线性代数疑难问题选讲 [Answers to Selected Perplexed Questions in Linear Algebra] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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蒲和平 编

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
• 疑难问题
• 教学参考
• 习题解答
• 考研数学
• 数学分析
• 矩阵
• 向量
• 解题技巧

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040403923

版次：1

商品编码：11525028

包装：平装

外文名称：Answers to Selected Perplexed Questions in Linear Algebra

开本：16开

出版时间：2014-08-01

用纸：胶版纸

页数：372

字数：200000

内容简介

　　《线性代数疑难问题选讲》对工科类线性代数课程中一些疑难问题作了较为深入的讨论。其内容主要涉及四个方面：一是对教材中一些重要的概念、理论和方法作剖析，揭示包含其中的数学原理与思想，归纳总结一些重要的数学方法；二是对于一些容易混淆的概念辨明它们之间的区别与联系；三是对教材中一些常用而又没给出证明的定理补充证明，并对部分内容作了适当的延伸；四是收集整理了大量的应用实例供读者参考。
　　《线性代数疑难问题选讲》可作为线性代数课程的教学参考书，对教师的教学与学生的学习都有很好的启迪与帮助。

内页插图

目录

第一章 矩阵
问题1.1 矩阵乘法中的几个问题
(1)矩阵的乘法为什么要像教材中那样定义
(2)矩阵乘法还有其他定义形式吗
(3)如何理解双重求和符号的可交换性
(4)矩阵的乘法运算要注意哪些问题
问题1.2 计算一个矩阵的方幂有哪些常见方法
(1)用归纳法计算
(2)用递推公式计算
(3)将矩阵作拆分计算
(4)将矩阵相似对角化后作计算
(5)用Hamilton-Cayley定理简化计算
问题1.3 如何理解逆矩阵的概念
问题1.4 如何理解伴随矩阵的意义
问题1.5 矩阵的秩有何意义？它有哪些等价的描述
问题1.6 为什么要引入初等矩阵？它的主要作用是什么
问题1.7 如何理解矩阵等价中的三条基本性质？矩阵的等价标准形有
何意义
(1)矩阵等价中的三条基本性质
(2)矩阵等价标准形的意义
问题1.8 矩阵分块有何意义？分块要注意哪些问题
(1)降阶，使计算得到简化
(2)分割，使问题得到转化
问题1.9 如何将矩阵的初等变换与初等矩阵推广到分块矩阵
问题1.10 什么是矩阵的三角分解(LU分解)，有何应用

第二章 行列式
问题2.1 行列式的历史沿革
问题2.2 行列式有哪些不同的定义方式
(1)“逆序数法”定义
(2)“归纳法”定义
(3)“函数法”定义
问题2.3 行列式有何几何意义
(1)超平行多面体的有向面积或体积
(2)线性变换下图形面积或体积的伸缩因子
问题2.4 Cramer法则的多种证明与几何意义
(1)Cramer法则的多种证明
(2)Cramer法则的几何意义
问题2.5 行列式的计算有哪些常用方法
问题2.6 行列式的Laplace展开定理如何证明
问题2.7 分块行列式也有初等变换性质吗

第三章 向量空间与线性方程组
问题3.1 如何认识“n维向量空间”所研究的问题
(1)n维向量空间是3维几何空间的推广
(2)n维向量空间是线性空间的一个代表
(3)线性方程组与向量组、向量空间
问题3.2 如何引入线性表出与线性相关等概念
(1)线性表出概念的引入
(2)线性相关概念的引入
问题3.3 判定向量组线性相关性的常见方法
问题3.4 向量组的极大线性无关组有何意义与等价形式
(1)向量组的极大线性无关组的概念及其意义
(2)极大无关组的等价描述
问题3.5 何谓两个向量组各个向量之间有相同的线性关系
问题3.6 矩阵的等价与向量组的等价有何区别与联系
问题3.7 线性方程组中的几个问题
(1)如何理解Gauss消元法解线性方程组的正确性
(2)为什么要用向量来表示线性方程组的解
(3)非齐次线性方程组线性无关解向量的个数与通解

