奥数小丛书（第二版）初中卷6（整除、同余与不定方程） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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冯志刚 著

图书标签:

• 奥数
• 初中数学
• 整除
• 同余
• 不定方程
• 竞赛数学
• 数学辅导
• 升学必备
• 第二版
• 中小学教材

出版社： 华东师范大学出版社

ISBN：9787561792032

版次：2

商品编码：11059326

包装：平装

丛书名： 数学奥林匹克小丛书

开本：16开

出版时间：2012-01-01

页数：119

内容简介

《整除同余与不定式方程（第2版）》数论是数学奥林匹克的一个重要内容，许多数论问题的解决不依赖于知识的多少，但需要有一些智慧和技巧。它是中学生提高数学能力的好素材。本书就整除、同余与不定方程三个专题展开，可以视为初等数论的一本人门书。作者取用了大量最近几年的国内外竞赛问题，并以它们为载体介绍了一些基本概念和方法。希望通过这些相对较新的资料让读者在学到一些数论知识的同时，还能深入地把握数学奥林匹克的脉搏与方向。同时，本书也是在高中阶段继续参与数学竞赛活动的基本读本，因此。编写过程中还注重了初高中之间的衔接。

作者简介

冯志刚，理学硕士、上海中学特级教师，上海市名教师基地主持人。长期从事数学奥林匹克教学与研究工作，一大批数学尖子生在他的辅导下崭露头角，最近五年每年都有学生进入IMO中国国家队，已有六名学生获得国际数学奥林匹克（IMO）金牌。此外，他还多次出任国际数学奥林匹克中国国家队副领队，担任中国西部数学奥林匹克主试委员会委员，经常参与数学奥林匹克命题研讨工作，出版著作十余本（套），字数超过100万，发表论文数十篇。

