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席南华 编

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030339614

版次：1

商品编码：10992547

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-05-01

用纸：胶版纸

页数：175

字数：220000

正文语种：中文

内容简介

中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。《数学所讲座 2010》根据2010年八个讲座的讲稿整理而成，内容涉及数与形的关系、数和形的认识、分析数学、数理逻辑、表示论、数学物理等。

目录

目录
序
前言
1 数与形——一个说不尽的话题 葛力明
1.1 引言 l
1.2 整数和圆周 2
1.3 自然数 5
1.4 扭结——圆周的变形 7
1.5 代数中的“连通性” 8
1.6 代数和子代数 9
1.7 代数中的分形维数 10
2 形，从熟悉到陌生 孙笑涛
2.1 一般介绍 14
2.2 齐次三元三次方程 16
2.3 齐次四元三次方程 18
2.4 从“形”到“数” 20
2.5 从“简单”到“复杂”：Mordell猜想的证明 21
参考文献 25
3 表示，随处可见 席南华
3.1 表示论的大致划分 27
3.2 表示的例子——一维的情形 28
3.3 模的语言 29
3.4 表示的例子——高维的情形 29
3.5 表示论的基本思想 35
3.6 表示论的基本问题 35
3.7 最基本的表示 35
3.8 不可约表示的分类 37
3.9 研究方法 41
3.10 历史 46
3.11 结语 53
附记 53
4 数，我们怎样认识她 王崧
4.1 引言 55
4.2 赋值 56
4.3 Adele环 59
4.4 数的代数 61
4.5 数的几何 63
4.6 结语 64
参考文献 67
5 分析，长袖善舞 张立群
5.1 微分与极大值原理 71
5.2 积分与不等式 80
5.3 结语 89
参考文献 89
6 几何中的分类问题——形与数 段海豹报告，江怡整理
6.1 引言 90
6.2 历史上的一些几何分类问题 90
6.3 流形及其分类问题 95
6.4 结语 104
参考文献 105
7 形式与内涵，莱布尼兹之梦 冯琦
7 1 开篇：风，始于青萍之末 107
7.2 莱布尼兹梦想篇：风华少年觅新符 111
7.3 历史发展篇：世纪知音释旧梦 112
7.4 形式与内涵篇：遂将形式赋内涵 117
7.5 完备性定理篇：巧得完备冠系统 134
7.6 不完全性篇：横看成岭侧成峰，远近高低各不同 147
7.7 非标准模型篇：不识庐山真面目，只缘身在此山中 158
7.8 结语：先贤著玄机，风騷启后人 160
参考文献 161
8 爱因斯坦场方程——黑洞从这里产生 张晓
8.1 牛顿力学 162
8.2 光学 163
8.3 电磁学 165
8.4 狭义相对论 165
8.5 广义相对论 166
8.6 黑洞与奇点 168
8.7 宇宙加速膨胀 169
8.8 引力波 170
8.9 宇宙大爆炸 172
8.10 引力形变量子化 172
参考文献 175

