信息与计算科学丛书：间断有限元理论与方法（修订版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张铁 著

图书标签:

• 有限元
• 间断有限元
• 计算数学
• 数值分析
• 科学计算
• 偏微分方程
• 数学模型
• 工程分析
• 计算科学
• 丛书

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030435057

版次：1

商品编码：11675100

包装：平装

丛书名： 信息与计算科学丛书

开本：16开

出版时间：2015-03-01

用纸：胶版纸

页数：252

正文语种：中文

内容简介

　　有限元方法是现代科学与工程计算领域中最广泛使用的数值方法之一, 间断有限元方法则是传统（连续）有限元方法的创新形式、改进和发展。《信息与计算科学丛书：间断有限元理论与方法（修订版）》系统地阐述间断有限元基本理论、思想和方法。
　　《信息与计算科学丛书：间断有限元理论与方法（修订版）》主要针对椭圆方程、一阶双曲方程、一阶正对称双曲方程组、对流扩散方程、Stokes 方程和椭圆变分不等式等偏微分方程定解问题, 介绍各种形式间断有限元方法的构造、稳定性和误差分析、超收敛性质、后处理技术、后验误差估计和自适应计算。

目录

第1章 预备知识
1.1 Sobolev空间简介
1.2 嵌入越
1.3 有限元空间及其性质
1.3.1 有限元空间
1.3.2 插值和投影逼近
1.3.3 逆性质和迹不等式
1.4 椭圆边值问题的有限元方法
1.4.1 边值问题的适定性
1.4.2 连续有限元逼近

第2章 椭圆问题惩罚形式的间断有限元方法
2.1 历史的回顾
2.2 惩罚方法的一般理论
2.3 相容方法
2.4 不相容方法
2.5 离散方程组的条件数
2.6 后验误差分析
2.6.1 后验误差上界估计
2.6.2 后验误差下界估计
2.6.3 数值算法
2.7 插值函数的超逼近性质
2.7.1 一维插值函数的超逼近性质
2.7.2 高维插值函数的超逼近性质
2.8 后处理技术与超收敛性
2.8.1 超逼近估计
2.8.2 i2-投影的后处理技术
2.8.3 导数小片插值恢复技术
2.8.4 整体插值后处理技术

第3章 椭圆相关问题的间断有限元方法
3.1 对流占优反应扩散方程
3.1.1 间断有限元格式
3.1.2 稳定性与误差分析
3.1.3 超收敛与后验误差估计
3.2 Stokes问题
3.2.1 线性速度-常数压力间断元
3.2.2 误差分析
3.2.3 高次间断有限元
3.3 椭圆变分不等式问题
3.3.1 问题及其间断有限元近似
3.3.2 最优误差估计与迭代求解
3.4 第二类椭圆变分不等式
3.4.1 问题及其正则化
3.4.2 间断有限元方法
3.4.3 先验误差估计
3.4.4 后验误差估计
3.4.5 数值计算例

第4章 数值通量形式的间断有限元方法
4.1 介绍
4.2 数值通量方法的基本公式
4.3 基本公式的理论分析
4.4 不稳定格式
4.5 广义局部间断有限元方法
4.6 对流扩散问题
4.6.1 迎风型间断有限元格式
4.6.2 误差分析
4.6.3 对流扩散反应方程
4.7 椭圆相关问题

第5章 一阶双曲方程的间断有限元方法
5.1 起源与历史发展
5.2 问题及其间断有限元格式
5.3 最优阶误差估计
5.4 三角元的超收敛估计
5.5 矩形元的超收敛估计
5.5.1 对流方向平行坐标轴情形
5.5.2 一般情形的矩形元
5.6 有关近似的超收敛估计
5.6.1 对流方向导数的后处理
5.6.2 负范数误差估计与均值逼近
5.6.3 数值计算例
5.7 后验误差分析
5.7.1 后验误差估计：特殊网格情形
5.7.2 后验误差估计：一般网格情形
5.7.3 后验误差下界估计
5.7.4 数值计算例
5.8 非定常问题
5.8.1 半离散间断有限元逼近
5.8.2 全离散间断有限元逼近
5.8.3 后验误差分析