目录

1. 整除
1.1 整除的概念与基本性质
1.2 素数与合数
1.3 最大公因数与最小公倍数
1.4 算术基本定理
习题1

2. 同余
2.1 同余的概念与基本性质
2.2 剩余系及其应用
2.3 费马小定理及其应用
2.4 奇数与偶数
2.5 完全平方数
习题2

不定方程
3.1 一次不定方程（组）
3.2 不定方程的常用解法
3.3 勾股方程
习题3
习题解答

前言/序言

奥数小丛书（第二版）初中卷6：整除、同余与不定方程 探秘数论奇妙世界，解锁数学解题新思维 《奥数小丛书（第二版）初中卷6：整除、同余与不定方程》是一本专为初中阶段对数学充满热情、渴望挑战更高难度的学生量身打造的进阶读物。本书深入浅出地剖析了数论中最核心、最具代表性的三个分支——整除性、同余理论以及不定方程的解法，旨在帮助读者构建扎实的数论基础，培养敏锐的数学直觉，并掌握解决各类复杂数学问题的有效策略。 一、 整除性：万物之基，规律之始 整除性是数论的基石，它揭示了整数之间最基本的关系——能否被整除。本书将从最基础的整除定义出发，逐步引导读者认识各种整除性质，例如： 基本整除性质： 如果a能被b整除，那么a的倍数也能被b整除；b的因子也能整除b。这些看似简单的性质，却是许多数论问题的出发点。 带余除法： 深入理解带余除法的原理，即任何整数a都可以表示为$a = bq + r$，其中0 ≤ r < |b|。理解余数的意义，是后续学习同余理论的关键。 公约数与公倍数： 学习最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的概念及其重要性质。我们将探讨如何通过欧几里得算法高效地求解GCD，并利用GCD与LCM之间的关系$GCD(a, b) imes LCM(a, b) = |a imes b|$来解决相关问题。 整除判别法： 除了基本的两位数、三位数整除法（如2、3、4、5、6、8、9、10、11的整除判别），本书还将介绍一些更具技巧性的判别方法，帮助读者快速判断一个大数能否被特定数整除，这在竞赛题中尤为常见。 素数与合数： 深入理解素数的定义、唯一分解定理（算术基本定理），以及素数分布的一些基本概念。掌握如何判定一个数是否为素数，以及如何对合数进行素因数分解。 整除性在计数问题中的应用： 学习如何利用整除性来解决组合数学中的计数问题，例如，在一个集合中选取若干元素，使得它们的乘积或和满足某种整除条件。 数论函数的初步介绍： 简要介绍一些常见的数论函数，如欧拉函数$phi(n)$，它表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。欧拉函数在同余理论和不定方程中扮演着重要角色。 本书将通过大量精心设计的例题和习题，引导读者在实践中掌握这些概念和方法。从简单的整除判断，到复杂的整除关系推导，每一道题目都旨在锻炼读者的逻辑思维和分析能力，让“整除”这个概念在心中生根发芽，成为解决数学问题的有力工具。 二、 同余理论：周期律动， modulo的智慧 同余理论是数论中一个强大而优美的工具，它以“模”为单位，揭示了整数在除法运算中的周期性规律。本书将系统地介绍同余理论的核心概念和应用： 同余的定义与基本性质： 学习“a与b模m同余”的定义，记作$a equiv b pmod{m}$，即$a-b$能被m整除。掌握同余的传递性、加法、减法、乘法运算性质，以及同余式的基本运算法则。 线性同余方程： 学习如何求解形如$ax equiv b pmod{m}$的线性同余方程。我们将探讨方程有解的条件（即GCD(a, m)必须整除b），以及求解的方法，包括使用扩展欧几里得算法。 中国剩余定理（CRT）： 这是同余理论中最璀璨的定理之一。本书将详细介绍中国剩余定理的原理，以及如何应用它来解决一系列模数互质的线性同余方程组。我们将通过具体的例子，展示CRT在求解复杂问题中的强大威力，例如，找到一个数，它同时满足多个除法条件。 威尔逊定理与费马小定理： 介绍这两个重要的数论定理。威尔逊定理指出，素数p的条件是$(p-1)! equiv -1 pmod{p}$。费马小定理则说明，如果p是素数，则对于任意整数a，都有$a^p equiv a pmod{p}$。我们将探讨这些定理的证明思路及其在素数判定和模幂运算中的应用。 平方剩余与勒让德符号： 简要介绍平方剩余的概念，即一个数是否能表示为另一个整数的平方模p。并引入勒让德符号，用于判断平方剩余的存在性。这部分内容将为读者打开数论更深层次的大门。 同余理论在周期性问题中的应用： 学习如何利用同余理论来分析和解决与周期性相关的数学问题，例如，判断一个数的末几位，解决数字规律问题，以及分析数列的周期性。 同余理论的学习，不仅能帮助读者解决代数问题，更能培养一种“眼观六路，耳听八方”的数学敏锐度，发现隐藏在数字表面之下的规律。 三、 不定方程：挑战极限，求索整数之美 不定方程是指方程中含有两个或两个以上未知数，且其解集为整数的方程。这类方程往往没有唯一确定的解，而是存在无穷多组整数解，其趣味性和挑战性极高。本书将聚焦于初中阶段常见的几类不定方程： 线性不定方程（二元）： 重点讲解如何求解形如$ax + by = c$的二元一次线性不定方程。我们将介绍如何利用欧几里得算法（或扩展欧几里得算法）来寻找方程的一个特解，并推导出通解形式。 利用整除性和同余理论求解不定方程： 许多不定方程可以通过整除性和同余理论转化为更易处理的形式。本书将展示如何利用这些工具来简化方程，寻找解的存在条件，并逐步求出整数解。例如，可以尝试将方程中的某个变量用同余式表示，然后代入原方程。 高次不定方程的初步探索： 对于一些特殊形式的高次不定方程，例如某些丢番图方程，我们将介绍一些基础的构造性方法和代数技巧，引导读者尝试寻找其整数解。虽然高次不定方程的理论非常复杂，但通过一些经典例子，可以培养读者对这类问题的初步认识和解决思路。 不定方程在实际问题中的应用： 许多实际问题，例如资源分配、计数问题、行程问题等，都可以转化为不定方程来求解。本书将通过一些生动有趣的例子，展示不定方程在解决实际问题中的应用价值，让读者体会到数学的实用性。 构造性解法与验证： 学习如何通过观察、尝试、归纳和推理，构造出不定方程的解。同时，也要学会如何严谨地验证所求得的解是否满足方程的所有条件。 不定方程的求解过程，是对读者逻辑推理能力、耐心和细致程度的极大考验。通过不断地尝试和反思，读者将逐渐领悟到寻找整数解的艺术。 本书特色与亮点： 循序渐进，由浅入深： 每一章节都从基础概念讲起，逐步深入，确保读者能够理解并掌握每一个知识点。 例题丰富，精讲精析： 大量精心挑选的例题，覆盖了各种题型和解题思路，并提供详细的解题过程和思路分析，帮助读者举一反三。 习题配套，巩固提升： 每章末都配有适量且有代表性的习题，难度梯度设计合理，帮助读者检验学习效果，巩固所学知识。 数学思想培养： 本书不仅传授解题技巧，更注重培养读者的数学思想，如数形结合、转化思想、构造法、反证法等，提升数学素养。 竞赛导向： 内容紧密结合各类数学竞赛的需求，为有志于参加数学竞赛的同学提供宝贵的学习资料和解题策略。 语言生动，趣味盎然： 避免枯燥的术语堆砌，力求用通俗易懂的语言，生动有趣地展现数论的魅力，激发读者的学习兴趣。 《奥数小丛书（第二版）初中卷6：整除、同余与不定方程》将是你遨游数论海洋的得力助手，是你解锁数学难题的密钥。通过深入学习本书内容，你不仅能够显著提升数学解题能力，更能够培养出严谨的逻辑思维，敏锐的数学洞察力，以及面对挑战时持之以恒的探索精神。这不仅仅是一本学习资料，更是开启你数学智慧大门的钥匙。

