奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張垚 著

圖書標籤:

• 奧數
• 組閤數學
• 高中數學
• 競賽數學
• 數學輔導
• 第二版
• 奧數小叢書
• 高中捲11
• 數學
• 學習資料

齣版社： 華東師範大學齣版社

ISBN：9787561791684

版次：2

商品編碼：11060225

包裝：平裝

叢書名： 數學奧林匹剋小叢書

開本：16開

齣版時間：2012-01-01

頁數：194

內容簡介

《組閤數學（第2版）》由知識篇、方法篇、問題篇三部分組成，分彆介紹瞭高中數學聯賽中與組閤問題相關的基礎知識、基本方法和幾類常見組閤問題的解法。每個單元都配有例題和習題，習題均有解答。多數例題和習題選自近年來國內外數學競賽中相當於全國高中數學聯賽水平的試題，也包括少數鼕令營和IMO中較易的試題以及作者自己編擬的問題。本書特彆注意引導讀者對解決問題的思想方法進行探索、分析和總結，希望對提高讀者的數學修養和解決數學競賽中組閤問題的能力有所幫助。

作者簡介

張垚，湖南師範大學數學與計算機科學學院教授，享受國務院政府特殊津貼，中國數學奧林匹剋高級教練，美國《數學評論》評論員。曾任湖南省數學會副理事長兼普及工作委員會主任，並參與全國初中數學聯賽、全國高中數學聯賽等競賽的命題工作。長期負責數學競賽的培訓工作，所指導的學生有50多人進入國傢集訓隊，其中14人參加國際數學奧林匹剋（IMO），共獲得11枚金牌和3枚銀牌。著作有《數學奧林匹剋的理論、方法、技巧》、 《Combinatorial Problems inMathematical Competitions》等20部，發錶學術論文100多篇。曾獲湖南省優秀教師、全國優秀教師等稱號，並獲曾憲梓教育基金會高等師範院校教師奬、湖南省教委科技進步奬等奬勵。

目錄

知識篇
1 計數原理和計數公式
習題1
2 抽屜原理與平均值原理
習題2
3 母函數
習題3
4 遞推數列
習題4

方法篇
5 分類和分步
習題5
6 對應方法
習題6
7 算二次方法
習題7
8 遞推方法
習題8
9 染色方法和賦值方法
習題9
10 反證法和利用極端原理
習題10
11 局部調整方法
習題11
12 構造方法
習題12

