《数学中的小问题大定理》丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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佩捷 编

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• 数学史
• 法雷级数
• 华罗庚
• 数论
• 数学竞赛
• 陕西省数学竞赛
• 初等数论
• 级数
• 数学普及
• 数学思维

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560348636

版次：1

商品编码：11572260

包装：平装

丛书名： 《数学中的小问题大定理》丛书

开本：16开

出版时间：2014-08-01

用纸：胶版纸

页数：128

字数：89000

正文语种：中文

内容简介

　　《<数学中的小问题大定理>丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起》从1978年陕西省中学生数学竞赛中的一道试题引出法雷数列。全文主要介绍了利用法雷数列证明孙子定理、法雷序列的符号动力学、连分数和法雷表示、提升为非单调的圆映射、利用法雷数列证明一个积分不等式等问题。《<数学中的小问题大定理>丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起》共七章，读者可全面地了解法雷级数在数学中以及在生产生活中的应用。《<数学中的小问题大定理>丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起》适合数学专业的本科生和研究生以及数学爱好者阅读和收藏。

内页插图

目录

第0章 引言

第1章 利用法雷数列证明孙子定理
孙子定理

第2章 法雷序列的符号动力学
1 新生轨道与拓扑度定理
2 法雷序列与M.S.S序列的*积及二元树

第3章 连分数和法雷表示
1 法雷变换和良序符号序列

第4章 提升为非单调的圆映射

第5章 周期性的输入与周期性的输出的关系
1 线性系统和非线性系统的输入和输出
2 三维相空间中的拟周期运动
3 锁频和同步、圆映射
4 拟周期和连分数
5 高斯映射
6 随机共振

第6章 利用法雷数列证明一个积分不等式
1 前言
2 函数f（x）的显式表达
3 定理1的证明

第7章 哈代论：法雷数列的定义和最简单的性质
1 两个特征性质的等价性
2 定理1和定理2的第一个证明
3 定理1和定理2的第二个证明
4 整数格
5 基本格的某些简单性质
6 定理1和定理2的第三个证明
7 连续统的法雷分割
8 闵科夫斯基定理
9 闵科夫斯基定理的证明
10 定理10的进一步拓展

