物理及工程中的分数维微积分（第1卷）：数学基础及其理论 [Fractional Derivatives for Physicists and Engineers Volume 1:Background and Theory] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[俄罗斯] 尤查金（Vladimir V.Uchaikin） 著，罗朝俊，[瑞典] 伊布拉基莫夫 编

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• 分数微积分
• 分数导数
• 物理学
• 工程学
• 数学基础
• 理论
• 微分方程
• 特殊函数
• 应用数学
• 高级数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040322354

版次：1

商品编码：11128590

包装：精装

丛书名： 非线性物理科学

外文名称：Fractional Derivatives for Physicists and Engineers Volume 1:Background and Theory

开本：16开

出版时间：2013-0

内容简介

　　一个运动质点位置函数的一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度，那么分数阶导数的物理意义又是什么呢？分数阶导数是因何而产生，它对现代分析学在物理学的应用产生什么冲击，在将来又有什么发展？《物理及工程中的分数维微积分》二卷本将为你提供一个详细诠释。
　　《物理及工程中的分数维微积分（第1卷）：数学基础及其理论》介绍分数维微积分的数学基础和相应的理论，为这个现代分析学中的重要分支提供了详细而又清晰的分析与介绍。

内页插图

目录

Part Ⅰ Background
1 Heredity and Nonlocality
1.1 Heredity
1.1.1 Concept of heredity
1.1.2 A short excursus in history
1.2 Volterra's heredity theory
1.2.1 Volterra's heredity laws
1.2.2 Hereditary string
1.2.3 Hereditarv oscillator
1.2.4 Energv drinciple
1.2.5 Hereditary electrodynamics
1.3 Hereditary kinetics
1.3.1 Mechanical origin of heredity
1.3.2 Hereditary Boltzmann equation
1.3.3 Fokker-Planckequation
1.3.4 Pauli and Van Hove equations
1.3.5 Hybrid kinetic equations
1.4 Hereditary hydrodynamics
1.4.1 Physicalmotivation
1.4.2 Polymeric liquids
1.4.3 Turbulent diffusion
1.4.4 Coarse-grained diffusion models
1.5 Hereditarv viscoelasticity
1.5.1 Boltzmann's viscoelasticity model
1.5.2 Elastic solid： a mesoscopic approach
1.5.3 One-dimensional harmonic lattice
1.5.4 Axiomatic approach to continuum mechanics
1.6 Hereditary thermodynanucs
1.6.1 Mechanical approach
1.6.2 Hereditary heat-transfer
1.6.3 Extendedirreversible thermodynamics
1.6.4 Axiomatic approach
1.6.5 Ecology and climatology
1.7 Nonlocal models
1.7.1 Many-electron atoms
1.7.2 Electron correlation in metals
1.7.3 Plasma
1.7.4 Vlasov's nonlocal statistical mechanics
1.7.5 Turbulence
1.7.6 Aggregation equations
1.7.7 Nonlocal models in nano-plasticity
1.7.8 Nonlocal wave equations
References
2 Selfsinularity
2.1 Power functions
2.1.1 Standard power function
2.1.2 Properties ofpower functions
2.1.3 Memory
2.1.4 Fractals
2.2 Hydrodynamics
2.2.1 Newtonian fluids
2.2.2 Turbulence
2.2.3 Microscopic fluctuations
2.2.4 Non-Newtonian fiuids
2.3 Polymers
2.3.1 The Nutting law
2.3.2 Relaxation ofpolymer chains
2.3.3 Interpenetrating polymer networks
2.4 Reaction-diffusion
2.4.1 Diffusion
2.4.2 Polymerization
2.4.3 Coagulation and fragmentation
2.5 Solids
2.5.1 Dielectrics
2.5.2 Semiconductors
2.5.3 Spinglasses
2.5.4 Jonscher's universal relaxation law
2.6 Optics
2.6.1 Luminescence decay
2.6.2 Anomalous exciton kinetics
2.6.3 Blinking fluorescence of quantum dots
2.7 Geophysics
2.7.1 Atmosphere and ocean turbulence
……

