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內容簡介

概率統計與數學模型內容包括概率論和數理統計兩大部分，第１至第５章介紹概率論的基本知識，包括隨機事件與概率、隨機變量及分布、隨機變量的數字特徵、大數定律與中心極限定理等；第６至第９章介紹數理統計的基本知識，包括數理統計、參數估計、假設檢驗、迴歸分析等．概率統計與數學模型在概率統計的基礎上加入瞭數學模型，重點強調基礎知識如何應用於工程實際，選取瞭大量的理工類、經管類數學模型實例．

目錄

目 錄
前言
第1章隨機事件與概率 1
1.1 隨機現象與隨機試驗 1
1.1.1隨機現象 1
1.1.2隨機試驗 1
1.2 隨機事件 2
1.2.1 樣本空間 2
1.2.2隨機事件 2
1.2.3事件的關係及運算 3
1.3 概率及其性質 6
1.3.1 概率 6
1.3. 2 頻率 6
1.3.3 古典概率 7
1.3.4概率的公理化定義與性質 8
1.4 條件概率與乘法公式 10
1.4.1條件概率 10
1.4.2 乘法公式 11
1.5全概率公式與貝葉斯公式 13
1.5.1 全概率公式 13
1.5.2貝葉斯公式 15
1. 6事件的獨立性 16
1.7隨機事件應用實例 18
習題1 20
第2章隨機變量及其分布 23
2. 1隨機變量及其分布函數 23
2.1.1隨機變量 23
2.1.2分布函數 24
2.2離散型隨機變量 26
2.2.1離散型隨機變量及其分布律 26
2.2.2常見的離散型分布 29
2.2.3離散型隨機變量的應用實例 32
2. 3連續型隨機變量 33
2. 3. 1連續型隨機變量及其概率密度 33
2.3.2常見的連續型分布 37
2.3.3連續型隨機變量的應用實例 43
2.4隨機變量函數的分布 44
2.4.1離散型隨機變量函數的分布 44
2.4.2連續型隨機變量函數的分布 45
習題2 47
第3章多維隨機變量及其分布 50
3. 1多維隨機變量及其分布函數 50
3.1.1 多維隨機變量 50
3. 1. 2聯閤分布函數 50
3. 2 二維離散型隨機變量 53
3.2.1 聯閤分布律與邊緣分布律 53
3.2.2 二維離散型隨機變量的應用實例 55
3. 3 二維連續型隨機變量 56
3.3.1聯閤概率密度函數 56
3.3.2 常見的二維連續型分布 58
3.3.3 二維連續性隨機變量的應用實例 60
3.4 隨機變量的獨立性 61
3. 4. 1獨立性的定義 61
3. 4. 2 獨立性的性質 64
3. 4. 3 獨立性的應用實例 64
3.5 二維隨機變量的函數的分布 65
3.5.1 二維離散型隨機變量函數的分布 65
3.5.2 二維連續型隨機變量函數的分布 67
3. 5. 3 二維隨機變量函數的應用實例 71
習題3 72
第4章隨機變量的數字特徵 75
4. 1數學期望 75
4.1.1數學期望的概念 75
4.1.2隨機變量的函數的數學期望 77
4.1.3數學期望的性質 79
4.2方差 80
4.2. 1 方差的概念 80
4.2.2方差的性質 81
4.2.3幾種常見分布的數學期望與方差 82
4.2.4 矩 85
4. 3協方差與相關係數 85
4.4應用實例 88
習題4 90
第5章大數定律及中心極限定理 93
5.1切比雪夫不等式 93
5. 2大數定律 94
5.3 中心極限定理 97
習題5 101
第6章數理統計 102
6.1數理統計基本概念 102
6.1.1總體和樣本 102
6.1.2 統計量 104
6.2幾種常見的統計量分布 106
6.2.1常見抽樣分布 106
6.2.2 抽樣分布定理 110
6.2.3抽樣分布的應用實例 111
習題6 112
第7章參數估計 114
7. 1 參數的點估計 114
7.1.1矩估計 114
7.1.2極大似然估計 116
7.2估計量的優良準則 119
7.2.1 無偏性 119
7.2.2有效性 121
7.2.3相閤性 121
7.3參數的區間估計 122
7.2.2 基本概念 122
7.3.2單側置信區間 126
7.4參數估計應用實例 128
習題7 130
第8章假設檢驗 133
8.1假設檢驗的基本概念 133
8.1.1引例 133
8.1.2假設檢驗的基本概念 133
8.1.3假設檢驗的基本步驟 135
8.2參數的假設檢驗 135
8.2.1 均值的檢驗 135
8.2.2 方差的檢驗 140
8.3分布的假設檢驗 143
8.3.1 X2檢驗法 144
8.3.2總體分布為連續型的分布擬閤檢驗 145
習題8 148
第9章迴歸分析 150
9.1迴歸分析的基本概念 151
9.1.1 一元綫性迴歸模型 151
9.1.2多元綫性迴歸模型 151
9.1.3散點圖 152
9.1.4參數估計:最小二乘法 153
9.1.5 顯著性檢驗 153
9.2 —元綫性迴歸分析實例 155
9.3多元綫性迴歸分析實例 157
9.4非綫性迴歸問題的綫性化處理 159
9.4.1幾種常見的可綫性化的麯綫類型 159
9.4.2非綫性迴歸分析實例 161
習題9 163
部分習題參考答案 166
參考文獻 175
附錶 176