第四章 特征值与特征向量
问题4.1 如何理解矩阵特征值与特征向量的几何意义
……
第五章 二次型
第六章 应用实例

《线性代数疑难问题选讲》：拨开迷雾，直击核心 线性代数，作为现代数学的基石，其应用渗透于科学、工程、经济、计算机科学等诸多领域。然而，这门看似严谨的学科，却常常让初学者乃至有一定基础的学习者感到困惑。那些定义、定理、证明，以及它们之间微妙的联系，往往如同缠绕的丝线，难以理清头绪。本书正是应运而生，旨在为广大学习者提供一个清晰、深刻的视角，系统性地解决线性代数学习过程中遇到的典型疑难问题，帮助大家真正掌握这门重要学科的精髓。 本书的独特之处与价值所在： 不同于市面上常见的线性代数教材或习题集，本书不拘泥于传统的章节划分和内容罗列，而是聚焦于那些最容易引起混淆、最常被忽略，却又最为关键的“疑难点”。我们精选了读者在学习过程中最可能遇到的问题，并进行深入剖析，力求让每一个知识点都变得通俗易懂，逻辑清晰。 精选典型疑难问题： 我们深入研究了大量学习者的反馈和常见的学习难点，从向量空间的基本概念到线性变换的性质，从矩阵的理论到特征值与特征向量的深入理解，从内积空间的几何意义到谱定理的强大应用，本书覆盖了线性代数中最具挑战性、也最能体现学科深刻性的核心问题。每个问题都经过精心设计，力求触及本质，而非停留在表面。 深入浅出的解析： 对于每一个选讲的问题，本书都提供了详尽的解析。我们不仅仅给出答案，更重要的是阐述“为什么”。通过清晰的逻辑推理、直观的几何解释、以及与相关概念的联系，帮助读者理解问题产生的根源，掌握解决问题的思路和方法。复杂的证明会化繁为简，抽象的概念会用生动的语言和恰当的例子来阐释，确保读者能够真正“明白”。 强调概念的内在联系： 线性代数中的各个概念并非孤立存在，而是相互关联、相互支撑的。本书特别注重揭示这些概念之间的内在联系，例如向量空间与子空间的关系、线性变换与矩阵表示的统一性、特征值与矩阵性质的紧密联系等。通过理解这些联系，学习者能够建立起一个完整的知识体系，避免知识点的碎片化。 注重数学思维的培养： 学习线性代数不仅仅是为了掌握计算技巧，更重要的是培养严谨的数学思维。本书在讲解过程中，注重引导读者如何进行逻辑思考、如何理解抽象概念、如何构建数学模型。通过解决疑难问题，学习者能够提升分析问题、解决问题的能力，为后续更深入的数学学习打下坚实基础。 丰富的应用视角（隐性）： 虽然本书聚焦于理论问题，但其背后蕴含的深刻理解，将极大地促进读者对线性代数在实际应用中的掌握。例如，对矩阵秩的深入理解，将帮助理解降维技术；对特征值和特征向量的透彻掌握，将有助于理解主成分分析等算法。本书旨在夯实理论基础，从而使读者能够更有效地迁移到实际应用中。 本书适合读者： 正在学习线性代数的本科生： 尤其是在学习过程中遇到困惑，希望加深对概念理解，提高解题能力的同学。 对线性代数有进阶学习需求的研究生： 尤其是需要运用线性代数解决科研问题的学生。 从事相关领域工作的专业人士： 希望系统梳理和巩固线性代数知识，以便更好地解决实际工作中的数学建模和算法设计问题的工程师、数据科学家等。 所有对线性代数怀有浓厚兴趣，渴望深入理解其精髓的学习者。 阅读本书，您将收获： 拨云见日般的清晰理解： 曾经令您头疼的抽象概念和复杂证明，将变得一目了然。 融会贯通的知识体系： 您将能够看到线性代数各个知识点之间的内在联系，形成一个完整而深刻的认识。 举一反三的解题能力： 掌握解决疑难问题的思维方法，使您能够应对更多变、更复杂的挑战。 坚实可靠的数学基础： 为您在更广阔的数学和科学领域中探索打下坚实的基础。 线性代数是一门美妙而强大的学科，掌握它将为您打开一扇通往更广阔世界的大门。本书愿成为您探索线性代数奥秘旅程中的一位良师益友，帮助您跨越障碍，领略这门学科的智慧与魅力。让我们一起，直击线性代数的疑难核心，解锁数学的无限可能。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就给人一种沉稳而又不失学术深度的感觉，暗蓝色的背景搭配烫金的书名，仿佛一位饱经风霜的智者，等待着与你一同探索那些深邃而迷人的数学世界。我第一次翻开它，就被那种严谨的逻辑和清晰的思路所吸引。作为一名在数学领域摸爬滚打多年的学生，我曾经对线性代数中的一些概念，比如特征值和特征向量的几何意义，或者矩阵秩的深层含义，总是感到一丝困惑，总觉得书本上的讲解虽然正确，但总缺少那么一点“点睛之笔”。而这本书，恰恰就是我寻觅已久的“点睛之笔”。它并没有一股脑地将所有基础知识重复一遍，而是直击那些最容易让人产生困惑的“疑难点”，然后抽丝剥茧，层层深入。书中对每一个疑难问题的剖析都堪称艺术，它不仅仅是给出了答案，更重要的是，它教会了我如何去思考，如何去理解问题背后的本质。例如，在关于向量空间基的选择问题上，作者并没有简单地罗列几种方法，而是从线性无关、张成空间等基本概念出发，引导读者一步步理解为什么存在最优基，以及如何找到它。这种循序渐进、深入浅出的讲解方式，让我仿佛置身于一个充满智慧的数学花园，每一处风景都值得细细品味。我特别喜欢其中关于线性变换的几何解释的部分，作者用非常生动的语言和巧妙的比喻，将抽象的矩阵运算具象化，让那些原本枯燥的符号瞬间充满了生命力。读完这部分，我感觉自己对线性变换的理解不再停留在代数层面，而是有了更直观、更深刻的认识。总而言之，这本书是为那些希望真正理解线性代数，而不仅仅是掌握解题技巧的读者量身打造的。它是一本值得反复阅读，并且每一次阅读都会有新体会的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

