极端原理与解题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王连笑 著

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• 数学思维
• 解题技巧
• 极端思想
• 数学竞赛
• 高中数学
• 奥数
• 思维拓展
• 问题解决
• 方法技巧
• 数学方法

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560352497

版次：1

商品编码：11729525

包装：平装

开本：16开

出版时间：2015-04-01

用纸：胶版纸

页数：164

字数：118000

正文语种：中文

内容简介

　　在有限个实数中一定有一个最小数，一个最大数；在无限个自然数中一定有一个最小数——这就是极端原理。利用这个简单而又通俗的原理可以解决不少与存在性有关的数学问题和其他问题，《极端原理与解题》列举了与极端原理和特殊化解题策略有关的例题，其中大部分是数学奥林匹克试题，通过这些例题全面、详尽地介绍了用极端原理解题的思维方法。
　　《极端原理与解题》适合中学数学爱好者（其中大部分初中生都能看懂）阅读，也可以作为中学数学教师开展数学课外活动和进行数学奥林匹克培训的资料。

内页插图

目录

第1章 一个思考了半个世纪的问题
第2章 什么是极端原理
第3章 让思路来得自然
第4章 考虑两点距离的极端情况
第5章 考虑角或边的极端情况
第6章 考虑周长或面积的极端情况
第7章 考虑数的大小的极端情况
第8章 考虑数的和的极端情况
第9章 考虑元素个数的极端情况
第10章 考虑方程解的极端情况
第11章 考虑得分多少的极端情况
第12章 覆盖问题与极端原理
第13章 考虑其他极端情况
第14章 条件隐含在极端情况之中
第15章 数学解题的特殊化策略
编辑手记

