• 数学
• 几何学
• 黎曼几何
• 微分几何
• 拓扑学
• 流形
• 张量分析
• 广义相对论
• 数学物理
• 高等数学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787506292184

版次：1

商品编码：10096470

包装：平装

外文名称：Riemannian Geometry

开本：24开

出版时间：2008-05-01

用纸：胶版纸

页数：300

正文语种：英语

编辑推荐

　　《黎曼几何》非常值得一读。

内容简介

　　The object of this book is to familiarize the reader with the basic language of and some fundamental theorems in Riemannian Geometry. To avoid referring to previous knowledge of differentiable manifolds， we include Chapter 0， which contains those concepts and results on differentiable manifolds which are used in an essential way in the rest of the book。
　　The first four chapters of the book present the basic concepts of Riemannian Geometry (Riemannian metrics， Riemannian connections， geodesics and curvature). A good part of the study of Riemannian Geometry consists of understanding the relationship between geodesics and curvature. Jacobi fields， an essential tool for this understanding， are introduced in Chapter 5. In Chapter 6 we introduce the second fundamental form associated with an isometric immersion， and prove a generalization of the Theorem Egregium of Gauss. This allows us to relate the notion of curvature in Riemannian manifolds to the classical concept of Gaussian curvature for surfaces。

内页插图

目录

Preface to the first edition
Preface to the second edition
Preface to the English edition
How to use this book
CHAPTER 0-DIFFERENTIABLE MANIFOLDS
1. Introduction
2. Differentiable manifolds；tangent space
3. Immersions and embeddings；examples
4. Other examples of manifolds，Orientation
5. Vector fields； brackets，Topology of manifolds

CHAPTER 1-RIEMANNIAN METRICS
1. Introduction
2. Riemannian Metrics

CHAPTER 2-AFFINE CONNECTIONS；RIEMANNIAN CONNECTIONS
1. Introduction
2. Affine connections
3. Riemannian connections

CHAPTER 3-GEODESICS；CONVEX NEIGHBORHOODS
1．Introduction
2．The geodesic flow
3．Minimizing properties ofgeodesics
4．Convex neighborhoods

CHAPTER 4-CURVATURE
1．Introduction
2．Curvature
3．Sectional curvature
4．Ricci curvature and 8calar curvature
5．Tensors 0n Riemannian manifoids

CHAPTER 5-JACOBI FIELDS
1．Introduction
2．The Jacobi equation
3．Conjugate points

CHAPTER 6-ISOMETRIC IMMERSl0NS
1．Introduction．
2．The second fundamental form
3．The fundarnental equations

CHAPTER 7-COMPLETE MANIFoLDS；HOPF-RINOW AND HADAMARD THEOREMS
1．Introduction．
2．Complete manifolds；Hopf-Rinow Theorem．
3．The Theorem of Hadamazd．

CHAPTER 8-SPACES 0F CONSTANT CURVATURE
1．Introduction
2．Theorem of Cartan on the determination ofthe metric by mebns of the　curvature．
3．Hyperbolic space
4．Space forms
5．Isometries ofthe hyperbolic space；Theorem ofLiouville

CHAPTER 9一VARIATl0NS 0F ENERGY
1．Introduction．
2．Formulas for the first and second variations of enezgy
3．The theorems of Bonnet—Myers and of Synge-WeipJtein

CHAPTER 10-THE RAUCH COMPARISON THEOREM
1．Introduction
2．Ttle Theorem of Rauch．
3．Applications of the Index Lemma to immersions
4．Focal points and an extension of Rauch’s Theorem

CHAPTER 11—THE MORSE lNDEX THEOREM
1．Introduction
2.The Index Theorem

CHAPTER 12-THE FUNDAMENTAL GROUP OF MANIFOLDS 0F NEGATIVE CURVATURE
1．Introduction
2．Existence of closed geodesics
CHAPTER 13-THE SPHERE THEOREM
References
Index