附录1 挂轮问题
1.引言
2.简单连分数
3.法雷贯
4.问题的算法
5.挂轮问题的求解
附录2 挂轮计算问题的精确解——类特殊的丢番图逼近问题
编辑手记

前言/序言

《数学中的小问题大定理》丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起 图书简介 本书是《数学中的小问题大定理》丛书的第五辑，聚焦于数论中一个深邃而迷人的分支——法雷级数（Farey Sequences）。法雷级数以其精妙的结构、丰富的性质以及与代数、几何、拓扑等多个数学分支的紧密联系而著称。本辑的切入点尤为独特且富有历史意义：追溯到著名数学家华罗庚先生对一道陕西省数学竞赛试题的点评。这次点评不仅揭示了竞赛试题背后的深刻数学思想，更是引导我们进入法雷级数世界的绝佳契机。 本书旨在系统而深入地介绍法雷级数的定义、构造、基本性质及其在现代数学中的重要应用，尤其侧重于解析法和几何方法的结合，力求将抽象的理论以清晰直观的方式呈现给读者。 第一部分：竞赛背景与问题溯源 本辑的开篇将详细回顾引发本次专题讨论的“陕西省数学竞赛试题”。我们将重现该试题的原貌，并探讨它在当时引起的反响。随后，重点分析华罗庚先生的点评。华老先生的点评往往是点石成金之笔，他不仅指出了问题的正解，更揭示了其背后蕴含的普适性数学原理。通过对这次点评的深度剖析，读者将初步领略到数论中“逼近”思想的魅力，并自然而然地被引向法雷级数这一核心概念。 我们将探讨竞赛题中涉及的初等数论工具，例如最大公约数的性质、有理数的密集性等，并以此作为铺垫，为后续引入法雷级数的严谨定义打下基础。 第二部分：法雷级数的精确定义与构造 本部分将构建法雷级数 $mathcal{F}_N$ 的数学框架。 2.1 序列的定义与性质 我们将精确定义法雷级数 $mathcal{F}_N$：它是由所有分母不大于 $N$ 的、位于闭区间 $[0, 1]$ 内的最简正分数构成的升序序列。我们将详细讨论“最简分数”（即分子与分母互质）的意义。 2.2 构造性算法 介绍几种生成法雷级数的有效方法。重点介绍经典的“中介法”（Mediant Construction）。如果 $frac{a}{b}$ 和 $frac{c}{d}$ 是 $mathcal{F}_N$ 中的相邻分数，则它们的中介分数 $frac{a+c}{b+d}$ 构成 $mathcal{F}_{b+d}$ 中的元素。我们将利用中介法来证明相邻项之间的关键关系：若 $frac{a}{b}$ 和 $frac{c}{d}$ 相邻，则 $bc - ad = 1$（或 $ad - bc = 1$）。这一行列式关系是法雷级数结构稳定性的核心。 2.3 级数的几何诠释 法雷级数与实数轴上的点集紧密相关。本节将把法雷级数视为单位区间 $[0, 1]$ 上的有理点逼近的集合，并探讨其在圆周拓扑中的视角，为后续与几何和群论的联系做准备。 第三部分：法雷级数的核心定理与结构分析 本部分深入研究法雷级数的关键性质，这是理解其深层数学结构的关键。 3.1 长度与密度的研究 讨论 $mathcal{F}_N$ 的元素个数 $L_N$ 的精确计算公式，以及当 $N o infty$ 时，$mathcal{F}_N$ 在 $[0, 1]$ 上的渐进行为。我们将分析法雷级数在不同区间上的分布密度，并利用这些密度信息，重新审视华罗庚点评的竞赛题中涉及的“逼近”程度问题。 3.2 连续分数与法雷邻近 连接法雷级数与连续分数展开。任何有理数都可以通过连续分数唯一表示。我们将展示法雷级数中的相邻分数 $frac{a}{b}$ 和 $frac{c}{d}$ 如何对应于连续分数展开中的首项逼近（Convergents）。理解这一点对于应用法雷级数来研究 Diophantine 近似至关重要。 3.3 矩阵表示与群结构 利用 $2 imes 2$ 矩阵 $M = egin{pmatrix} a & c \ b & d end{pmatrix}$ 来表示分数对 $frac{a}{b}$ 和 $frac{c}{d}$。结合 $ad - bc = 1$ 的条件，我们将探讨法雷级数邻域结构与模群 $ ext{PSL}(2, mathbb{Z})$ 的关系。法雷级数可以被视为该群作用在单位圆上的一种几何表示。 第四部分：法雷级数的应用：超越竞赛 本书的价值不仅在于解释一个竞赛题，更在于展示法雷级数在更广阔数学领域中的应用。 4.1 狄利克雷（Dirichlet）逼近定理的加强 法雷级数提供了对实数进行有理数逼近的最佳工具。我们将展示如何利用 $mathcal{F}_N$ 中的元素，精确地找到对任意实数 $alpha$ 在 $| alpha - p/q | < 1/(2q^2)$ 意义下最好的有理逼近。这比一般的狄利克雷定理给出了更强的结论。 4.2 涉及加权平均的求和问题 法雷级数在处理涉及分数和互质条件的和式时表现出色。例如，关于欧拉 $phi$ 函数和莫比乌斯 $mu$ 函数的某些求和公式，可以借助法雷序列的性质得到简洁的证明和计算。 4.3 几何数论的桥梁 探讨法雷级数与Calkin-Wilf 树（或 Stern-Brocot 树）的联系。这些树状结构提供了另一种构造所有正有理数的系统方法，它们与法雷级数在本质上是等价的，但在某些计算或可视化方面提供了不同的视角。 总结与展望 本书的最终目标是，通过追溯华罗庚对一道地方性竞赛试题的独到见解，将读者引导至一个结构优美、充满活力的数论领域——法雷级数。我们不仅介绍了法雷级数的构造、性质和核心定理，更展示了它作为连接初等数论、代数、几何和分析的强大工具的作用。读者将体会到，看似简单的小问题，往往隐藏着深邃而宏大的数学定理。丛书的这一辑旨在激发读者对数论更深层次探索的兴趣。