第6章 一阶正对称双曲方程组的间断有限元方法
6.1 -阶正对称_方程组
6.2 拟迎风间断有限元方法
6.2.1 拟迎风格式及其稳定性
6.2.2 最优阶误差估计
6.2.3 负范数误差估计
6.2.4 数值计算例
6.3 惩罚形式的间断有限元方法
6.4 插值函数的超逼近性质
6.4.1 强正规三角剖分
6.4.2 几乎一致的矩形剖分
6.5 惩罚方法的超收敛估计
6.5.1 线性三角元
6.5.2 双线性矩形元
6.6 非定常问题
6.6.1 半离散间断有限元近似
6.6.2 全离散间断有限元近似
6.7 显式时空间断有限元方法
6.7.1 时空间断有限元格式及其稳定性
6.7.2 误差分析
6.8 半显式时空间断有限元格式
6.8.1 半显式格式
6.8.2 误差分析
参考文献
索引
《信息与计算科学丛书》已出版书目

前言/序言

领域前沿探索：数值模拟的革新与挑战 在现代科学与工程领域，精确高效的数值模拟已成为解决复杂问题的核心工具。从流体力学、固体力学到电磁场分析，对物理现象的深入理解往往依赖于对偏微分方程（PDEs）的数值求解。本书聚焦于一类在处理复杂几何、不连续介质以及强非线性问题时展现出卓越性能的数值方法——离散微分算子方法及其在解决前沿工程挑战中的应用。 本书的撰写旨在填补当前数值方法教材在系统性介绍和深入分析非标准网格技术和高精度离散方法方面的空白。我们摒弃了传统有限差分法或标准有限元法在处理界面和边界时的固有局限性，转而深入探讨那些能够实现局部高阶精度和灵活网格适应性的新兴理论框架。 第一部分：基础理论的革新——从网格到算子 本书的基石在于对传统网格化概念的解构与重塑。我们首先回顾了经典偏微分方程的数学结构，并指出在面对几何奇异性或材料不连续性时，标准网格的局限性。 章节 1：离散化的本质与挑战 本章深入分析了将连续问题转化为离散系统的数学本质。重点讨论了一致性（Consistency）、稳定性（Stability）和收敛性（Convergence）这三大基石的相互制约。我们特别引入了信息损失量化的概念，用以评估不同离散方案在信息保留方面的效率。 章节 2：局部约束与全局控制的平衡 传统方法往往在局部高精度与全局解的平滑性之间难以取得平衡。本章详细阐述了基于局部算子的离散框架。这包括对多点通量近似的精细讨论，即如何通过增加相邻点的信息权重来提高局部精度，同时确保在宏观尺度上满足守恒律。我们引入了局部投影算子的概念，它允许在不依赖于全局光滑网格的情况下，精确捕获局部物理场的突变。 章节 3：新型基函数与权重函数的构建 在许多先进的数值方法中，基函数（或称形函数）的选择至关重要。本书超越了标准多项式插值，转而探讨非光滑或分段光滑的基函数，它们能够更好地拟合真实物理场的不连续性。我们详细介绍了如何基于加权残量法，为不同区域（如边界层、激波区域）设计最优的局部权重函数，以最小化残量误差。 第二部分：高级离散算子方法详解 本部分是本书的核心，专注于几种具有颠覆性的数值求解技术。这些技术的核心思想在于，不强制要求计算网格与物理边界完全吻合，而是通过对数学算子的重新构造来适应复杂的物理环境。 章节 4：基于形函数插值的守恒律重构 针对流体力学中的欧拉方程和纳维-斯托克斯方程，本章详细阐述了离散守恒通量（Discrete Conservative Fluxes）的构建。我们提出了一种非结构化网格上的守恒投影方法，该方法确保了质量、动量和能量在每个单元界面上的精确交换，即使在网格畸形或锐角存在的情况下。对界面积分的精确处理是本章的重点，包括如何处理边界上的源项和边界条件。 章节 5：高阶精度与谱方法的融合 为了追求超高精度，本章探讨了谱方法（Spectral Methods）的离散化思想在非均匀网格上的推广。我们分析了谱元法（Spectral Element Methods）的核心思想，并着重于如何通过高斯-勒让德求积点的选取，在具有复杂边界的区域内实现近似最优的误差衰减率。书中将详细展示如何利用正交多项式的性质来简化微分算子的计算，从而在保持高阶精度的同时，提高计算效率。 