打开这本书，扑面而来的不是枯燥的公式堆砌，而是循循善诱的智慧引导。我曾经在学习线性代数过程中，总感觉很多概念像是“黑箱操作”，知道怎么用，但不知道为什么这样用。而这本书，正是为我这样渴望“揭开黑箱”的学习者而生。它并没有按照传统的章节顺序，而是将学习者在理解线性代数时最常遇到的“拦路虎”一一列出，并进行深入的解析。我尤其赞赏作者在解释“矩阵的秩”时所下的功夫。以往我只是知道秩与矩阵的行/列向量的线性无关个数有关，但这本书通过对不同矩阵的几何意义的剖析，让我深刻理解了秩在描述向量空间维度、方程组解的个数等方面的关键作用。作者用非常形象的比喻，比如“信息的冗余度”来解释秩，让我一下子就明白了其中的奥妙。而且，书中对于证明的讲解也极其细致，它不会简单地给出证明过程，而是会详细地解释每一步推理的逻辑依据，以及背后的数学思想。我曾经在理解“谱定理”的证明时感到非常吃力，但这本书中对谱定理的讲解，循序渐进，逻辑严谨，让我最终克服了这一难关。这本书不仅仅是解答了我的疑问，更重要的是，它让我对数学研究的严谨性和创造性有了更深刻的认识。它让我明白，数学的魅力，不仅在于其逻辑的严密，更在于其思想的深度。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的时候，我的第一感觉是“终于等到你了”。我一直觉得，虽然线性代数是许多学科的基础，但很多时候，教材上的讲解总是流于表面，或者为了追求简洁而牺牲了深度。那些隐藏在公式背后的深刻含义，那些容易被忽略的细节，往往是困扰我们的根源。这本书，正是直面这些“被隐藏”的难题。它没有回避那些最棘手、最容易让人头疼的问题，反而将它们一一列出，并进行了深入浅出的剖析。我尤其欣赏作者对于“为什么”的追问。很多时候，我们只需要知道“怎么做”，但这本书却引导我们去思考“为什么这样做”。比如，在解释矩阵的行列式和其几何意义时，作者并没有停留在“行列式代表体积缩放比例”这个简单的结论上，而是通过不同维度下的例子，从不同角度阐释了行列式的本质，甚至探讨了行列式为零时的特殊情况。这种钻研精神，让我感到无比振奋。书中对于证明的讲解也让我受益匪浅。很多证明题，看起来逻辑严谨，但总让人觉得“知其然，不知其所以然”。这本书则会详细地解释每一步证明的动机和依据，让你真正理解证明的精髓。读这本书的过程，就像是在和一位经验丰富的数学导师对话，他不仅解答你的疑惑，更引导你独立思考，培养你解决问题的能力。我曾经在理解“内积空间”的完备性时感到非常困惑，这本书中关于这个部分的讲解，用非常直观的例子和清晰的逻辑，让我茅塞顿开。我发现，原来那些复杂的数学概念，只要找到正确的切入点，都可以变得如此容易理解。这本书不仅仅是一本解答疑难问题的工具书，更是一本能够提升数学思维能力的上乘之作。

