高等数学中的若干问题与方法 [Some Problems and Methods of Higher Mathematics] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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苏化明 著

图书标签:

• 高等数学
• 数学分析
• 微积分
• 实分析
• 复变函数
• 常微分方程
• 数学方法
• 问题求解
• 数学技巧
• 大学教材

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560353692

版次：1

商品编码：11729531

包装：平装

丛书名： 高等学校教材

外文名称：Some Problems and Methods of Higher Mathematics

开本：16开

出版时间：2015-05-01

用纸：胶版纸

页数：218

字数：26

内容简介

　　《高等数学中的若干问题与方法》主要包含两部分内容，即与高等数学有关的问题和某些解题方法，其中问题部分有与高等数学内容相关的专题讨论，也有对若干数学竞赛试题或数学试题的探究或推广；而方法部分是对高等数学中某一类问题从新的视角给出的解题策略.《高等数学中的若干问题与方法》题材新颖且具有启发性，对高等数学教学研究和开展数学竞赛活动都有参考价值。
　　《高等数学中的若干问题与方法》可作为高等数学的教学参考书，也可作为高等理工科学生的课外读物。

内页插图

目录

第1章 平均值函数与形心函数
第2章 一类递推数列的收敛速度
第3章 两类方程根的极限
第4章 与微分中值定理相关的几个问题
第5章 几个初等函数的不等式
第6章 关于刘徽不等式与祖冲之不等式
第7章 Lagrange线性插值公式与梯形公式
第8章 中矩形公式
第9章 Simpson公式
第10章 一个积分不等式及其应用
第11章 一类几何最值问题
第12章 微元法
第13章 不等式证明的求商比较法、积分方法与幂级数法
第14章 某些数列极限的级数解法与矩阵解法
第15章 齐次线性方程组有非零解条件的应用
第16章 高等数学中涉及无关性的一类问题与函数归零问题
第17章 若干数学竞赛试题的注记
参考文献

