極端原理與解題 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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王連笑 著

圖書標籤:

• 數學思維
• 解題技巧
• 極端思想
• 數學競賽
• 高中數學
• 奧數
• 思維拓展
• 問題解決
• 方法技巧
• 數學方法

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560352497

版次：1

商品編碼：11729525

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2015-04-01

用紙：膠版紙

頁數：164

字數：118000

正文語種：中文

內容簡介

　　在有限個實數中一定有一個最小數，一個最大數；在無限個自然數中一定有一個最小數——這就是極端原理。利用這個簡單而又通俗的原理可以解決不少與存在性有關的數學問題和其他問題，《極端原理與解題》列舉瞭與極端原理和特殊化解題策略有關的例題，其中大部分是數學奧林匹剋試題，通過這些例題全麵、詳盡地介紹瞭用極端原理解題的思維方法。
　　《極端原理與解題》適閤中學數學愛好者（其中大部分初中生都能看懂）閱讀，也可以作為中學數學教師開展數學課外活動和進行數學奧林匹剋培訓的資料。

內頁插圖

目錄

第1章 一個思考瞭半個世紀的問題
第2章 什麼是極端原理
第3章 讓思路來得自然
第4章 考慮兩點距離的極端情況
第5章 考慮角或邊的極端情況
第6章 考慮周長或麵積的極端情況
第7章 考慮數的大小的極端情況
第8章 考慮數的和的極端情況
第9章 考慮元素個數的極端情況
第10章 考慮方程解的極端情況
第11章 考慮得分多少的極端情況
第12章 覆蓋問題與極端原理
第13章 考慮其他極端情況
第14章 條件隱含在極端情況之中
第15章 數學解題的特殊化策略
編輯手記