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这套书真是太有意思了！我本来是抱着随便看看的心态买的《数学中的小问题大定理》丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起，结果完全被吸引住了。作者的笔触非常生动，把那些看似枯燥的数学概念讲得活灵活现。比如，书中对法雷级数的一些介绍，我以前只在课本上看到过，觉得非常抽象，但这本书里通过一个个精心设计的例子，甚至是一些生活中的小场景，把法雷级数和它的一些性质讲透了。尤其是提到华罗庚先生当年对一道竞赛试题的点评，那段内容真是点睛之笔。我能感受到老一辈数学家严谨的治学态度和深厚的数学功底，他们不仅仅是解题，更是在引导学生思考数学的本质。作者的讲解也恰恰继承了这种精神，他不会直接给出结论，而是引导读者一步步去探索，去发现。阅读过程中，我仿佛置身于一个充满智慧的殿堂，跟随着作者的指引，一点点揭开数学的奥秘。即使是一些非常深刻的定理，在作者的妙笔之下，也变得易于理解，充满了趣味性。我强烈推荐给所有对数学感兴趣的朋友，无论你是学生还是已经离开校园多年的上班族，都能从中受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本书的独特之处在于它对“问题”的重视。很多数学书籍直接抛出结论，让人感觉像是被灌输知识。但《数学中的小问题大定理》丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起，则完全不同。它以一道具体的数学竞赛试题为切入点，然后层层剥茧，引出法雷级数这一重要的数学概念，并阐述了与之相关的几个大定理。这种“从问题出发，到理论升华”的写作方式，非常符合我的学习习惯。我喜欢看到一个问题是如何被提出，然后又如何通过数学的工具被解决，最终又如何引申出更深刻的理论。作者对华罗庚先生点评的解读，尤为精彩，他不仅仅是复述了点评的内容，更是在解读点评背后的数学智慧和教育理念。这让我意识到，一道好的试题，不仅仅是考察学生的解题能力，更是能够激发他们的思考，引导他们走向更深的数学世界。我强烈推荐这本书给正在备考各种数学竞赛的学生，以及所有喜欢从具体问题中学习数学的朋友。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的魅力在于其普适性和深刻性。《数学中的小问题大定理》丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起，正是这本书的绝佳体现。作者以华罗庚先生对一道数学竞赛题的点评为引子，巧妙地将读者带入了法雷级数的奇妙世界。我之前对法雷级数了解不多，总觉得它离我的生活很遥远。然而，这本书通过生动的例子和清晰的逻辑，让我看到了法雷级数在数论、几何甚至信息论等领域的广泛应用。尤其对华罗庚先生点评的深入剖析，让我看到了数学大家是如何看待和处理问题的，那种严谨的思维方式和深刻的洞察力，让人肃然起敬。作者在讲解时，并没有一味地堆砌公式，而是注重概念的理解和方法的传授，这对于我这种非数学专业背景的读者来说，非常友好。读完这本书，我感觉自己对数学的理解又上了一个台阶，也更加热爱数学这门学科了。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我印象深刻的是它对数学“美”的呈现。不同于一些枯燥的教材，《数学中的小问题大定理》丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起，以一种娓娓道来的方式，将数学的严谨、逻辑和创造力完美地融合在一起。以华罗庚先生对一道陕西省数学竞赛试题的点评为起点，作者层层深入，引出了法雷级数这一迷人的数学结构。书中对法雷级数性质的阐述，配以丰富的图示和具体的计算过程，让原本抽象的概念变得触手可及。我尤其喜欢书中对“小问题”到“大定理”的转化过程的描写，它揭示了数学发展的内在逻辑，即从具体问题中提炼出普遍规律。华罗庚先生的点评，在这本书中被赋予了新的生命，它不仅仅是一段历史，更是一种数学精神的传承。这本书不仅仅是给数学爱好者看的，即使是对数学感到畏惧的人，读了这本书，或许也会发现数学别样的精彩。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书给了我一个全新的视角来理解数学。我一直觉得数学是逻辑严谨的学科，但很少有人能把这种严谨性和趣味性完美结合。而《数学中的小问题大定理》丛书（第五辑）·法雷级数：从华罗庚对一道陕西省数学竞赛试题的点评谈起，恰恰做到了这一点。作者不仅仅是罗列定理和公式，而是将它们置于一个更广阔的背景下，通过历史故事、名家点评，甚至是某个具体问题的解决过程，来展现数学的魅力。华罗庚先生那段点评，让我深刻体会到，一道看似简单的题目背后，可能蕴含着深厚的数学思想。作者对这段点评的深入剖析，更是让我看到了数学研究的精妙之处。他并没有止步于复述，而是进一步挖掘了其中的数学内涵，并将其与法雷级数等概念巧妙地联系起来。这种“以点带面”的讲解方式，让我对数学产生了前所未有的亲近感。书中的语言也很考究，既有学术的严谨，又不失文学的优美，读起来一点都不累。我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在进行一场思维的旅行，每一次翻页都充满了惊喜。