前言/序言

拓扑学基础与现代几何学导论 第一章：集合论与逻辑基础 本章旨在为后续更深入的几何学研究奠定坚实的逻辑和集合论基础。我们将从最基本的集合概念、关系和函数出发，详细阐述皮亚诺公理下的自然数构造，以及康托尔的集合论，特别是良序原理和选择公理在数学证明中的角色。 1.1 集合的构造与运算： 集合的定义、外延性原理、子集、幂集、笛卡尔积。集合之间的关系：相等、包含、不交。 1.2 函数与映射： 单射、满射、双射的严格定义与性质。函数的复合、逆函数的存在性。 1.3 序关系与等价关系： 偏序集、全序集、良序集。等价关系的定义、等价类的划分性质。 1.4 逻辑推理与证明方法： 命题演算、谓词逻辑基础。直接证明、反证法、数学归纳法（包括强归纳法）的严谨应用。 第二章：拓扑空间导论 拓扑学的核心在于研究空间中“邻域”和“连续性”的概念，而无需依赖度量或距离。本章将引入拓扑空间的基本框架。 2.1 拓扑空间的定义： 拓扑结构的定义、开集、闭集、闭包、内部、边界的概念。 2.2 基与相对拓扑： 基（Basis）和子基（Subbasis）如何生成拓扑结构。子空间的相对拓扑的构造及其性质。 2.3 连续性与拓扑同胚： 连续映射的拓扑定义及其与开/闭集的等价描述。拓扑同胚（Homeomorphism）作为拓扑性质保持的等价关系。 2.4 重要的拓扑性质： 分离公理（$T_0, T_1, T_2$（Hausdorff）, $T_3, T_4$）。紧致性（Compactness）的定义及其在度量空间中的等价描述（Heine-Borel定理的拓扑推广）。连通性（Connectedness）与路径连通性（Path-Connectedness）的区分与联系。 2.5 积空间与商空间： 积拓扑的构造及其在分析多个维度时的重要性。商拓扑的构造，即由等价关系导出的拓扑结构。 第三章：度量空间 度量空间是拓扑学的一个特例，其中引入了距离的概念，使得我们可以讨论收敛性、完备性和维度等更具分析性的结构。 3.1 度量空间的定义与实例： 欧几里得度量、离散度量、切比雪夫度量等常见度量函数的性质。 3.2 开球与闭球： 由度量诱导的开集和闭集。度量空间中的拓扑性质与度量性质的关系。 3.3 收敛性与完备性： 序列的收敛性定义。柯西序列的概念。完备度量空间（如$mathbb{R}^n$）的重要性及其在不动点定理（如Banach不动点定理）中的应用。 3.4 连续性与等距映射： 度量空间之间的连续函数与等距映射（Isometry）的定义。 第四章：流形初步 流形是现代几何学和拓扑学的核心研究对象，它局部看起来像欧几里得空间，但整体结构可能非常复杂。 4.1 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的基础性质： 线性代数回顾、开集、紧集、凸集。 4.2 拓扑流形的定义： $n$ 维拓扑流形的严格定义：豪斯多夫性、第二可数性、局部欧几里得性。 4.3 坐标图与图册： 坐标变换、图册的最小性要求。导航员（Navigators）和坐标系的选择。 4.4 局部结构： 流形上的开集、子流形（Submanifolds）的概念介绍。嵌入定理的初步讨论。 第五章：微分拓扑入门 本章将引入微分结构，从而从研究流形的拓扑性质转向研究其光滑结构。 5.1 光滑映射的定义： $mathcal{C}^k$ 级映射和光滑映射（$mathcal{C}^infty$）。在局部坐标系下对光滑性的检验。 5.2 常微分方程与流： 向量场在流形上的定义。向量场的局部积分曲线。常微分方程解的存在性与唯一性定理在流形上的应用。 5.3 浸入与淹没： 浸入（Immersion）与淹没（Submersion）的定义及其在微分几何中的关键作用（如常值函数的水平集）。 5.4 逆函数定理与隐函数定理： 在流形背景下，对这些关键定理的精确表述和应用，它们是理解流形局部结构的基础工具。 第六章：微分形式与张量代数基础 理解流形上的分析和几何，必须依赖张量和微分形式的概念。 6.1 向量空间上的张量： 张量的定义（共变、反变、混合）。张量积的性质。 6.2 线性函数空间与对偶空间： 余向量（Covectors）和线性函数空间。 6.3 外代数与微分形式： 外积（Wedge Product）的定义。$Lambda^k(V^)$ 空间，即 $k$ 阶微分形式空间。 6.4 流形上的微分形式： 在局部坐标系下，微分形式的构造。向量场与微分形式的收缩运算（内积）。 6.5 外微分（Exterior Differentiation）： 外微分算子 $d$ 的定义及其在局部坐标系下的表达。$d^2 = 0$ 的性质。 第七章：积分与拓扑联系 本章连接了微分形式和拓扑学，引入了积分理论的拓扑视角。 