前言/序言

数学前沿：探索与洞见 本书导览： 《数学前沿：探索与洞见》汇集了近年来在纯数学和应用数学领域中一系列重要且富有启发性的专题讲座和研究进展。本书旨在为数学专业学生、研究人员以及对数学深层结构和广泛应用感兴趣的广大读者，提供一个深入了解当前数学图景的窗口。内容横跨代数几何、拓扑学、数论、微分方程、概率论，以及理论物理与数据科学中的数学建模等多个核心领域。全书以严谨的逻辑、清晰的论证和丰富的实例，力图在保持学术深度的同时，兼顾概念的可理解性。 第一部分：代数与几何的交汇 本部分聚焦于代数几何与拓扑学的最新动态，探索几何对象的内在结构如何通过代数语言得到精确描述和深刻理解。 第一章：模空间理论的最新进展 本章深入探讨了模空间的构造及其在解决几何不适定问题中的关键作用。重点分析了如何利用稳定化方法（如Mumford的稳定化概念及其后继工作）来构造光滑的模空间。我们详细讨论了曲线模空间 $ar{M}_{g,n}$ 的紧化结构，特别关注其边界构型的奇点性质。此外，本章还介绍了如何利用 Gromov-Witten 不变量来研究这些模空间的动力学和量子上同调环，并简要提及了弦理论对模空间理解的启发。通过具体的例子，如模化李群或模化向量丛的例子，读者可以体会到代数工具如何精确地捕捉几何对象的“形变空间”。 第二章：高维代数簇的有效算术 本章转向代数数论与算术几何的交叉领域。核心内容围绕Faltings的“Mordell猜想”的证明及其后续发展，特别是关于丢番图方程解集的结构。我们详细回顾了$p$-adic Hodge 理论的基本框架，解释了如何利用 $p$-adic 范畴来研究代数簇上的有理点集。本章着重于关于椭圆曲线和更高维K3曲面上无穷多有理点存在的困难性问题。引入了关于 $ ext{log}$ 典范环的现代观点，探讨了如何通过对数几何的工具来处理具有奇点的代数簇。结尾部分，对算术交点理论在计算特定模空间上的环上同态进行了展望。 第二部分：分析、动力学与物理的联系 本部分探讨了偏微分方程、动力系统在描述自然现象中的核心地位，以及它们与理论物理之间日益紧密的联系。 第三章：非线性薛定谔方程的解的全局存在性与爆破现象 本章致力于研究著名的非线性薛定谔方程（NLS）在不同维度下的解的长期行为。我们首先回顾了基本的能量守恒定律和局部适定性理论（如Chicco理论）。随后，深入分析了当初始数据具有临界或次临界范数时，解可能出现的“爆破”（blow-up）现象。通过引入特定的能量函数和基于位能的比较原理，我们精确地确定了爆破发生在有限时间还是无穷时间。本章还介绍了如何通过变分法和山路定理来构造孤立波解（Solitons）的存在性及其稳定性分析。 第四章：遍历论在统计物理中的应用 遍历理论是连接微观动力学与宏观统计特性的桥梁。本章从基本的遍历定理（如Poincaré回归定理和遍历定理）出发，逐步过渡到更复杂的随机动力系统。重点讨论了费根鲍姆常数背后的迭代动力系统——Logistic映射的混沌行为。我们引入了Lyapunov指数来量化混沌的程度，并解释了不变测度的存在性与唯一性。此外，本章探讨了如何在玻尔兹曼方程的推导中利用遍历性假设来简化复杂的统计平均过程，以及在随机游走模型中，遍历性如何保证对极限分布的收敛性。 第三部分：数论、组合与离散结构 本部分关注于整数的结构、组合对象的计数以及离散数学工具在解决数论问题中的威力。 第五章：自守形式与L-函数的现代研究 本章深入探讨了经典数论的现代基石——自守形式理论。我们首先回顾了模形式的基本性质（如权、指标和Fourier展开），然后介绍了如何将这些概念推广到更一般的 $GL(n)$ 群上的自守表示。核心内容是关于 $L$-函数（如Dirichlet $L$-函数和自守 $L$-函数）的构造、函数方程的性质及其在黎曼 $zeta$ 函数推广中的关键作用。本章详细讨论了Langlands纲领的基本思想，即在伽罗瓦表示与自守表示之间建立对应关系，这是当代数论的核心驱动力之一。 第六章：极端图论与组合几何 本章聚焦于组合学的两大交叉领域：极端图论和组合几何。在极端图论部分，我们探讨了Turan定理的推广，以及如何在具有特定结构限制的图中寻找最大或最小的子图性质（如Ramsey数、圈的密度等）。随后，转向组合几何，重点分析了有限域上的代数曲线（如椭圆曲线和K3曲面）与组合结构之间的深刻联系，特别是在编码理论和有限几何中的应用。本章最后展示了拓扑方法（如Whitney指标）在解决图的染色问题和匹配问题中的有效性。 结语：数学研究的未来方向 本书的收尾部分总结了当前数学研究中一些尚未解决的重大问题，例如黎曼假设的最新进展、P vs NP问题的状态，以及如何利用量子计算的概念来革新现有的数论和优化算法。我们强调了跨学科合作的重要性，特别是数学与计算科学、金融工程的深度融合，预示着未来数学研究的广阔前景。本书旨在激发读者对数学更深层次问题的探索热情。