前言/序言

寰宇探秘：結構、秩序與演化 導言：世界的底層邏輯 人類對世界的好奇心從未止息，我們試圖理解宏大宇宙的運行規律，也渴望洞察微小粒子間的相互作用。本書並非聚焦於某一特定學科的細枝末節，而是著眼於構建連接一切的通用框架——結構、秩序與演化。我們將跨越物理、信息、生物乃至社會係統的藩籬，探尋隱藏在萬韆現象之下的普適性原理。 我們假設，任何復雜係統，無論其物質基礎如何，都遵循一套共享的、關於信息處理和狀態轉變的基本規則。這種視角將打破傳統學科壁壘，提供一套全新的工具箱，用於分析和預測係統行為。 第一部分：結構之維——形態與關係 結構是事物存在的骨架，是定義係統邊界與內部聯係的方式。本部分將深入探討結構在不同尺度上的錶現形式及其重要性。 1. 拓撲學與連接性 我們從最基礎的連接開始。拓撲學不僅是數學的一個分支，更是描述空間關係、不隨形變而改變屬性的語言。在自然界中，從神經網絡的連接模式到分子間的作用力網絡，拓撲結構決定瞭信息和能量的傳輸效率。我們將分析魯棒性（Robustness）——係統在遭受局部破壞時保持整體功能的能力，這在生物體和通信網絡中至關重要。 網絡中心性： 探討不同類型的中心節點（度中心性、介數中心性、特徵嚮量中心性）在不同網絡中的功能差異。 模塊化與分層： 復雜係統往往不是均勻的，而是由相互作用較弱的模塊構成的。這種分層結構如何促進係統的適應性？ 2. 空間嵌入與幾何約束 結構不僅僅是連接，也包括它們在空間中的具體排布。晶體的格子結構、蛋白質的摺疊形態、乃至行星軌道的幾何形態，都受到空間自身屬性的嚴格約束。我們將考察對稱性在物理定律中的核心地位，以及破缺對稱性如何導緻我們觀察到的多樣性。 3. 湧現的形態：自組織現象 結構並非總是在外部力量下被強加，很多結構是係統內部相互作用的自然結果。我們將研究圖靈模式（Turing Patterns）等經典案例，理解激活劑和抑製劑如何通過擴散和反應在均勻介質中自發形成斑點和條紋。這為理解生物體的形態發生提供瞭基礎。 第二部分：秩序的生成——信息、熵與平衡 秩序並非天生，它需要能量和信息的驅動。本部分聚焦於係統如何從混沌中凝結齣穩定、可預測的狀態，並探討信息流在維持這種秩序中的作用。 1. 統計力學與宏觀量 我們迴顧經典統計力學如何將微觀粒子的隨機運動提升至宏觀可測量的量（如溫度、壓力）。這裏的核心思想在於概率：我們無法精確預測單個粒子的未來，但可以精確預測大量粒子集體的行為。我們將深入探討玻爾茲曼熵，理解它作為係統無序程度的度量，如何驅動係統嚮最大概率狀態演化。 2. 耗散結構：超越平衡態 生命和許多復雜的物理現象都存在於遠離熱力學平衡的狀態。比利時物理學傢普裏高津提齣的耗散結構（Dissipative Structures）理論是理解開放係統的關鍵。這些結構通過不斷地與外界交換物質和能量來維持自身的低熵狀態。 反饋機製： 探討正反饋（增強效應）和負反饋（調節效應）在維持穩定或驅動轉變中的作用。 臨界點與相變： 考察係統如何在一個外部參數（如溫度、密度）達到某一閾值時，突然、不可逆地從一種秩序轉變為另一種截然不同的秩序。 3. 信息論的視角 信息是秩序的量化體現。香農信息論為我們衡量信息的不確定性提供瞭數學工具。我們將討論互信息如何揭示不同係統組件之間共享的信息量，以及信息熵如何與熱力學熵相互關聯。在復雜的計算係統中，信息冗餘和壓縮的本質是什麼？ 第三部分：演化與適應——時間的方嚮性 結構和秩序並非永恒不變，它們在時間中不斷經曆變化、選擇和適應。演化是係統應對內部和外部擾動的核心機製。 1. 動力學係統與吸引子 演化可以被建模為動力學係統在狀態空間中的軌跡。吸引子（Attractors）描述瞭係統最終會穩定或周期性地駐足的狀態。我們將區分點吸引子、極限環和奇異吸引子（如洛倫茲吸引子），後者揭示瞭看似完全隨機的係統中內在的確定性規律。這種對時間路徑的分析，是預測係統長期行為的基礎。 2. 選擇與適應的機製 從達爾文的自然選擇到計算中的遺傳算法，演化過程的核心在於變異、選擇和復製。 適應度景觀： 將係統狀態映射到適應度值，演化過程即是在這個“景觀”中尋找山峰（最優解）的過程。我們將探討局部最優解與全局最優解之間的關係，以及“隨機遊走”在跨越山榖中的作用。 新穎性的産生： 演化並非僅僅是現有元素的重新組閤，它能創造齣前所未有的功能和結構。分析突變和重組如何生成新的信息和可能性。 3. 曆史的依賴性與路徑選擇 演化過程通常是路徑依賴的（Path-dependent）。早期的隨機選擇可能會鎖定係統進入一個次優但穩定的結構，使得後來的改進變得異常睏難。理解曆史的權重，對於評估當前係統的穩定性和未來轉型的可能性至關重要。我們將討論小擾動如何引發大後果的“蝴蝶效應”在演化曆史中的體現。 結論：統一性與未來展望 本書的最終目標是建立一個跨越尺度和領域的通用框架。結構定義瞭可能性，秩序限製瞭可行性，而演化則在可能性和可行性之間不斷探索。從原子的排列到文明的興衰，這種“結構-秩序-演化”的三角關係提供瞭一個強大的分析透鏡。 我們展望未來，在人工生命、復雜性科學和人工智能的交叉地帶，這些底層原理將指導我們設計更具彈性、更有效率和更具創造力的係統。認識到世界是多層嵌套的結構網絡，並且其動態由信息和能量的流動所驅動，是理解我們自身所處位置的必經之路。

評分☆☆☆☆☆

我一直對物理學中的對稱性著迷，總覺得它背後蘊含著某種深刻的美。這本書雖然名字叫《極端原理與解題》，但它對物理問題的切入方式，尤其是對“對稱性”和“守恒律”的運用，給我留下瞭極其深刻的印象。書中舉例瞭很多涉及能量、動量、角動量守恒的例子，但並非直接應用公式，而是通過思考“如果沒有這些守恒律會怎樣？”，或者“在極端情況下，這些守恒量會呈現什麼樣貌？”來推導結果。比如，在分析一個天體運動的問題時，作者並沒有一開始就列齣萬有引力定律，而是從“如果係統在鏇轉對稱，那麼角動量必然守恒”這個角度齣發，巧妙地解釋瞭行星軌道的穩定性。這種“倒著想”或者“反嚮思考”的方法，讓我覺得非常新穎。它不是讓你被動接受知識，而是鼓勵你去主動探索和發現。我尤其喜歡書中關於“相空間”的討論，雖然不是我專業領域，但作者用類比和直觀的圖示，將抽象的概念變得易於理解，並且展示瞭如何通過分析相空間的“極端”區域來理解係統的演化。這本書讓我覺得，解決問題不僅僅是運用知識，更是一種對物理規律的深刻洞察和靈活運用。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是把我對學習的理解顛覆瞭！我一直以為解決問題就是要一步一步來，找到具體的公式，然後代入數字。結果讀瞭《極端原理與解題》，纔發現原來很多看似復雜的問題，都可以從一些最根本、最“極端”的視角切入，瞬間就能豁然開朗。比如，書中講到一些幾何問題，與其費力地去計算各種角度和邊長，不如直接考慮極端情況，比如當某個點無限接近另一個點，或者某個圖形退化成一條綫，這時候很多隱藏的性質就顯露齣來瞭。我記得其中一個例子，涉及到在一個不規則區域內畫圓，常規的思路是復雜的微積分，但作者用“極端原理”，設想當圓心無限偏離，或者圓的半徑無限增大/縮小，就能直接推導齣圓心和半徑的界限。這種方法不隻是技巧，更是一種思維的升華，讓我開始重新審視每一個問題背後的邏輯，而不是被錶麵的復雜性所迷惑。讀這本書的過程，就像是在進行一場智力探險，每一章都充滿瞭驚喜，讓我對“解題”這兩個字有瞭全新的認識。它不是教你幾道題的做法，而是給你一把鑰匙，打開通往更深層理解的大門。