前言/序言

寰宇探秘：结构、秩序与演化 导言：世界的底层逻辑 人类对世界的好奇心从未止息，我们试图理解宏大宇宙的运行规律，也渴望洞察微小粒子间的相互作用。本书并非聚焦于某一特定学科的细枝末节，而是着眼于构建连接一切的通用框架——结构、秩序与演化。我们将跨越物理、信息、生物乃至社会系统的藩篱，探寻隐藏在万千现象之下的普适性原理。 我们假设，任何复杂系统，无论其物质基础如何，都遵循一套共享的、关于信息处理和状态转变的基本规则。这种视角将打破传统学科壁垒，提供一套全新的工具箱，用于分析和预测系统行为。 第一部分：结构之维——形态与关系 结构是事物存在的骨架，是定义系统边界与内部联系的方式。本部分将深入探讨结构在不同尺度上的表现形式及其重要性。 1. 拓扑学与连接性 我们从最基础的连接开始。拓扑学不仅是数学的一个分支，更是描述空间关系、不随形变而改变属性的语言。在自然界中，从神经网络的连接模式到分子间的作用力网络，拓扑结构决定了信息和能量的传输效率。我们将分析鲁棒性（Robustness）——系统在遭受局部破坏时保持整体功能的能力，这在生物体和通信网络中至关重要。 网络中心性： 探讨不同类型的中心节点（度中心性、介数中心性、特征向量中心性）在不同网络中的功能差异。 模块化与分层： 复杂系统往往不是均匀的，而是由相互作用较弱的模块构成的。这种分层结构如何促进系统的适应性？ 2. 空间嵌入与几何约束 结构不仅仅是连接，也包括它们在空间中的具体排布。晶体的格子结构、蛋白质的折叠形态、乃至行星轨道的几何形态，都受到空间自身属性的严格约束。我们将考察对称性在物理定律中的核心地位，以及破缺对称性如何导致我们观察到的多样性。 3. 涌现的形态：自组织现象 结构并非总是在外部力量下被强加，很多结构是系统内部相互作用的自然结果。我们将研究图灵模式（Turing Patterns）等经典案例，理解激活剂和抑制剂如何通过扩散和反应在均匀介质中自发形成斑点和条纹。这为理解生物体的形态发生提供了基础。 第二部分：秩序的生成——信息、熵与平衡 秩序并非天生，它需要能量和信息的驱动。本部分聚焦于系统如何从混沌中凝结出稳定、可预测的状态，并探讨信息流在维持这种秩序中的作用。 1. 统计力学与宏观量 我们回顾经典统计力学如何将微观粒子的随机运动提升至宏观可测量的量（如温度、压力）。这里的核心思想在于概率：我们无法精确预测单个粒子的未来，但可以精确预测大量粒子集体的行为。我们将深入探讨玻尔兹曼熵，理解它作为系统无序程度的度量，如何驱动系统向最大概率状态演化。 2. 耗散结构：超越平衡态 生命和许多复杂的物理现象都存在于远离热力学平衡的状态。比利时物理学家普里高津提出的耗散结构（Dissipative Structures）理论是理解开放系统的关键。这些结构通过不断地与外界交换物质和能量来维持自身的低熵状态。 反馈机制： 探讨正反馈（增强效应）和负反馈（调节效应）在维持稳定或驱动转变中的作用。 临界点与相变： 考察系统如何在一个外部参数（如温度、密度）达到某一阈值时，突然、不可逆地从一种秩序转变为另一种截然不同的秩序。 3. 信息论的视角 信息是秩序的量化体现。香农信息论为我们衡量信息的不确定性提供了数学工具。我们将讨论互信息如何揭示不同系统组件之间共享的信息量，以及信息熵如何与热力学熵相互关联。在复杂的计算系统中，信息冗余和压缩的本质是什么？ 第三部分：演化与适应——时间的方向性 结构和秩序并非永恒不变，它们在时间中不断经历变化、选择和适应。演化是系统应对内部和外部扰动的核心机制。 1. 动力学系统与吸引子 演化可以被建模为动力学系统在状态空间中的轨迹。吸引子（Attractors）描述了系统最终会稳定或周期性地驻足的状态。我们将区分点吸引子、极限环和奇异吸引子（如洛伦兹吸引子），后者揭示了看似完全随机的系统中内在的确定性规律。这种对时间路径的分析，是预测系统长期行为的基础。 2. 选择与适应的机制 从达尔文的自然选择到计算中的遗传算法，演化过程的核心在于变异、选择和复制。 适应度景观： 将系统状态映射到适应度值，演化过程即是在这个“景观”中寻找山峰（最优解）的过程。我们将探讨局部最优解与全局最优解之间的关系，以及“随机游走”在跨越山谷中的作用。 新颖性的产生： 演化并非仅仅是现有元素的重新组合，它能创造出前所未有的功能和结构。分析突变和重组如何生成新的信息和可能性。 3. 历史的依赖性与路径选择 演化过程通常是路径依赖的（Path-dependent）。早期的随机选择可能会锁定系统进入一个次优但稳定的结构，使得后来的改进变得异常困难。理解历史的权重，对于评估当前系统的稳定性和未来转型的可能性至关重要。我们将讨论小扰动如何引发大后果的“蝴蝶效应”在演化历史中的体现。 结论：统一性与未来展望 本书的最终目标是建立一个跨越尺度和领域的通用框架。结构定义了可能性，秩序限制了可行性，而演化则在可能性和可行性之间不断探索。从原子的排列到文明的兴衰，这种“结构-秩序-演化”的三角关系提供了一个强大的分析透镜。 我们展望未来，在人工生命、复杂性科学和人工智能的交叉地带，这些底层原理将指导我们设计更具弹性、更有效率和更具创造力的系统。认识到世界是多层嵌套的结构网络，并且其动态由信息和能量的流动所驱动，是理解我们自身所处位置的必经之路。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学不仅仅是计算和证明，它更是理解世界的一种语言。《极端原理与解题》这本书，将我从一个被动接受知识的学习者，变成了一个主动探索者。书中关于“不变性原理”的讲解，给我留下了深刻的印象。作者不是简单地告诉你哪些量是不变的，而是引导你去思考，为什么它们是不变的，以及在什么条件下它们会发生变化。我记得其中一个例子，涉及到在一个有向图中寻找回路，常规的方法是遍历所有可能的路径，非常耗时。但作者利用了“不变性”，比如某种颜色标记在遍历过程中不会改变，或者某种累加值在回到起点时会有一个固定的变化，从而大大简化了问题。这种“从不变中找规律”的方法，让我在解决很多算法问题时，思路一下子开阔了许多。它让我明白，解决问题的关键往往不在于找到一个复杂的公式，而在于识别出隐藏在表面现象背后的某种深刻的“不变性”。这本书，不仅仅是教会我如何解题，更是教会了我如何“思考”。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我一开始拿到《极端原理与解题》这本书，并没有抱太大的期望。我以为它会是那种枯燥的数学教材，充斥着晦涩的证明和繁琐的计算。但出乎意料的是，这本书的语言风格非常生动有趣，甚至带有一点哲学思辨的味道。作者在讲解“极端原理”的时候，不仅仅是在传递解题技巧，更是在引导读者思考“为什么”会是这样。比如，书中在讨论某个优化问题时，作者没有直接给出算法，而是让你想象一下，如果目标函数变得“非常非常大”或者“非常非常小”，那么最优解会趋向于什么位置。这种“思想实验”的方式，让我觉得既烧脑又过瘾。我特别欣赏作者在引入每个新概念时，都会先给出一些非常直观、易于理解的例子，然后循序渐进地深入到更抽象的数学推导。这让我感觉学习过程非常顺畅，不会被突如其来的复杂概念打断思路。读这本书，就像是和一个经验丰富的导师在进行一场深入的对话，他不会直接告诉你答案，而是引导你去思考，去发现。