7.1 对流形的积分： $n$ 维流形上的体积形式（或密度）。使用局部坐标系下的积分的定义。 7.2 Stokes 定理的推广： 从微积分中的格林公式、高斯公式和斯托克斯定理，推广到一般流形上的积分恒等式： $$int_{partial M} omega = int_{M} domega$$ 本定理是微分几何和拓扑学的核心统一工具。 7.3 De Rham 上同调简介： 闭形式（$domega = 0$）和恰当形式（$omega = deta$）的概念。De Rham 上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 作为衡量流形拓扑结构（如“洞”）的代数不变量的初步介绍。 第八章：向量丛与切丛 向量丛是描述流形上局部向量空间集合的结构，是构建更复杂几何结构（如度量）的前提。 8.1 向量丛的定义： 总空间、基空间、纤维、投影映射。局部平凡性。 8.2 切丛（Tangent Bundle）： 切丛 $TM$ 的严格构造，作为所有点的切空间的并集。切向量场的定义。 8.3 向量丛上的截面与光滑性： 向量场作为切丛的光滑截面。 8.4 矢量丛的同构： 两个向量丛是否等价。 第九章：线性连接与测地线 本章开始探讨流形上“直线”和“曲率”的概念，为引入黎曼几何做铺垫。 9.1 仿射联络 (Affine Connection)： 联络的定义（斜率的线性化）。平行移动的概念。 9.2 协变导数： 沿着曲线的向量场的方向导数。协变导数的定义与性质。 9.3 测地线方程： 协变导数为零的曲线——测地线的定义。测地线方程的微分形式表达。 9.4 挠率与曲率： 联络的挠率张量（Torsion）的定义。联络的曲率张量（Curvature Tensor）的定义，用于衡量平行移动路径依赖性。 第十章：欧几里得几何回顾与度量空间 为了理解什么是“弯曲”，我们首先需要精确理解“平坦”的空间结构。 10.1 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的内在结构： 内积（Dot Product）的代数定义。由内积诱导的长度、角度和正交性。 10.2 欧几里得空间上的几何概念： 欧几里得空间中的测地线（直线）。 10.3 经典几何的重述： 欧几里得几何与双曲几何（作为非欧几里得几何的典型代表）的初步对比，强调“平行公理”的差异如何导致不同的全局几何性质。 总结 本书系统地构建了从最基础的拓扑结构到微分流形及其局部线性结构的理论框架，重点讨论了光滑性、微分形式的微积分工具以及联络的概念。这些是理解任何关于曲率和度量的几何理论（如广义相对论、微分拓扑中的特征类理论）的必要前置知识。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇心的学生，我一直对那些能够揭示宇宙深层结构的理论感到着迷。黎曼几何，这个名字本身就带着一种神秘感和深刻性，它似乎是理解弯曲时空、引力以及更广阔的几何世界的钥匙。我一直在寻找一本能够引导我入门的书，一本既严谨又不失引导性的著作。我希望这本书能够让我领略到黎曼流形的优雅，理解什么是曲率，它又是如何影响空间的性质的。我更期待能从中窥探到微分几何的工具，比如联络、协变导数、测地线等等，这些概念听起来就充满了力量，仿佛是描述空间内在纹理的语言。当然，对于一个初学者来说，清晰的解释和丰富的例子是必不可少的，我希望作者能够循序渐进，从最基础的概念讲起，逐步深入到更复杂的理论。这本书如果能让我对微分同胚、黎曼度量、以及张量分析这些核心概念有透彻的理解，那我将感到非常满足。毕竟，这些都是构建黎曼几何大厦的基石，没有它们，就如同纸上谈兵，无法真正体会到这门学科的精妙之处。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的“美”有着一种特殊的追求，而黎曼几何，在我看来，就是这种美的极致体现之一。它用抽象的数学语言，勾勒出了我们所处的三维甚至更高维度的空间的轮廓，并且揭示了空间本身的内在结构和动态变化。我希望我找到的这本书，能够将这种数学的美感淋漓尽致地展现出来。它不应该仅仅是一本技术性的手册，而应该像一首优美的诗，用严谨的逻辑和精妙的公式，描绘出空间的无限可能性。我期待它能让我感受到，如何从一个简单的点、一条线，逐步构建起一个弯曲的、富有弹性的、能够容纳万物的几何世界。如果书中能够巧妙地融入一些几何直观的解释，让我能够“看到”那些抽象的概念，比如切空间、联络的意义，那将是无价的。我希望这本书能够激发我对数学的敬畏之心，让我明白，数学不仅仅是冰冷的计算，更是对宇宙真理的一种深刻探索。