精彩書摘

第1章隨機事件與概率
1.1隨機現象與隨機試驗
1.1.1 隨機現象
在自然界和人類社會生活中，存在各種各樣的現象.有一些是在一定條件下必然會 發生的現象.例如，標準大氣壓下，水加熱到10(TC時必然會沸騰，在OK時必然會結冰; 同性的電荷必然互相排斥，異性的電荷必然互相吸引;在沒有外力作用的條件下，做勻 速直綫運動的物體必然繼續做勻速直綫運動等，這些現象稱為確定性現象.
另一些是事前不能預測其結果的現象.例如，拋一枚均勻硬幣，可能齣現正麵， 也可能齣現反麵;某廠生産的同一類燈泡的壽命會有所差異;某地區每年的降雨量 不盡相同，等等.這些現象稱為非確定性現象，又稱為隨機現象.
隨機現象的結果事前不能預測，但在相同條件下，大量重復試驗和觀測時，會 發現它們呈現某種規律性.例如，拋一枚均勻硬幣，大量重復試驗後會發現齣現正 麵和齣現反麵的次數大約是1: 1，某廠生産的同一類燈泡的壽命總是分布在某個 數值附近.大量同類隨機現象的這種規律性稱為隨機現象的統計規律性.概率論與 數理統計正是研究隨機現象及其統計規律性的一門數學學科.
1.1. 2隨機試驗
在概率論中，為敘述方便，對隨機現象進行的觀察或科學試驗統稱為試驗.用 字母E錶示.
例1.1.1觀察下列幾個試驗.
E1:投擲一枚均勻骰子，觀察齣現的點數(即朝上那一麵的點數).
E2 ：在^'批産品中，任取^'件，檢測它是正品，還是次品.
E3:投擲一枚質地均勻的硬幣兩次，觀察它齣現正麵和反麵的次數.
E4:記錄某網站一天的點擊量.
E5 ：從一批燈泡中，任取一隻，測試其壽命.
以上試驗的結果都是可以觀測的，並且具有下列三個共同特點.
(1) 試驗可以在相同的條件下重復進行，即可重復性.
(2) 試驗的結果不唯一，但在試驗前就知道所有可能齣現的結果，即結果的明 確性．
(3)在一次試驗中，某種結果齣現與否是不確定的，在試驗之前不能準確地預 測該次試驗將會齣現哪一種結果，即結果的隨機性.
所有具有以上三個特點的試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗，並通過隨機試驗來 研究隨機現象.
1.2隨機事件
1 .2.1樣本空間
對隨機試驗，人們感興趣的是試驗的結果，將試驗犈的每一種可能結果稱為 基本事件，或稱為樣本點，記為他所有樣本點組成的集閤稱為試驗犈的樣本空 間，記為
例如，在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，有兩個可能結果，即齣現正麵或齣現 反麵，分彆用“正麵”和“反麵”錶示，因此這個隨機試驗有兩個樣本點，樣本空間 0 = {正麵，反麵}.
例1. 2 . 1寫齣以下隨機試驗的樣本空間.
E1:投擲一枚均勻骰子，齣現的點數可能是1，2，3，4，5，6中的任何一種，因此 樣本空間記為：00 = {1，2，3，4，5，6}.
E2 ：在一批産品中，任取一件，其結果可能是正品，也可能是次品，因此樣本空 間記為：i0 = {正品，次品}.
E3:投擲一枚均勻硬幣兩次，它可能齣現的結果為:兩次都為正麵;第一次齣 現正麵且第二次齣現反麵;第一次齣現反麵且第二次齣現正麵;兩次都為反麵.因 此樣本空間記為：
0 ={(正麵、正麵），（正麵，反麵），（反麵，正麵），（反麵，反麵）}，
以上三個樣本空間中的樣本點為有限個.
E4:網站一天的點擊量一定是非負整數，因此，樣本空間0 = {0，1，2，一}.
這個樣本空間有無窮多個樣本點，但這些樣本點可以與整數集一一對應，稱其 樣本點數為可列無窮多個.
E5:從一批燈泡中，任取一隻，燈泡的壽命狋為非負實數，樣本空間記為：00 =
{t|t≥0}.
這個樣本空間包含有無窮多個樣本點，它們充滿一個區間，稱其樣本點數是不 可列的.
1.2.2 隨機事件
隨機試驗中，有可能發生也可能不發生的結果稱為隨機事件，簡稱為事件，常
用大寫字母A，B，C，…錶示.若A錶示投擲一枚均勻硬幣齣現正麵這一事件，則 記A ={正麵}，單個樣本點組成的集閤&}稱為基本事件，多個樣本點組成的集閤 {coi，叱，…，W?}稱為復閤事件.
