高等学校数学公共课辅导系列·高等数学解题指导：概念、方法与技巧（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李静 编

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• 学习方法
• 理工科
• 数学分析
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301065495

版次：1

商品编码：10593329

包装：平装

开本：32开

出版时间：1995-12-01

用纸：胶版纸

页数：415

字数：390000

正文语种：中文

内容简介

　　 《高等数学解题指导（上）：概念、方法与技巧》是高等院校理工科、经济管理和财经类各专业数学公共课“高等数学”的学习辅导书，与国内通用的《高等数学》教材配套，可同步使用。全书共十二章，分上下两册出版，上册内容包括函数、极限与连续，导数与微分，中值定理与导数应用，不定积分，定积分及其应用；下册内容包括空间解析几何与向量代数，多元函数微分及其应用，重积分，曲线与曲面积分，无穷级数，微分方程等。每章按内容提要（包括本章框架）、重要概念与性质）、教学要求、解题方法概论与错误辨析、典型例题分析、练习题及练习题答案，共分为五个部分。典型例题分析中的例题分为A，B，C三类：A类为基本题，B类为综合题，C类题大部分选自历年研究生入学考试的试题。
　　 《高等数学解题指导（上）：概念、方法与技巧》按照教育部颁布的“高等数学”教学大纲要求进行编写，注重数学思想、方法和技巧三位一体，结合了作者在教学第一线总结出的学习高等数学的认知规律与解题方法。
　　 《高等数学解题指导（上）：概念、方法与技巧》重点是各章典型例题分析中给出的解题指导与错误辨析。典型例题是为解决学生在学习过程中暴露出的疑难与困惑而精心安排的，力求具有代表性，由浅入深，通过多侧面、不同解法的讨论以及对初学者易犯错误进行的剖析，使学生加深对高等数学中概念的理解并对解题方法与技巧进行归纳和总结，提高分析问题和解决问题的能力。
　　 《高等数学解题指导（上）：概念、方法与技巧》可作为高等院校理工科、财经类和经济管理类各专业本科大学生学习“高等数学”的辅导教材，也可作为任课教师的教学参考书。对于报考硕士研究生的高年级大学生，《高等数学解题指导（上）：概念、方法与技巧》也是复习备考者的良师益友。

目录

第一章 函数、极限与连续
一、内容提要
本章框架
重要的概念与性质
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
解题方法概论
错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第二章 导数与微分
一、内容提要
本章框架
重要的概念与性质
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
解题方法概论
错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第三章 微分中值定理与导数的应用
一、内容提要
本章框架
重要的概念与性质
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
解题方法概论
错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第四章 不定积分
一、内容提要
本章框架
重要的概念与性质
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
解题方法概论
错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第五章 定积分与广义积分
一、内容提要
本章框架
重要的概念与性质
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
解题方法概论
错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第六章 定积分的应用
一、内容提要
本章框架
重要的概念与性质
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
解题方法概论
错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题
附录1 常用的平面曲线图形
附录2 高等数学试题（理工类重点院校）
附录3 练习题答案、提示与解答