評分☆☆☆☆☆

我是一位化學專業的學生，平時研究的課題涉及到一些復雜的動力學模型。坦白說，很多時候我都覺得束手無策，不知道從何下手。《極端原理與解題》這本書，雖然不是專門針對化學問題，但其中關於“簡化模型”和“臨界條件”的闡述，對我啓發極大。作者在分析一些宏觀物理現象時，經常會討論“當參數趨於無窮大或無窮小時，係統的行為會如何變化”。我嘗試將這種思路應用到我的化學反應動力學研究中。比如，在分析一個多步反應時，我嘗試去考慮“當反應物濃度極高/極低時，主導反應的速率步驟是哪個？”或者“當溫度極高/極低時，反應的平衡常數會如何變化？”。這種“極端化”的處理方式，雖然會忽略一些細枝末節，但卻能幫助我抓住問題的核心，快速定位關鍵影響因素，甚至對實驗設計提供新的思路。我發現，很多時候我們過於糾結於精確的數值計算，反而忽略瞭係統最本質的行為特徵。這本書讓我學會瞭如何“捨繁就簡”，抓住問題的“牛鼻子”。

評分☆☆☆☆☆

老實說，我一開始拿到《極端原理與解題》這本書，並沒有抱太大的期望。我以為它會是那種枯燥的數學教材，充斥著晦澀的證明和繁瑣的計算。但齣乎意料的是，這本書的語言風格非常生動有趣，甚至帶有一點哲學思辨的味道。作者在講解“極端原理”的時候，不僅僅是在傳遞解題技巧，更是在引導讀者思考“為什麼”會是這樣。比如，書中在討論某個優化問題時，作者沒有直接給齣算法，而是讓你想象一下，如果目標函數變得“非常非常大”或者“非常非常小”，那麼最優解會趨嚮於什麼位置。這種“思想實驗”的方式，讓我覺得既燒腦又過癮。我特彆欣賞作者在引入每個新概念時，都會先給齣一些非常直觀、易於理解的例子，然後循序漸進地深入到更抽象的數學推導。這讓我感覺學習過程非常順暢，不會被突如其來的復雜概念打斷思路。讀這本書，就像是和一個經驗豐富的導師在進行一場深入的對話，他不會直接告訴你答案，而是引導你去思考，去發現。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學不僅僅是計算和證明，它更是理解世界的一種語言。《極端原理與解題》這本書，將我從一個被動接受知識的學習者，變成瞭一個主動探索者。書中關於“不變性原理”的講解，給我留下瞭深刻的印象。作者不是簡單地告訴你哪些量是不變的，而是引導你去思考，為什麼它們是不變的，以及在什麼條件下它們會發生變化。我記得其中一個例子，涉及到在一個有嚮圖中尋找迴路，常規的方法是遍曆所有可能的路徑，非常耗時。但作者利用瞭“不變性”，比如某種顔色標記在遍曆過程中不會改變，或者某種纍加值在迴到起點時會有一個固定的變化，從而大大簡化瞭問題。這種“從不變中找規律”的方法，讓我在解決很多算法問題時，思路一下子開闊瞭許多。它讓我明白，解決問題的關鍵往往不在於找到一個復雜的公式，而在於識彆齣隱藏在錶麵現象背後的某種深刻的“不變性”。這本書，不僅僅是教會我如何解題，更是教會瞭我如何“思考”。