评分☆☆☆☆☆

我发现，很多学习线性代数的同学，都会在某些特定的概念上栽跟头，而这本书，就像是为我们量身打造的“疑难杂症”诊断师。它没有一本正经地从头讲起，而是直接挑出了那些最令人头疼、最容易混淆的概念，然后进行深入的剖析。这种方式，对于我这种时间宝贵，且迫切需要解决实际问题的学习者来说，简直是太及时了。我之前在理解“矩阵的乘法”为什么不能交换顺序时，总是觉得有些别扭，虽然知道有公式，但总觉得少了点什么。这本书中对于矩阵乘法顺序的讲解，让我看到了它背后的“映射”的意义，让我理解了为什么不同顺序的映射会产生不同的结果。这种从本质上去理解问题的方式，是我一直所追求的。而且，作者的叙述方式非常人性化，没有冰冷的数学语言，而是充满了温度和引导。他会考虑到我们可能遇到的困惑，并提前做出解释。比如，在讲解“奇异值分解”的时候，他并没有直接给出复杂的公式，而是先从“降维”和“数据压缩”的角度来引入，让读者先有一个感性的认识，然后再慢慢深入到数学细节。我非常喜欢这种“先感性，后理性”的学习路径。这本书不仅仅是解答了我的疑惑，更重要的是，它培养了我对数学的兴趣，让我不再畏惧那些看似复杂的概念。它让我明白，数学并非高不可攀，只要掌握了正确的学习方法，每个人都可以领略到它的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最直观的感受就是“痛快”。很多时候，我们在学习一本数学书籍时，会因为某些晦涩难懂的概念而感到沮丧，甚至产生放弃的念头。而这本《线性代数疑难问题选讲》，就像是及时雨，它精准地捕捉到了我们学习过程中最容易产生困惑的那些“痛点”，并为我们提供了清晰而深刻的解答。我曾经在理解“线性空间的同构”时感到非常困惑，总觉得这两个空间虽然维度相同，但为什么可以被认为是“一样”的？这本书中，作者通过对不同线性空间之间的“映射”的详细分析，并强调了这种映射的“保持结构”的特性，让我彻底理解了同构的本质。他甚至用了一个非常生动的例子，比如“语言的翻译”，来比喻同构，让我瞬间就有了豁然开朗的感觉。而且，书中对于一些证明的讲解，也极具启发性。它不会简单地罗列证明步骤，而是会解释每一步背后的数学思想，以及为什么这样去构造证明。我曾经在理解“二次型的正定性”的证明时感到十分困难，但这本书中，作者从矩阵的特征值入手，层层递进，将证明过程梳理得清晰无比。这本书不仅仅是一本解惑的书，更是一本激发学习动力的书。它让我对线性代数产生了新的兴趣，让我看到了数学背后隐藏的深刻逻辑和美感。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书，我最大的感受就是“豁然开朗”。作为一名工程专业的学生，线性代数对我来说是必不可少的基础，但很多时候，我只是机械地套用公式，对很多概念的理解都停留在模糊的状态。这本书，恰好填补了我的知识空白。它没有像普通教材那样，按照固定的章节顺序，而是精选了一系列在学习者中最具代表性的疑难问题，进行逐一攻克。这是一种非常高效的学习方式，因为它直接触及了学习痛点。我印象最深刻的是关于“线性相关与线性无关”的讨论。以往我总是死记硬背定义，但这本书通过一些巧妙的例子，比如不同向量在空间中的投影关系，让我真正理解了线性相关和无关的几何意义，以及它们在表示空间维度中的重要作用。作者的讲解风格非常独特，既有严谨的数学推导，又不乏生动形象的比喻。他能够将抽象的数学概念，用我们日常生活中熟悉的场景来解释，让那些原本高高在上的数学理论变得触手可及。例如，在讲解“特征值与特征向量”时，他用到了“力的方向不变但大小可能改变”的比喻，让我瞬间就理解了特征向量的本质。这本书不仅仅是提供了答案，更重要的是，它教会了我如何去思考，如何去分析一个问题，如何去建立数学模型。我曾经在面对一些复杂的线性系统时感到无从下手，但读了这本书后，我发现自己能够更自信地去分析问题的结构，找到解决问题的关键。这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是数学学习方法的革新。