评分☆☆☆☆☆

我一直对物理学中的对称性着迷，总觉得它背后蕴含着某种深刻的美。这本书虽然名字叫《极端原理与解题》，但它对物理问题的切入方式，尤其是对“对称性”和“守恒律”的运用，给我留下了极其深刻的印象。书中举例了很多涉及能量、动量、角动量守恒的例子，但并非直接应用公式，而是通过思考“如果没有这些守恒律会怎样？”，或者“在极端情况下，这些守恒量会呈现什么样貌？”来推导结果。比如，在分析一个天体运动的问题时，作者并没有一开始就列出万有引力定律，而是从“如果系统在旋转对称，那么角动量必然守恒”这个角度出发，巧妙地解释了行星轨道的稳定性。这种“倒着想”或者“反向思考”的方法，让我觉得非常新颖。它不是让你被动接受知识，而是鼓励你去主动探索和发现。我尤其喜欢书中关于“相空间”的讨论，虽然不是我专业领域，但作者用类比和直观的图示，将抽象的概念变得易于理解，并且展示了如何通过分析相空间的“极端”区域来理解系统的演化。这本书让我觉得，解决问题不仅仅是运用知识，更是一种对物理规律的深刻洞察和灵活运用。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是把我对学习的理解颠覆了！我一直以为解决问题就是要一步一步来，找到具体的公式，然后代入数字。结果读了《极端原理与解题》，才发现原来很多看似复杂的问题，都可以从一些最根本、最“极端”的视角切入，瞬间就能豁然开朗。比如，书中讲到一些几何问题，与其费力地去计算各种角度和边长，不如直接考虑极端情况，比如当某个点无限接近另一个点，或者某个图形退化成一条线，这时候很多隐藏的性质就显露出来了。我记得其中一个例子，涉及到在一个不规则区域内画圆，常规的思路是复杂的微积分，但作者用“极端原理”，设想当圆心无限偏离，或者圆的半径无限增大/缩小，就能直接推导出圆心和半径的界限。这种方法不只是技巧，更是一种思维的升华，让我开始重新审视每一个问题背后的逻辑，而不是被表面的复杂性所迷惑。读这本书的过程，就像是在进行一场智力探险，每一章都充满了惊喜，让我对“解题”这两个字有了全新的认识。它不是教你几道题的做法，而是给你一把钥匙，打开通往更深层理解的大门。

评分☆☆☆☆☆

我是一位化学专业的学生，平时研究的课题涉及到一些复杂的动力学模型。坦白说，很多时候我都觉得束手无策，不知道从何下手。《极端原理与解题》这本书，虽然不是专门针对化学问题，但其中关于“简化模型”和“临界条件”的阐述，对我启发极大。作者在分析一些宏观物理现象时，经常会讨论“当参数趋于无穷大或无穷小时，系统的行为会如何变化”。我尝试将这种思路应用到我的化学反应动力学研究中。比如，在分析一个多步反应时，我尝试去考虑“当反应物浓度极高/极低时，主导反应的速率步骤是哪个？”或者“当温度极高/极低时，反应的平衡常数会如何变化？”。这种“极端化”的处理方式，虽然会忽略一些细枝末节，但却能帮助我抓住问题的核心，快速定位关键影响因素，甚至对实验设计提供新的思路。我发现，很多时候我们过于纠结于精确的数值计算，反而忽略了系统最本质的行为特征。这本书让我学会了如何“舍繁就简”，抓住问题的“牛鼻子”。