章节 6：处理不连续性的先进技术 实际工程问题中经常出现材料属性的突然变化（如冲击波、裂纹尖端）。本章专门针对这些不连续现象，介绍了一系列间断性捕捉技术。我们详细分析了奇点吸收技术，即如何通过在不连续区域局部加密信息采样，并采用熵守恒格式来避免数值耗散或振荡。这部分内容为处理材料断裂、界面接触等问题提供了坚实的理论基础。 第三部分：应用与展望 本书的第三部分将理论方法应用于具体的工程领域，并探讨了该类方法的未来发展方向。 章节 7：复杂边界上的电磁场与热传导模拟 我们将前面介绍的离散算子方法应用于电磁波传播问题和非均匀介质中的瞬态热传导问题。重点在于如何利用局部高精度方法来精确模拟高曲率边界上的电磁场梯度，以及在多孔介质中准确捕捉热扩散率的急剧变化。 章节 8：大规模并行计算的实现 现代数值模拟离不开高性能计算。本章讨论了如何将基于局部算子的方法有效地映射到并行架构上。由于这些方法天然地倾向于局部计算，因此它们具有极佳的并行化潜力。我们将探讨域分解技术和分布式内存计算在加速此类求解器中的实践经验。 结论与展望 本书总结了离散微分算子方法在克服传统数值方法局限性方面的潜力，并展望了其在未来多物理场耦合、自适应网格生成以及高保真度模拟中的广阔应用前景。目标是为从事计算数学、工程力学、计算物理及相关领域的研究人员和高级工程师提供一套严谨且实用的理论工具箱。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的学术深度是毋庸置疑的，但最让我感到惊喜的是它在章节末尾设置的“展望与挑战”部分。这部分内容虽然不是严格意义上的核心理论，但它为读者指明了未来的研究方向。它没有停留在已有的成熟理论上，而是坦诚地指出了当前间断有限元方法在处理某些极端非线性问题或高维问题时仍然存在的瓶颈，比如如何更有效地处理网格畸形带来的误差放大效应，以及如何将这些方法与机器学习算法进行更深层次的融合。这种开放式的讨论，极大地激发了我对该领域继续深耕的兴趣。它告诉我，学习知识的目的不仅是掌握现有工具，更是要认识到工具的局限性，并思考如何去超越它。这本书真正做到了“授人以渔”，培养读者独立思考和创新研究的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计得非常大气，配色沉稳中带着一丝科技感，封面的设计语言似乎也在暗示着内容的深度与广度。我之前接触过一些数值计算方面的书籍，但很多都停留在理论推导的层面，对于实际应用场景的描述往往一带而过。这本书的亮点在于，它似乎能将抽象的数学概念与具体的工程问题紧密地联系起来。比如，在介绍一些高级的算子时，作者不仅仅是给出了定义和性质，还穿插了如何利用这些工具来解决流体力学或电磁学中的非光滑问题。这种“理论先行，应用跟进”的结构，对于我这样既想夯实理论基础又渴望解决实际难题的研究生来说，简直是福音。特别是关于网格划分和误差估计的部分，文字描述得非常详尽，图示也恰到好处地帮助理解，让人感觉作者是真正花心思去揣摩初学者的困惑点，而不是仅仅将自己的知识点堆砌起来。这种体贴的叙述方式，极大地降低了理解复杂理论的门槛，让人在阅读时不会感到枯燥或迷茫，而是充满探索的动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量绝对是业界良心之作。拿到实体书的那一刻，我就被它清晰的字体和合理的行距所吸引。很多专业书籍为了塞进更多内容，往往牺牲了阅读体验，但这本书显然在这方面做了精心的平衡。页边距留得恰到好处，无论是做笔记还是夹放参考资料，都有足够的空间。更值得称赞的是，公式的排版非常规范和美观，复杂的张量符号和积分符号看起来清晰锐利，完全没有普通教材中那种模糊不清的“糊状”感。这种高质量的呈现，让我在长时间的深度阅读中，眼睛不容易感到疲劳，这对于需要逐字逐句啃下复杂数学推导的学习者来说，是至关重要的。它体现了一种对知识的尊重，让学习过程本身也成了一种享受，而不是一种折磨。