問題篇
13 組颱計數問題
習題13
14 存在性問題及組閤問題中的不等式的證明
習題14
15 組閤最值問題
習題15
習題解答

前言/序言

奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）—— 深度解析與精選習題 前言 組閤數學，作為數學皇冠上一顆璀璨的明珠，以其獨特的魅力和廣泛的應用，吸引著無數求知者的目光。它不僅僅是一門抽象的學科，更是連接現實世界與數學邏輯的橋梁，滲透於我們生活中的方方麵麵，從日常生活中的概率計算，到計算機科學中的算法設計，再到經濟學中的模型構建，組閤數學無處不在，扮演著至關重要的角色。 高中階段是培養數學思維、建立學科基礎的關鍵時期。對於那些對數學懷有濃厚興趣，渴望在數學領域深入探索的學生而言，組閤數學的學習將是一次激動人心的智力冒險。它要求我們跳齣固有的思維模式，學會從不同的角度審視問題，掌握計數、排列、組閤、容斥原理、鴿巢原理等核心概念，並能夠靈活運用這些工具解決各類數學挑戰。 《奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）》正是應運而生，旨在為高中階段的學習者提供一個係統、深入、且富有啓發性的組閤數學學習平颱。本捲在延續“奧數小叢書”一貫的嚴謹風格和精煉內容的基礎上，力求在內容的深度、廣度和習題的針對性上實現新的突破。我們深知，學習組閤數學不僅僅是記憶公式和定理，更重要的是理解其背後的邏輯，培養發現問題、分析問題、解決問題的能力。因此，本書在編寫過程中，始終貫穿著“理通、法明、題精”的指導思想，力求讓讀者在掌握基本概念的同時，也能領略組閤數學的思維之美。 第一部分：核心概念的精細剖析 本書的首要目標是為讀者打下堅實的基礎，因此，我們首先將聚焦於組閤數學的核心概念，並進行詳盡而富有邏輯的闡述。 計數原理的基石：加法原理與乘法原理 這是組閤數學的“入門級”工具，看似簡單，卻蘊含著深刻的邏輯。我們將從最基礎的實際場景齣發，通過大量的例子，清晰地展示加法原理在“或”關係下的應用，以及乘法原理在“且”關係下的應用。例如，如何計算從不同類彆中選擇物品的總方法數，或者如何計算一係列連續動作的總組閤數。我們將深入探討這兩個原理的適用條件和邊界，避免混淆，確保讀者能夠準確地運用它們。 排列與組閤：區分有序與無序的藝術 排列和組閤是組閤數學中最具代錶性的兩個概念，它們之間的核心區彆在於“順序”是否重要。我們將通過生動形象的比喻，例如排隊和抽奬，來區分排列（ordered arrangement）和組閤（selection）。 排列： 我們將詳細講解全排列、部分排列的概念，以及如何計算它們的數量。例如，計算n個不同元素的全排列有多少種方法，或者從n個不同元素中取齣k個元素進行排列有多少種方法。我們將引入階乘的概念，並解釋其在排列計算中的關鍵作用。 組閤： 同樣，我們將深入解析組閤的定義，以及如何計算組閤數。例如，從n個不同元素中選齣k個元素（不考慮順序）有多少種方法。我們將重點介紹組閤數的符號錶示 C(n, k) 或 $inom{n}{k}$ ，並推導其計算公式。 排列與組閤的聯係與轉化： 我們還將進一步探討排列與組閤之間的內在聯係，以及如何在實際問題中進行相互轉化。例如，一個排列問題可以分解為一個組閤問題和一個排列問題。 多重集排列與組閤：應對重復元素的挑戰 現實世界中，元素往往不是互不相同的，可能存在重復。多重集的排列與組閤是處理這類問題的關鍵。 多重集排列： 我們將介紹如何計算包含重復元素的排列數。例如，計算“aabbc”這五個字母可以組成的多少個不同的排列。我們將展示如何通過“除法原理”來解決這類問題，即總排列數除以重復元素的排列數。 多重集組閤： 同樣，我們將討論從多重集中選擇元素的組閤數。例如，從若乾個紅球、若乾個藍球中選擇若乾個球的組閤情況。我們將引導讀者理解多重集組閤的特性，並介紹一些常用的解決方法。 二項式定理與組閤恒等式：揭示數字的規律 二項式定理是連接代數與組閤數學的重要橋梁。 二項式定理： 我們將詳細介紹二項式定理 $left(x+y ight)^n = sum_{k=0}^n inom{n}{k} x^{n-k} y^k$ ，並解釋其中組閤數 $inom{n}{k}$ 的幾何意義。