PartⅡ Theory
Index

《物理及工程中的分数维微积分（第1卷）：数学基础及其理论》图书简介 内容提要： 本书是“物理及工程中的分数维微积分”系列丛书的第一卷，旨在为物理学家、工程师以及希望深入理解这一前沿数学工具的读者，系统地梳理分数阶微积分的理论基石。本书着重于构建一个扎实且清晰的数学框架，为后续应用篇章（第2卷及更高卷）打下坚实的基础。全书内容紧密围绕分数阶导数和积分的定义、基本性质、关键函数关系以及必要的分析工具展开，严格避免了对具体物理模型或工程案例的直接应用讨论。 第一部分：基础概念的重塑与拓展 本书伊始，便对传统整数阶微积分进行了回顾和必要的概念拓展，为引入“非整数阶”的概念做铺垫。我们将从历史背景入手，简要介绍分数阶微积分（Fractional Calculus, FC）的起源，包括莱布尼茨和李欧维尔早期的探索，强调其并非现代数学的突发奇想，而是对传统微积分概念的自然延伸。 核心章节首先聚焦于分数阶导数与积分的定义。我们详细探讨了历史上和现代应用中最核心的几种定义，包括： 1. 黎曼-李欧维尔（Riemann-Liouville, R-L）分数阶导数与积分： 深入解析其卷积结构和与常规积分的关系，探讨其在左侧、右侧及双边定义下的区别与联系，并详细推导其在特定函数（如幂函数、指数函数）上的运算结果。 2. 卡普托（Caputo）分数阶导数： 阐述 Caputo 定义作为工程应用中初始条件的自然选择的重要性，并提供其与 R-L 定义之间的转换公式，分析两者在处理实际问题时的实际差异。 3. 格林尼斯-古尔斯基（Grünwald-Letnikov, G-L）定义： 从离散化的角度，基于泰勒展开的推广来引入 G-L 定义，这为数值方法的实现提供了直观的理解基础。 在定义层面，本书强调了分数阶微积分的非局部性（Non-locality）这一本质特征，并通过对比，清晰地展示了它与传统微积分在算子性质上的根本区别。 第二部分：关键函数与积分变换 分数阶微积分的理论发展与特定数学函数的推广密不可分。本书将大量篇幅用于介绍和分析在分数阶分析中扮演核心角色的特殊函数： 1. 伽马函数（Gamma Function）与贝塔函数（Beta Function）： 作为分数阶微积分运算的“权重因子”，本书不仅回顾了它们的积分定义和基本性质，更侧重于探讨它们在分数阶积分算子中的具体作用机制。 2. 广义超几何函数（Generalized Hypergeometric Functions）与米塔格-莱夫勒函数（Mittag-Leffler Function, MLF）： MLF 被誉为分数阶微积分中的“指数函数”，本书将详细分析其单参数和双参数形式的收敛性、渐近行为，以及它如何替代传统指数函数在分数阶微分方程的解中出现。我们将深入探讨 MLF 在复平面上的性质及其与贝塞尔函数、误差函数之间的关系。 此外，为了有效地求解分数阶微分方程，积分变换方法是不可或缺的工具。本书系统地介绍了傅里叶变换（Fourier Transform）和拉普拉斯变换（Laplace Transform）在分数阶微积分中的推广应用。我们将推导分数阶导数和积分在这些变换下的对应关系，这为后续使用代数方法求解微分方程提供了强大的代数工具箱。 第三部分：分数阶算子的性质与分析工具 在理解了基本定义和核心函数之后，本书转入更深层次的分析，探讨分数阶算子自身的数学性质： 1. 分数阶算子的半群性质： 分析重复应用分数阶算子时，其行为是否构成一个半群结构，以及这对理论推导的意义。 2. 连续性、可微性与积分的可交换性： 详细分析不同分数阶导数（如 R-L 和 Caputo）在特定函数空间中的连续性和可微性条件。特别是，对于不同阶数的分数阶积分和导数，其运算顺序（如 $mathcal{D}^alpha mathcal{D}^eta f$ 与 $mathcal{D}^eta mathcal{D}^alpha f$）的交换性问题将进行严格的论证。 3. 分数阶微积分的矩阵表示： 探讨在有限维近似框架下，如何将分数阶算子转化为带有特定核函数的矩阵形式，为数值分析和线性系统理论的读者提供一个可操作的视角（但本书不对具体的数值算法做展开）。 第四部分：与经典算子的联系与推广 本卷的最后部分，致力于将分数阶微积分的理论与更广泛的数学领域连接起来： 1. 与积分变换的深入关联： 除了拉普拉斯变换外，本书还将介绍富里埃-塞尔维（Fourier-Stieltjes）变换在分数阶积分中的作用，以及分数阶卷积与相关变换之间的关系。 2. 分数阶微积分的泛函空间理论基础： 简要介绍 Sobolev 空间在分数阶导数定义下的推广形式，为理解分数阶偏微分方程（PDEs）的解的存在性和唯一性提供必要的背景知识。 本书特点： 本书的结构是高度模块化和理论驱动的。它完全专注于“数学基础及其理论”的构建，确保读者能够清晰地区分不同定义带来的理论差异。全书语言严谨，推导详尽，力求在严密性与可读性之间取得平衡，是物理和工程领域研究人员系统学习分数阶微积分数学内核的理想入门教材。本书不涉及任何具体的物理模型（如粘弹性、扩散、介电响应等）的建立或求解，而是将所有精力投入到为这些应用提供坚不可摧的数学地基之上。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，我选择这本书，主要是冲着它“物理及工程”这个副标题来的，我原以为它会在数学理论的讲解之后，立刻接上大量的应用案例，让我看到分数阶微积分是如何解决实际问题的。然而，这本书似乎把大量的篇幅都放在了“数学基础及其理论”上，对于我这个更侧重应用的学习者来说，这多少有些本末倒置。我尝试着去理解书里介绍的那些复数积分、积分变换等高级数学工具，但这些工具本身就已经足够复杂，更不用说它们在分数阶微积分中的具体应用方式了。我期待的是，当书里介绍一个数学概念时，能够立刻给我一个与之相关的物理或工程背景的例子，说明为什么我们需要这个概念，它解决了什么问题，而不是孤立地介绍理论。例如，在讲到某些特殊函数时，我希望知道这些函数是如何在物理系统里出现的，它们代表了什么物理量。目前来看，这本书更像是一本纯粹的数学教材，而“物理及工程”的部分，感觉像是为了吸引读者而添加的。我希望后续的卷册能够更深入地探讨应用，或者至少在这一卷中，能穿插一些简短的应用说明，让我知道这些枯燥的数学理论最终的落脚点在哪里。