评分☆☆☆☆☆

刚收到这本《奥数小丛书（第二版）初中卷6》，迫不及待地翻开，虽然我对书中的具体内容还未深入研究，但从整体的排版、编排逻辑以及封面设计上，我能感受到出版方在细节上的用心。封面设计简洁大气，书名字体清晰，给人一种专业而又不失亲和力的感觉。翻阅目录，虽然我还不了解具体知识点，但章节的划分看上去很有条理，似乎能够循序渐进地引导读者进入一个全新的数学世界。初中卷6，顾名思义，这应该是对基础知识进行了一次比较系统性的梳理和拔高。我尤其欣赏的是，它并非仅仅罗列公式和定理，从前几页的导语来看，似乎融入了大量的例题和启发式讲解，这对于我这种喜欢动手实践、通过例子来理解抽象概念的学习者来说，无疑是个巨大的福音。我期待着书中的内容能够帮助我打开思路，找到解决数学难题的钥匙。而且，这种“小丛书”的形式，也让我想起以前学习时，总喜欢收集不同系列的奥数书籍，每一本都像是打开了一个新的宝藏。这次的第二版，也让我对这次的更新和优化充满好奇，不知道它在原有基础上又增加了哪些新的亮点。

评分☆☆☆☆☆

对于任何一个对数学充满好奇的学习者来说，《奥数小丛书（第二版）初中卷6》无疑是一本值得期待的读物。虽然我尚未深入钻研其内在的精妙之处，但从它所呈现的整体风格来看，我能感受到一种严谨而不失趣味的数学魅力。它仿佛是一扇窗户，透过它，我能够窥见数学世界中更深邃、更广阔的领域。我尤其看重的是，这类书籍往往能够帮助我们建立起一种“数学思维”，一种能够应对各种挑战的思考模式。我期待书中能够提供一些能够引发思考的题目，那些并非简单套用公式就能解决的难题，而是需要我们运用智慧去探寻其背后的逻辑。而且，这种“整除、同余与不定方程”的主题，本身就充满了数学的智慧和趣味性，相信通过这本书的学习，我能够在这几个方面有更深刻的理解和提升，为我未来的数学学习打下坚实的基础，甚至为我打开一扇通往更高层次数学殿堂的大门。