隨機事件是樣本空間的子集.其中，在每次試驗中，一定齣現的事件稱為必 然事件，記為仏一定不可能齣現的事件稱為不可能事件，記為0.如測量某地 區6歲男童身高的試驗，身高小於0是不可能事件，身高大於0是必然事件.
例1. 2. 2投擲一枚質地均勻的骰子，若記事件A = {齣現的點數為偶數}， B={齣現的點數小於5}，C = {齣現的點數為小於5的奇數}，D = {齣現的點數 大於6}，則A，B，C，D 都是隨機事件，也可錶示為：A = {2，4，6}，B={1,2,3,4}， C= {1，3}，D為不可能事件，即D = 0.記事件A? ={齣現w點}，1，2，3，4， 5,6.顯然，Ai，A2，…，A6都是基本事件，A，B，C是復閤事件.
1.2.3事件的關係及運算
在一個樣本空間中可以定義多個隨機事件，事件與事件之間往往有一定的關 係.事件是樣本點的集閤，因此事件間的關係與運算可以按照集閤與集閤之間的關 係與運算來處理.
下麵假設試驗E的樣本空間為仏A，B，C，Ai ,A2，…，A?分彆是E的事件.
1.事件的包含關係
如果事件A發生必然導緻事件B的發生，則稱事件犅包含事件A，事件A是 事件B的子事件，記為A CB .
如例1.2. 2中{1,3} [ {1,2,3,4}，即事件CCB，所以C是B的子事件，事 件B包含事件C.
如果事件A包含事件B,同時事件B也包含事件A，即BCA且A CB，則 稱事件A與事件B相等，或稱A與B等價，記為A = B .
對任一事件A，總有0 C A (Z0.
2 .和事件
事件A與事件B中至少有一個發生的事件，稱為事件A與事件B的和事件， 記作A U B.即
A U B ={ A發生或B發生} = {A, B中至少有一個發生}
事件A，B的和事件是由A與B的樣本點閤並而成的事件.
如例1.2.2 中 A= {2,4,6}，B= {1,2,3,4}，則 A U B = {1,2,3,4,6}.
類似地，n個事件的和事件為A1 U A2 U…U An，或記作
k = 1
事件A與事件B同時發生的事件，稱為事件A與事件B的積事件，記作A門B 或AB .即
A門B = {A發生且B發生} = {A,B同時發生}.
事件A，B的積事件是由A與B的公共樣本點所構成的事件.
如例1.2.2 中 A= {2，4，6}，B= {1，2，3，4}，則 AB = {2,4}.
類似地，《個事件的積事件為AiAz-A^，或記為.
犽=1
4 .差事件
事件A發生而事件B不發生的事件，稱為事件A關於事件B的差事件，記作 A 一 B，錶示A發生而B不發生，即A — B = AB.
事件A關於B的差事件是由屬於A且不屬於B的樣本點所構成的事件.
如例 1. 2.2 中A = {2，4，6}，B= {1，2，3，4}，則 A—B = {6}，B—A= {1,3 }.
5. 互不相容事件
如果事件A與事件B不能同時發生，即AB = 0，則稱事件A與事件B互不 相容，或稱事件A與事件B互斥.
如例1.2. 2中A = {2,4,6}B={1,3}，則AB是互不相容的.
同一隨機試驗的基本事件都是互不相容的.
6. 對立事件
試驗中“ A不發生”這一事件稱為A的對立事件或A的逆事件，記為A .
一次試驗中，A發生則A必不發生，而A發生則A必不發生，因此A與A滿 足關係
A U A = 0， AA = 0.
如例 1.2. 2 中A = {2,4,6} ,B= {1,2,3,4}，則A = {1,3,5}，B = {5,6}. 事件間的關係與運算可用維恩(Venn)圖（圖1. 1)直觀地加以錶示.圖中方框 錶示樣本空間0，圓A和圓B分彆錶示事件A和事件B .
事件的運算滿足如下運算律：
(1) 交換律
A UB = B U a；
(2) 結閤律
(A U B) U 犆=A U (B U 犆），
(A門B)門C =犃門（B門C);
0 m B Q
m
AOB AUB ADB
B ^ Q
CO mm oCD