前言/序言

现代代数与群论基础 作者：[此处留空] 出版社：[此处留空] --- 内容简介 《现代代数与群论基础》是一本旨在为读者系统构建抽象代数理论框架的专著。本书聚焦于代数结构的核心概念，特别是群论、环论和域论的奠基性内容，并通过深入的例证和习题，引导读者从具体的算术和几何问题中抽象出代数结构的概念，最终达到理解现代数学语言和思维方式的目的。本书的编写遵循循序渐进的原则，力求在严谨的数学论证与清晰的逻辑阐述之间取得平衡，尤其适合数学专业本科生高年级、研究生入门以及对抽象代数有浓厚兴趣的自学者。 第一部分：群论——代数的基石 本书的第一部分彻底涵盖了群论的全部基础内容，这是理解后续所有抽象代数结构的关键。 第一章：群的初步概念与实例 本章从集合与二元运算的严格定义入手，引出群的四个基本公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。我们不会止步于理论定义，而是通过大量的实例来深化理解。实例包括但不限于：整数加法群 $mathbb{Z}$、有理数乘法群 $mathbb{Q}^$、模 $n$ 整数加法群 $mathbb{Z}_n$。同时，我们将引入几何群的经典例子——对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$。特别地，本章会详细分析 $S_3$ 和 $D_4$ 的元素结构和运算表，揭示有限群的直观性质。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 本章的核心在于子群的概念及其性质。我们将探讨子群的判别法，并引入正规子群的概念，这是后续商群构造的先决条件。陪集（左陪集与右陪集）的引入旨在为拉格朗日定理的证明奠定基础。我们将详尽地证明拉格朗日定理，并立即探讨其推论，例如子群的阶必须整除群的阶，以及有限群中任意元素的阶整除群的阶。这部分内容将通过对有限群的阶数分析来展示其强大的约束力。 第三章：同态、同构与群的分类 本章将代数的“结构保持”思想具象化。群同态的定义、核（Kernel）与像（Image）的性质是本章的重点。我们将证明第一同构定理（或称基本同态定理），该定理深刻揭示了同态、正规子群与商群之间的内在联系。随后，我们深入探讨群的分类问题，特别是循环群的唯一性以及阶为素数 $p$ 的群结构。卡伊莱（Cayley）定理，即任意群同构于一个置换群，也将被完整证明，展示了置换群在群论中的普遍性地位。 第四章：Sylow定理与有限群结构 Sylow定理是有限群结构理论中最强大的工具。本章将分步详述 Sylow 第一、第二和第三定理。我们将展示如何利用 Sylow $p$-子群的存在性来分析具有特定阶的群的结构，例如判断某些群是否为正规群。这部分内容是理解非交换群复杂性的关键，它使我们能够系统地分解和分析较大阶的有限群。 第二部分：环论——拓展代数结构 在建立了群论的坚实基础后，本书转向环论，引入第二个基本代数运算——乘法，并探讨两个运算如何相互作用。 第五章：环、子环与理想 本章定义了环的结构，区分了交换环、单位环以及整环。我们将详细讨论子环的判别条件。环论的核心在于理想的概念，它在环中的作用类似于正规子群在群中的作用。我们将在环中定义理想，并探讨左、右理想，以及理想与同态核之间的对应关系。 第六章：商环与环同态 类比群论，本章构建了商环的概念，即在满足特定条件的理想下进行构造的剩余类环。我们将证明环的第一同构定理，并展示理想与环同态之间的直接联系。此外，本章还将介绍特殊类型的理想，如主理想（Principal Ideal）和极大理想（Maximal Ideal），以及它们在整环和域构造中的作用。 第七章：整环、域与多项式环 本章专注于具有特定性质的环：整环和域（Fields）。域被定义为除零外的所有元素都有乘法逆元的交换环。我们将证明$mathbb{Z}$是主理想整环（PID），并引入欧几里得整环（Euclidean Domain）的概念。多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域）的结构分析是本章的重点，我们将展示 $F[x]$ 也是一个主理想整环，并探讨多项式除法和因式分解的唯一性。 第三部分：域论——代数方程的解 第三部分将域论作为抽象代数在代数几何和数论中的应用前奏。 第八章：域的扩张 域的扩张是本章的核心议题。我们定义了域扩张 $E/F$，以及扩张的次数 $[E:F]$。本章将聚焦于代数扩张（Algebraic Extensions）和超越扩张（Transcendental Extensions）。我们引入了极小多项式的概念，并证明了域扩张可以通过添加代数元素来构造。 第九章：分裂域与伽罗瓦理论简介 本章将代数理论推向高潮：伽罗瓦理论的初步介绍。我们将定义伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$，它是自同构群。