评分☆☆☆☆☆

《数学所讲座 2010》这个名字，让我想象着一场关于数学思想的盛宴。也许它并非聚焦于某个具体的数学分支，而是更侧重于数学思维方式的培养和逻辑推理能力的训练。我期待这本书能够引导读者从不同的角度去理解数学，看到数学在解决现实问题中的应用，以及它如何塑造我们的思维模式。例如，或许会有一章专门探讨“数学家是如何思考的”，通过分析一些经典数学问题的解决过程，来揭示数学家们独特的洞察力和创造性思维。或者，它会深入讲解一些重要的数学思想，比如集合论、证明的艺术、或者无穷的概念，并用生动的例子来阐释这些思想的深刻内涵。我希望这本书能成为一本启发思维的读物，帮助读者建立严谨的逻辑观念，提升分析和解决问题的能力，让大家明白数学不仅仅是计算，更是一种强大的思维工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名《数学所讲座 2010》总给我一种历史沉淀感，仿佛是某个时期数学研究成果的一次集中展示。我非常好奇，在2010年，数学界有哪些重要的突破或者讨论成为了焦点？这本书是否记录了当年一些具有影响力的数学家们的观点和研究成果？我希望它能够像一份珍贵的数学史料一样，为我们展现那个特定年份数学发展的图景。也许会有对某个重要数学猜想的探讨，或者对某个数学方法的深入剖析。我希望作者能够以严谨的态度，但又不失趣味性地，介绍这些内容，让读者能够感受到数学研究的严谨性和科学性，同时也能体会到数学家们严谨求实的治学精神。它应该能让对数学史感兴趣的读者，对2010年这个时间节点上的数学发展有更清晰的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名让我联想到很多关于数学的启蒙故事，也许它讲述了某个重要的数学概念是如何被发现的，或者某个伟大的数学家是如何在充满挑战的环境中坚持研究的。我期待着能从中看到数学理论是如何一步步构建起来的，那些抽象的公式背后蕴含着怎样的逻辑和美妙。我特别希望作者能够用生动有趣的方式来解读那些可能让初学者望而却步的数学难题，让读者在轻松的阅读过程中，不知不觉地领略到数学的魅力。比如，也许会有一章专门讲述微积分的诞生，作者会把牛顿和莱布尼茨的争论写得像一场精彩的辩论赛，或者把几何学的起源追溯到古埃及测量尼罗河洪水泛滥的土地。我希望这本书不只是枯燥的理论堆砌，而是能融入一些历史的温度和人文的关怀，让读者感受到数学家们在探索真理道路上的艰辛与喜悦，从而激发自己对数学更深层次的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

《数学所讲座 2010》这个名字，让我想起在大学时期，老师们在黑板上挥洒汗水，为我们讲解那些深奥但又充满智慧的数学概念时的情景。我希望这本书能够重现那种学习的氛围，以一种对话式的、互动的形式来呈现数学知识。也许它会以问答的形式，解答读者在学习数学过程中可能遇到的常见困惑，或者针对某个数学定理，提供多种不同的证明方法，让读者能够从不同的角度去理解。我期待这本书能够像一位循循善诱的老师，引导读者一步步地深入数学的殿堂，帮助读者克服对数学的恐惧感，建立学习数学的信心。我希望它能够包含一些引导性的练习题，或者一些启发性的思考题，让读者在阅读的同时，也能动手去实践，去体会数学的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

读到《数学所讲座 2010》这个名字，我立刻脑海中浮现出大学时期听过的那些令我印象深刻的数学讲座。我猜想这本书可能汇集了当年在某个著名数学研究所举办的一系列前沿讲座的精华。如果真是这样，我非常期待它能涵盖当下数学界最热门的研究方向，比如拓扑学、数论、或者人工智能领域的数学基础等等。我希望作者能够清晰地梳理出这些领域的关键问题、最新进展以及未来的发展趋势，让读者能够对数学研究的脉络有一个宏观的认识。尤其对于那些对纯粹数学感到好奇的读者，这本书或许能提供一个窥探数学前沿的窗口，让我们了解数学家们正在探索的那些令人兴奋的未知领域。我希望它不是那种只适合专业人士阅读的学术论文集，而是能够以相对通俗易懂的方式，向广大数学爱好者普及最新的研究成果，让大家感受到数学学科的活力与创造力。

评分☆☆☆☆☆

包装完整，快递很快，很有前沿性的综述性书籍，作者们很权威，总体不错。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

非常好的数学科普书，开阔视野，开阔思路，增长见识，很好

评分☆☆☆☆☆

这本书啊真赚钱这本书啊真赚钱

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一直看的系列，这期以数学物理为主，开拓了视野。不过还是只有唯一和物理无关的素数发布那篇才算完全看懂了，囧……

评分☆☆☆☆☆

好好好好好好好好好好好好好