前言/序言

《微积分的奥秘：从基础到应用》 本书旨在为初学者和希望巩固基础的读者提供一套全面而深入的微积分学习体验。全书结构清晰，内容涵盖了极限、导数、积分三大核心领域，并辅以丰富的实例和练习，力求将抽象的数学概念转化为直观的理解和实用的解题能力。 --- 第一部分：极限——微积分的基石 本部分将带领读者进入微积分的理论核心——极限。我们不将极限视为一个简单的运算规则，而是将其视为理解“无限接近”这一深刻思想的桥梁。 第一章：数列的极限与直观理解 数列的定义与基本性质： 详细阐述有界性、单调性等概念，为后续讨论极限奠定基础。 极限的直观引入： 通过 Zeno 的悖论等经典思想实验，激发读者对无限过程的思考。 $epsilon-N$ 语言的严谨构建： 循序渐进地介绍极限的 $epsilon-N$ 定义，强调其精确性，并通过几何图像辅助理解，确保读者能够扎实掌握这一理论基石。 极限的四则运算与基本定理： 详细推导和应用极限的运算法则，包括保序性定理（夹逼定理）的应用，这是解决复杂极限问题的关键工具。 第二章：函数极限的探究 函数极限的定义： 推广数列极限的概念至函数自变量趋于定点或无穷远的情况，区分左极限与右极限。 基本初等函数的极限： 针对多项式函数、有理函数以及指数、对数函数的极限计算技巧。特别关注当自变量趋于无穷大时，函数渐近行为的分析。 无穷小与无穷大： 深入剖析无穷小量与无穷大量之间的关系，这是进行极限简化和等价替换的基础。 重要极限的应用： 重点讲解 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ 和 $lim_{x o 0} (1+x)^{frac{1}{x}} = e$ 的推导及其在复杂函数极限计算中的高效应用。 第三章：连续性——函数图像的“不间断性” 连续性的定义与判定： 从点态连续性出发，扩展到区间上的连续性。 初等函数的连续性： 证明基本初等函数（幂函数、三角函数等）的连续性，并讨论函数和、差、积、商以及复合函数在连续性上的保持规律。 闭区间上连续函数的性质： 详细论述有界性定理、最大值与最小值定理，以及介值定理（包括零点定理），这些定理在分析方程解的存在性时具有无可替代的作用。 --- 第二部分：导数——变化率的精确度量 本部分将导数概念与实际中的变化率问题紧密结合，帮助读者理解导数在物理、工程和经济学中的实际意义。 第四章：导数的几何意义与代数计算 导数的定义与几何意义： 将导数定义为切线的斜率，直观展示其瞬时变化率的本质。 可导性与连续性的关系： 探讨可导性是否蕴含连续性，以及导函数不存在的情况（如尖点、垂直切线）。 基本求导法则： 详细推导和练习常数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数的求导法则。 复合函数求导法则（链式法则）： 深入剖析链式法则的结构，它是进行复杂函数求导的核心技巧，通过多层嵌套的实例来巩固理解。 乘用法则与除法法则： 熟练运用这些法则进行有理函数和涉及乘积、商的函数的求导。 第五章：高阶导数与隐函数求导 高阶导数的概念： 介绍二阶导数、三阶导数及其物理意义（如加速度）。 隐函数求导法： 针对无法显式表达的函数关系（如圆的方程），系统讲解隐函数求导的步骤，强调对 $y$ 的求导需要乘以 $frac{dy}{dx}$。 参数方程求导： 处理以参数形式给出的曲线的导数计算，特别是其在曲线上某点切线斜率的确定。 第六章：导数的应用——函数图像的描绘与分析 利用导数判断函数的单调性： 阐述一阶导数符号与函数增减性的严格对应关系。 极值与最值： 详细介绍 Fermat 定理、极值判别法（一阶和二阶检验法），并解决在实际问题中寻找全局最优化解的步骤。 函数的凹凸性与拐点： 引入二阶导数，分析函数图像的弯曲方向（凹向上或凹向下），并确定拐点的位置。 渐近线分析： 综合利用极限和导数知识，完整地描绘复杂函数的图形，包括垂直、水平和斜渐近线的确定。 