通过分析伽罗瓦群的结构，我们可以反过来理解域扩张的性质。虽然本书不深入伽罗瓦理论的全部细节，但本章将明确展示伽罗瓦理论如何解释五次及以上代数方程无一般公式解的根本原因，从而将抽象的群论与经典的代数方程问题完美地联系起来。 结语与展望 《现代代数与群论基础》旨在提供一个全面、严谨且富有启发性的代数结构导论。本书的结构设计鼓励读者在学习新概念时，不断回顾群论中的相似结构，从而形成抽象代数知识体系的整体感。每章末尾均附有难度递增的练习题，旨在巩固理论，并提供一些进阶的探索性问题。 --- 关键词： 群论、环论、域论、抽象代数、拉格朗日定理、Sylow定理、同构定理、理想、多项式环、伽罗瓦群。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我对高等数学的印象就是“又爱又恨”。爱它带来的思维上的挑战和逻辑的美感，恨它有时过于抽象和难以捉摸。而《高等数学中的若干问题与方法》这个名字，似乎正好戳中了我的痛点。我希望这本书能提供一些“接地气”的方法，能够帮助我理解那些看似高深的理论是如何应用的，以及在实际问题中我们应该如何去运用这些理论。比如，在解决一些涉及到极限、积分、微分方程或者多变量函数优化等问题时，常常会遇到一些陷阱或者需要一些特别的技巧。如果这本书能清晰地梳理这些，并且给出一些行之有效的方法论，那么它对我来说将是无价之宝。我更期待它能像一本“秘籍”，里面包含一些不常见但非常有效的解题技巧，能够帮助我在遇到难题时，多一些思路，少一些迷茫。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我都对高等数学中的一些“非标准”解法很感兴趣。很多时候，课本上给出的解法虽然严谨，但未必是最简洁或者最具洞察力的。我总觉得，在高等数学的世界里，隐藏着许多巧妙的“捷径”和“妙招”，等待着我们去发掘。《高等数学中的若干问题与方法》这个书名，让我联想到了那些能够颠覆我们思维方式的解题思路。我希望这本书能够带领我走进这些“隐藏的宝藏”，让我看到不同的解决问题的角度。我期待它能提供一些能够启发思考的案例，不仅仅是“怎么做”，更是“为什么这样做”。例如，在处理一些看似复杂的微积分方程时，是否有什么几何上的直观解释？在分析一些数列的性质时，是否有什么特殊的数列模型可以套用？我希望这本书能让我领略到高等数学的精妙之处，培养我发现数学规律的敏锐度。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在准备考研的学生，高等数学是其中的重中之重。市面上有很多高等数学的辅导书，但很多都只是重复教材的内容，或者提供大量的练习题，却缺少对解题思路和方法论的深入探讨。而《高等数学中的若干问题与方法》这个书名，让我看到了希望。我希望这本书能针对高等数学中的一些典型难题，提供系统性的分析和解决方法。例如，关于级数收敛性的判断，不定积分的求解技巧，定积分在几何和物理中的应用，向量微积分的计算等等，这些都是我感到比较吃力的地方。如果这本书能针对这些“痛点”进行深入讲解，并且提供一些进阶的解题方法，比如如何构造辅助函数，如何利用对称性，如何运用数学归纳法等等，那么它将极大地提升我的学习效率和解题能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字听起来就让人好奇，《高等数学中的若干问题与方法》。我一直觉得高等数学，尤其是涉及到证明和一些更深奥的概念时，就像一座座难以逾越的山峰，虽然知道它们很重要，但常常被那些繁复的公式和抽象的逻辑搞得头晕目眩。我一直渴望找到一本能够真正帮助我理解这些“问题”背后逻辑，并且清晰地展示“方法”如何一步步导向解决方案的书。当我看到这本书的名字时，内心涌起一股强烈的期待，希望它能像一位经验丰富的向导，带领我深入探索高等数学的奇妙世界，让我不再畏惧那些看似复杂难解的题目，而是能够享受其中逻辑的严谨和美妙。我特别希望这本书能包含一些“压箱底”的技巧，那些只有内行人才能掌握的，能够迅速抓住问题本质的捷径。毕竟，在考试或者研究中，效率和深度同样重要。我希望能通过这本书，不仅仅是记住解题步骤，更能理解为什么这样解，这种思路是如何形成的，这样才能真正做到举一反三，融会贯通。

评分☆☆☆☆☆

最近在网上看到有人推荐《高等数学中的若干问题与方法》，书名很吸引人，我一直在寻找能够让我对高等数学有更深刻认识的书籍。大学的数学课程虽然学过，但总觉得对很多概念的理解停留在表面，尤其是那些需要严谨证明的题目，往往看了答案也理解不了其中的逻辑跳跃。这本书如果能在这方面有所建树，那绝对是我的福音。我期待它能像一位耐心的老师，一点一点地揭示高等数学的奥秘，不仅仅是给出解题方法，更重要的是讲解这些方法背后的思想根源和适用范围。我希望书中能包含一些经典的、具有代表性的问题，并对这些问题的解法进行深入的剖析，包括不同的解题思路和优劣比较。这样，我就能从中学习到解决问题的多种视角，培养自己独立思考和分析问题的能力。