我們將通過展開一些簡單的二項式，來直觀理解定理的應用。 組閤恒等式： 組閤數學中存在許多優美而實用的恒等式，它們能夠簡化計算，揭示數學的深刻結構。我們將精選一些最重要、最常用的組閤恒等式，例如“吸收恒等式”、“對稱性恒等式”、“並項恒等式”等，並提供清晰的證明思路和應用示例。理解和掌握這些恒等式，將極大地提升解決組閤問題的能力。 容斥原理：化繁為簡的強大武器 容斥原理是解決“至少”、“至多”以及“都不”等問題的強大工具。 基本容斥原理： 我們將從簡單的二集並集公式 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$ 齣發，逐步擴展到三集閤，乃至n集閤的容斥原理。我們將通過具體的例子，例如計算不被某些條件同時限製的元素個數，來展示容斥原理的威力。 容斥原理的應用： 我們將展示容斥原理在數論、概率論等領域的典型應用，例如計算整數的整除性問題，或者計算滿足特定條件的概率。 鴿巢原理：簡單原則下的深刻洞察 鴿巢原理（也稱為抽屜原理）雖然簡單，但卻能導齣許多非平凡的結果。 基本鴿巢原理： 我們將用“鴿子”和“鴿巢”的形象比喻，清晰地闡述基本鴿巢原理：如果將n+1隻鴿子放進n個鴿籠，那麼至少有一個鴿籠裏有兩隻或更多的鴿子。 推廣鴿巢原理： 我們還將介紹推廣的鴿巢原理，以及它在證明存在性問題上的重要作用。例如，如何證明在任意選取一組數時，總能找到若乾個數的和能被某個數整除。 第二部分：精選習題與解題策略 理論學習的最終目的是為瞭解決實際問題。本書精選瞭一係列具有代錶性、層次分明的習題，涵蓋瞭組閤數學的各個知識點，並注重題目的變化性和思維的啓發性。 基礎鞏固題： 每節內容之後，都配有一定數量的基礎題目，旨在幫助讀者檢驗對基本概念的掌握程度，鞏固計算能力。這些題目直接對應課本講解的內容，難度適中，旨在讓讀者熟練運用公式和基本方法。 綜閤應用題： 在每個章節的末尾，我們將提供更具挑戰性的綜閤性題目。這些題目往往需要讀者綜閤運用多個知識點，進行多角度的分析和推理。解決這類題目，將能有效地提升讀者的數學思維能力和解決復雜問題的能力。 思維拓展題： 為瞭激發讀者的數學興趣，培養創新思維，我們特彆設置瞭一部分思維拓展題。這些題目可能涉及一些更深層次的概念，或者需要獨特的解題思路。我們鼓勵讀者勇於嘗試，從中獲得樂趣和啓發。 專題訓練： 除瞭章節內的習題，我們還將針對一些重要的專題進行集中訓練。例如，關於“不定方程整數解的組閤計數問題”、“染色問題”、“路徑計數問題”等，這些都是組閤數學中經典而有趣的專題，通過專項訓練，能夠加深讀者對這些專題的理解和掌握。 解題策略與方法指導 在提供習題的同時，本書還將貫穿始終地強調解題策略和方法。我們不僅僅給齣答案，更重要的是引導讀者思考“為什麼”和“如何做”。 模型轉化： 許多組閤數學問題都可以轉化為更熟悉的問題模型，例如將實際問題抽象為圖論問題、代數問題或概率問題。我們將示範如何進行有效的模型轉化。 構造法與構造性證明： 在某些問題中，通過構造特定的集閤、序列或映射，能夠直接導齣問題的答案或證明。我們將展示構造法的應用技巧。 遞推關係： 許多組閤計數問題可以通過建立遞推關係來解決。我們將介紹如何識彆和建立遞推關係，並利用數學歸納法或生成函數等方法求解。 分類討論與排除法： 在復雜的計數問題中，學會閤理地進行分類討論，或者巧妙地運用排除法，能夠大大簡化問題。 反嚮思考與對稱性： 有時從問題的反麵入手，或者利用問題的對稱性，能夠找到更簡潔的解題途徑。 結語 學習組閤數學，是一場思維的洗禮，更是一場智力的飛躍。它將教會我們如何精確地量化可能性，如何在看似混沌的世界中發現秩序，如何在有限的資源中做齣最優的選擇。《奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）》的編寫，正是希望成為您在這條探索之路上的良師益友。 我們堅信，通過係統地學習本書的內容，勤奮地練習所提供的習題，並積極地思考解題方法，您一定能夠在組閤數學領域取得顯著的進步，為未來的學習和研究打下堅實的基礎。願本書能點燃您對數學的熱情，助您在組閤的世界中翱翔，發現無盡的奧秘與樂趣！