评分☆☆☆☆☆

我最近在寻找一本能够帮助我系统梳理物理学中那些抽象概念的书。很多时候，我们在学习相对论或者其他一些前沿物理理论时，都会遇到一些难以捉摸的几何学描述。比如，时空的弯曲究竟是怎么回事？引力是如何被几何化的？我希望这本书能够提供一个坚实的数学基础，让我能够真正理解这些物理现象背后的几何本质。如果它能解释清楚，例如，如何在黎曼流形上定义距离和角度，以及这些定义如何与物理世界的测量相联系，那将是极大的帮助。我尤其关注那些关于黎曼张量和里奇张量的章节，它们似乎是描述时空曲率的关键。当然，如果书中能够包含一些实际的物理应用例子，比如黑洞附近的几何形状，或者引力波的传播，那将更能激发我的学习兴趣，让我觉得这些数学工具不仅仅是抽象的符号，而是能够描绘和理解我们所处宇宙的有力武器。

评分☆☆☆☆☆

最近我正在为我即将发表的论文搜集相关的数学背景知识，其中涉及到一些关于曲率和度量性质的内容。我需要的不仅仅是对黎曼几何基本概念的了解，而是能够更深入地理解其在特定领域（比如流形上的分析，或者偏微分方程的几何解释）的应用。我希望这本书能够提供足够的技术细节，让我能够理解一些高级的定义和定理，并且能够在我进行研究时提供有效的工具。例如，我可能需要了解如何计算流形上的拉普拉斯算子，或者如何在黎曼流形上定义一些重要的函数空间。如果书中能够提供一些关于经典例子（如球面、双曲空间）的详细分析，并且能够指导我如何将这些思想推广到一般的黎曼流形上，那将非常有帮助。我希望这本书的叙述能够清晰、简洁，并且能够让我快速地找到我需要的相关信息，而不是需要花费大量时间去筛选和理解。

评分☆☆☆☆☆

作为一名资深的数学研究者，我一直对黎曼几何在现代数学和物理学中的核心地位有着深刻的认识。我手头已经有一些黎曼几何的经典著作，但总觉得在某些细节的处理上，或者在某些特定主题的阐述上，可以有更深入或更独特的视角。我期待一本能够提供更深刻洞察的书，它不仅仅是内容的堆砌，而是在逻辑结构上更加精巧，在概念的引入上更加富有启发性。我希望它能超越基础的介绍，触及到一些更前沿的研究方向，比如调和分析在黎曼流形上的应用，或者与代数几何的交叉。如果这本书能够提供一些巧妙的证明技巧，或者对一些著名的定理（如高斯-博内定理）有全新的解读，那将是极大的收获。当然，对于一个已经有一定基础的研究者来说，清晰的符号约定和严谨的数学表述是至关重要的，我希望这本书能够在这方面做得一丝不苟，并且提供一些有助于独立思考和进一步探索的线索。

评分☆☆☆☆☆

黎曼几何，是一本很好的数学专业书，内容丰富，推荐购买

评分☆☆☆☆☆

中国当下的文艺界似乎都有喜谈政治的倾向，我谓之“多重身份化的绑架”。说来这本是题中之义，但又似乎许多人已经习惯了这种绑架，甚至于颇为享受。理智一旦不能掌控私欲，可信力自然也就发生崩坍。“中国士流向来看重政治，从事文化工作者往往心不专一，觉得弄政治更为有效，逐渐的转移过去了。其实文化工作者不必看轻政治，只应把自己的事业看作与政治一样重要，或者如有必要即认为也是一种政治的工作亦可，专精持久的做去，效果自会发生出来。”周作人的这句话虽稍显理想，但我最同意。

评分☆☆☆☆☆

卡莫的黎曼几何写的不错，内容比较详细简单，讲得很细腻，很清楚，入门比较好，思维方式的不同吧。外国的书很多都是写的比较人性化，就是想一个老师在给你讲解一样。较重引导个人的思考，内容讲得全面一点。当然要学好一个理论当然对这个理论的各种不同的见解、认识、解释、说明都要有所了解，综合各方面的思想，重要是自己思考的过程。这本书比较适合自学，实际上，自学是获得知识的很重要的方面。

评分☆☆☆☆☆

好书，值得

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很快很满意，京东图书满300减100活动很给力

评分☆☆☆☆☆

书保存不好…书是好书，内容安排都很好

评分☆☆☆☆☆

很喜欢多卡莫的书，这本先收着以后看。

评分☆☆☆☆☆

订单：7105711649哈哈哈很好

评分☆☆☆☆☆

订单：7105711649哈哈哈很好