评分☆☆☆☆☆

从内容组织上看，这本书的逻辑递进简直是教科书级别的典范。它并没有急于抛出最前沿、最复杂的理论，而是像剥洋葱一样，一层一层地深入。开篇对基础有限元方法的回顾和修正，为后续引入“间断”这一核心概念做了完美的铺垫，就像是在平坦的场地上先修筑了坚实的地基。当谈到间断性带来的挑战，比如守恒律的近似、以及需要引入特定的数值通量时，作者的解释非常到位，没有使用太多晦涩的行话，而是用直观的物理图像去引导读者理解数值离散的必要性。尤其是关于不同通量函数（如Lax-Friedrichs, Roe, HLLC等）的对比分析，它不仅展示了公式，还深入探讨了它们在处理激波和接触间断时的不同表现，这种对比分析的深度，远超我之前读过的任何一本同类书籍，让人对不同方法的优劣有了深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者团队显然是该领域的资深专家，他们的洞察力体现在对细节的把握上。我特别注意到，在一些关键定理的证明环节，作者没有采用那种只给结果、省略中间步骤的“高手秘籍”式写法。相反，每一步逻辑推导都交代得清清楚楚，甚至连一些看似微不足道的代数操作，作者也给出了简短的注释，解释为什么要这样做，这对于非数学专业背景的工程师和物理学家来说，简直是及时雨。此外，书中对一些经典算例的数值模拟结果展示得非常详尽，不仅仅是给出最终的解曲线，还展示了不同时间步长或网格密度下的收敛趋势图，这对于理解数值方法的稳定性和精度具有极强的说服力。这些深入到实现层面的细节，让这本书不仅仅是一本理论参考书，更像是一本高效实战指南。

评分☆☆☆☆☆

需要较好的数学功底，只是想编程的，这本书不适合。

评分☆☆☆☆☆

The subtitle, Nonclassical Fields, is perhaps not as accurate as it might be as a summary of content; or to put it another way, if my aim from the start had been to write a book on this topic, parts of that book would differ significantly from what follows here. Possibly the most important thing missing, and something that should be said, is that there are two quite distinct paths to a definition of nonclassicality in quantum optics. The first is grounded in the existence, or otherwise, of a nonsingular and positrve Glauber-Sudarshan P function. The physical grounding is in the treatment of optical measurements, specifically the photoelectric effect: for a given optical field, can the photoelectron counting statistics, including all correlations, be reproduced by a Poisson process of photoelectron generation driven by a classicallight intensity, allowed most generally to be stochastic? Viewed at a more informallevel, the question asks whether or not the infamous proposal of Bohr, Kramers, and Slater for the interaction of classical light and quantized atoms can be upheld in the presence of the observable photoelectron counting statistics.

评分☆☆☆☆☆

The subtitle, Nonclassical Fields, is perhaps not as accurate as it might be as a summary of content; or to put it another way, if my aim from the start had been to write a book on this topic, parts of that book would differ significantly from what follows here. Possibly the most important thing missing, and something that should be said, is that there are two quite distinct paths to a definition of nonclassicality in quantum optics. The first is grounded in the existence, or otherwise, of a nonsingular and positrve Glauber-Sudarshan P function. The physical grounding is in the treatment of optical measurements, specifically the photoelectric effect: for a given optical field, can the photoelectron counting statistics, including all correlations, be reproduced by a Poisson process of photoelectron generation driven by a classicallight intensity, allowed most generally to be stochastic? Viewed at a more informallevel, the question asks whether or not the infamous proposal of Bohr, Kramers, and Slater for the interaction of classical light and quantized atoms can be upheld in the presence of the observable photoelectron counting statistics.

评分☆☆☆☆☆

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The subtitle, Nonclassical Fields, is perhaps not as accurate as it might be as a summary of content; or to put it another way, if my aim from the start had been to write a book on this topic, parts of that book would differ significantly from what follows here. Possibly the most important thing missing, and something that should be said, is that there are two quite distinct paths to a definition of nonclassicality in quantum optics. The first is grounded in the existence, or otherwise, of a nonsingular and positrve Glauber-Sudarshan P function. The physical grounding is in the treatment of optical measurements, specifically the photoelectric effect: for a given optical field, can the photoelectron counting statistics, including all correlations, be reproduced by a Poisson process of photoelectron generation driven by a classicallight intensity, allowed most generally to be stochastic? Viewed at a more informallevel, the question asks whether or not the infamous proposal of Bohr, Kramers, and Slater for the interaction of classical light and quantized atoms can be upheld in the presence of the observable photoelectron counting statistics.

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需要较好的数学功底，只是想编程的，这本书不适合。

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需要较好的数学功底，只是想编程的，这本书不适合。

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需要较好的数学功底，只是想编程的，这本书不适合。