A-B
I 圖1.1
j，方互不相容


(3) 分配律
(AuB）Nc=(AnC）u犆
(4) 對偶律(De Morgan定理)


二犃 nB，
二犃u犅，
』般地，對狀個事件犃1犃2，?
=犃1 n犃2 n…n犃狀，
二犃1 u犃2 u…u ^—狀；
A1 nA2 n…nAn
對偶律錶明，“至少有一個事件發生”的對立事件是“所有事件都不發生”，“所 有事件都發生”的對立事件是“至少有一個事件不發生”
(5)吸收律
若A匚B，則Au B = B,AB = A.
例1.2. 3某人連續三次購買體育彩票，每次一張.令A，B，C分彆錶示其第 、二、三次所買的彩票中奬的事件，試用A，B，C及其運算錶示下列事件：
(1) 第三次未中奬；
(2) 隻有第三次中瞭奬；
(3) 恰有一次中奬；
(4) 至少有一次中奬；
(5) 至少有兩次中奬；
(6) 至多中奬兩次.
解⑴C；?
(2) ABC；
(3) A^C U ,AB(— U ABC;
(4) A U B U C 或 ABC;
(5) AB U AC U BC 或ABC U ABC U ABC U ABC；
(6) ABC .
事件的關係及運算與集閤的關係及運算是一緻的，但在概率論中有特定的語 言錶示.事件關係與集閤關係比較見錶1.1.
錶1.1
記號 概率論 集閤論
n 樣本空間、必然事件 全集
0 不可能事件 空集
o 樣本點 點(元素）
A 隨機事件 D的子集
ACB A發生導緻B發生 八為B的子集
A = B 兩事件相等 兩集閤相等
AUB 兩事件A，B至少發生一個 兩集閤A，B的並集
AB 兩事件A，B同時發生 兩集閤A，B的交集
A-B 事件A發生而B不發生 集閤A，B的差集
A 事件A的對立事件 A對n的補集
AB = 0 兩事件A、B互不相容 兩集閤A，B不相交

1.3概率及其性質
1.3.1概率
隨機事件在一次試驗中可能發生也可能不發生，但發生的可能性大小是客觀存 在的.這個客觀存在的量就是事件A的概率，記為P(A).因此概率度量瞭隨機事件 發生的可能性大小.在N次重復試驗中，若概率P(A)較大，則事件A發生的頻率也 較大，反之，若事件A在N次重復試驗中齣現的頻率較大，則意味著事件A的概 率P(A)也較大.概率與頻率有許多相似的性質，為此，先考察頻率的有關性質.
1.3.2頻率
定義1. 1設在相同的條件下，重復進行瞭 n次試驗，若隨機事件A在這w次 試驗中發生瞭 m次，則比值
fn(A) = m (1. 1)
n
稱為事件A在w次試驗中發生的頻率.

前言/序言

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