评分☆☆☆☆☆

我原本对这本书充满了期待，特别是看到作者是领域内的专家，又加上“物理及工程”这样的标题，我以为会有一场关于分数维微积分在实际问题中应用的精彩的数学之旅。然而，现实比预想的要“理论”得多。书的内容，大部分都围绕着分数阶导数和积分的各种定义、性质以及它们之间的关系展开，这确实是必要的基础，但对我来说，这些数学的抽象性远远盖过了潜在的应用价值。我反复阅读了关于“格林函数”、“傅里叶变换”等章节，希望能找到它们在分数阶微积分框架下的独特之处，但感觉更像是对现有数学工具的重新包装，而非我期望的创新性应用。我希望书中能够更清晰地展示，为什么需要分数阶导数来描述某些物理现象，它比整数阶导数能提供什么更优越的解释能力。例如，在弹性力学或粘弹性材料的描述中，分数阶导数是如何捕捉材料的记忆效应或历史依赖性的，这一点我希望能有更具体的阐述。目前，我感觉自己像是站在一个巨大的数学宝库门前，但钥匙却遗失了，无法真正进入探索宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书我看了有一阵子了，但说实话，到目前为止，我脑子里关于“分数维微积分”到底是个什么东西，还是云里雾里的。书的前面部分，讲的那些数学基础，我自认为数学功底还可以，结果还是看得云里雾里，很多符号和定义我需要反复查阅，感觉作者在解释一些概念的时候，并没有像我期待的那样，从一个完全没有接触过这个领域的人的角度去引导。比如，对于“分数阶导数”这个概念，它到底是怎么从我们熟悉的整数阶导数发展而来的，它背后有没有什么直观的物理意义或者几何意义，书里并没有给出我能轻松理解的解释。我本来是想通过这本书来拓宽我在物理建模方面的思路，尤其是在处理一些非局域性的物理过程时，比如扩散、弛豫等，我知道分数阶微积分在这方面有很大的应用潜力。但现在，我甚至还没能完全掌握它最基本的数学工具，更别提去应用了。我希望这本书在讲解数学概念的同时，能多一些类比、图示，或者举一些简单的、容易理解的数学例子，来帮助我们这些“小白”建立起对这个抽象概念的直观认识。目前的阅读体验，更像是在啃一本高深的数学专论，而不是一本面向物理和工程领域应用的书籍。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排，给我带来了一些阅读上的挑战。它将数学基础和理论放在如此突出的位置，虽然说“万丈高楼平地起”，但对于一个希望快速掌握并应用新知识的读者而言，这种“平地”铺设得过于冗长和复杂了。我试图在阅读过程中，去寻找那些能够连接理论与实际的“闪光点”，比如某些定理的引申应用，或者某个概念被提及可能与某类物理问题相关。然而，这些联系往往非常微弱，需要读者自己具备相当的背景知识才能捕捉到。我更希望的是，书中能在介绍数学工具的同时，就巧妙地植入一些简短的、有启发性的应用案例，让我能够随时“锚定”理论学习的方向，知道我学到的这些概念最终是为了解决什么问题。例如，在讲解某个分数阶积分算子时，如果能立刻提及它在模拟阻尼振动中的作用，哪怕只是几句话，也能极大地增强我的学习动力和理解深度。目前，这种理论与实践的脱节感，让我觉得学习过程有些单调和枯燥。