评分☆☆☆☆☆

这次拿到《奥数小丛书（第二版）初中卷6》，我最直观的感受就是它在细节上的打磨。纸张的质感很好，摸上去很舒服，印刷清晰，没有任何模糊不清的地方，这对于长时间阅读一本书来说，是相当重要的。而且，书的装订也很牢固，不用担心翻阅过程中会散架。我虽然还没有深入了解内容，但光是从目录的排布和初步的文字描述，我就能感受到编者对初中数学知识体系的深刻理解。他们并非简单地堆砌知识点，而是非常有条理地将它们串联起来，形成一个有机整体。我尤其对“第二版”这个标签感到兴奋，这意味着这本书一定是在第一版的基础上进行了优化和更新，可能加入了更前沿的数学思想，或者对一些讲解进行了更清晰的阐述。我期待书中能够提供一些非常具有代表性的例题，这些例题不仅能够展示知识点的应用，更能体现出解决问题的思维过程，让我能够从中学习到如何分析问题、拆解问题，并最终找到解决方案。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学学习的精髓在于其内在的逻辑性和严谨性，而《奥数小丛书（第二版）初中卷6》从我初步的观察来看，似乎正是朝着这个方向深入探索。虽然我还没来得及细读其中的每一道习题，但从它所传达出的“奥数”精神，我预感到这将是一本充满挑战又不乏乐趣的书籍。它不像某些教材那样枯燥乏味，而是试图用一种更具启发性的方式，引导读者去发现数学的奥秘。我注意到，书中的语言风格似乎比较活泼，不像传统教科书那样死板，这对于缓解初中生学习奥数的畏难情绪，培养学习兴趣，有着至关重要的作用。我尤其期待书中能够出现一些“意想不到”的解题思路，那些能够“点石成金”的技巧，这正是我在学习过程中一直苦苦追寻的。而且，这种“整除、同余与不定方程”的主题，听上去就充满了数学的智慧和趣味性，我渴望通过这本书，能够在这几个方面有质的飞跃，掌握更高级的数学思维方式，为将来的学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我一直对奥数有着浓厚的兴趣，这次入手《奥数小丛书（第二版）初中卷6》，让我对它所涵盖的“整除、同余与不定方程”这几个主题充满了期待。虽然我还没有详细阅读，但我从初步的翻阅中，已经感受到这本书的专业性和深度。它并非那种浅尝辄止的奥数读物，而是真正致力于引导读者深入理解数学的本质。我特别欣赏书中可能存在的那些“化繁为简”的讲解方式，能够将复杂晦涩的数学概念变得易于理解。我希望通过这本书，我能够掌握一些非常巧妙的解题技巧，这些技巧不仅能够帮助我解决课内外的数学难题，更能培养我独立思考和解决问题的能力。而且，“第二版”的字样让我相信，这本书一定吸收了前一版的反馈，在内容上进行了更精良的打磨，力求为读者提供最优质的学习体验。我迫不及待地想深入其中，去领略数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

质量很好，正版图书，印刷清晰

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好好好好好好好好好好好好好好好

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很不错的一本书，讲解精彩，值得拥有！！！！！

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讲解十分的详细，就是练习题较少。

评分☆☆☆☆☆

搞活动买的，很划算，囤货中

评分☆☆☆☆☆

书很好，正版图书，配送也很快，里面讲的也很好???。

评分☆☆☆☆☆

作为课外练习，给小孩增加一点数学的水平

评分☆☆☆☆☆

内容新颖，老师要求买这个的

评分☆☆☆☆☆

经典力作，绝对值得信赖和拥有。