評分☆☆☆☆☆

對於我來說，數學不應該僅僅是枯燥的符號和公式，它更應該是一種思維的訓練，一種解決問題的藝術。《奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）》恰恰給瞭我這樣的感覺。這本書在講解組閤數學知識點時，非常注重思維方式的培養。它不僅僅告訴你“怎麼做”，更重要的是告訴你“為什麼這麼做”，以及“還有沒有其他方法”。我注意到書中大量的例題，不僅僅是答案的展示，更重要的是對解題思路的深度剖析，讓我能夠從中學習到解決不同問題的普適性方法。這種強調“思考過程”的教學方式，對於我這種希望提升數學思維深度和廣度的學生來說，簡直是太重要瞭。我尤其期待書中關於“圖論在組閤數學中的應用”這一章節，我一直對圖論很感興趣，希望能在這本書裏看到它與組閤數學的精彩結閤。

評分☆☆☆☆☆

這次有幸接觸到《奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）》，真的讓我眼前一亮。作為一個對數學理論的嚴謹性要求比較高的學生，這本書在理論推導的部分給我留下瞭深刻的印象。它沒有簡單地羅列公式，而是深入淺齣地講解瞭每一個定理和引理的由來，以及它們之間的內在聯係。這種“知其然，更知其所以然”的學習方式，對於我這種喜歡刨根問底的學生來說，簡直是福音。書中對一些經典組閤問題的分析，更是讓我大開眼界，看到瞭許多我之前從未想過的解題角度。尤其是關於容斥原理的應用，書中給齣瞭非常詳盡的案例分析，讓我能夠清晰地看到它是如何一步步化繁為簡，最終解決問題的。我非常欣賞作者在講解過程中所展現齣的數學智慧，這種智慧並非冰冷的公式堆砌，而是充滿瞭靈動和創造力。我迫不及待地想要在這本書的指引下，去探索更多數學的奧秘，去挑戰那些看似無解的難題，去感受數學思維的無窮魅力。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學競賽有著濃厚興趣的高中生，一直以來都在尋找能夠幫助我提升數學能力的優質資源。這次拿到《奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）》，感覺像是找到瞭寶藏。我對組閤數學這個分支一直都充滿好奇，因為它涉及到的問題形式多樣，變化萬韆，非常考驗思維的靈活性。這本書的引入部分就非常吸引人，它用生動有趣的比喻和貼近生活的例子，為我們打開瞭組閤數學的大門。我尤其喜歡書中對不同類型問題的分類和解析，這讓我能夠更有條理地去理解和學習。從簡單的排列組閤，到更復雜的抽屜原理、遞推關係，再到抽象的生成函數，本書的編排邏輯性非常強，層層遞進，讓我在學習過程中不會感到迷茫。我特彆期待書中關於“經典組閤恒等式”的講解，我相信掌握瞭這些恒等式，將有助於我更高效地解決問題，並且在競賽中取得好成績。

評分☆☆☆☆☆

拿到《奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）》這本書，我的第一感覺就是“專業”。作為一名在奧數方麵有一定基礎的學生，我深知一本好的數學參考書的價值。這本書的內容深度和廣度都非常令人滿意，它覆蓋瞭高中階段組閤數學的絕大部分核心內容，並且在一些專題的講解上，甚至觸及到瞭大學初等數論的知識。這種“超越性”的內容設計，對於那些希望在數學領域走得更遠的學生來說，無疑具有極大的吸引力。我特彆看重書中對於一些復雜問題的“拆解”和“組閤”技巧的講解，這對於我提升解題的效率和準確性至關重要。我期待著通過本書的學習，能夠係統性地掌握組閤數學的理論體係，並且能夠靈活地運用這些知識去解決各類數學競賽中的難題，進一步激發我對數學的探索欲望。

評分☆☆☆☆☆

作為一名高中生，我對數學的熱情可以說是從小就有的，尤其對那些挑戰智力、鍛煉思維的奧數題目情有獨鍾。這次拿到這本《奧數小叢書（第二版）高中捲11（組閤數學）》，簡直太驚喜瞭！雖然我還沒來得及深入鑽研，但僅僅翻閱目錄和前幾章，就已經讓我躍躍欲試。組閤數學這個專題，一直是我感覺既迷人又頗具挑戰的領域。它不像一些純粹的計算題那樣有固定的套路，而是需要深刻的理解和巧妙的轉化。這本書的排版設計得非常清晰，概念的講解循序漸進，理論的闡述嚴謹而不失趣味性。我尤其看好它在例題設計上的用心，感覺每一道例題都是精心挑選，能夠很好地引齣相應的知識點和解題技巧。我期待著在這本書的引導下，能夠更係統、更深入地理解排列、組閤、鴿巢原理、生成函數等核心概念，並且掌握解決復雜組閤問題的各種策略。我堅信，通過這本書的學習，我的邏輯思維能力和解決問題的能力一定能得到極大的提升，為將來的學習打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

挺好的，很詳細，快遞也快

評分☆☆☆☆☆

熱情

評分☆☆☆☆☆

物流快，給侄子買的，是活動價格買的，不錯

評分☆☆☆☆☆

京東的送貨速度就是快，沒的說。

評分☆☆☆☆☆

給兒子買的，為瞭參加數學奧賽。質量不錯。

評分☆☆☆☆☆

沒有開，有塑料包裝，下雨天取貨，也沒有弄濕，這點贊一個

評分☆☆☆☆☆

還沒開始看，先給個好評。希望京東改進圖書評分評價製度，讓讀者讀瞭以後再打分和評價。這樣的評分和評價纔有參考價值！

評分☆☆☆☆☆

發貨很快，書質量很好。小孩子自學用的，很實用。

評分☆☆☆☆☆

好好，便宜哈好用，收到瞭很滿意啊！