评分☆☆☆☆☆

这本书的理论深度确实非同一般，作者在数学的严谨性上下了很大的功夫，这一点值得肯定。但是，对于一个希望通过这本书来快速上手分数维微积分，并将其应用于科研或工程项目的读者来说，目前的进展让我感到有些吃力。书里涉及到大量的分析学、复变函数等内容，虽然这些都是分数阶微积分的必备知识，但作者的讲解方式，在我看来，更适合已经具备扎实数学背景，并且对数学本身有浓厚兴趣的读者。我尝试着去理解一些证明过程，但很多推导步骤省略得比较多，或者假设读者已经掌握了相关的数学技巧。我期望的是，作者能够为那些数学基础相对薄弱，但有迫切应用需求的读者，提供更详细的讲解和更易于理解的推导过程。例如，在引入黎曼-刘维尔定义的时候，作者可以花更多的时间去解释为什么需要引入“分数阶”的概念，以及这个定义背后的数学逻辑。此外，书里对于一些核心概念的引入，感觉有点突然，没有一个循序渐进的过程，这让我觉得难以把握整体的脉络。

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不错，比原版书便宜多了

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古人云：“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉。”可见，古人对读书的情有独钟。其实，对于任何人而言，读书最大的好处在于：它让求知的人从中获知，让无知的人变得有知。读史蒂芬?霍金的《时间简史》和《果壳中的宇宙》，畅游在粒子、生命和星体的处境中，感受智慧的光泽，犹如攀登高山一样，瞬间眼前呈现出仿佛九叠画屏般的开阔视野。于是，便像李白在诗中所写到的“庐山秀出南斗旁，屏风九叠云锦张，影落明湖青黛光”。 对于坎坷曲折的人生道路而言，读书便是最佳的润滑剂。面对苦难，我们苦闷、彷徨、悲伤、绝望，甚至我们低下了曾经高贵骄傲的头。然而我们可否想到过书籍可以给予我们希望和勇气，将慰藉缓缓注入我们干枯的心田，使黑暗的天空再现光芒？读罗曼?罗兰创作、傅雷先生翻译的《名人传》，让我们从伟人的生涯中汲取生存的力量和战斗的勇气，更让我们明白：唯有真实的苦难，才能驱除罗曼谛克式幻想的苦难；唯有克服苦难的悲剧，才能帮助我们担当起命运的磨难。读海伦?凯勒一个个真实而感人肺腑的故事，感受遭受不济命运的人所具备的自强不息和从容豁达，从而让我们在并非一帆风顺的人生道路上越走越勇，做命运真正的主宰者。在书籍的带领下，我们不断磨炼自己的意志，而我们的心灵也将渐渐充实成熟。 读书能够荡涤浮躁的尘埃污秽，过滤出一股沁人心脾的灵新之气，甚至还可以营造出一种超凡脱俗的娴静氛围。读陶渊明的《饮酒》诗，体会“结庐在人境，而无车马喧”那种置身闹市却人静如深潭的境界，感悟作者高深、清高背后所具有的定力和毅力；读世界经典名著《巴黎圣母院》，让我们看到如此丑陋的卡西莫多却能够拥有善良美丽的心灵、淳朴真诚的品质、平静从容的气质和不卑不亢的风度，他的内心在时间的见证下折射出耀人的光彩，使我们在寻觅美的真谛的同时去追求心灵的高尚与纯洁。读王蒙的《宽容的哲学》、林语堂的《生活的艺术》以及古人流传于世的名言警句，这些都能使我们拥有诚实舍弃虚伪，拥有充实舍弃空虚，拥有踏实舍弃浮躁，平静而坦然地度过每一个晨曦每一个黄昏。前合作的成果，1959年由中华书局上海编辑所（简称“中华上编”，上海古籍出版社的前身）出版，1962年又重印过一次。因为历史原因，当时刊行的校点本上并没有蒋、章二师的署名，仅在“出版说明”里简略地提及“采用蒋天枢先生校本，加以勘正”。

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