第七章：导数的实际应用 物理学中的应用： 深入探讨位移、速度、加速度之间的微分关系。 经济学中的应用： 引入边际成本、边际收益等概念，解释导数在经济决策中的作用。 相关的变化率问题（Related Rates）： 讲解如何识别问题中的变量、常数以及它们之间的关系式，并通过链式法则求解特定时刻的变化率。 --- 第三部分：积分——累积与面积的计算 本部分将从对“求和”的直观认识出发，构建定积分与不定积分的理论框架，并展示积分在计算体积、弧长等方面的强大能力。 第八章：不定积分与微积分基本定理 反导数与不定积分的引入： 明确不定积分是导数的逆运算，理解积分常数 $C$ 的重要性。 基本积分公式： 汇编并熟练运用基本函数的积分公式。 换元积分法（Substitution Rule）： 详细讲解何时使用三角代换、何时使用指数/对数代换，这是解决复杂积分的核心技巧，并特别关注定积分中换元后上下限的相应变化。 分部积分法（Integration by Parts）： 阐述其公式的推导和适用场景（如 $x e^x$, $x sin x$, $ln x$ 等的积分），并展示如何迭代使用该方法。 微积分基本定理： 这是连接微分与积分的桥梁。详细解释牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理的第二部分），明确了定积分的计算依赖于找到原函数。 第九章：定积分及其几何应用 定积分的黎曼和定义： 从分割、求和、取极限的严谨步骤，理解定积分作为“面积”的数学本质。 定积分的性质： 探讨定积分的线性性、区间可加性等性质，并介绍均值定理。 定积分的计算： 运用微积分基本定理高效计算定积分。 面积的计算： 运用定积分计算由函数图像与坐标轴或两条曲线围成的平面图形的面积。 体积与弧长： 介绍旋转体的体积计算方法（圆盘法、圆环法）以及曲线弧长的积分公式。 第十章：积分技巧进阶 有理函数的积分： 重点讲解部分分式分解法，这是积分有理函数时必须掌握的关键代数预处理技术。 三角函数的积分： 针对不同幂次和组合的三角函数积分策略，包括降幂公式的应用。 --- 本书特点： 1. 概念先行，实例驱动： 每一个抽象概念（如极限、导数）的引入都伴随着一个清晰的现实世界或几何模型，确保理解的直观性。 2. 严谨性与实用性的平衡： 在保证数学定义的严谨性的同时，将重点放在如何熟练运用公式和方法解决实际问题。 3. 方法归纳与技巧提炼： 对每类问题（如求极限、求导、求积分）都系统地总结了最有效的方法和易错点，使学习过程高效有序。 本书适合对象： 高等院校理工科、经济学、管理学等专业本科生。 自学微积分的爱好者和需要复习基础知识的在职专业人士。 通过本书的学习，读者不仅能掌握微积分的基本运算，更能深刻理解其背后的数学思想，为后续学习微分方程、多元微积分等高级课程打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直太棒了！我一直是数学苦手，尤其到了大学，高等数学更是让我头疼欲裂。这本《高等数学解题指导》就像是我黑暗中的一盏明灯，让我看到了希望。书中对每一个概念的解释都非常透彻，而且不仅仅是理论上的阐述，还配有大量的例题，这些例题的难度梯度设计得非常合理，从基础到进阶，一步步地引导我理解概念是如何在实际解题中应用的。我尤其喜欢它在讲解方法和技巧的部分，那些总结性的提示语，比如“先审题，再找规律”、“遇到复杂积分，尝试换元或分部”等等，都像是一剂“灵丹妙药”，让我茅塞顿开。以前做题总是无从下手，现在我能大致判断出题目的类型，并选择合适的解题策略。它不是简单地罗列公式，而是深入剖析了公式背后的思想，让我明白“为什么”要这么做，而不是死记硬背。这本书的语言风格也很亲切，不像很多教材那样枯燥乏味，读起来感觉像是在和一位经验丰富的老师交流，充满了鼓励和启发。我已经迫不及待地想翻开下册，继续我的数学学习之旅了！