评分☆☆☆☆☆

这本书，对于我来说，就像是在一片迷雾中找到了一束光。我曾经在学习线性代数时，常常被那些抽象的定义和复杂的公式弄得晕头转向，尤其是一些看似简单却背后含义深刻的概念，更是让我倍感困扰。这本书，恰好抓住了这些“痛点”。它没有面面俱到地讲解所有知识点，而是精选了那些最容易让学习者产生困惑的问题，并进行了深入的剖析。我曾经在理解“矩阵的相似性”时感到很迷茫，总觉得两个矩阵相似，但具体相似在哪里，以及相似有什么意义，都不是很清楚。这本书中，作者从“基变换”的角度，非常清晰地解释了相似矩阵的本质，并阐述了相似性在理解矩阵的本质特征（如特征值）方面的重要性。他用了一个非常生动的比喻，比如“用不同的语言描述同一个概念”，来帮助我们理解相似矩阵。这种将抽象概念具象化的讲解方式，让我受益匪浅。而且，书中对于证明的阐述也让我印象深刻。它不仅给出了证明过程，更重要的是，它解释了每一步证明的“为什么”，让我能够真正理解证明的逻辑推理过程。我曾经在理解“伴随矩阵”的性质时感到费解，但这本书中对伴随矩阵的讲解，从行列式的角度出发，一步步推导出其性质，让我茅塞顿开。这本书不仅仅是解答了我的疑问，更重要的是，它让我对数学的严谨性和系统性有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