评分☆☆☆☆☆

说实话，拿到这本书之前，我对高等数学的学习状态是比较焦虑的。总觉得知识点太多，而且关联性不强，很容易学了后面的忘了前面的。但《高等数学解题指导》的出现，彻底改变了我的看法。它最让我惊喜的是“概念”的阐述方式。不同于教科书的抽象定义，这本书用更加生动、形象的比喻和直观的图形来解释复杂的数学概念，比如极限、导数、积分等等。这使得原本看起来高不可攀的理论，变得触手可及。我特别喜欢它在每个概念讲解结束后，都会紧接着给出相关的典型例题，并且对解题思路和步骤进行详细的剖析。这些例题的选择非常有代表性，能够覆盖到该概念的各种应用场景。而且，书中还穿插了不少“解题陷阱”的提示，让我能够提前预警，避免掉入常见的错误误区。读这本书，感觉就像是在和一个循循善诱的导师对话，他不仅告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么”以及“怎么做”。这种由浅入深的讲解方式，让我对高等数学的理解更加深刻和牢固。

评分☆☆☆☆☆

这是一本真正能帮助我提升高等数学学习效率的书。我之前一直在纠结于如何系统地梳理知识点，并将其有效地应用到解题中。这本书的结构设计非常合理，它将高等数学的核心概念、常用方法和解题技巧融为一体，形成了一个完整的学习体系。我尤其欣赏它对“方法”的系统性讲解，它不仅仅是罗列出几种解题方法，而是会分析每种方法的优缺点，以及在不同类型问题中的适用性。例如，在学习级数部分时，它不仅讲解了判敛法的原理，还通过大量的例题展示了如何根据级数的具体形式选择最合适的判敛法，并给出详细的判断依据。这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，让我对数学的理解更加深入。而且，书中还包含了很多“提炼总结”的部分，将一些抽象的理论归纳成易于记忆和应用的规律。这些总结性的内容，就像是为我量身定制的学习笔记，大大节省了我自己梳理知识的时间。这本书让我感觉，高等数学的学习不再是漫无目的的“题海战术”，而是有策略、有方向的有效探索。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学学习的关键在于理解和应用，而这本书恰恰在这两方面做到了极致。它并没有提供那种“包治百病”的速成秘籍，而是脚踏实地地带领读者走过高等数学的各个知识点。我最看重的是它对于“方法”和“技巧”的提炼，这部分内容往往是许多教材所忽略的。很多时候，我们掌握了概念和公式，但在实际解题时却不知道如何组织思路，这本书恰恰弥补了这一空白。它将解题过程分解成可操作的步骤，并点明每一步的关键点和易错点。例如，在讲解微分方程时，它不仅列出了各种方法的适用条件，还详细分析了不同情况下如何选择最优的解题途径，这对于我这种容易陷入思维定势的学生来说，简直是救星。而且，它还特别强调了“错误分析”，帮助我认识到自己常犯的错误，并给出纠正的方法。这种“治本”的学习方式，让我感觉数学不再是冰冷的公式堆砌，而是充满智慧和逻辑的艺术。读完这本书，我不仅学会了如何解题，更重要的是，我开始享受解题的过程，那种挑战自我、克服困难的成就感是无可比拟的。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最深刻的印象是其“技巧”部分的丰富性和实用性。很多时候，我们掌握了基础知识，但面对千变万化的题目时，依然会感到束手无策。《高等数学解题指导》在这方面做得尤为出色。它不仅仅是教我们套用公式，而是深入浅出地揭示了各种解题的“小窍门”和“通用策略”。比如，在处理复杂的不定积分时，它会提供一些非常实用的换元技巧和分部积分法的选择顺序建议。在学习导数应用时，它会总结出如何通过构造辅助函数来简化问题的思路。这些技巧并不是凭空捏造的，而是基于大量的解题实践提炼出来的精华。书中对这些技巧的讲解，往往配有清晰的图示和详细的推导过程，让我能够理解这些技巧背后的数学原理，而不是简单地记忆。而且，它还鼓励读者在解题过程中多尝试不同的方法，培养一种灵活的解题思维。读完这本书，我感觉自己的解题能力得到了质的飞跃，做题时不再感到畏惧，反而多了几分自信和从容。

评分☆☆☆☆☆

包装太简陋了吧！

评分☆☆☆☆☆

超级棒

评分☆☆☆☆☆

蛮不错的

评分☆☆☆☆☆

包装太简陋了吧！

评分☆☆☆☆☆

非常经典的一本书

评分☆☆☆☆☆

非常经典的一本书

评分☆☆☆☆☆

正品，不错的一次购物

评分☆☆☆☆☆

发货很快，质量很好，

评分☆☆☆☆☆

蛮不错的