我想说，这本书，是我在学习线性代数过程中，遇到的最“懂我”的一本书。很多时候，教材上的讲解虽然标准，但往往缺乏对学习者实际困惑点的关注。而这本《线性代数疑难问题选讲》，就像是一位经验丰富的“引路人”，它知道我在哪里会迷路，并在那里为我铺好了清晰的道路。我曾经在理解“向量空间的维度”时，总觉得定义有点抽象，无法将其与实际问题联系起来。这本书中，作者从“线性无关的向量组”和“张成空间”这两个核心概念出发，非常直观地解释了维度的意义，并用一些具体的例子，比如描述一个物体在三维空间中的位置需要多少个独立的参数，来帮助我们理解。我尤其喜欢书中关于“线性映射的核与像”的讲解。以往我只是知道定义，但这本书通过对核和像的几何意义的深入剖析，比如核代表“被映射到零向量的向量集合”，像代表“映射后的向量能够达到的所有点”，让我对线性映射有了全新的认识。他甚至用了一个非常贴切的比喻，比如“一个漏斗”，来展示核和像的关系。这种将抽象概念可视化、直观化的讲解方式，对我帮助巨大。这本书不仅仅是解答了我多年的疑惑，更重要的是，它激发了我对数学更深层次的探索欲望。它让我明白，学习数学，不仅仅是记忆公式，更是理解思想，感受逻辑的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书，给我带来的惊喜，远远超出了我的预期。我一直认为，线性代数虽然重要，但很多时候，教材的讲解方式总是略显乏味，并且难以触及那些真正让学生困惑的核心问题。而这本《线性代数疑难问题选讲》则完全颠覆了我的这种看法。它以一种非常独特的方式，直击学习者在理解线性代数时遇到的最棘手、最容易产生误解的地方。我曾经在学习“向量空间的基”的概念时，总感觉自己无法完全理解基的“完备性”和“线性无关性”之间的关系，以及为什么存在不同的基。这本书中，作者用了一章的篇幅，从多个角度，结合几何直观和代数推导，将这个概念讲得淋漓尽致。他甚至通过一些类比，比如“地图上的坐标系”来帮助我们理解基的作用。这种讲解方式，让抽象的数学概念瞬间变得鲜活起来。我尤其欣赏书中对于“矩阵的对角化”的阐述。以往我只是知道如何计算特征值和特征向量，然后进行对角化，但这本书却深入地探讨了对角化在解决微分方程、二次型化简等问题中的实际应用，并解释了为什么对角化是如此重要的工具。这种“知其然，更知其所以然”的学习过程，让我对线性代数产生了前所未有的理解深度。这本书不仅仅是一本解答疑问的书，更是一本启迪思维的书，它让我从一个被动接受知识的学习者，变成了一个主动探索的数学爱好者。

评分☆☆☆☆☆

我之前总觉得，学习数学就像是在建造一座高楼，而教材就像是提供了砖块和水泥，但建造图纸却不够详细，很多时候需要自己摸索。这本书，就像是那份缺失的、无比详细的建造图纸。它没有大而全的覆盖，而是聚焦于那些最容易让人迷失方向的“关键节点”。我曾经在理解“向量的内积”的几何意义时感到模糊，虽然知道它是衡量向量相似度的一个指标，但总觉得不够直观。这本书中，作者用非常精妙的比喻，比如“投影”和“相似度”来解释内积，让我一下子就明白了它的物理含义。他甚至通过不同向量组合时的内积变化，来展示内积的动态过程。我尤其喜欢书中关于“线性方程组解的几何意义”的讨论。以往我只是知道如何求解，但这本书通过将解集与“超平面”联系起来，并从不同维度进行可视化展示，让我看到了线性方程组背后隐藏的几何结构。这种将代数问题与几何问题相结合的讲解方式，是我一直以来都在寻找的。这本书给我带来的不仅仅是知识的补充，更重要的是，它改变了我学习数学的思维方式。它让我学会了如何去“看见”数学，如何去感受数学的逻辑之美。

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看过蒲和平老师的竞赛指导书，这本书毫不犹豫就买了，比较薄，内容还不错

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挺好的！

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补补大学课程

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书籍本身很好，只是自营的图书就不是图书了吗，看看你自营的包装，书都皱成了什么样，真是垃圾

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不错，尤其是一天就到的物流。

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挺好的！

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一般啦。。。。。。。。。

评分☆☆☆☆☆

很好